1.Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng cách 1 - Tìm điểm chung của 2 mặt phẳng - Đường thẳng qua hai điểm chung đó là giao tuyến của hai mặt phẳng -Chú ý : Để tìm điểm chung của hai mặt phẳ
Trang 1KIẾN THỨC CƠ BẢN GIẢI TÍCH 11
**BẢNG GTLG CỦA CÁC GÓC ĐẬC BIỆT
Trang 2α 0 0 30 0
6 /
0
4 /
0
3 /
0
2 /
0
π 2 π120/03 135
0
4 /
0
6 /
0
π 2
1
2
2
2
3
1
0
1
1
−
2
2
−
2
3
1
1
1
1
A.PT LG-PT ĐẶC BIỆT
1/Pt sinu
sinu=sinv⇔
+
−
=
+
=
π π
π
2
2
k v u
k v u
sinx = 0 ⇔ x = kπ,k∈z
sinx = 1 ⇔x = 2 ,
2 +k π k∈z π
sinx = -1 ⇔x =- 2 ,
2 +k π k∈z π
2/Pt cosu
cosu=cosv⇔
+
−
=
+
=
π
π
2
2
k v u
k v u
(k
)
z
∈
cosx = 0 ⇔ x = ,
2 +kπ k∈z π
cosx = 1 ⇔ x = k2π,k∈z
cosx = -1 ⇔ x = (2k+1)
,k∈z
π
3/Pt tanu
tanu=tanv⇔ u=v+kπ (k∈z)
tanx = 0 ⇔ x = kπ,k∈z
tanx = 1 ⇔ x = ,
4 +kπ k∈z
π tanx = -1 ⇔ x =
- ,
4 +kπ k∈z
π
4/Pt cotu
cotu=cotv⇔ u = v + k π (k∈z)
cotx = 0 ⇔ x = +
2
,k∈z
π
cotx = 1 ⇔ x = ,
4 +kπ k∈z π
cotx = -1 ⇔ x = - ,
4 +kπ k∈z π
5/Phương trình dạng asinx+bcosx = c
Pt⇔ 2a 2sinx 2b 2cosx 2c 2
⇔sin cos cos sin x x 2c 2
a b
α + α =
+
⇔ sin(x+α) = 2c 2
a + b
( với cosα= 2a 2
a + b ,sinα= 2 2
b
a b + )
*Chú ý
1/Công thức cộng
*cos(a-b) = cosacosb + sinasinb
*cos(a+b) = cosacosb – sinasinb
*sin(a-b) = sinacosb - cosasinb
*sin(a+b) = sinacosb + cosasinb
*tan(a – b) = tan tan
1 tan tan
− +
*tan(a + b) = tan tan
1 tan tan
a b
a b
+
−
2/Công thức nhân đôi
*sin2a = 2sinacosa
*cos2a =cos2a-sin2a = 2cos2a -1=1-2sin2a
*tan2a = 2 tan2
1 tan
a a
−
3/Công thức hạ bậc
*cos2a = 1 cos 2
2
a
+
*sin2a = 1 cos 2
2
a
−
*tan2a = 1 cos 2
1 cos 2
a a
− +
4/Công thức cơ bản
*sin2x=1-cos2x
*cos2x=1-sin2x
5/Công thức biến đổi tổng thành tích
*cosu + cosv = 2cos cos
u v + u v −
*cosu – cosv = -2sin sin
u v + u v −
*sinu + sinv = 2sin cos
u v + u v −
*sinu - sinv = 2cos sin
u v + u v −
6/Công thức biến đổi tích thành tổng
*cosacosb = 1 [ cos( ) cos( ) ]
2 a b − + a b +
*sinasinb = 1 [ cos( ) cos( ) ]
2 a b − − a b +
*sinacosb = 1 [ sin( ) sin( ) ]
2 a b − + a b +
7/Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản
*tan sin
cos
α α
α
=
*cot cos
sin
α α
α
=
*sin2α + cos2α = 1
*tanα cot α = 1
*1 + tan2α =
2
1 cos α *1 + cot2α =
2
1 sin α
8/ Hai góc đối nhau:
α α
α α
sin )
sin(
cos ) cos(
−
=
−
=
−
) cot( )
cot(
tan )
tan(
α α
α α
−
=
−
−
=
−
9/ Hai góc phụ nhau
α α
π
α α
π
sin ) 2 cos(
cos ) 2 sin(
=
−
=
−
α α
π
α α
π
tan ) 2 cot(
cot ) 2 tan(
=
−
=
−
Trang 3B.TỔ HỢP-XÁC SUẤT
1/ Số các hoán vị
! ( 1) 2.1
n
p = n = n n −
2/Số chỉnh hợp chập k của n phần tử :
Akn=
n
−
3/Số tổ hợp chập k của n phần tử :
k
n
C =
n
−
*Chú ý
−
k 1−− + k− = k ≤ ≤
n 1 n 1 n
5/CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIUTƠN:
C.DÃY SỐ-CSC-CSN
I/CẤP SỐ CỘNG
1/(un)là cấp số cộng⇔ un+1 = un + d
2/ Số hạng tổng quát
un = u1+(n-1)d
3/Tổng n số hạng đầu
+ −
n
n[2u (n 1)d]
S
2
+
= 1 n
n
S
2
II/CẤP SỐ NHÂN
1/( ) un là cấp số nhân ⇔u n+1 =u n.q
2 Số hạng tổng quát
= 1 n−1
u
3/ Tổng n số hạng đầu
q
q
u
S
n
n
−
−
=
1
1
1
D.GIỚI HẠN HÀM SỐ
1/Dạng
0
0
:
+Phân tích biểu thức thành tích(chia lược
đồ Hoocne)
+Nhân và chia biểu thức với lượng liên
hợp
2/Dạng ∞∞
+Chia tử và mẫu choluỹ thừa với số mũ
cao nhất
3/Dạng ∞ − ∞
+Nhân và chia biểu thức với lượng liên
hợp
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11
I Đường thẳng và mặt phẳng 1.Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 1)
- Tìm điểm chung của 2 mặt phẳng
- Đường thẳng qua hai điểm chung đó là giao tuyến của hai mặt phẳng
-Chú ý : Để tìm điểm chung của hai mặt
phẳng ta thường tìm hai đường thẳng đòng phẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng đó Giao điểm , nếu có của hai đường thẳng này chính là điểm chung của hai mặt phẳng
2 Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) , ta tìm trong (P) một đường thẳng c cắt A tại điểm A nào đó thì A là giao điểm của a và (P)
Chú ý : Nếu c chưa có sẵn thì ta chọn một mặt phẳng (Q) qua a và lấy c là giao tuyến của (P) và (Q)
3 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng , chứng minh 3 đường thẳng đồng quy
- Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh 3 điểm đó là các điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt.Khi đó chúng
sẽ thẳng hàng trên giao tuyến của hai mặt phẳng đó
- Muốn chúng minh 3 đường thẳng đồng quy ta chứng minh giao điểm của hai đường nàylà điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba
II.Đường thẳng //
1 Chứng minh hai đường thẳng song song:
Có thể dùng một trong các cách sau :
- Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng , rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song rong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lý đảo của định lý Ta-lét )
- Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song song với đường thẳng thứ 3
- Áp dụng định lý về giao tuyến
2 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 2 / dạng 1)
Thiết diện qua một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước :
* Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng
* Áp dụng định lý về giao tuyến để tìm phương của giao tuyến (tức chứng minh giao tuyến song song với một đường thẳng
đã có) Giao tuyến sẽd là đường thẳng qua điểm chung và song song với đường thẳng ấy
-Ghi chú : Ta có 2 cách để tìm giao tuyến :
Cách 1(2 điểm chung) và cách 2 (1 điểm chung + phương giao tuyến) ta thường sử dụng phối hợp 2 cách khi xác định thiết diện của hình chóp
III.Đường thẳng // với mặt phẳng
1 Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng P
Ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với đường thẳng a chứa trong (P)
Ghi chú : Nếu a không có sẵn trong hình thì ta
chọn một mặt phẳng (Q) chứa d và lấy a là giao tuyến của (P) và (Q)
2 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(Cách 2 / dạng 2)
Thiết diện song song với một đườc thẳng cho trước :
Nhắc lại một hệ quả : Nếu đường thẳng d song song với một mặt phẳng (P) thì bất kỳ mặt phẳng (Q) nào chứa d mà cắt (P) thì sẽ cắt (P) theo giao tuyến song song với d
Từ đây xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng song song với một hoặc hai đường thẳng cho trước theo phương pháp đã biết
IV.Mặt phẳng //.
1 Chứng minh hai mặt phẳng song song
* Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia
-Chú ý :Sử dụng tính chất
ta có cách thứ 2 để chưngs minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P)
2 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 2 / dạng 3)
Thiết diện cắt bởi một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước
- Tìm phương của giao tuyến của hai mặt phẳng bằng định lý về giao tuyến :"Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song song với nhau "
- Ta thường sử dụng định lý này để xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước theo phương pháp đã biết
- Chú ý : Nhớ tính chất
