Luận văn sư phạm Phép biến đổi Laplace và ứng dụng

Chú ý: Bài toán Cauchy không ph i bao gi c ng có nghi m... Ph ng trình này có nghi m t ng quát là:... Nói chung bài toán Cauchy không ph i bao gi c ng có nghi m, ho c có nghi m nh ng ngh

Trang 1

Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán 1

Trang 2

1.Lý do ch n đ tài:

Phép bi n đ i Laplace là m t trong các phép bi n đ i tích phân Lý thuy t bi n đ i tích phân ban đ u đ c áp d ng đ gi i ph ng trình vi phân

th ng, ph ng trình vi phân đ o hàm riêng Ph ng trình vi phân là môt

l nh v c c a toán h c c b n, v a mang tính lý thuy t, v a mang tính ng

d ng r ng rãi Thông th ng các bài toán ph ng trình vi phân đ c rút ra t các v n đ trong th c t và sau đó ng i ta tìm ra nó có nhi u ng d ng trong nhi u l nh v c khác nh trong V t lý, K thu t, X lý tín hi u, Xác su t…

Các sách tham kh o dành cho sinh viên nghiên c u s d ng phép bi n đ i Laplace vào ph ng trình và h ph ng trình vi phân ch a có nhi u B i v y

vi c nghiên c u phép bi n đ i này là r t c n thi t đ i v i m i sinh viên

Trang 3

Ch ng I : M t s khái ni m và k t qu chu n b

Ch ng II : Phép bi n đ i Laplace

Ch ng III : ng d ng c a phép bi n đ i Laplace

Trang 4

N I DUNG

CH NG I: M T S KHÁI NI M VÀ K T QU CHU N B

1.1 S L C V GI I TÍCH PH C 1.1.1 Hàm bi n ph c

Trang 5

Trang 6

Trang 7

V i gi thi t đã cho v hàm s và v đ ng cong , ta luôn có:

trong đó ph n th c và ph n o c a v ph i (1.1.1) là các tích phân đ ng lo i

2 l y trên theo h ng t a đ n b

- Khi là đ ng cong kh tr ng và đóng thì (1.1.1) có ngh a là tích

phân đ c l y theo h ng d ng (h ng mà khi chuy n đ ng trên L, mi n

h u h n gi i h n b i L luôn n m bên trái)

Nh v y, khi tính tích phân ph c ta có th áp d ng công th c (1.1.1) và khi

tính các tích phân đ ng lo i 2 t ng ng ta s d ng các ph ng pháp đã

bi t

- N u L là đ ng cong tr n, có ph ng trình d ng tham s :

Thì ta có công th c:

là tích phân xác đ nh trên c a hàm s bi n s th c nh n giá tr ph c

1.1.3.2.1 nh lý tích phân Cauchy đ i v i mi n đ n liên

N u hàm s gi i tích trên mi n D đ n liên và L là đ ng cong

Jordan đóng, tr n t ng khúc n m trong D thì

1.1.3.2.2 nh lý tích phân Cauchy đ i v i mi n đa liên

Trang 8

N u D là mi n h u h n - liên v i biên g m m t s h u h n

các đ ng cong Jordan đóng, tr n t ng khúc sao cho các mi n đóng h u h n

gi i h n b i n m hoàn toàn trong mi n h u h n gi i h n b i

và đôi m t không giao nhau, hàm s gi i tích trên mi n đóng

, th thì:

1.1.3.2.3 Công th c tích phân Cauchy

N u D là mi n h u h n v i biên c a nó g m m t s h u h n đ ng

cong Jordan đóng, tr n t ng khúc, hàm s gi i tích trên ,

là đi m nào đó c a m t ph ng ph c không thu c Khi đó

nh ngh a tích phân lo i Cauchy:

Tích phân lo i Cauchy là hàm s đ n tr c a bi n z, d ng:

trong đó là đ ng cong Jordan (đóng ho c không đóng) tr n t ng khúc; f(t)

liên t c trên ; là đi m thu c m t ph ng ph c nh ng không thu c

c bi t, khi đ ng cong đóng, f(t) gi i tích trên mi n D h u h n gi i h n

b i và liên t c trên thì tích phân lo i Cauchy tr thành công

th c tích phân Cauchy:

1.1.3.2.4 nh lí tính ch t c a tích phân lo i Cauchy

Trang 9

V i m i thu c m t ph ng ph c và không thu c , tích phân lo i Cauchy là

hàm gi i tích, có đ o hàm m i c p và đ c tính theo công th c:

(n = 1,2,3,…)

Chú ý: Trong các đi u ki n c a công th c (1.1.2) công th c (1.1.3) tr thành:

1.1 4 LỦ thuy t chu i vƠ th ng d

Trang 10

trong đó các h s là duy nh t đ c tính theo công th c:

cong Jordan đóng, tr n t ng khúc n m hoàn toàn trong mi n gi i tích c a

sao cho trong mi n h u h n D v i biên không ch a đi m kì d cô l p nào

khác ngoài

Tích phân l y d c L theo h ng d ng đ c g i là th ng

d c a t i đi m kì d cô l p , kí hi u là:

Trang 11

Th ng d c a t i đi m kì d cô l p xác đ nh b i tích phân

l y d c đ ng tròn theo h ng d ng:

(R>0 đ l n)

1.1.4.2.2 Các đ nh lý v th ng d

 nh lý c b n v th ng d

trong đó gi i tích trên mi n (tr m t s h u h n đi m kì d cô l p

thu c ), liên t c trên

Trang 12

Trang 13

có vô s nghi m Quá trình tìm các nghi m c a ph ng trình (1.2.1) đ c g i

là s tích phân ph ng trình đó

N u t (1.2.1) ta gi i đ c ngh a là (1.2.1) có d ng:

thì (1.2.2) đ c g i là ph ng trình vi phân c p 1 đã gi i ra đ i v i đ o hàm

1.2.1.2 Bài toán Cauchy

Trong th c t ng i ta th ng không quan tâm đ n t t c các nghi m c a

ph ng trình mà ch chú ý đ n nh ng nghi m tho mãn đi u ki n nào đó

Ch ng h n đòi h i tìm nghi m c a ph ng trình (1.2.1) ho c ph ng

trình (1.2.2) tho mãn đi u ki n: ; trong đó là các giá

tr cho tr c

Bài toán đ t ra nh v y g i là bài toán Cauchy i u ki n (1.2.3) đ c

g i là đi u ki n ban đ u; là các giá tr ban đ u

Chú ý: Bài toán Cauchy không ph i bao gi c ng có nghi m

Ví d : Tìm nghi m c a ph ng trình

tho mãn đi u ki n ban đ u:

Ta d th y nghi m c a bài toán là hàm

Gi s trong mi n G c a m t ph ng (x, y) nghi m c a bài toán Cauchy

đ i v i ph ng trình (1.2.2) t n t i và duy nh t Hàm s :

đ c g i là nghi m t ng quát c a ph ng trình (1.2.2) trong G n u trong

mi n bi n thiên c a x và C nó có đ o hàm riêng liên t c theo x và tho mãn

Trang 14

ph ng trình (1.2.2) đ c cho d i d ng n:

thì nó đ c g i là tích phân t ng quát

Nghi m c a ph ng trình (1.2.2) mà t i m i đi m c a nó tính duy nh t

nghi m c a bài toán Cauchy đ c b o đ m đ c g i là nghi m riêng

Nghi m nh n đ c t nghi m t ng quát v i giá tr c th c a h ng s là

nghi m riêng

nghi m c a bài toán Cauchy b phá v đ c g i là nghi m k d

Nh v y nghi m nh n đ c t nghi m t ng quát v i giá tr c th c a h ng s

không th cho ta nghi m k d Nghi m k d có th nh n đ c t nghi m

t ng quát ch khi Ngoài ra chúng ta còn có nghi m h n h p t c là

nghi m bao g m m t ph n nghi m riêng và m t ph n nghi m k d

1.2.1.6 Ph ng trình vi phân

+) Ph ng trình vi phân tuy n tính thu n nh t c p 1:

Ph ng trình vi phân tuy n tính thu n nh t c p 1 có d ng

có nghi m t ng quát d ng:

ho c d i d ng Cauchy:

+) Ph ng trình vi phân tuy n tính không thu n nh t c p 1:

Ph ng trình vi phân tuy n tính không thu n nh t c p 1 có d ng:

có nghi m t ng quát d ng:

Trang 15

Nghi m c a ph ng trình (1.2.6) là hàm kh vi n l n trên kho ng

(a, b) sao cho:

a)

b) Nó nghi m đúng ph ng trình (1.2.6) trên (a, b)

Tìm nghi m c a ph ng trình (1.2.6) ho c (1.2.7) tho mãn đi u ki n

là các s cho tr c và đ c g i là các giá tr ban đ u

Ta gi thi t r ng là mi n t n t i và duy nh t nghi m c a ph ng trình

(1.2.7), t c là nghi m bài toán Cauchy t n t i và duy nh t đ i v i m i đi m

Trang 16

có t t c các đ o hàm riêng theo x liên t c đ n c p n đ c g i

là nghi m t ng quát c a ph ng trình (1.2.7) trong mi n n u trong t h

nghi m c a bài toán Cauchy đ c b o đ m đ c g i là nghi m riêng c a

Trang 17

ph ng trình (1.2.7) Nghi m nh n đ c t nghi m t ng quát v i các giá tr

xác đ nh c a các h ng s là nghi m riêng

nghi m c a bài toán Cauchy b phá v đ c g i là nghi m k d

Ph ng trình này có nghi m t ng quát là:

Trang 18

ban đ u

Nói chung bài toán Cauchy không ph i bao gi c ng có nghi m, ho c có

nghi m nh ng nghi m có th không duy nh t Tuy nhiên ng i ta đã ch ng

bài toán Cauchy luôn luôn có nghi m (đ nh lý Pêanô)

H n hàm kh vi liên t c theo x, ph thu c n h ng s tu ý

đ c g i là nghi m t ng quát c a h (1.2.11) trong mi n n u:

Trang 19

đ c g i là tích phân t ng quát c a h (1.2.11) trong mi n n u nó xác đ nh

nghi m t ng quát c a h (1.2.11) trong

Nghi m c a h (1.2.11) mà t i m i đi m c a nó tính duy nh t nghi m

c a bài toán Cauchy đ c b o đ m đ c g i là nghi m riêng Nghi m nh n

đ c t nghi m t ng quát v i các h ng s xác đ nh t (1.2.13) là

nghi m riêng

Nghi m c a h (1.2.11) mà t i m i đi m c a nó tính duy nh t nghi m

c a bài toán Cauchy b phá v đ c g i là nghi m k d

H ph ng trình vi phân tuy n tính không thu n nh t có d ng:

Trang 20

H ph ng trình vi phân tuy n tính thu n nh t có d ng:

CH NG II: PHÉP BI N I LAPLACE 2.1 BI N I LAPLACE THU N 2.1.1 nh ngh a vƠ ví d hƠm g c

Trang 21

có ngh a là đi u ki n (3) đ c th a mãn, đây coi

Ví d 3: Hàm s sau đây có ph i là hàm g c hay không?

Gi i:

i u ki n (1) và (2) rõ ràng đ c th a mãn i v i đi u ki n (3), ta chú

đây là m t đi u mâu thu n vì:

Ví d 4: Hàm:

là hàm g c Th t v y:

+ i u ki n (1), (2) rõ ràng đ c th a mãn

Trang 22

nên nh ng hàm nào không th a mãn đi u ki n này s không ph i

Trang 23

Trang 24

Trang 25

Trang 26

Ý ngh a:

Mu n tìm nh (ho c tìm g c) c a m t t ng g m nhi u s h ng ta ch c n tìm

nh (ho c tìm g c) c a t ng s h ng mà thôi

Ví d :

Bi n đ i Laplace c a m t s hàm thông d ng Trong ví d 2 c a 2.1.2 ta có:

T tính ch t tuy n tính và k t qu trên ta s tìm bi n đ i Laplace c a các hàm thông d ng sau:

Trang 27

Trang 28

Trang 29

Trang 30

Trang 31

+ Mu n tìm g c c a , tr c h t ta tìm g c c a là r i

theo tính ch m tr c a g c s tìm đ c g c c a hàm là Cho nên s có m t c a th a s không gây khó kh n cho vi c tìm g c

2.1.3.6 Tính ch t nh c a hàm tu n hoàn

N u khi , hàm g c là m t hàm tu n hoàn chu k thì hàm nh

c a nó s tính đ c theo công th c sau:

Trang 32

Trang 33

Trang 34

c a đ n gi n h n, khi đó ta hãy tìm nh c a tr c r i theo (2.1.5) ta s tìm đ c nh c a là

Khi làm bài t p c n v n d ng tính ch t này theo c hai chi u

Trang 35

B ng cách l y bi n đ i Laplace hai v c a ph ng trình trên và thay (2.1.7)

Trang 36

Nh v y có th nói: s có m t c a th a s hàm g c không gây khó

kh n cho vi c tìm nh

Ví d :

2.1.3.11 Tính ch t tích phân g c

Cho liên t c Khi đó, ánh x :

c ng là hàm g c (n u nh liên t c thì ánh x này là nguyên hàm c a hàm ) và

Ch ng minh:

G i là ch s t ng c a thì

Ta có:

Trang 37

V y th a mãn ba đi u ki n c a hàm g c là hàm g c

Ý ngh a:

+ Mu n tìm nh c a ta ch c n tìm nh c a hàm d i d u tích

phân, t c tìm r i theo tính ch t 2.1.3.11 suy ngay ra nh c a là

+ Tính ch t này còn cho phép ta tìm g c trong tr ng h p hàm nh có

Trang 38

Trang 39

Trang 40

N u , và đ o hàm đ u là hàm g c thì có h th c:

hay Chú ý: i vai trò c a và ta nh n đ c hai công th c khác

Trang 41

Gi i:

Theo đ nh ngh a v tích ch p ta có:

Nên theo đ nh lý nhân Borel ta có:

2.2 BI N I LAPLACE NG C 2.1.1 nh ngh a vƠ ví d v phép bi n đ i Laplace ng c

Thông th ng ng i ta ký hi u là hàm ng c c a hàm )

Nó có ngh a là n u:

Bi n đ i Laplace ng c có ý ngh a quan tr ng trong th c hành và c ng có r t

nhi u cách khác nhau đ tìm chúng đây ta s xem xét t i các hàm phân

th c c a hai đa th c d ng:

v i và có h s th c và không trùng nhau

Trang 42

Trang 43

Tích phân trong (2.2.1) đ c hi u theo ngh a giá tr chính và công th c này có

tên là công th c Mellin

Bi n đ i Laplace có liên quan đ n bi n đ i Fourier Xu t phát t nh Fourier

c a là:

Trang 44

Trang 45

Trang 46

gì đ có th là bi n đ i Laplace c a m t hàm g c nào đó.Ta có đ nh lý d i đây

Khi đó hàm xác đ nh trên là bi n đ i Laplace c a hàm f đ nh b i:

nh lý d i đây cho phép ta tìm hàm g c c a m t hàm chính quy t i vô c c

Trang 47

Trang 48

S d ng đ nh lý 4 ta ch c n khai tri n các hàm đã cho thành chu i Laurent

trong lân c n đi m r i áp d ng công th c (2.2.3)

Trang 49

Trang 50

N u là m t phân th c; ngoài ra , không có nghi m

chung (t c là m t phân th c th c s ) Khi đó hàm g c

tìm đ c theo công th c sau:

trong đó , , , là các không đi m c a t c , , , là các

c c đi m (hay đi m b t th ng) c a

Ví d 1: Tìm hàm g c c a hàm b ng th ng d :

Gi i:

+ có là c c đi m c p 2 nên c ng là c c đi m c p 2 c a

có là c c đi m c p 2 nên c ng là c c đi m c p 2 c a

Nên có:

Trang 51

Trang 52

D th y

V y :

Trang 53

ii) Sau đó tìm g c c a t ng phân th c đ n gi n

iii) C ng các g c đó l i ta s đ c g c c a phân th c đã cho

Trang 54

Trang 55

Trang 56

Trang 57

trình vi phân

3.1: NG D NG GI I PH NG TRỊNH VI PHỂN V̀ H

PH NG TRINH VI PHỂN

3.1.1 ng d ng gi i ph ng trình vi phân tuy n tính v i h s là h ng s

Trang 58

Trang 59

Trang 60

Trang 61

Ví d 4: Gi i ph ng trình vi phân

Gi i:

Trang 62

Trang 63

Trang 64

Trang 65

Trang 66

Trang 67

Ví d 10: Tìm nghi m t ng quát c a ph ng trình vi phân

Trang 68

Gi i:

Tra b ng đ i chi u g c - nh ta có:

Trang 69

đ c g i là hàm b c thang đ n v , hàm b c thang này nh n giá tr 0 khi đ i

s âm và nh n giá tr 1 khi đ i s d ng

Định dạng
Số trang	111
Dung lượng	3,54 MB