Luận văn sư phạm Xấp xỉ đều tốt nhất

Không gian tuy n tính……….. Không gian Hilbert………..

Bên c nh đó, tôi mu n g i l i cám n đ n gia đình, b n bè, và các b n

sinh viên khoá K32 C Nhân Toán đã đ ng viên, t o đi u ki n giúp đ tôi hoành thành đ tài khoá lu n t t nghi p

Do còn h n ch v kinh nghi m và th i gian nên khóa lu n còn nhi u thi u sót Tôi kính mong nh n đ c s góp ý c a các th y giáo, cô giáo và các

b n đ c đ khóa lu n c a tôi đ c hoàn ch nh h n

Tôi xin chân thành cá m n !

Hà N i, tháng 5 n m 2010

Sinh viên

Lê Th Vân Dung

L i cam đoan

tài c a tôi đ c hoàn thành d i s h ng d n c a th y giáo

Nguy n V n Hùng cùng v i s c g ng c a b n thân Trong quá trình nghiên

c u và th c hi n đ tài này tôi tham kh o m t s tài li u (đã nêu trong ph n tài li u tham kh o)

Tôi xin cam đoan nh ng k t qu trong đ tài là k t qu nghiên c u c a riêng tôi, không trùng v i tác gi nào khác N u sai tôi xin ch u hoàn toàn trách nhi m

Hà N i, tháng 5 n m 2010

Sinh viên

Lê Th Vân Dung

M c l c

M đ u……… 5

N i dung……… 7

Ch ng 1 M t s khái ni m c b n……… 7

1.1 Không gian tuy n tính……… 7

1.2 Không gian đ nh chu n……… 8

1.3 Không gian Hilbert……… 10

Ch ng 2 X p x t t nh t trong không gian tuy n tính đ nh chu n 13

2.1 X p x t t nh t trong không gian tuy n tính đ nh chu n……… 13

2.1.1 Bài toán……… 13

2.1.2 Các đ nh lý……… 13

2.2 X p x t t nh t trong không gian tuy n tính đ nh chu n C a b, ……… 15

2.2.1 Bài toán……… 15

2.2.2 Các đ nh lý……… 15

2.3 M t s tr ng h p đ c bi t……… 19

2.3.1 X p x b ng đa th c b c không……… 20

2.3.2 X p x b ng đa th c b c nh t……… 20

2.4 Ví d ……… 21

Ch ng 3 X p x t t nh t trong không gian Hilbert……… 27

3.1 B t đ ng th c Bessel và đ ng th c Parseval……… 27

3.2 X p x t t nh t trong không gian Hilbert……… 29

3.2.1 Bài toán……… 29

3.2.2 Các đ nh lí……… 29

3.3 X p x t t nh t trong L a b2 , ……… 33

3.3.1 X p x b ng đa th c đ i s ……… 33

3.3.2 X p x b ng đa th c tr c giao……… 34

3.3.3 X p x trung bình ph ng b ng h tr c giao hàm cho b ng b ng……… 37

3.4 Ví d ……… 40

K t lu n……… 46

Tài li u tham kh o……… 47

M đ u

1 Lý do chon đ tài

Gi i tích s hay còn g i là ph ng pháp s , ph ng pháp tính, toán h c tính toán, là m t khoa h c nghiên c u cách gi i g n đúng, ch y u là gi i s ,

gi i ph ng trình, gi i các bài toán x p x hàm s và các bài toán t i u

Các bài toán x p x hàm s là m t trong nh ng nhi m v chính c a gi i tích s , b ng vi c thay m t hàm có d ng ph c t p ho c m t hàm d i d ng

b ng b ng nh ng hàm s đ n gi n h n v i sai s nh

M t b ph n nh c a x p x hàm là x p x đ u t t nh t có th áp d ng

đ gi i m t s bài toán tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a m t hàm s hay

m t bi u th c nào đó th ng đ c p trong nh ng k thi tuy n sinh vào các

tr ng đ i h c, cao đ ng, trung c p d y ngh

D i s h ng d n c a th y giáo Nguy n V n Hùng và nh n th c

trên, tôi xin m nh d n nghiên c u đ tài :

“ X P X U T T NH T”

C th đây tôi nghiên c u hai v n đ

1 Nghiên c u x p x đ u t t nh t trong không gian tuy n tính đ nh chu n

2 Nghiên c u x p x đ u t t nh t trong không gian Hilbert

ây là đ tài có ph m vi quy mô nh trong ngành gi i tích toán h c

V i hy v ng s làm sáng t thêm v lý thuy t x p x hàm Khoá lu n c a tôi

g m ba ph n: L i nói đ u, n i dung, k t lu n

Do th i gian và n ng l c có h n nên khoá lu n c a tôi khó tránh kh i

nh ng thi u sót Vì v y tôi r t mong nh n đ c các ý ki n đóng góp c a các

th y giáo, cô giáo và các b n sinh viên

2 M c đích nghiên c u

tài nghiên c u “x p x đ u t t nh t” nh m tìm hi u các bài toán

trong không gian đ nh chu n và không gian Hilbert

Khi đó X, là không gian tuy n tính

nh ngh a 1.1.2 Cho h n véct x , ,1 xn trong không gian tuy n tính

nh ngh a 1.2.1.1 Gi s Xlà m t không gian tuy n tính trên R ánh

x : X  xác đ nh trên R X l y giá tr trên t p s th c: x  ,R xX

nh ngh a 1.2.1.2 Hai 1,  2cùng xác đ nh trong không gian tuy n

tính X g i là t ng đ ng, n u t n t i hai h ng s c1,c2 0 sao cho:

khi đó

2 1 1 2

1 1

x

xxx

xx

1 1

1 1

  Khi đó  là m t chu n trên Lp 0,1

1.3 không gian hilbert

1.3.1 Các đ nh ngh a

nh ngh a 1.3.1.1 Hàm s , đ a m i c p yx, trong không gian

tuy n tính H vào R g i là tích vô h ng c a yx, , kí hi u là x,y n u nó

Không gian Hilbert là không gian ti n Hilbert đ

M i không gian có tích vô h ng là không gian đ nh chu n, v i chu n

2

, xx

e là h tr c chu n trong không gian Hilbert V i m i x , H

ta l p t ng Fourier 



 ni i i

tích trên  a,b sao cho

    

ba

dttxt

p 2Trong đó p t là hàm tr ng (p t th ng đ c ch n tho mãn các đi u

ki n xác đ nh và kh tích trên  a,b , p t 0 trên  a,b và p t 0 ch trên

m t t p có đ đo 0) Ta trang b trên L2 a,b m t tích vô h ng b ng cách đ t

v i x   t ,yt L2 a,b thì  b      

a

dttytxtpy

x

xe



tdte

x nên y2 x2 t,t 1,1

V y

3

23

1

2 1 1

3 2

1 1

yey

Quá trình c ti p t c nh v y, ta s đ c m t h tr c chu n  e Tuy i

nhiên do ta ch quan tâm đ n tính tr c giao c a h nên có th nhân m i e i v i

2.1 X p x t t nh t trong không gian tuy n tính đ nh chu n

2.1.1 Bài toán

Cho X là không gian tuy n tính đ nh chu n, X 0 là không gian con h u

h n chi u c a X và x là m t ph n t c đ nh Tìm ph n t X x0X0 sao cho

nh lý 2.1.2.1 Bài toán x p x t t nh t trong không gian tuy n tính

đ nh chu n luôn có nghi m

X nên   sao cho x0  0 inf   inf

Trong không gian tuy n tính đ nh chu n l i th c s thì x p x t t nh t

2.2 X P X U T T NH T TRONG KHỌNG GIAN tuy n tính NH CHU N C ,b

Nh v y đa th c Q  P Pn đ i d u n 2 l n nên có ít nh t n 1nghi m, suy ra Q P

   

 

  1      1

2 1 ,

sup

n n

sup

n n

là đa th c n i suy c a hàm f v i các m c n i suy   1

afbfcacfafa

0

53

212

115

152

12

C

B

53



Ví d 3 Tìm đa th c b c nh t x p x đ u t t nh t   3

xx

f  trên  1,1

Gi i

Vì   3

xx

f  là hàm l nên đa th c x p x đ u t t nh t b c nh t và b c hai trùng nhau a th c x p x t t nh t b c nh t c a f là

f  và P 1 là t p h p các đa th c sinh b i hai ph n t

 1,x Ta ph i tìm đa th c b c nh t Q x axb sao cho

  x ax b f x Q xf

Vì r ng   2

xx

V y   2

xx

f  có đa th c x p x đ u t t nh t b c không trên  1,1 là

Gi i

N u coi r ng    2

2 3

,,1

xx

Nh v y bài toán đ c hi u là tìm x p x đ u t t nh t Q x  P2 c a hàm s   3

xx

f  Vì r ng   3

xx

trong đó T  x 1;T x x;T  x 2x 1;T  x 4x3 3x

3 2

2 1

Do v y  

4

3xx

f x

x suy ra   1

12

c suy ra

14

Ví d 8 Tìm đa th c b c không quá 4 x p x đ u t t nh t hàm

e là h tr c chu n và đ y đ trong không gian Hilbert H T c

n

SxN

n

1

2 2

2 2

2

,20

Nnx

iec

n k

k k

eS

Khi n , ta có k x S e  , k   ck S  S en, k   ck Sn S e , k

n n i

iecS

2 2 i

Sx

1

2 2

M nh đ 3.1.2 H véct  n

i i

e 1 đ c l p tuy n tính khi và ch khi đ nh

e 1 ph thu c tuy n tính thì tìm đ c i i 1,n không

đ ng th i b ng không sao cho  

 n i i

e 1 là c s c a H0 Khi đó 



 ni i

iech

e

n i

j i

e 1 đ c l p tuy n tính nên Ge1,e2, ,en0, suy ra ph ng trình đ i s tuy n tính có nghi m duy nh t c i i1,n

Nh v y đ tìm x p x t t nh t 



 ni i

iech

hx

e 1 tr c giao

ij i j

e

ex

Còn ph ng sai ntính theo công th c

2 0 2 0

2

hh

x

x    h0H0;xh0 H0

x c Do đó cho n  thì  n 0Suy ra n 0n  

2 Tr ng h p h  n

i i

e 1 là c s b t k c a H 0

2 2

eeeG

xeeeG

, ,,

,, ,,

2 1

2 1

2 

  3.5

Nói riêng, n u h  n

i i

e 1 đ c l p tuy n tính thì Ge1,e2, ,en0

Th t v y, v i n1   2

1 1 1

i n

eeeG

eeeGe

Spane

d

, ,,

, ,,,

2 1

1 2

1 1

d và Ge1,e2, ,en0 theo gi thi t qui n p,

x đ c l p tuy n tính trên  a,b G i P n là t p h p t t c các đa th c b c không quá n Rõ ràng là    i n

Q P a

n

n n

n n

mc

sc

scs

mcsc

scs

mc

sc

scs

2 1

1 0

1 1

1 2 0 1

0 1

1 0 0

2 0

2

1 1 1

0 0

n

n

n n n

n n

n

ss

ss

fmm

mss

mss

mss

1 Hai h đa th c tr c giao ch khác nhau nh ng th a s h ng s

2 S nghi m th c c a đa th c tr c giao Qn x trên  a,b đúng b ng n

3 Nghi m c a Qn 1  x và Qn x xen k l n nhau

4 M i đa th c tr c giao Qn x th a mãn công th c truy h i sau

   ,    1, 1  0

1 1 , Q  x  a xQ x a  Q  x 

3.3.2.1 a th c Legendre

 x 1;a1;b1p

3 3

1

3 1 ; 2

1

2 2

2

12

2

n k

k n

kdx

xfdxxpxf

2 1 1

2

n

ndx

x

xT

0 1 2

1

21

n x n n

x

edx

dex

H

ba

exp

1 2

!2

2



ndx

xHe

    



 ni

i i

2

!2

k k n

1

2 2 2

0 2

2 2

Nh ta đã bi t, chu i Fourier h i t trong L2p a,b N u  1

,b a

l ch nh nh t xác đ nh b i công th c

2 0

,

m

i m

n i

k n j

Xét tr ng h p n ch n, n2k i bi n

h

xx

m j

i j j

i v

2 0

0, 20,

v k i

i v v v

ch t s2i1 0i0,m Các h s s2i ch ph thu c vào n

Trong tr ng h p mn, đa th c bình ph ng t i thi u trùng v i đa

th c n i suy Th t v y

Gi s p là đa th c n i suy, Q là đa th c bình ph ng nh nh t

degpn;degQn  c a hàm f x t i các m c phân bi t  n

i i

x 0 khi đó

   

1 2 2 0

f hay Q xi  f   xi  p xi i0,n Suy ra Q P

3.4 Ví d

Ví d 1 X p x trung bình ph ng hàm   3

xx

i

i

ixx

11

1 1

1 1

kk

dxxs

x i i

k k

28

,2

7779,23

2,12

4739,23

2,12

2819,73

26

3 3

1

2 2

0

1 3

1

0 2

0

mmmm

;9944,

;1000,

Cách 2 Tìm đa th c x p x t t nh t d i d ng     



 30 3

i i

iL xcx

3 3

1 0

2336,06576,00968,19945,0

09345,

0

;4284,0

;2371,1

;2137,1

xx

xx

Q

cc

cc

S d ng đa th c đ i s th ng d n đ n h đ i s tuy n tính v i đi u ki n

x u, nghi m không n đ nh v i các sai s làm tròn Tính toán v i các đa th c

tr c giao n đ nh h n c bi t, n u thêm s h ng, dùng đa th c tr c giao không ph i tính l i t đ u

Ví d 2 X p x trung bình ph ng hàm f x  trên đo n x  1,1 b ng

đa th c b c 5

Gi i

Vì f x là hàm ch n nên f   x Li x là hàm ch n (l ) n u i ch n (l ), do

đó

       

    02

24

142

14

1 1

1 2 1

2

1 0 2 1

1

2 2

kc

dxxxLk

dxxLxf

kc

k k

k k

k

Ta có

8

52

135

;2

0

2 2

1 0

0 xdx c  x x  dx

c

16

38

330

359

1 0

2 4

33035

16

32

138

52

2 4



C

f nên chu i Fourier c a hàm f theo đa th c Chebysev h i

t đ u có khai tri n Fourier theo đa th c Chebysev c a hàm f x , tr c

cos

~Re

n

n

nn

a

az

aaz

azf

cos21

    

irre

21ln2

1ln

~Re

n

n

nn

aa

ar

n n

n n

n k

k k

32

116

92



46

22

46

22

4 6

5 6

6 5

43

12

146

22

6 5

f

20101

n

n n

azz

az

fi

cos1

n

n n

zaf

aa

n

n

RSxTx

101

K t lu n tài “x p x đ u t t nh t” đã tìm hi u các bài toán x p x trong

không gian tuy n tính đ nh chu n và không gian Hilbert, đ ng th i đ a ra

đ c m t s ví d áp d ng x p x đ u t t nh t cho các bài toán tìm giá tr l n

nh t và giá tr nh nh t c a hàm s

Tuy nhiên do th i gian và n ng l c có h n nên tôi không tránh kh i

nh ng thi u sót Tôi r t mong nh n đ c s đóng góp c a các b n đ c đ đ tài đ c hoàn thi n h n