Từ việc nghiên cứu các bài toán được trình bày một cách cụ thể, luận văn xây dựng lời giải tổng quát cho các bài toán đó dựa trên lí thuyết xấp xỉ đều tốt nhất bằng đa thức bậc không và bậc nhất cùng với lời giải sơ cấp tương ứng. Đây chính là yếu tố góp phần ảnh hưởng đến sự hình thành và phát triển năng lực giải toán đối với học sinh, đồng thời góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh.
Trang 1NGUYỄN THỊ THANH THẢO
Trang 2ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
Người hướng dẫn khoa học:TS LÊ HẢI TRUNG
Phản biện 1: TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN
Phản biện 2: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU
Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 12 và 13 tháng 12 năm 2015.
Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
Trang 3MỞ ĐẦU
1 Lý do lựa chọn đề tài
Cùng với sự phát triển của khoa học và kỹ thuật, lí thuyết xấp xỉ đều tốtnhất là một trong những lĩnh vực đang nhận được sự quan tâm trong toán họchiện đại, nó có vai trò đặc biệt quan trọng trong toán lí thuyết cũng như trongtoán ứng dụng Đối với toán sơ cấp, bằng việc ứng dụng lí thuyết xấp xỉ đều tốtnhất sẽ cho ta lời giải của bài toán tìm cực trị và một số dạng toán khác.Nhằm đem lại một hướng giải quyết trong giải một số dạng Toán ở bậc trunghọc phổ thông (THPT), xây dựng một tài liệu tham khảo trong việc bồi dưỡnghọc sinh khá, giỏi, xử lý một số dạng toán trong nội dung thi đại học, cao đẳngnhững năm gần đây, mong muốn tìm hiểu về lí thuyết xấp xỉ đều và ứng dụngtrong việc giải một số dạng toán sơ cấp và được sự gợi ý của người hướng dẫnkhoa học, thầy giáo – TS Lê Hải Trung, tác giả đã chọn đề tài “Lí thuyết xấp
xỉ đều tốt nhất và ứng dụng" cho luận văn thạc sĩ khoa học của mình
2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu lí thuyết xấp xỉ đều tốt nhất trong không gian Banach, trongkhông gian C[a;b], xấp xỉ bằng đa thức bậc không, xấp xỉ bằng đa thức bậc nhất
và một số ứng dụng trong Toán sơ cấp
4 Nhiệm vụ nghiên cứu
Đọc và nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài, một số khái niệm và kếtquả của giải tích hàm, nghiên cứu cách giải quyết bài toán cực trị dựa vào líthuyết xấp xỉ đều tốt nhất và lời giải sơ cấp
5 Phương pháp và cách tiếp cận nghiên cứu
Trong phạm vi của đề tài có sử dụng kiến thức thuộc các lĩnh vực: Giải tíchhàm, Lý thuyết Phương trình vi phân, Giải tích
Phương pháp được giới thiệu trong đề tài sẽ đưa ra việc vận dụng một số ứngdụng của lí thuyết xấp xỉ đều tốt nhất để giải các bài toán sơ cấp có bản chất
Trang 4học phổ thông.
6 Tính mới và sáng tạo
Bên cạnh những lời giải sơ cấp tương ứng, Tác giả đã xây dựng được lời giảitổng quát nhất cho các bài toán thường gặp dựa trên lí thuyêt xấp xỉ đều tốtnhất bằng đa thức bậc không và bậc nhất
Giúp giáo viên có định hướng ra một lớp các bài toán sơ cấp cho học sinhkhá giỏi bằng cách lựa chọn hàm số f (x) cũng như đoạn [a; b] sao cho quá trìnhtính toán không quá cồng kềnh
7 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề tài có giá trị về mặt lí thuyết Có thể sử dụng luận văn như là tài liệutham khảo để góp phần dạy tốt môn Giải tích ở trường THPT, làm tài liệu thamkhảo dành cho sinh viên ngành toán và các đối tượng quan tâm đến lí thuyếtxấp xỉ đều tốt nhất
8 Cấu trúc của luận văn
Luận văn bao gồm:
Phần mở đầu
Chương 1: Không gian metric, không gian tuyến tính, không gian định chuẩn
và không gian Banach
Chương 2: Lí thuyết xấp xỉ đều tốt nhất
Chương 3: Ứng dụng lí thuyết xấp xỉ đều tốt nhất vào giải toán cực trị.Phần kết luận
Tài liệu tham khảo
Quyết định giao đề tài luận văn Thạc sĩ (bản sao)
Trang 5CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này tác giả trình bày một số kiến thức cơ bản về không gianmetric, không gian tuyến tính, không gian định chuẩn và không gian Banach.Các kiến thức chuyên sâu trong chương 1 có thể xem tại các tài liệu [2], [6], [9]
và các tài liệu phổ biến dành cho bậc đại học hoặc cao hơn
1.1 KHÔNG GIAN METRIC
Định nghĩa 1.1.1.([1]) (Không gian metric và hàm khoảng cách)
Ví dụ 1.1.1 Với hai phần tử x, y ∈ R, đặt d(x, y) = |ex− ey|
Khi đó d là một metric trên R
Định nghĩa 1.1.2.([1], [5]) (Giới hạn của dãy)
Định nghĩa 1.1.3.([1], [5]) (Dãy Cauchy)
Định nghĩa 1.1.4.([1]) (Không gian metric đầy đủ)
Ví dụ 1.1.2 Cho X = {x = {xn} |xn ∈ R, ∀n ∈ N∗, xn → 0}
∀x = (xn), y = (yn) ∈ X Đặt d(x, y) = max
n∈N ∗|xn − yn|,khi đó d là một metric đầy đủ trên X
Ví dụ 1.1.3 Với hai phần tử x, y ∈ R, đặt d(x, y) = |arctan x − arctan y|,khi đó
1 d là một metric trên R
2 d không là metric đầy đủ
1.2 KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH
Định nghĩa 1.2.1.([5], [10]) (Định nghĩa không gian tuyến tính)
Ví dụ 1.2.1 Cho tập X = Rn =x = (x1, x2, , xn)/xi∈ R, i = 1, n
∀x = (xi)ni=1, ∀y = (yi)ni=1 ∈ Rn, ∀α ∈ R
Đưa vào hai phép toán (+) cộng hai phần tử và (.) nhân một phần tử vớimột số như sau:
1 x + y = (xi+ yi)ni=1
2 α.x = (αxi)ni=1
Khi đó X cùng với hai phép toán trên là một không gian tuyến tính
Trang 6Ví dụ 1.2.3 C[a;b] = {f : [a; b] −→ R}, trong đó f là hàm liên tục trên [a; b].Với hai phép toán
(+) ∀f, g ⊂ [a; b], f + g : [a; b] −→ R Được định nghĩa bởi (f + g)(x) =
f (x) + g(x), ∀x ∈ [a; b]
(.)λf : [a; b] −→ R Được định nghĩa bởi (λf )(x) = λ.f (x), ∀λ ∈ R
Khi đó C[a;b] cùng với hai phép toán trên là một không gian tuyến tính
Ví dụ 1.2.4 Kí hiệu L2[a; b] = nf : [a; b] −→ R|Rabf2(x)dx < ∞o
Trang bị cho L2[a; b] hai phép toán sau:
(+) ∀f, g ∈ L2[a; b] thì (f + g)(x) = f (x) + g(x), ∀x ∈ [a; b]
(.) ∀λ ∈ R, f ∈ L2[a; b] thì (λf )(x) = λ.f (x), ∀x ∈ [a; b]
Khi đó L2[a; b] là một không gian tuyến tính
1.3 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN VÀ KHÔNG GIAN BANACH
Định nghĩa 1.3.1.([1], [10]) (Định nghĩa không gian định chuẩn)
Định lý 1.3.1.([1], [10])
Định nghĩa 1.3.2.([1], [5], [10]) (Dãy hội tụ)
Định nghĩa 1.3.3.([1], [5], [10]) (Dãy Cauchy)
Định nghĩa 1.3.4.([1], [5], [10]) (Không gian Banach)
Ví dụ 1.3.1 Không gian vectơ Euclide n chiều Rn là không gian định chuẩnvới chuẩn x được xác định bởi công thức sau:
Trang 7CHƯƠNG 2
LÍ THUYẾT XẤP XỈ ĐỀU TỐT NHẤT
Trong chương này tác giả trình bày những kết quả quan trọng về lí thuyết xấp
xỉ đều tốt nhất như: sự tồn tại của xấp xỉ tốt nhất trong không gian Banach, xấp
xỉ đều tốt nhất trong không gian C[a;b], một số trường hợp đặc biệt như: xấp xỉbằng đa thức bậc không hay xấp xỉ bằng đa thức bậc nhất và ý nghĩa hình học củaxấp xỉ bởi đa thức bậc nhất Các kiến thức trong chương này có thể xem thêmtại các tài liệu [1], [4], [9], [10] và các tài liệu phổ biến dành cho bậc đại họchoặc cao hơn
2.1 ĐẶT BÀI TOÁN
Cho hàm số f ∈ C[a,b] Gọi Gn là tập hợp các đa thức có bậc không quá ntrên [a, b] Ta phải tìm đa thức g ∈ Gn có độ lệch nhỏ nhất so với f trên [a, b],tức là:
t∈[a,b]
|ϕ(t)|, ϕ ∈ C[a,b], thì bài toán (2.4)
có dạng như sau: Tìm g ∈ Gn sao cho
2.2 LÍ THUYẾT XẤP XỈ TỐT NHẤT TRONG KHÔNG GIAN BANACH
Cho X là không gian Banach và X1 là không gian con hữu hạn chiều của X.Với mỗi x ∈ X cho trước, hãy tìm x1 ∈ X1 sao cho:
k x1− x k= d(x, X1) = inf
u∈X1 k u − x k (2.6)phần tử x1 nếu tồn tại được gọi là xấp xỉ tốt nhất của x trong X1
Định lý 2.2.1.([10]) (Điều kiện để bài toán (2.6) luôn có nghiệm.)
Trang 8Định nghĩa 2.2.1.([1], [10] (Không gian tuyến tính định chuẩn lồi chặt)Định lý 2.2.2.([1], [10]) Trong không gian Banach lồi chặt, tồn tại duy nhấtxấp xỉ tốt nhất.
2.3 LÍ THUYẾT XẤP XỈ ĐỀU TỐT NHẤT TRONG KHÔNG GIAN C[a;b]
Xét X = C[a,b] là không gian các hàm thực và liên tục trên đoạn [a, b] X1 =
Trang 9Định lý 2.3.1.([10]) (Valleé - Poussin) Giả sử f ∈ C[a;b] và q ∈ Gn Nếu
∃ (n + 2) điểm phân biệt a ≤ x0 < x1 < < xn+1 ≤ b sao cho f (xi) − q(xi) lầnlượt đổi dấu, nghĩa là:
Sign{(−1)i[f (xi) − q(xi)]} = const, i = 0, n + 1thì
En(f ) ≥ µ := min
i=0,n+1
|f (xi) − q(xi)| Chứng minh
Trang 10Chứng minh Giả sử p, q ∈ Gn là xấp xỉ đều tốt nhất của f trên [a; b] Khi
đó p+q2 ∈ X1 là xấp xỉ đều tốt nhất của f trên [a; b] vì:
p(xi) + q(xi)
2 − f (xi)
Suy ra g(−x) cũng là đa thức xấp xỉ tốt nhất của f
Do tính duy nhất của xấp xỉ đều tốt nhất ta được g(−x) = g(x) ∀x ∈ [−1; 1].Vậy g(x) ∈ Gn là hàm chẵn
2 Giả sử f là hàm lẻ và g(x) ∈ Gn là xấp xỉ đều tốt nhất của nó
∀x ∈ [−1; 1] thì |f (xi) − g(xi)| ≤ En(f ) Thay x bởi −x, ta có:
|f (−x) − g(−x)| = |−f (x) − g(−x)| = |f (x) − (−g(−x))| ≤ En(f ), ∀x ∈ [−1; 1].Suy ra −g(−x) cũng là đa thức xấp xỉ tốt nhất của f
Do tính duy nhất của xấp xỉ đều tốt nhất ta được −g(−x) = g(x) ∀x ∈ [−1; 1].Hay g(−x) = −g(x)∀x ∈ [−1; 1] Vậy g(x) ∈ Gn là hàm lẻ
Trang 11f (x2) − q(x2) = m − M + m
2 = −
M − m2Vậy k f − q k= M −m2 và x1, x2 là hai điểm Chebyshev
2.4.2 Xấp xỉ bằng đa thức bậc nhất
Định lý 2.4.2.([10]) Cho f (x) là hàm lồi trơn trên [a; b], nếu f (x) là hàmtuyến tính thì đa thức xấp xỉ đều tốt nhất bậc nhất q(x) ≡ f (x)
Chứng minh Xét f (x) không phải là hàm tuyến tính
Khi đó, gọi q(x) = a0+ a1x là đa thức xấp xỉ đều tốt nhất của f trên [a; b]
Ta có: f (x) − (a0+ a1x) cũng là hàm lồi, nên đạt cực trị tại một điểm trong duynhất thuộc c ∈ [a; b]
Theo định lí Chebyshev, tồn tại 3 điểm luân phiên Chebyshev Tại đó | f (x)−(a0+ a1x) | đạt cực đại, do đó 2 điểm Chebyshev còn lại phải là a và b, ta có:
Trang 12Nếu f khả vi thì điểm c tìm từ điều kiện f0(c) = a Từ (2.8) và(2.9) ta được:
Nối 2 điểm A(a; f (a)), B(b; f (b)) bằng đoạn thẳng AB có phương trình là:
AB : y = a1(x − a) + f (a) = a1x + f (a) − aa1
Kẻ tiếp tuyến song song với AB là CD có phương trình:
CD : y = a1(x − c) + f (c) = a1x + f (c) − ca1Đường cần tìm là đường trung bình của hai đường AB và CD, có phươngtrình là:
y = a1x + a0với
Trang 13Vậy đa thức xấp xỉ đều tốt nhất của hàm số f (x) = |x| trên đoạn [−1; 2] là:
y = a1x + a0 ⇒ y = 1
3x +
23
⇒ phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B có dạng: y = 1−ee x + 1.Tìm điểm C(c; f (c)) trong đó f0(c) = a2 = 1−ee
Ta có: f0(t) = −e−t ⇒ f0(c) = −e−c ⇔ −e−c = 1−ee ⇔ e−c = e−1e
⇔ e1−c = e − 1 ⇔ 1 − c = ln(e − 1) ⇔ c = 1 − ln(e − 1)
⇒ phương trình tiếp tuyến với đường cong f (t) tại C(1 − ln(e − 1);e−1
e ) códạng:
y = 1−ee (t − c) + f (c) ⇒ y = 1−ee (t + ln(e − 1) − 1) +e−1e ⇒ y = 1−ee t + 2e−1e +
Trang 14CHƯƠNG 3
ỨNG DỤNG LÍ THUYẾT XẤP XỈ
ĐỀU TỐT NHẤT VÀO GIẢI TOÁN CỰC TRỊ
Trong chương này, tác giả trình bày phương pháp giải của bài toán cực trịbằng cách dựa trên lí thuyết xấp xỉ đều tốt nhất bên cạnh lời giải sơ cấp tươngứng Nêu và giải một số ví dụ áp dụng, đề xuất ra các bài toán tương tự Cáckiến thức trong chương này có thể xem thêm tại các tài liệu [6], [7], [10], [12]
và các tài liệu phổ biến dành cho bậc đại học hoặc cao hơn
3.1 ỨNG DỤNG XẤP XỈ BẰNG ĐA THỨC BẬC KHÔNG CHO BÀI TOÁN CỰC TRỊ
3.1.1 Bài toán
Cho hàm số f (x) liên tục trên [a; b] Tìm c sao cho max
x∈[a;b]|f (x) − c| đạtgiá trị nhỏ nhất
3.1.2 Phương pháp giải: Dựa trên lí thuyết xấp xỉ đều tốt nhấtBước 1: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số
(c chính là đa thức xấp xỉ đều tốt nhất bậc không của hàm số f (x) trên [a; b]).Khi đó GTNN đạt được là:
max
x∈[a;b]
f (x) − M +m2 3.1.3 Lời giải sơ cấp
Bước 1: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số
f (x) trên [a; b]
Trang 15Bước 4: Kết luận: Với c = M +m2 thì max
x∈[a;b]
|f (x) − c| đạt min và GTNN đạtđược bằng : M −m2
Nhận xét 3.1
1 Để tìm GTLN - GTNN của hàm số f (x) trên [a; b], ta có thể sử dụngtính đơn điệu (nếu có), dựa vào đồ thị hay khảo sát sự biến thiên của hàm số
f (x)
2 Ở bước 2: Đối với học sinh phổ thông, có thể giải thích bằng việc vẽ
đồ thị, một kết quả hiển nhiên của giải tích là: Ảnh liên tục của [a; b] là [m; M ]với M = max
Thử lại: Với c = M +m2 thì max
x∈[a;b]|f (x) − c| = M −m2 Điều này sẽ xảy ra nếu ta sử dụng kết quả sau:
|X − c| ≤ max
∀X∈[m;M ]{|m − c| , |M − c|} (3.1)(3.1) đúng với mọi c Thật vậy, lấy X bất kì ∈ [m; M ], Ta có:
m ≤ X ≤ M ⇒ m − c ≤ X − c ≤ M − c
Nếu X − c < 0, khi đó m − c ≤ X − c ≤ 0, suy ra |X − c| < |m − c|
Trang 16Nếu X − c ≥ 0, khi đó 0 ≤ X − c ≤ M − c, suy ra |X − c| ≤ |M − c|.
Từ (2) và (3) ta tìm được c, do vậy với c tìm được thì (2) và (3) thỏa mãn,nên việc kiểm tra (1) là cần thiết
3.2 ỨNG DỤNG XẤP XỈ BẰNG ĐA THỨC BẬC NHẤT CHO BÀI TOÁN CỰC TRỊ
Bước 2: Lập phương trình tiếp tuyến 4 của đồ thị hàm số y = f (x) tại tọa
độ tiếp điểm C(c, f (c)) và song song với AB Khi đó 4 có dạng:
y = kx + n
Trang 17Bước 3: Đường thẳng cần tìm là đường thẳng song và cách đều hai đườngthẳng AB và 4 là:
y = kx + m+n2 Bước 4: Kết luận c = k, d = m+n2
Khi đó GTNN đạt được là:
M0 = = f (b) − [kb + m+n2 ] Nhận xét 3.2
1 Cần kiểm tra f (x) có lồi (lõm) trên [a; b] hay không
2 Với giá trị a, b cần tìm thì |g(x0)| = |g(a)| = |g(b)| = M0 Đồng thời
ta thấy chỉ có thể xãy ra 1 trong 2 trường hợp sau:
i Nếu f là hàm lồi thì g(x0) = M0; g(a) = g(b) = −M0
ii Nếu f là hàm lõm thì g(x0) = −M0; g(a) = g(b) = M0
Hình 3.1: Đồ thị hàm lồi
Hình 3.2: Đồ thị hàm lõm
Trang 183.2.3 Lời giải sơ cấp
2 Tuy nhiên việc lựa chọn hàm số f (x) cũng như đoạn [a; b] không đơngiản Vì vậy, ta có thể ghi nhớ rằng:
i Đối với xấp xỉ bằng đa thức bậc không thì hàm số f (x) phải liêntục trên [a; b]
ii Đối với xấp xỉ bằng đa thức bậc nhất thì hàm số f (x) phải liêntục, lồi (hay lõm) trên [a; b]
3.3 MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 3.3.1
Ví dụ 3.3.2
Trang 19Ví dụ 3.3.3 Cho hàm số y = f (x) = log23x +
qlog23x + 1 − 2a − 1
⇒ f (t) = t2+ t − 2 − 2a Ta có: 1 ≤ x ≤ 3
√
3 ⇔ 1 ≤ t ≤ 2Bài toán trở thành tìm a để max
Cách 2: Giải bằng toán sơ cấp
+ Bước 1: Trước tiên ta đi tìm GTLN - GTNN của hàm số g(t) = t2+ t − 2trên
[1; 2] Theo kết quả ở trên, ta được:
M = max
t∈[1;2]g(t) = 4, m = min
t∈[1;2]g(t) = 0+ Bước 2: Đặt X = t2+ t − 2 ⇒ X ∈ [0; 4]
Trang 20Thử lại: Ta đi kiểm tra với a = 1 thì max
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên , ta được: max
t∈[1;2]
|q(t)| = 2Vậy: với a = 1 thì GTLN của hàm số y = |f (t)| = t2+ t − 2 − 2a trên [1; 2]đạt GTNN và giá trị đó bằng 2
qlog23x + 1 − 2a − 1
đạt GTNN và GTNNbằng 2
x2−x+2 x+1 − a ... 3
ỨNG DỤNG LÍ THUYẾT XẤP XỈ
ĐỀU TỐT NHẤT VÀO GIẢI TOÁN CỰC TRỊ
Trong chương này, tác giả trình bày phương pháp giải tốn cực trịbằng cách dựa lí thuyết xấp xỉ tốt. ..
Suy g(−x) đa thức xấp xỉ tốt f
Do tính xấp xỉ tốt ta g(−x) = g(x) ∀x ∈ [−1; 1].Vậy g(x) ∈ Gn hàm chẵn
2 Giả sử f hàm lẻ g(x) ∈ Gn xấp xỉ tốt
∀x ∈ [−1;... trị nhỏ
3.1.2 Phương pháp giải: Dựa lí thuyết xấp xỉ tốt nhấtBước 1: Tìm giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) hàm số
(c đa thức xấp xỉ tốt bậc không hàm số f (x) [a; b]).Khi GTNN