Luận văn sư phạm Hàm đặc trưng - hàm sinh Mômen và ứng dụng

Rinaman, 1993, “Foundations of probability and statistics”, sounders college.. Roussas, 1997, “A course in mathematical statistics”, Academic press.

Khóa lu n t t nghi p đ i h c

Chuyên ngành: Toán ng d ng

Hà N i – 2010

L i c m n

Khóa lu n t t nghi p đ c hoàn thành là k t qu c a quá trình h c t p, tích

l y kinh nghi m, là s h ng d n ch b o t n tình c a ThS Nguy n Trung

D ng

Em xin t lòng bi t n chân thành và sâu s c nh t đ n th y ng th i em xin chân tr ng c m n các th y cô giáo trong khoa và đ c bi t là các th y cô trong t toán ng d ng đã t o đi u ki n giúp đ , đóng góp ý ki n cho em trong

su t th i gian h c t p và th c hi n khóa lu n t t nghi p

Em xin trân thành c m n

Sinh viên

Nguy n Th Th o Nguyên

L i cam đoan

Khóa lu n c a em đ c hoàn hành nh s n l c c g ng c a b n thân,

cùng s ch b o t n tình c a ThS Nguy n Trung D ng, nh ng ý ki n đóng góp

c a các th y cô trong t , trong khoa và các b n trong nhóm

Em xin cam đoan v i h i đ ng ch m khóa lu n t t nghi p đ tài này em t nghiên c u, tìm hi u và trích d n trung th c t các tài li u tham kh o Nh ng n i dung này ch a đ c công b trong b t kì khóa lu n nào

Sinh viên

Nguy n Th Th o Nguyên

L i nói đ u

Toán ng d ng là m t ngành toán h c có ý ngh a r t to l n và chi m m t

v trí quan tr ng Nó là c u n i đ đ a nh ng k t qu đ c nghiên c u trên lí thuy t c a đ i s , gi i tích, hình h c… vào ng d ng trong các ngành khoa h c khác và th c t cu c s ng

Nói đ n toán h c ng d ng không th không nói đ n toàn b môn xác su t – th ng kê, nó là công c đ gi i quy t các v n đ chuyên môn c a nhi u l nh

v c nh kinh t , sinh h c, tâm lí – xã h i… Do đó, b môn này đ c đ a vào

gi ng d y h u h t các tr ng đ i h c, cao đ ng

V i mong mu n đ c tìm hi u sâu h n v b môn xác su t – th ng kê em

đã ch n đ tài “Hàm đ c tr ng – hàm sinh mômen và ng d ng”

Khóa lu n bao g m hai ch ng

Ch ng 1 Hàm đ c tr ng và hàm sinh mômen

Ch ng 2 ng d ng

Ch ng 1 Hàm đ c tr ng và hàm sinh mômen

1.1 Hàm đ c tr ng

1.1.1 nh ngh a

nh ngh a 1.1 Cho hai bi n ng u nhiên cùng xác đ nh trên không gian xác

đ c xác đ nh b i

XiYEXiEY, i2 1

nh ngh a 1.2 Hàm đ c tr ng c a bi n ng u nhiên X kí hi u là X t đ c xác đ nh b i

  itX

X t Ee

B đ 1.1 Cho g1 x và g2 x là các hàm th c không âm xác đ nh trên Khi

B đ 1.4 Cho g x là hàm xác đ nh trên sao cho b  

a

dx x





dx x

x

x x p tx tX

tx )

x

x x p

nh ngh a 1.3 Hàm đ c tr ng c a vect ng u nhiên XX1,X2, ,X n đ c kí

Xt1,t2, ,t n   

n k k k n

X it n

X X

e E

7 Ta có   itX  n n itX

n

n itX

n

n X

n

n

e X i E e

t E Ee dt

d t dt

n

X E i t

d X d

n , , , , , , , , ,

, ,

1 2

d X c d X

n n

n , , , , , , , , , ,

,

1 2

2 1

,

, ,

k j k t

t t n X

X k j

k

X E i t

t t

X X

t t

i n

i

1

(1.1)

Ch ng minh

Ta ch ng minh b ng ph ng pháp qui n p nh sau:

+ V i i 2 ta có     1 2 

2 1

X X it X

n i X X

t t

n i i

n

X X X

X X

X X

t t

t t

t t

t

i n

i n

n

i i n

n

i i n

1 1

f

T T

itx T

10

ith

e x

dt x f e

T

j k

21

x x it

T x

it

dt e

j

k x dt x

j

k x dt x

j

k x dt x

it

dt e

j

k x dt x

k

x x t d x

1

j k

j k j

k

j k j

k

x x

x x T x

x

x x T x

x T

k

j k

j k

x x x

x T

x x T

x x

Õu n

Õu n

1

)(

M t khác  

j k j

k

j k

x x x

x T

x x T

j k

j k

x x T

j k T

T

x x it

x x dt

e T

j k

nÕu0

nÕu1

21

Thay (1.2) vào bi u th c e  t dt

T

T T

itx j





2

x x it

T x

x x it k

x x

T x

x x it k

x x

T x

tix

dt t

dt dy y f e

dydt y f

x y it

Gi s y thì x    

x y

x y T dt

e T T

x y it

x y T y

f T

sinlim

z x f

T

sinlim

Trong tr ng h p X là bi n ng u nhiên liên t c kh ng đ nh đ c ch ng minh

t ng t b ng cách thay d u t ng c a chu i b i d u t ng tích phân và s d ng các k t qu c a chuy n gi i h n qua d u tích phân

n n

X X x it x it n

T n X

X

T x

x x f

n n

n n

X X

x it j

h it T

T

n T

h n X

h it

e T

x x

f

n

k j j j

12

1

,,

limlim ,

n it x

n x it x n x

n x x n itx

x itx

x

e e

x e e t

X X

2

2

12

/

t it

x dx

e x e

t i

11

11

t i dy

e y t

i t

i

dy e

y t i

21

1

11

11

dx x

tx dx

x

tx i

dx x

tx dx

x e

X

cossin

x x

n x

X x

1 1

1

n , , ,

x x

x k x k

x it x it

p p x x

n e

, ,

1 1

k it

x x

x it k

x it k

p x x

,

1 1

1 1

1 1

đ c g i là hàm sinh mômen c a bi n ng u nhiên X

i

i tX

i

t i

tX E

e E t

2 2

X E t X

2 E X

t X tE X E t

Cho t0 ta đ c M'X 0 E X

o hàm hai v c a (1.4) đ i v i t ta đ c

     

X E t X E t

i X t

n

i i

n

X t n

X X

X X

M 1, 2, , 0,0, , ,0, ,0   + N u X1,X2, ,X n là các bi n ng u nhiên đ c l p thì

n

X t X t X t X

t X t X t n

X X

t X

t X t

t M e

E e

E e E

i n

n

1

2 2 1

, , 2 1 2

X X

n

n , , , , , , , , , ,

Cho bi n ng u nhiên Xcó hàm sinh mômen là M X t Khi đó bi n ng u nhiên

i X a Z

tX a tX

a X a t tZ

t a M Ee

Ee Ee

Ee t

n i i i n

i i i

1

1.2.3 Hàm sinh mômen c a m t s bi n ng u nhiên th ng g p

k

k n k k n tk tX

k

k t k

k kt tX

k

e e

k

e e Ee

t M

tx tX

X

2 2 2 2

2 2 2 2

2

12

1

  2  2

1 2

2 2

2 2

2

2

12

x t t

t x t

e dx e

e dx e e

2 2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2

2

12

t t

1

2 2

2 2

1

12

1

2

2

t t

e t dx

e dx

e e e

E t

r t

1

dx e

x

r dx

e x

r e e

E t

r t

e t

tx

a b t

e dx

a b e e

E t

x

x n x x n x

q 1 p

b.N u X ~ Poi  thì    

t e

x e t

x

x x

x x

1.2.5 Hàm sinh mômen c a vect ng u nhiên

a N u các bi n ng u nhiên X1,X2, ,X k có phân ph i đa th c v i các tham s n

và p1,p2, ,p k thì     t n j 

k t

k X

, ,

X t X t X

t X t k

X

x x

n e

Ee t

, ,

1 1

1 1

e p e

p x x

= t n

k

e p e

2 2 2 1 2 1

2 1

2 1 2

1 1 2

2 2 1

1 1 2

1

1 1 2

2 1 2

2

11

1

2 1

2 2

1 2

1

2 1

2 2 2

2 1 1

x

x x

x x

2 2

2 1 2 2 1 1 2 1

2 1 1

2 2 2 2

2

2

1

21



2 2 1

1 1 2

1

1 1

x

2

12

1

'exp

1 2

1

2

12

1

R R

X t

x t t t t t

t

2

12

1

''

'''

1

2

12

12

2 1

2 1 2

1 2

2 2

1

2 1

2 1 2

t

t t

t t

          1 2

2 2

2 2 2 1 2 1

2 1

2 1 2

1 1 2

0

yx0

2 x y Y

X

e y

tX Y

e t

u y t y

21

M t

,

23

u

Ch ng 2 ng d ng c a hàm đ c tr ng

và hàm sinh mômen 2.1 ng d ng c a hàm đ c tr ng

2.1.1 Tìm hàm phân ph i c a bi n ng u nhiên

T đ nh lí v công th c ng c ta có th tìm đ c hàm xác su t và hàm m t đ xác su t c a các bi n ng u nhiên

itx r n r it r n T

T

itx n it

dt e q pe C T

dt e q pe

12

t x r i r n r r

n p q e dt C

x n x x n n

x r r

T T

t x r i r

n r r

T dt x r i e x r i q p C

11

2

10

   

r x T C p q T Ti

e e

q p

n n

x r r

T x r i T x r i r n r r

2

12

x r r

r n r r

T x r

T x r q

r itr T

T

itx e

dt e r e e T

dt e e T

it

!0

2

12

1

dt e

r n

x r r

T T

t x r i r

dt r

e T dt x r i e x r i r

e

11

e e

r e

r n

x r r

T x r i T x r i r

22

12

T x r r

e

r n

x r r

12

t

x

2 2

2 2

2 1 2

1 2

1 2

1

2

12

2

12

/ /

/ /

 

2 2

1

2 2

2

112

/ /

 

X E

(tính ch t 7 trong nh lí 1.1)

+ Cho X X X t t t n

n , , ,

, ,

0 0

X

t t

it

X

t t

t it

2 2 2 2 2

2 2

Ví d 2.8 Cho XX1,X2, ,X k có phân ph i đa th c và có hàm đ c tr ng là

k it

k X

1

2 1 1

t t t

k n it k it

k k

e p e

p p p i k n n

j

X

1 1

j k

j

j

n it

k j

n it k

j X X

q e p q

e p t

1

1 1

k j j k

j

1 1

k j j

j Poi X

j k

j

j

jt k

j jt k

j

X X

e e

k j j k

j j

j N

X

2 1

1

2 2

j j

k j

k j j j

it t

it k

j

X X

t it

e e

t t

k

j

j j j

j j

2

1

2 2

1

exp

k X ~Nk ,k 2

j j

j j j j k

j

j X X

C

t C itC

t C t

j k

j

j

2 2 2

j j k

j

j

C it

1

2 2 2

j j k

j

j j j

C

2 1

C

1

2 2

n X Y

n i i n

X n

X n Y

11

Z n

Z

n

t n

t n

t t

t

i i

n i i n

i i

t o n

t n

i i

Z Z

z Z

2 2

02

1

00

!

"

!'

02

n   



21

2 1 2

2 2 2

2

t b bt t

a at bt

M at

b a t b a

ây là hàm sinh mômen c a bi n ng u nhiên có phân ph i chu n

b a b

a

b a b a N

2 1

1

2 1 2

1 2

1 2

21

212

12

1

12

12

1

2 1

0

0y nÕu2

12

t Y t Y

E e



    2

2 2 2 2 1 1

2

2 2 2

1

t t X

2 2

2 1

4141

y Y

y Y

e y

f

e y

M

k , , , ,

, , 2 1 2

k

k

n n

n n

0 0

n

X

t t

p n np np p

n EX EX

Ví d 2.14 Cho X ~ Poi  v i hàm sinh mômen là      

t e t

t t t

2     2 2

2 2

2 2 2

t

exp

2 2

n

t E

e E t

n

1exp

n t

e E e

1

1

/ /

n

t n

22

2 2 2

2 2

expexp

n Y

n

t t

n

t E

e E t

n

1exp

n t

e E e

t n

t i n

t e

i

i n

Y

n

pt p p t

ây là hàm sinh mômen c a bi n ng u nhiên sao cho pY  p1

 Dãy các bi n ng u nhiên Y1,Y2, h i t t i p nh lí đ c ch ng minh Chúng ta đã ch ng minh đ c đ nh lí gi i h n trung tâm b ng công c hàm đ c

tr ng D i đây chúng ta s s d ng công c hàm sinh mômen đ ch ng minh

n X Y

n i i n

e E t M

n i i tY

Y

n n

1exp

n i

n

tX E

Y    i    i     E X i   n

n

t X

E n

t X

E n

t t

3

3 2

2 2

32

Y

n

t t

đ u làm quen v i cách th c làm vi c khoa h c, hi u qu Qua đó c ng c đ c

ki n th c lí thuy t xác su t th ng kê đ th y đ c s phong phú, lí thú c a toán

h c Mong r ng đây s là m t tài li u b ích đ i v i nh ng ai quan tâm đ n v n

Tài li u tham kh o

1. ào H u H , (1996), Xác su t th ng kê, NXB đ i h c qu c gia Hà N i

2 William C Rinaman, (1993), “Foundations of probability and statistics”,

sounders college

3 George G Roussas, (1997), “A course in mathematical statistics”,

Academic press