Luận văn sư phạm Hệ toạ độ cực

Xét OPC, áp d ng đ nh lý cosin trong tam giác... FAFB không ph thu c vào dây cung AB.

L I C M N

B n khoá lu n này là b c đ u em làm quen v i vi c nghiên c u khoa

h c Tr c s b ng và g p nhi u khó kh n do ch a có nhi u kinh nghi m trong vi c ti n hành nghiên c u khoa h c, em đã nh n đ c s giúp đ nhi t tình c a cô inh Th Kim Thuý

Qua đây, em xin bày t lòng c m n chân thành nh t t i cô Thuý c ng

nh s ch b o quan tâm đóng góp ý ki n c a các th y, cô giáo trong t Hình

h c, các th y, cô giáo trong khoa Toán - Tr ng HSP Hà N i 2 đã gi ng

d y, giúp đ em hoàn thành khoá lu n t t nghi p c a mình ng th i, em

c ng xin g i l i c m n t i gia đình, t i cô Nguy t, b n bè và ng i thân

đã đ ng viên, ng h , giúp đ em trong th i gian qua

Do đi u ki n h n ch v th i gian c ng nh ki n th c, n ng l c c a b n thân nên khoá lu n khó tránh kh i nh ng thi u sót Kính mong s ch b o,

nh n xét, đóng góp c a th y cô c ng nh b n bè sinh viên đ khoá lu n này

L I CAM OAN

Em xin cam đoan khoá lu n này đ c hoàn thành là do s c g ng n

l c tìm hi u, nghiên c u c a b n thân cùng v i s giúp đ c a cô Thuý, các

th y cô khoa Toán, cô Nguy t…

Khóa lu n này là do em vi t và nh ng ki n th c trích d n trong khoá

lu n là trung th c, không trùng l p v i k t qu c a các đ tài khác N u sai

em xin hoàn toàn ch u trách nhi m

Hà N i, tháng 05 n m 2010

Sinh viên

ào Th Thanh Huy n

M C L C

A M U 1

1 Lí do ch n đ tài 1

2 L ch s nghiên c u 1

3 M c đích, đ i t ng, ph m vi nghiên c u 2

4 Ph ng pháp nghiên c u 2

5 C u trúc khoá lu n 2

B N I DUNG §1 H t a đ c c 3

1 M đ u 3

2 nh ngh a h to đ c c 4

2.1 nh ngh a 4

2.2 Ví d 6

3 M i quan h gi a to đ c c và to đ đ các vuông góc 7

4 Bài t p thêm 12

5 H ng d n gi i bài t p thêm 13

§2 Ph ng trình c c c a m t đ ng cong 16

1 Khái ni m 16

2 Ph ng trình c c c a các đ ng tròn 19

3 Ph ng trình c a các đ ng coníc trong h to đ c c 21

4 Ph ng trình c c c a các đ ng xo n c 23

5 Bài t p thêm 25

ng d n gi i bài t p thêm 27

§3 D ng đ ng cong cho b i ph ng trình c c

Ti p tuy n c a đ ng cong 30

1 D ng đ ng cong cho b i ph ng trình c c 30

1.1 th c a ph ng trình c c 30

1.2 Nh n xét 33

2 Ti p tuy n c a đ ng cong 35

3 Bài t p thêm 40

4 H ng d n gi i bài t p thêm 41

§4 M t vƠi ng d ng c a h to đ c c 44

1 i bi n s trong tích phân kép 44

2 dài cung trong h to đ c c 46

2.1 nh lý 46

2.2 Áp d ng 47

3 Di n tích trong h to đ c c 49

3.1 Khái ni m hình qu t 49

3.2 Công th c tính di n tích 50

3.3 Áp d ng 52

4 Bài t p thêm 54

5 H ng d n gi i bài t p thêm 55

K T LU N 56

TÀI LI U THAM KH O 57

mà ngày nay là c s , n n t ng đ nghiên c u các môn h c khác

Hình h c là m t b ph n quan tr ng c u thành nên Toán h c ây là môn h c thú v nh ng t ng đ i khó, có tính h th ng ch t ch , logic và tr u

t ng cao Nhi u bài toán trong Hình h c, vi c tìm ra l i gi i còn g p nhi u khó kh n ho c n u có thì th ng r t dài L a ch n m t công c thích h p là

vi c làm c n thi t, giúp chúng ta ti t ki m đ c th i gian và công s c Trong

quá trình h c t p, nghiên c u v chuyên ngành Hình h c, em đ c ti p c n

Hi n nay, ch a có m t đ tài nào nghiên c u m t cách đ y đ và h

th ng v H t a đ c c Do v y, vi c l a ch n đ tài nghiên c u cho khoá

lu n này là m t vi c làm có ý ngh a khoa h c và th c ti n

3 M c đích, đ i t ng vƠ ph m vi nghiên c u

- M c đích nghiên c u: Nghiên c u các ki n th c v H t a đ c c và

m t s ng d ng c a nó vào vi c gi i các bài toán Hình h c, giúp cho ng i

h c hi u bi t thêm ph n nào v H t a đ c c

- i t ng nghiên c u: H t a đ c c, m t s bài toán trong Hình h c

- Khách th : Ng i h c (h c sinh, sinh viên…)

- Ph m vi nghiên c u: Nghiên c u sách giáo khoa, các sách tham kh o

và các tài li u có liên quan

B N I DUNG

1 M đ u

Nh ta đã bi t, m t h to đ c c trong m t ph ng cho th y m i liên h

gi a m t c p hai s s p th t v i m t đi m trong m t ph ng i u này đ n

gi n, nh ng có tác d ng l n trong vi c tìm hi u nhi u bài toán trong Hình

h c, đ c bi t là nghiên c u các tính ch t c a đ ng cong, b ng các ph ng pháp c a đ i s và gi i tích

Chúng ta th ng quen thu c v i H to đ các vuông góc, trong đó ta

đ t trong m t ph ng hai tr c vuông góc Tuy nhiên, th ng x y ra tr ng h p

là đ ng cong xu t hi n m i quan h đ c bi t v i g c to đ , nh là đ ng đi

c a m t hành tinh xung quanh qu đ o c a nó, đ c xác đ nh b i l c h p d n

c a m t tr i ng cong nh v y đ c mô t t t nh t nh chuy n đ ng đi m

2 nh ngh a h to đ c c

2.1 nh ngh a

2.1.1 M t ph ng đ nh h ng

a, nh ngh a:

Trong m t ph ng, xét đi m O tu ý, xung quanh O có 2 chi u quay

N u ta ch n m t trong hai chi u là chi u d ng, chi u còn l i là chi u âm thì

ta nói m t ph ng đã đ c đ nh h ng

b, Quy c:

Thông th ng, ta quy c chi u quay quanh O (nh trên) là d ng n u chi u quay này là ng c chi u kim đ ng h và là âm n u chi u quay này là cùng chi u kim đ ng h

2.1.2 Góc đ nh h ng gi a 2 vect

a, nh ngh a:

Trong m t ph ng đ nh h ng, cho 2 vect a và b

(đ u khác vect không): TH1: a

- To đ c c ( , )r  c a m i đi m M khác v i đi m O không duy nh t

đ c c c a đi m M, hay nói cách khác: M i đi m c a m t ph ng đ u có nhi u

t a đ c c

- Thu t ng “kho ng cách đ nh h ng” là đ nói lên r ng ta th ng g p

nh ng tình hu ng trong đó r là s âm Trong tr ng h p này th ng đ c

hi u: thay vì di chuy n t g c theo h ng đã xác đ nh b ng h ng cu i c a

, ta chuy n qua g c O m t kho ng (  ) theo h ng ng c l i

- Giá tr r  0 chính là g c c c, không c n đ n giá tr c a 

Ngoài ra, m t to đ c c khác c a P trong hình v 1.3 là: 5

( 2; ) 4

L i gi i:

T a đ c a m t đi m trong H t a đ c c có d u c a r ng c nhau là

nh ng đi m đ i x ng nhau qua g c c c O

Nhìn vào hình 1.4 ta có hai đi m (2, )

là nh ng đi m đ i x ng nhau qua g c c c O

3 M i quan h gi a to đ c c vƠ to đ các vuông góc

Gi s có h to đ c c Oi 

Ta ch n vect đ n v  j

vuông góc v i vect  i

7 ( 2, ) 6

N  

(3, ) 3

P 

4 ( 3, ) 3

Hình 1.4

Chú ý:

- Khi s d ng các ph ng trình này, ta c n ph i c n th n xác đ nh chính xác d u c a r và ch n  thích h p v i góc ph n t mà (x, y) n m trong đó

- ôi khi ta đ i bi n x,y sang hai bi n m i r ,  theo công th c:

0

0

cos sin

Ví d 2: Tìm t a đ đ các vuông góc c a các đi m cho b i các to đ c c

2 cos

2 sin 4

V í d 3: Cho a là m t s d ng và gi s có các đi m F=(a,0) và F’=(-a,0)

T p h p t t c các đi m P sao cho tích kho ng cách PF và PF’ b ng a2: đ c

2

x

y

Hình 1.7

L i gi i:

a,

a>0, F(a,0), F’(-a,0)

Gi s P(x,y) là t a đ vuông góc c a đi m P n m trên đ ng cong lemniscate Ta đ t d1= PF, d2= PF’

F a,0)

4 BƠi t p thêm

Bài 1: M t ng giác đ u n i ti p trong m t đ ng tròn bán kính r =1 có m t

đ nh n m trên tr c d ng x Tìm t a đ c c t t c các đ nh c a ng giác đó

Bài 2: Cho đ ng cong r 4sin Hãy chuy n ph ng trình này sang

ph ng trình t ng đ ng trong h t a vuông góc, và ch ng minh nó là

i sang h t a đ đ các vuông góc : cos 4 sin cos

Bài 4: D a vào công th c: x = rcos, y = rsin ta có:

1 os

3 2

Ví d 1: Cho F1 và F2 là hai đi m có t a đ là: (a;0) và (-a;0)

N u b là m t h ng s d ng, tìm qu tích c a đi m P chuy n đ ng sao cho tích các kho ng cách t P đ n F1 và F2b ng b2

- Áp d ng đ nh lý hàm s cosin trong tam giác ta có:

Trong OPF1 : d12  r2 a2  2 ar cos (1) Trong OPF2 : d22  r2 a2 2 ar cos(  ) (2)

+, Khi b > a, đ ng cong bao g m m t vòng đ n

+, Khi b < a, đ ng cong chia thành hai vòng tròn tách r i nhau

Và nói chung các đ ng cong này đ c g i là đ ng cong oval c a Cassini

Hình 2.2

Ví d 2: ng c sên Patxcan (Pascal): Cho đ ng tròn đ ng kính OA= a

T p h p các đi m N g i là đ ng c sên Patxcan

Hãy vi t ph ng trình c a đ ng c sên Patxcan đó

th a mãn (2) thì t n t i m t tr c Ou đi qua N sao cho ta có (1): ON  OM b  ,

trong đó M là giao đi m th hai c a đ ng th ng ON v i đ ng tròn đã cho

Nh n xét:

Bài toán trên minh h a m t ph ng pháp tìm ph ng trình c c c a m t

đ ng cong, c th là bi n đ i ph ng trình c a nó trong h t a đ vuông góc sang ph ng trình trong h t a đ c c M t ph ng pháp khác, có th tìm

ph ng trình c c c a đ ng cong b t c lúc nào là t tính ch t hình h c đ c

tr ng c a đ ng cong

Trong tr ng h p đ ng tròn đã xét trên, ta s d ng tính ch t r ng OPA là tam giác vuông, v i c nh k v i góc nh n  là r, c nh huy n

OA = 2a Khi đó, hi n nhiên ta có: r = 2acos

Xét bài toán m r ng c a bài toán 1 nh sau:

Bài toán 2: Tìm ph ng trình c c c a đ ng tròn v i bán kính b ng a và tâm

t i C có t a đ c c là: (b;), trong đó gi s b là s d ng

L i gi i:

- L y P=(r, ) là m t đi m tùy ý trên đ ng tròn

Xét OPC, áp d ng đ nh lý cosin trong tam giác

3 Ph ng trình c a các đ ng conic trong h t a đ c c

Ta đã bi t ph ng trình các đ ng côníc trong H t a đ các vuông góc và đ ng côníc là elip, parabol hay hypebol tu thu c vào e < 1, e = 1 hay e > 1 Bây gi chúng ta đi tìm ph ng trình c a nó trong H to đ c c

b ng cách xét bài toán c th sau:

Bài toán 1: Tìm ph ng trình c c c a ph n đ ng conic v i tâm sai e n u tiêu đi m t i g c t a đ và đ ng chu n t ng ng là đ ng th ng x = -p n m bên trái g c t a đ

L i gi i:

Gi s P là m t đi m b t kì trên đ ng côníc có t a đ c c là ( ; )r 

Và ta có các kí hi u nh hình 2.7 ( tiêu đi m, đ ng chu n, tâm sai )

Ta bi t r ng: đ ng conic trên là t p h p các đi m P mà t s kho ng cách t P đ n tiêu đi m và đ ng chu n t ng ng b ng e, t c là:

PF e

 (*)

Sau đây, ta xét các ví d minh ho c th v i k t lu n trong bài toán 1

V í d 1: Vi t ph ng trình c c c a đ ng conic v i tâm sai 1

4 3

e < 1 nên đ ng cong này là elip

Quan sát th y r ng m u s đây luôn khác không, do đó r b ch n v i

c  , nên r d n ra vô cùng theo h ng này

Bài toán 2: Tìm ph ng trình c c c a ph n đ ng côníc v i tâm sai e n u tiêu đi m n m g c to đ và đ ng chu n t ng ng x = p n m bên ph i

đ ng kính r, góc  quay quanh g c theo

chi u ng c chi u kim đ ng h , t v trí ban

Hình 2.8 x=p

Trong hình v ta gi thi t r ng:  b t đ u t 0 và t ng d n   0

Tr ng h p  , khi đó ta có ph n khác c a đ ng xo n c mà ta 0không v nh m gi cho hình v không b r i)

ng cong này g i là đ ng xo n c hyperbolic do s gi ng nhau c a

r a v i ph ng trình bi u di n hyperbolic trong h t a đ vuông góc

xy = a

Khi =0, r không xác đ nh

Khi  nh và d ng, r l n và d ng (do r và  t l ngh ch v i nhau)

và khi  t ng đ n vô cùng, r gi m t i 0

theo m t s vô h n vòng th t d n khi  t ng vô h n

4.3 Nh n xét

- 4.1 và 4.2, n u  đ c cho giá tr âm, ta có m t ph n khác c a

đ ng cong, mà ta không v đ tránh hình v b quá r i B n ch t c a ph n

đ ng cong này có th th y đ c m t cách d dàng b ng cách đ ý r ng: n u

r và  đ c thay th b i - r và - thì ph ng trình các đ ng xo n c trên không thay đ i i u đó có ngh a là v i m i đi m (r,) trên đ ng cong,

đi m đ i x ng qua tr c oy: (-r,-) c ng n m trên đ ng cong Do đó, ph n khác c a đ ng cong là m t đ ng xo n c th hai quay quanh g c theo chi u kim đ ng h khi   

- Các đ ng xo n c này khi xem xét trong h t a đ c c s d dàng nhi u h n trong h t a đ đ các vuông góc

Bài 5: Cho parabol có đi m tiêu F, m t dây cung AB thay đ i luôn đi qua F

và FA FB Trên tia FA l y đi m C sao cho FC = FA - FB

Tìm qu tích đi m C

Bài 6: M t dây cung b t kì AB đi qua đi m tiêu F c a m t đ ng b c hai

FAFB không ph thu c vào dây cung AB

Bài 7: Ki m tra tính đúng đ n c a ph ng pháp chia ba m t góc AOB b ng

s d ng đ ng xo n c c a Acsimet: r a  (hình 2.9) v i 3 b c:

B c 1, Cho OB giao v i đ ng xo n c t i P, và d ng đi m Q chia ba

đo n OP, khi đó: OQ = 1

Bài 2: Làm t ng t nh bài toán 1, ph n 3:

Gi s P là m t đi m b t kì trên đ ng conic có t a đ c c là: ( , )r 

Và ta có các kí hi u nh hình v 2.11 ( tiêu đi m, đ ng chu n, tâm sai )

Hình 2.11

e  p  ng cong là elip có đ ng chu n là đ ng th ng x = -10

c, e =2, p= 1 ng cong là hypebol có đ ng chu n là đ ng th ng x = 1

Bài 6: Gi s ph ng trình c a đ ng b c hai trong h t a đ c c

3 4



5 6



Hình 3.1.3

4



v i quan đi m r ng đi m x chuy n đ ng n m ngang theo tr c ox và y chuy n

đ ng d c theo tr c th ng đ ng, hay y là kho ng cách đ nh h ng đo xu ng hay lên t i đi m (x,y) trong m t ph ng Nói m t cách đ n gi n và d hi u, trong suy ngh c a chúng ta là “trái - ph i” và “ xu ng - lên”

Tuy nhiên, đ i v i h t a đ c c và r  f ( )  ta ph i ngh r ng góc 

quay quanh tr c nh là m t chi c kim đ ng h quay ng c chi u V i m i 

ta đo đ r i kh i tâm b ng đ dài đ nh h ng f ( )  , và các đi m di chuy n ra

xa h n hay g n h n tùy theo f ( )  là l n h n hay nh h n Trong suy ngh c a chúng ta là “quay và quay”, “vào và ra”

Ví d 1: V đ ng csên Patxcan có ph ng trình c c:

L i gi i:

G i M ( )  là đi m có t a đ c c ( cos a   b , ) thu c đ ng cong

Vì M (  2 )  M ( ) nên ch c n cho  bi n thiên t  đ n  ta đ c toàn b đ ng cong

Vì r (    ) r ( )  nên hai đi m M (   ) à v M ( )  đ i x ng nhau qua tr c ox

Do đó, ta ch c n d ng m t n a đ ng cong ng v i kho ng bi n thiên

 0; c a  Sau đó, l y đ i x ng cung nh n đ c qua tr c ox

Ta có: r ( )   a cos   b nên r  ( )    a sin   0 trên đo n  0; , a>0, b>0 nên r ( )  gi m d n trên đo n  0;

Ta có: a>0, b>0 nên a+b>0; b-a có th nh n các giá tr âm, d ng ho c b ng không nên ta có đ ng c sên s có nh ng hình d ng sau:

- Khi làm vi c v i h t a đ đ các vuông góc, ta xác đ nh h ng c a

m t đ ng cong y = f(x) t i m t đi m M b i m t góc t h ng d ng tr c

x t i đ ng ti p tuy n MT Tuy nhiên, trong tr ng h p đ ng cong c c

Thay dx, dy vào bi u th c xdy - ydx , tađ c:

Nh ban đ u ta có: M() là đi m v i t a đ c c ( , ) r  Khi đó ta có t a

đ đ các vuông góc c a đi m M() là: x  r ( ) cos ,   y  r ( ) sin  

Do đó, vect r ( )  u r  ( )  vM( )  O r  ( )  v vuông góc v i t i đi m M() (t c là vuông góc v i ti p tuy n M()T c a t i đi m M())

- N u b<0, đ ng cong xo n c v phía g c thay vì xa d n khi  t ng

ng cong r a e b đôi khi đ c g i là đ ng xo n c đ u vì lí do  là

T đó, suy ra cách d ng ti p tuy n c a t i N: G i P là đi m xuyên tâm đ i c a đi m M trên đ ng tròn ng th ng vuông góc t i N v i đ ng

khi  1(rad) và  90 khi đ ng xo n

c qu n quanh g c theo chi u ng c chi u kim đ ng h

b, Ch ng minh các đ ng cong sau tr c giao d a vào k t qu c a ý a,

Bài 7: Trên n a trên c a parabol

a r

    T đó thi t l p tính ch t ph n x sau đây; Ti p tuy n

t i m t đi m b t kì trên parabol t i các góc b ng nhau v i đ ng n m qua

Khi đ ng xo n c qu n quanh g c theo chi u ng c chi u kim đ ng

h ngh a là  t ng d n (vì chi u d ng là chi u ng c chi u kim đ ng h ), thì tan t ng, suy ra   90 

Bài 4: a, G i P là giao đi m c a hai đ ng cong, khi đó theo gi thi t: P( , ) r 