1 lũy THỪA, mũ và LÔGARIT

+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương... + Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau... • Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang...

0

LŨY THỪA – MŨ – LÔGARIT

A – LÝ THUYẾT CHUNG

I LŨY THỪA

1 Định nghĩa luỹ thừa

Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0

+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương

3 Định nghĩa và tính chất của căn thức

• Căn bậc n của a là số b sao cho b n =a

= n p =m q >

• Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n a<n b

Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n a<n b

Chú ý:

+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n Kí hiệu n a

+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau

II HÀM SỐ LŨY THỪA

• Logarit thập phân: lgb=logb=log10b

• Logarit tự nhiên (logarit Nepe): lnb=loge b (với =lim 1 +1 ≈2, 718281

+ Nếu a > 1 thì loga b>loga c⇔ >b c

+ Nếu 0 < a < 1 thì loga b>loga c⇔ <b c

3 Các qui tắc tính logarit

Với a > 0, a ≠ 1, b, c > 0, ta có:

b hay log b.log c log ca b = a

• a

b

1log b

• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến

• Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang

3) Giới hạn đặc biệt

•

x 1

Câu 19: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có diện tích bằng 36, đường

thẳng chứa cạnh AB song song với trục Ox, các đỉnh A B, và C lần lượt nằm trên đồ thị của các hàm số y=loga x y, =log a x và y=log3a x với a là số thực lớn hơn 1 Tìm a

A a= 3 B a=36 C a= 6 D a=63

Câu 20: Cho các hàm số y=loga x và y=logb x có đồ thị

như hình vẽ bên Đường thẳng x=5 cắt trục

hoành, đồ thị hàm số y=loga x và y=logb x lần

lượt tại A B, và C Biết rằng CB=2AB Mệnh

đề nào sau đây là đúng?

x x

x x

f x Tính giá trị của biểu thức

x x

+ + +

f x e Biết rằng ( ) ( ) ( )1 2 3 (2017)=

m n

t t

f t

m với m là tham số thực Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m

sao cho f x( )+ f y( )=1 với mọi ,x y thỏa mãn e x y+ ≤e x y Tìm số phần tử của ( + ) S

Câu 35: Tìm tất cả giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số ( ) 4sinsin 61 sinsin

+ +

+

=+

C – HƯỚNG DẪN GẢI

Câu 1: Cho log 12 = x7 , log 24 = y12 và log 16854 = +1

+

axy bxy cx, trong đó a b c, , là các số nguyên

log 54

7

log 24 1log 54

+

7

log 12log 24 1log 54

Nguyên tắc trong bài này là đưa về logarit cơ số 2

Câu 3: Với a>0,a≠ , cho biết: 1

 

=   

x

đồ thị, thứ tự từ trái qua phải là ( ) ( ) ( ) ( )C1 , C2 , C3 , C 4 như hình vẽ bên

Sử dụng ( )a u '=u a' ulna và phương pháp hàm số như các bài trên

Câu 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số = − −22

−

x x

Chia hai vế của (1) cho ta được: , đặt đưa về phương trình:

= , loga bc=loga b+loga c,loga a =1

t

q x

ln tan1° ln tan 2 ln tan 3 ln tan89

ln tan1 tan 2 tan 3 tan89

ln tan1 tan 2 tan 3 tan 45 cot 44 cot 43 cot1

log 2019 2 log 2019 3 log 2019 a + a + a + +n log 2019 1008n a = ×2017 log 2019a (*)

Ta có n2log 2019n a =n n2 .log 2019a =n3log 2019a Suy ra

VP (*)=10082×2017 log 20192 a Khi đó (*) được:

Nhận thấy ( )∗ ⇔ f a( )= f b( )⇒ =a b

Khi a b= thì 2017a−2017b =2017a−2017a =0

Chọn A

Câu 19: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có diện tích bằng 36, đường

thẳng chứa cạnh AB song song với trục Ox, các đỉnh A B, và C lần lượt nằm trên đồ thị của các hàm số y=loga x y, =log a x và y=log3a x với a là số thực lớn hơn 1 Tìm a

Vì ABCD là hình vuông nên suy ra = = 2

m

C B

3log

62

ABCD

AB S

Câu 20: Cho các hàm số y=loga x và y=logb x có đồ thị

như hình vẽ bên Đường thẳng x=5 cắt trục

hoành, đồ thị hàm số y=loga x và y=logb x lần

lượt tại A B, và C Biết rằng CB=2AB Mệnh

đề nào sau đây là đúng?

A a b= 2 B a3=b

C a b= 3 D a=5b

Hướng dẫn gải:

Theo giải thiết, ta có A( )5;0 , B(5;log 5 , a ) C(5;log 5b )

Do CB=2AB→CB=2BA↔log 5 log 5 2.a − b = (−log 5a )

3log 2 3.log 2 log 2 log 2

2

x x

Cách 2.Sử dụng tính chất f x( )+ f(1−x)=1 của hàm số ( ) 4

=+

x x

1 2 1 2

PS: Chứng minh tính chất của hàm số ( ) 4

=+

x x

x x

f x Tính giá trị của biểu thức

9 3

+

31008

x x

+ + +

f x e Biết rằng ( ) ( ) ( )1 2 3 (2017)=

m n

Ta chứng minh

2

2018 12018

−

là phân số tối giản

Giả sử d là ước chung của 20182−1 và 2018

t t

f t

m với m là tham số thực Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m

sao cho f x( )+ f y( )=1 với mọi ,x y thỏa mãn e x y+ ≤e x y( + ) Tìm số phần tử của S

Vậy có hai giá trị m thỏa mãn yêu cầu

Câu 35: Tìm tất cả giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số ( ) 4sinsin 61 sinsin

+ +

+

=+