đại cương động lực học vật rắn

9 Quy tắc mô men lực: Muốn vật rắn quay quanh một trục cố định ở trạng thái cân bằng, thì tổng đại số các mô men của các lực tác dụng vào vật đối với trục quay đó phảibằng không.. ∑M =0=

Tổ 4 – 12A1 – K43

- Toạ độ gúc của điểm M là số đo của gúc hợp bởi vộc

tơ bỏn kớnh nối điểm M (OMuuuur ) và trục Ox.: ϕ =

- Toạ độ gúc ϕ và ϕ0 dương khi vật rắn quay cựng chiều dương qui ước và õm khiquay ngược chiều dương

- gúc quay ∆ϕ dương khi vật rắn quay cựng chiốu dương qui ước và õm khi quaynguợc chiều dương

2) Tốc độ góc đặc trng cho chuyển động quay nhanh hay chậm của vật rắn.

Tốc độ góc trung bình của vật rắn trong khoảng thời gian ∆t = t2 - t1 là:

t t

lim 0

4) Gia tốc góc: Đặc trng cho độ biến thiên nhanh hay chậm của tốc độ góc.

Gia tốc góc trung bình trong khoảng thời gian ∆t = t – t0 là: 0

lim 0

→

∆ Đơn vị là: rad/s2.5) Chuyển động quay biến đổi đều: γtb = γ = 0

0

t t

ω ω −

− = const ; ω = ω0 + γt Phơng trình chuyển động quay biến đổi đều: 2

2

1

t + γ ω + ϕ

*Chú ý : quay nhanh dần: ωγ > 0 ; quay chậm dần: ωγ > 0

quay nhanh dần đều : ωγ > 0 và γ = const ; quay chậm dần đều : ωγ > 0

và γ = const

6/ Khi chuyển động quay không đều: vr thay đổi cả hớng và độ lớn ; ar đặc trng cho

sự thay đổi cả hớng và độ lớn của vr

theo phơng của vr ; đặc trng cho sựthay đổi về độ lớn của vr

7/ Với bánh xe lăn không trợt trên đờng

+ Bánh xe quay một vòng, xe đi đợc đoạn đờng bằng chu vi bánh xe Tốc độ xe cũng

là tốc độ trục bánh xe

+ Tốc độ dài v của một điểm M ở vành ngoài bánh có giá trị bằng tốc độ xe , vrcó

ph-ơng tiếp tuyến với bánh, chiều theo chiều quay của bánh So với mặt đất thì véc tơ vận tốc

)Th

ờng gặp : Fr vuông góc với rr( lực tiếp tuyến) => M = F.d

Quy ớc : Mô men lực có giá trị dơng nếu nó làm cho vật quay theo chiều dơng và ngợclại

9) Quy tắc mô men lực: Muốn vật rắn quay quanh một trục cố định ở trạng thái cân

bằng, thì tổng đại số các mô men của các lực tác dụng vào vật đối với trục quay đó phảibằng không ∑M =0=> lúc đó vật rắn quay đều

10) Mô men quán tính:

+ Mô men quán tính của chất điểm đối với một trục quay đặc trng cho mức quán tính(sức ì) của chất điểm đối với chuyển động quay quanh trục đó Nó đo bằng biểu thức I =m.r2; với r là khoảng cách từ chất điểm tới trục quay Đơn vị: kg.m2

M x

+ Mô men quán tính của vật rắn đối với một trục quay đặc trng cho mức quán tính (sức

ì) của vật rắn đối với trục quay đó =∑

i

2 i

i r m I

+ Thanh mảnh, chiều dài l , trục quay là trung trực của thanh: I = 121 m l 2;

+ Thanh mảnh, chiều dài l , trục quay đi qua một đầu và vuông góc với thanh:

+ Định lí về trục song song:

Mômen quán tính của một vật đối với một trục quay D bất kỳ(ID) bằng momen quán tính của nó đối với trục đi qua trọng tâm (I

∆) cộng với momen quán tính đối với trục D đó (ma2) nếu nhtoàn bộ khối lợng của vật tập trung ở khối tâm 2

.

D

I = +I∆ m a ; a là khoảng cách giữa haitrục song song

11) Momen động lợng của vật rắn đối với một trục quay bằng tích số của mô men

quán tính đối với trục đó và tốc độ góc của vật quay quanh trục đó L = I.ω

12) Chuyển động tròn của chất điểm:

+ Chất điểm khối lợng m chuyển động trên quỹ đạo tròn bán kính r chịu lực F không

) I d dt

d I

14) Định luật bảo toàn mô men động lợng:

+ Khi tổng đại số các mô men ngoại lực đối với trục quay bằng không (hay các mô

men ngoại lực triệt tiêu nhau), thì mômen động lợng của vật rắn đối với trục đó là không

đổi Trong trờng hợp vật rắn có momen quán tính đối với trục quay không đổi thì vật rắnkhông quay ( nếu đang đứng yên) hay quay đều quanh trục đó( nếu đang quay)

+ M = 0 => ∆L = 0 và L = const Nếu tổng các momen lực tác dụng lên vật (hay hệvật) bằng không thì momen động lợng của vật (hay hệ vật) đợc bảo toàn I1ω1 = I1ω2 hay

1

W = + ω ; vC = R.ω2. m là khối lợng của vật, vC là tốc độ của khối tâm( cũng là tốc độ của vật)

VẤN ĐỀ 1 ĐỘNG HỌC VẬT RẮN QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐĐỊNH

trỡnh

 Các đại lượng ϕ, ω, γ có giá trị đại số, phụ thuộc vào chiều dương được chọn

( thường chọn chiều dương là chiều quay của vật)

 Đổi đơn vị: 1 vòng = 3600 = 2π rad

 βω>0: chuyển động quay nhanh dần

I của vật rắn đối với một trục

3 Mômen lựcM (N.m) M =Fd d: khoảng cách từ trục quay đến giá

của lực (cánh tay đòn của lực)

 Công thức Stenner: I O = I G +md2 dùng khi đổi trục quay

d = OG : khoảng cách giữa hai trục quay

 M Fr =0: nếu F có giá cắt hoặc song song với trục quay

 Định lí biến thiên mômen động lượng:

Nội dung: ∑M = ⇔ = 0 L const ⇔I1 1 ω =I2 ω 2

I1, ω1: mơmen quán tính và tốc độ gĩc của vật lúc đầu

I2, ω2: mơmen quán tính và tốc độ gĩc của vật lúc sau

Chú ý:

 Áp dụng định luật cho hệ vật rắn cĩ cùng trục quay: ∑L=const đối với trục quay đĩ

 Khi I = const ⇒ ω = 0 : vật rắn khơng quay

hoặc ω = const: vật rắn quay đều

VẤN ĐỀ 4 KHỐI TÂM ĐỘNG NĂNG CỦA VẬT RẮN

1 Tọa độ khối tâm:

m

x m

m

y m

m

z m z

2 Chuyển động của khối tâm: m ac =F

+) cĩ giá đi qua trọng tâm làm vật chuyển động tịnh tiến

+) cĩ giá khơng đi qua trọng tâm làm vật vừa quay vừa chuyển động tịnhtiến

 Định lí động năng: A ngoạilực = ∆ W đ =W đ2 −W đ1

 Thế năng trọng trường: W t =mgh

h: độ cao tính từ mức khơng thế năng

 Định luật bảo tồn cơ năng: Khi vật chỉ chịu tác dụng của lực thế

=

radrad/srad/s2Nmkgm2kgm2/sJ

Toạ độ xTốc độ vGia tốc aLực FKhối lượng mĐộng lượng p = mvĐộng năng 2

đ

1 W

2mv

=

mm/sm/s2Nkgkgm/sJ

 Chuyển động quay đều:

1 2

* Chuyển động song phẳng của vật rắn là chuyển động trong đó tất cả các điểm của vật đều

có quỹ đạo nằm trong các mặt phẳng song song với nhau

- Chuyển động phẳng của vật rắn có thể phân tích thành chuyển động tịnh tiến của khốitâm G của vật rắn và chuyển động quay quanh trục đi qua G

- Khối tâm G của vật rắn (Hoặc hệ biến dạng) chuyển động như một chất điểm mang khốilượng m của vật rắn và chịu tác dụng của tổng vectơ các ngoại lực: aG =

m F

∑

Nếu không có ngoại lực (hoặc tổng các ngoại lực có phương vuông góc với hướng chuyểnđộng của khối tâm) thì khối tâm chuyển động đều hoặc đứng yên, vG = const, cũng có nghĩa

là động lượng của vật rắn (hoặc hệ) được bảo toàn

- Động năng của vật rắn chuyển động song phẳng gồm:

+ Động năng của khối tâm:

ωd = 12 m.VG2

+ Động năng của vật rắn quay quanh 1 trục: ωd = 21 Iω2

Vậy động năng của vật rắn: Wd = 12 m.VG2 + 12 I.ω2

* Thế năng trọng trường của vật rắn bằng mgh, với h là độ cao của khối tâm tính từ gốc thếnăng

* Công nguyên tố của các ngoại lực tác dụng lên vật rắn quay quanh 1 trục bằng góc quaynguyên tố dϕ nhân với tổng momen các lực đối với trục quay M: dA = M.dϕ

* Nếu tất cả các lực (kể cả lực quán tính) tác dụng lên hệ vật đều là lựu thế thì có thể xácđịnh thế năng của hệ và cơ năng của hệ được bảo toàn

II Các dạng bài tập:

*Dạng 1: Chuyển động của vật rắn quanh 1 trục cố định:

1 Các công thức cần có:

Chuyển động quay đều: ϕ = ϕo + ωt, ω = const

Chuyển động quay biến đổi đều:

a Tính góc quay của vật trong thời gian ∆t

+ Chuyển động quay đều: ∆ ϕ = ω ∆t

+ Chuyển động quay biến đổi đều: 2

2

1 ∆t+ ∆t

=

∆ ϕ ω γ = ω γω

2

2 2

o

−

=> Số vũng quay: n = ∆2πϕ (vũng)

b Tớnh tốc độ gúc tại thời điểm t kể từ thời điểm t 1

+ Chuyển động quay đều: ωt =ωt1 = ωo

+ Chuyển động quay biến đổi đều:

2 2

*Bài tập dạng 1:

Bài tập 1:

Một vật rắn bắt đầu quanh nhanh dần đều quanh một trục cố định, sau 6s nó quay đợc mộtgóc bằng 36 rad

a) Tính gia tốc góc của bánh xe

b) Tính toạ độ góc và tốc độ góc của bánh xe ở thời điểm t = 10s tính từ lúc bắt đầu quay.c) Viết phơng trình và vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của toạ độ góc của vật rắn theo thờigian?

d) Giả sử tại thời điểm t =10s thì vật rắn bắt đầu quay chậm dần đều với gia tốc góc có giá trịbằng gia tốc góc ban đầu Hỏi vật rắn quay thêm đợc một góc bằng bao nhiêu thì dừng lại ?

Giải:

Chọn mốc thời gian t = 0 tại thời điểm vật rắn bắt đầu quay, toạ độ góc ban đầu ϕ = 0 0 Chọn

chiều dơng là chiều quay của vật rắn

a) Tính gia tốc góc

ϕ = ϕ + ω + γ , trong đó: ϕ =0 0, vì vận rắn bắt đầu quay nên tốc độ

góc ban đầu ω = 0 0 Suy ra: 2 2

ϕ = ϕ + ω + γ Mặt khác, ϕ =0 0, ω =0 0 và theo câu a) ta có γ = 2rad / s 2suy ra: ϕ = t 2

- Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của toạ độ góc của vật rắn theo thời gian chính là đồ thị củahàm số ϕ = t 2, đồ thị hàm số là nửa nhánh parabol đi qua gốc toạ độ nh hình vẽ

d) áp dụng công thức: 2 2 ( )

ω − ω = γ ϕ − ϕ = γ ∆ϕ, trong đó ω = 0là tốc độ góc tạithời điểm vật rắn dừng quay, ω 0là tốc độ góc của vật rắn tại thời điểm khi bắt đầu

quay chậm dần đều và cũng chính là tốc độ góc của vật rắn khi quay nhanh dần

đều tại thời điểm t = 10 s ∆ϕlà góc mà vật rắn quay đợc khi tốc độ góc biến thiên

từ ω 0đến ω, hay chính là góc mà vật rắn quay đợc tính từ lúc bắt đầu quay chậm

dần đều cho đến lúc dừng hẳn γlà gia tốc góc của vật rắn trong thời gian quay

chậm dần đều nên γ = − 2rad / s 2 Thay số ta đợc 2 02 0 202

*Dạng 2: Momen lực Momen quỏn tớnh của vật rắn

1 Cỏc cụng thức liờn quan:

∑ (vật rắn) Định lý trục song song: I∆=I G +m d2

+ Cỏc cụng thức để thuận tiện trong giải trắc nghiệm về momen quỏn tớnh của một số vậtrắn đồng chất cú dạng hỡnh học đối xứng (trỡnh bày ở phần lý thuyết)

+ Các công thức momen quán tính của một số vật rắn đông chất và có dạng hình học đốixứng (trình bày ở phần lý thuyết)

*Bài tập dạng 2:

Bài tập 1: Một đĩa đặc có bán kính 0,25m có thể quay quanh trục đối xứng đi qua tâm của

nó Một sợi dây mảnh, nhẹ được quấn quanh vành của đĩa Người ta kéo sợi dây bằng một lực không đổi có giá trị 12N Hai giây sau kể từ lúc bắt đầu tác dụng lực làm đĩa quay thi tốc

độ góc của đĩa bằng 24rad/s Tính:

a Momen lực tác dụng lên đĩa

b Gia tốc góc của đĩa

c Gia tốc của đầu dây

d Góc quay được của đĩa

e Chiều dài đoạn dây kéo được

Giải: a Áp dụng công thức tính momen lực tác dụng M = F.d = 12.0,25 = 3(M.m)

b Áp dụng công thức

c Gia tốc góc của đầu dây chính là gia tốc tiếp tuyến của một điểm trên đĩa, được tính bởi công thức: a= r.γ = 0,25.12 = 3m/s2

d góc quay được của đĩa:

e Chiều dài đoạn dây kéo được chính là độ dài quãng đường mà vật quét được khi nó quay được góc φ = 24rad ở trên Áp dụng công thức tính độ dài cung tròn ta có s = r.φ = 0,25.24 =6m

Bài tập 2: Một đĩa đặc đồng chất, khối lượng 0,2kg và bán kính 10cm, có trục quay đi qua

tâm, vuông góc với mặt phẳng đĩa Ban đầu đĩa đang đứng yên, tác dụng vào đĩa một momenlực không đổi 0,02N.m Tính quãng đường mà một điểm trên vành đĩa đi được sau 4s kể từ lúc tác dụng momen lực:

Giải : Momen quán tính của đĩa

Từ phương trình động lực học vật rắn

Góc mà đĩa quay được sau 4s là:

→Quãng đường mà một điểm trên vành đĩa đi được sau 4s là: s = ∆φ.R = 160.0,1 = 16m

Bài tập 3: Một bánh xe chịu tác dụng của momen lực M1 không đổi Tổng của momen lực

M1 và momen lực ma sát có giá trị bằng 24N.m Trong 5s đầu tiên tốc độ góc của bánh xe biến đổi từ 0rad/s đến 10rad/s Sau đó momen lực M1 ngừng tác dụng, bánh xe quay chậm dần đều và dừng lại sau 50s Giả sử momen lực ma sát là không đổi trong suốt thời gian bánh xe quay

a Tính momen quán tính của bánh xe đối với trục

b Xác định giá trị của momen lực M1

c Tính số vòng tổng cộng mà bánh xe quay được

Giải: a Trong 5s đầu tiên tốc độ góc của bánh xe biến đổi từ 0rad/s đến 10rad/s nên ta tính

được gia tốc góc của bánh xe: 2 ( / )

Tổng các momen lực tác dụng lên bánh xe gồm momen lực M1 và momen lực ma sát Mms là:

M = M1+ Mms có giá trị 24N.m Từ đó momen quán tính của bánh xe là:

) ( 12 2

m kg M

ω

ω

2 )

(

2

2 0 2 0 0

0 10 2

2 2 2 0 2

∆

γ

ω ω

Trong 50s cuối cùng thì góc mà bánh xe quay được là: 250rad

) 2 0 (

2

10 0 2

2 2 2 0 2

a Tính momen động lượng của vật tại thời điểm t:

B 1 : Tính ω tại thời điểm t

i r m

Bài tập 1: Một người đứng ở giữa ghế sao cho phương của trọng lực tác dụng lên người

trùng với trục quay của ghế Hai tay người đó dang tay ra và cầm hai quả tạ Mỗi quả có khốilượng m Khoảng cách giữa hai quả tạ là  1 và tốc độ góc của hệ ghế và người lúc này bằng1

ω Cho biết momen quán tính người và ghế (không kể tạ) luôn bằng I Tốc độ góc của hệghế và người khi người đó co tay lại để khoảng cách giữa hai quả tạ chỉ còn  2 có giá trịnhư thế nào?

Giải:

Momen quán tính của người, ghế, và tạ khi người chưa co tay lại là:

2 1 1

2

=I m I

Momen quán tính của người, ghế, và tạ sau khi người co tay lại là:

2 2 2

2

=I m I

Ta có: L2 =L1 <=>I1 ω 1 =I2 ω 2

2 2 1

2 1 1

2 1

2 1 1

2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

m I

m I

m I

ω

ω ω ω

ω ω ω

Bài tập 2: Một sàn quay hình trụ khối lượng M và bán kính R đang đứng yên Một người

có khối lượng m, chạy trên mặt đất với tốc độ v theo đường tiếp tuyến với mép sàn và nhảy lên sàn Bỏ qua ma sát Tính tốc độ góc của sàn và của người khi người nhảy lên sàn

Giải: Momen quán tính của sàn: 2

2 2 2

1

2 1

2

1

mR MR

mvR mvR

mR MR L

Bài tập 3: Một người có khối lượng m = 60kg đứng ở mép một sàn quay hình tròn, đường

kính 6m, có khối lượng M = 400kg Bỏ qua ma sát ở trục quay Lúc đầu sàn và người đềuđứng yên Người bắt đầu chạy với tốc độ 4,2 m/s (đối với sàn) quanh mép, làm sàn quayngược lại Tính tốc độ góc của sàn

Giải: Ta có: Lo = 0 do lúc đầu sàn và người đều đứng yên

Gọi v13 là tốc độ của người đối với đất

v12 là tốc độ của người đối với sàn (v12 = 4,2 m/s)

v23 là tốc độ của sàn đối với đất (v23 = ω R)

Ta có: v13 = v12 + v23 = v12 + ω R

2

1 ) (

2

1

12

2 13

.

MR R

m

m v

+

−

=

=> ω

Bài tập 4: Một sàn quay có bán kính R = 2m, momen quán tính đối với trục quay qua tâm

sàn là I = 800kg.m2 Khi sàn đang đứng yên, một người có khối lượng m1 = 50kg đứng ởmép sàn và ném viên đá có khối lượng m2 = 500g với tốc độ v = 25m/s theo phương tiếptuyến với sàn Ngay sau khi ném thì người sẽ có tốc độ góc là bao nhiêu?

Giải: - Trước khi ném viên đá thì hệ đứng yên nên L1 = 0

- Sau khi ném viên đá thì động lượng của hệ là tổng động lượng của sàn, người và viên đá:

Áp dụng định luật bảo toàn momen động lượng ta có:

2Iω

=+ Vật chuyển động song phẳng: 2

đ

1 W

+

Định lý động năng: ∆ Wd =A=>A=M ϕ

2 Phương pháp bài tập:

a Tính động năng tại thời điểm t:

B 1 : Xác định ω tại thời điểm t

B 2 : Nếu là chuyển động song phẳng thì xác định vận tốc V G của khối tâm tại thời điểm t.

B 3 : Tính 2

đ

1 W

+

Chú ý: Nếu là hệ kín thì có thể áp dụng định luật bảo toàn cơ năng để tính động năng.

b Tính công của ngoại lực tác dụng lên vật từ thời điểm t 1 đến thời điểm t 2

A = Wd

*Bài tập dạng 4:

Bài tập 1: Tính tỉ số của động năng của một vật chuyển động tịnh tiến và động năng toàn

phần của một vật lăn không trượt?

Giải:

- Khi vật chuyển động tịnh tiến thì động năng của vật là:

- Khi vật chuyển động lăn không trượt thì động năng toàn phần của vật chính là tổng của động năng chuyển động tịnh tiến và động năng quay : Từ đó ta có tỉ số:

Vậy tỉ số của động năng chuyển động tịnh tiến và động năng toàn phần của vật rắn lăn không trượt là 2/3

Bài tập 2: Một hình trụ đặc khối lượng mo, bán kính r được quấn bằng dây mảnh vắt qua ròng rọc và nối với vật nặng m1 Hình trụ lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng α Bỏ qua khối lượng và ma sát của ròng rọc Tìm gia tốc γ của hình trụ khi lăn.

Giải: Ta có: Tổng công ngoại lực bằng độ tăng động năng quay (tịnh tiến quay)

Gọi h là QĐ đi của m1, tâm hình trụ lên cao được 2h :

2 2 0 2

1 2 2

1 0

4

3 ) 2 ( 2 2

2

sin

0 1

3 8

sin 2 4

r

gh m

m

m m

+

−

=