Tổng hợp bài tập Toán cơ sở

Tài liệu cung cấp với 20 bài tập Toán cơ sở kèm theo phương pháp, hướng dẫn và câu trả lời. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu để nắm chi tiết nội dung các bài tập.

Trang 1

TỔNG HỢP BÀI TẬP TOÁN CƠ SỞ (THẦY HOÀNG)

CÂU HỎI THẢO LUẬN

Câu 1: Xây dựng một mô hình hóa toán học từ một nội dung thực tiễn trong

Câu 2: Lấy ví dụ về mở rộng bài toán theo các con đường: Khái quát hóa,

Câu 3: So sánh hệ tiên đề Hilbert, hệ tiên đề Pogorelov, hệ tiên đề hình học

Câu 6: Phân tích cấu trúc logic của chương trình toán phổ thông. 46

Câu 7: So sánh chương trình toán hiện hành với chương trình toán sau 2019. 58

Câu 8: Nêu những sai lầm về logic thường gặp ở học sinh khi học khái

niệm Phân tích nguyên nhân những sai lầm này bằng logic toán 66

Câu 9: Nêu những sai lầm về logic thường gặp ở học sinh khi học định lí.

Câu 10: Nêu những sai lầm về logic thường gặp ở học sinh khi giaỉ bài tập

toán Phân tích nguyên nhân những sai lầm này bằng logic toán 74

Câu 11: Dùng công thức của đại số vị từ để diễn đạt các định lí trong môn

Câu 12: Xây Dựng một mô hình Toán học theo quy trình 7 bước 86

Câu 13: Cơ sở định nghĩa phép nhân số tự nhiên qua phép cộng các số hạng

Câu 14: Vấn đề thực tiễn được phản ảnh trong các kiến thức: Cấp số cộng, cấp số nhân, 90

Trang 2

hàm số, quan hệ tương đương, quan hệ thứ tự, quan hệ ánh xạ.

Câu 15: Vận dụng các phép suy luận logic trong dạy học định lí 95 Câu 16: Chứng minh nếu Q là tập đếm được thì QxQ là tập đếm được 104 Câu 17: Chứng minh một số định lý hình học 10; 11; 12 dựa trên tiên đề

Câu 18: Quan điểm hàm số trong chương trình Toán phổ thông? Thực hiện

dạy học một nội dung của chương trình Toán phổ thông theo quan điểm hàm

số?

105

Câu 19: Cơ sở logic của chương trình toán 10;11;12 So sánh mục tiêu nội

dung chương trình hiện hành với chương trình mới sau 2019 110

Câu 20: Chứng minh một số định lý giải tích 11, 12 theo ngôn ngữ không

Trang 3

Câu 1 Xây dựng một mô hình hóa toán học từ một nội dung thực tiễn trong chương trình

Bước 2: Lập giả thuyết.

Các tham số xuất hiện trong bài toán là chiều rộng, chiều cao của cổng và đường cong có dạng hình parabol

Bước 3: Xây dựng bài toán

Trong măt phẳng Oxy, Chọn O(0; 0), A(4; 3,5), B(8; 0) như hình vẽ

a Xác định parabol (P): y = ax2 + bx + c đi qua O, A, B

b Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (P), trục hoành và 2 đường thẳng x = 0, x = 8

Bước 4: Giải bài toán.

a Vì (P) đi qua O, A, B nên ta có hệ phương trình

8m

3,5mA

AO

y

x8m

3,5m

Trang 4

Vậy (P)

b Diện tích hình phẳng cần tìm là

Bước 5: Hiểu lời giải bài toán.

Để tính được diện tích hình phẳng giới hạn, ta cần xác định được đường cong có dạng hình parabol, để xác định được đường cong parabol ta cần chọn hệ trục tọa độ phù hợp

Bước 6: Kiểm nghiệm mô hình.

Thực tế việc thiết kế có dạng đường cong ứng dụng rất nhiều trong thực tế và chọn

số liệu phù hợp để ít tốn chi phí

Bước 7: Thông báo, giải thích, dự đoán.

Trang 5

Nhóm 2

Việc vận dụng kiến thức toán học vào giải quyết các vấn đề thực tiễn và ngược lại làmột vấn đề quan trọng trong dạy và học toán ở trường phổ thông Điều này giúp học sinhcàng say mê học toán từ đó kết quả của việc giảng dạy sẽ thu được nhiều kết quả mongmuốn Do đó, một vấn đề được đặt ra là dạy học toán nên quan tâm những ví dụ xuất phát từthực tế giúp học sinh thấy được mối liên hệ giữa toán học và cuộc sống thường ngày Môhình hóa toán học cho phép học sinh kết nối toán học với thế giới thực

Ví dụ: a/ Thực tế : Tính chiều cao cổng dạng Parabol.

b/ Toán học : Xác định Parabol y=ax2 +bx+c(a≠0) biết Parabol đi qua 3 điểm

Bước 1 : Tìm hiểu vấn đề thực tiễn.

Rất nhiều công trình kiến trúc, biểu tượng ở Việt Nam nói riêng và trên cả thế giớiđược thiết kế dạng hình Parabol

Vấn đề đặt ra là làm thế nào để đo được chiều cao cổng Acxơ khi không đo đạc trựctiếp, vì cổng cao sẽ gây nguy hiểm khi đo đạc

Bước 2 : Lập giả thuyết.

- Đo đạc khoảng cách của 2 trụ cổng

- Tìm 3 điểm nằm trên cổng và có tọa độ (các độ dài đo được)

Bước 3 : Xây dựng bài toán.

Bài toán trên thực tế chúng ta gắn hình ảnh cổng Acxơ đó vào một phương trình củahàm số bậc hai dạng y=ax2 +bx+c(a≠0) và từ đó sẽ tìm được tọa độ đỉnh của Parabol là

.4

Bước 4 : Giải bài toán.

Đơn giản vấn đề : Chọn hệ trục tọa độ xy0 sao cho gốc tọa độ 0 trùng một chân củacổng (như hình vẽ)

Như vậy vấn đề được giải quyết nếu ta biết hàm số bậc hai nhận cổng Acxơ làm đồthị

O

M

y

Trang 6

Phương án giải quyết :

Ta biết hàm số bậc hai có dạng:y ax= 2 + +bx c Do vậy muốn biết được đồ thị hàm

số nhận cổng làm đồ thị thì ta cần biết ít nhất tọa độ của 3 điểm nằm trên đồ thị chẳng hạn

0, B, M

Rỏ ràng 0(0;0);M(x;y);B(b;0) Ta phải tiến hành đo đạc để nắm số liệu cấn thiết.Đối với trường hợp này ta cần đo: Khoảng cách giữa hai chân cổng, và một điểm Mbất kỳ chẳng hạn b=162;x=10;y=43.

Ta viết được hàm số bậc hai lúc này là : y x x

700

34831320

43 2 +

−

=Đỉnh : S(81m;185,6m)

Vậy trong trường hợp này cổng cao 185,6m

Bước 5 : Hiểu lời giải bài toán

Trên thực tế cổng Acxơ cao 186m

Bước 6 : Kiểm nghiệm mô hình.

Nếu đo đạc thật sự chính xác (đo đạc với sai số nhỏ) thì kết quả sẽ đúng với thực tế

Bước 7 : Thông báo, giải thích, dự đoán.

ứng dụng : Xác định a, b, c biết parabol y=ax2 +bx+c(a≠0)

a/ Đi qua ba điểm A(0 ;-1), B(1 ;-1), C(-1 ;1)

b/ Có đỉnh I(1 ;4) và đi qua điểm D(3 ;0)

( Sách Đại Số 10 – NXBGD trang 51)Trên đây là một mô hình hóa toán học xuất phát từ thực tiễn mà chúng ta hay bắt gặphằng ngày khi đi trên đường, trong cuộc sống thường nhật mà kiến thức toán học sơ cấpthuần túy đã giải quyết một cách trọn vẹn giúp cho học sinh có cái nhìn sinh động hơn vềtoán học và sức mạnh của nó

Trang 7

Nhóm 3

Ví dụ về Bài toán mô hình hóa

Người ta cần thiết kế một lối đi vào một khu rừng nguyên sinh để phục vụ khách du lịch Để đến được bìa rừng, người ta cần làm một đường đi xe đạp qua một công viên, sau khi gửi xe, khách du lịch phải đi bộ qua một khu đất trống đến phòng hướng dẫn viên Em hãy thiết kế một phương án để làm hai đoạn đường đó.

Để tổ chức hoạt động MHH bài toán này, ta thực hiện theo quy trình gồn 7 bước nhưsau:

* Bước 1: Tìm hiểu vấn đề thực tiễn

Đây là bài toán mở, các điều kiện ban đầu của bài toán chưa rõ ràng Do vậy, trướchết GV đã tổ chức cho học sinh suy nghĩ và thảo luận về những số liệu cần thiết cần thuthập nhằm đơn giản hóa bài toán GV hướng dẫn học sinh liệt kế các từ khóa: công viên,khu đất trống, xe đạp, đi bộ, đoạn đường Để hiểu được vấn đề, học sinh có thể sử dụng một

sơ đồ hoặc vẽ một bản phác thảo để biểu diễn cho tình huống

* Bước 2: Lập giả thiết:

Học sinh cần phải thực hiện một số giả thiết và thu thập thông tin như:

• Kích thước của công viên và khu đất trống;

• Tốc độ đi bộ trung bình và tốc độ đi xe đạp;

• Giới hạn tốc độ khi đi xe đạp trong công viên;

• Mục tiêu thiết kế (ví dụ: con đường ngắn nhất, thời gian tối thiểu, vv.)

* Bước 3: Xây dựng bài toán:

Hs cần phải xác định các khái niệm toán học liên quan trước khi xây dựng các môhình Trong trường hợp này, các vấn đề liên quan đến các khái niệm về khoảng cách, tốc độ

và thời gian

Việc xây dựng các mô hình toán học sẽ phụ thuộc vào các giả thiết đặt ra Ví dụ, nếuhọc sinh sử dụng thời gian tối thiểu là mục tiêu thiết kế, biểu thức cho thời gian sẽ là nhưsau:

Tổng thời gian di chuyển:

T

Hình 1 cho thấy một bức phác họa có thể tượng trưng cho các sơ đồ với các giả địnhsau đây:

- Hình dạng cho công viên và khu đất trống là hình chữ nhật

- Kích thước và tốc độ được dựa trên thông tin từ internet

- Mục tiêu thiết kế: Thời gian tối thiểu

Trang 8

* Bước 4: Giải bài toán

Học sinh có thể sử dụng phần mềm hình học động như GSP để di chuyển điểm G đến

vị trí khác nhau và đo khoảng cách, lập bảng quan sát và xác định vị trí của G mà tại đó cho

ta giá trị nhỏ nhất về thời gian

Học sinh có thể xây dựng một biểu thức khoảng cách bằng cách sử dụng định lýPythago và xây dựng các hàm thời gian

Tổng thời gian di chuyển, 3002 (200 )2 1502 2

* Bước 5: Hiểu lời giải bài toán:

Từ kết quả ta thấy, thời gian tối thiểu là 221,2371s ≈ 3,69 phút, khi mà x = 15,7 (m)hoặc x = 15,8 (m)

* Bước 6: Kiểm nghiệm mô hình

Sau khi tìm thấy vị trí của nơi để xe đạp, học sinh cần phải kiểm tra xem nó là khả thi

để xây dựng nơi để xe đạp tại vị trí thực tế hay không và xem xét nếu có bất kỳ hạn chếkhác nào không

Học sinh có thể xem xét các giả thiết của mình

- Công viên có thể là hình tròn? Điều gì xảy ra nếu công viên và các khu đất trống là

đa giác không đều? Phương pháp của Hs có thể áp dụng trong mọi trường hợp haykhông?

- Thiết kế có phù hợn thực tế? Hs có thể khảo sát người dân để tìm hiểu xem mọingười muốn có một giải pháp làm tối thiểu thời gian hoặc họ thích đi bộ với khoảngcách ngắn nhất để thay thế?

Công việc này thực sự có thể được thực hiện bằng cách sử dụng các phương phápkhác nhau Học sinh có thể suy nghĩ về bài toán mà mình đã sử dụng để giải quyết các vấn

Trang 9

đề và liệu có những phần mềm mạnh hơn có thể được sử dụng để giải quyết vấn đề này haykhông.

* Bước 7: Thông báo, giải thích dự đoán:

Thông báo do nhóm hoặc đại diện nhóm trình bày nhằm giúp GV đánh giá sản phẩm

và năng lực giải quyết vấn đề của từng nhóm Từ đó GV hướng dẫn HS biết sử dụng ngônngữ và các công cụ toán học để mô tả các ý tưởng Toán học, biểu diễn các vấn đề trong thựctiễn

Trang 10

Nhóm 4

Bài toán 1 Hãy xác định cách cắt đi ở 4 bốn góc tấm tôn hình chữ nhật có kích

thước 80cm x 50cm bốn hình vuông bằng nhau để khi gập lại được một chiếc hộp

không nắp có dung tích lớn nhất.

Bước 1: Tìm hiểu vấn đề thực tiễn.

GV cho HS suy nghĩ và thảo luận về những số liệu của bài toán Từ khoá đưa ra: hình chữ nhật, hình vuông, khối hộp chữ nhật, kích thước, dung tích Vấn đề có thể diễn đạt lại: Tạo một chiếc hộp không nắp từ hình chữ nhật kích thước 80cm x 50cm

có thể tích lớn nhất.

Bước 2: Lập giả thuyết

Gọi x là kích thước của các hình vuông bị cắt đi, x tính bằng cm và x thuộc (0;25) Khi đó đáy của hình hộp được tạo ra có các kích thước là 80 2 ; 50 2- x - x và

chiều cao là x .

Bước 3: Xây dựng bài toán

Mô hình toán mô tả dung tích của hình hộp không nắp là:

( ) (80 2 ) (50 2 ;) (0;25) ( )*

V x =x - x - x xÎBài toán trên mô hình này là tìm giá trị lớn nhất của V(x) trên khoảng (0;25) . Bước 4: Giải bài toán

Bằng kiến thức về đạo hàm, tìm được GTLN của V bằng 18000 khi x=10cm

Bước 5: Hiểu lời giải bài toán

Cách 1: Dùng kiến thức lớp 10, cách giải chưa được định hình rõ ràng Đây là

cơ hội để cho GV phát triển trí tuệ cho HS qua công đoạn tìm tòi lời giải Nếu HS đã lập luận như sau: V x( ) đạt giá trị lớn nhất khi và chi khi 4V x( ) đạt GTLN hay

4 80 2x - x 50 2- x đạt GTLN với x trong khoảng (0;25) .

Vì 4 ;80 2 ;50 2x - x - x là các số dương nên theo bất đẳng thức Côsi, ta có:

Trang 11

-Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 4x=80 2- x=50 2- x Điều này không xảy ra Vậy không thể cắt được 4 góc 4 hình vuông, để gập lại được một chiếc hộp không nắp có dung tích lớn nhất.

GV để cho HS thảo luận cách giải quyết ở trên Đa số HS “cảm nhận” được cách giải quyết ở trên sai ở khâu: tìm GTLN của V x( ) nhưng không phát hiện ra

cụ thể là sai ở điểm nào GV đã đặt ra câu hỏi cho HS: khẳng định 3 10£ đúng hay sai? Thực tiễn cho thấy, nhiều HS khẳng định là “sai”; một số khác còn lưỡng lự không trả lời Qua đó, có thể thấy được nguyên nhân dẫn đến sai lầm của HS trong tình huống này là do không nắm chắc mặt ngữ nghĩa của kí hiệu toán họcA £ B.

A£ B có nghĩa là A<B hoặc A=B Trong trường hợp A£ B, có thể A¹ B Do

Chỉ ra sai lầm của HS ở trên là hết thức cần thiết, nhưng không nên phủ định sạch tất cả những gì mà HS đã trình bày GV nên lần lại lời giải của HS để giúp

HS tìm tòi lời giải Rõ ràng, suy nghĩ của HS trong cách giải trên, tuy chưa hoàn hảo nhưng đã có những sáng tạo HS đã biết biến đổi mô hình bài toán, từ việc tìm GTLN của V qua việc tìm GTLN của 4V để vế trái của nó là tích của các thừa số có tổng 130 không đổi Phát hiện điều này GV nên có tác động: suy nghĩ của các em đã đúng hướng, hãy tạo nên một bất đẳng thức dạng trên nhưng dùng được bất đẳng thức Côsi trong việc tìm giá trị lớn nhất Mong muốn của GV là HS nhận thức ra được vấn đề và tiếp tục công việc như sau: V đạt được GTLN khi và chỉ khi 12V đạt GTLN hay 6 80 2 100x( - x) ( - 4x x); Î (0;25) đạt GTLN Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

Bằng kiến thức về đạo hàm, GTLN của V bằng 18000 khi x=10cm

Bước 6: Kiểm nghiệm mô hình

- Cho học sinh thảo luận về những kiến thức đã sử dụng trong quá trình giải quyết vấn đề

- Kiểm nghiệm lại lời giải bài toán bằng thực tế, có thể mô phổng trên máy tính.

- GV giới thiệu cho học sinh kiến thức toán học như: thể tích khối hộp chữ nhật Bước 7: Thông báo, giải thích, dự đoán

- Thông báo nhóm hoặc đại diện nhóm trình bày nhằm giúp GV đánh giá sản phẩm và năng lực giải quyết vấn đề của từng nhóm.

Trang 12

- GV hướng dẫn HS biết sử dụng ngôn ngữ và công cụ toán học để mô tả ý tưởng toán học, biểu diễn các vấn đề trong thực tiễn

- GV phân tích cho HS thấy việc học giúp cho chúng ta giải quyết các vấn đề trong cuộc sống dễ dàng hơn.

Câu 2: Lấy ví dụ về mở rộng bài toán theo các con đường: khái quát quá, tương tự hóa, đặc biệt hóa, con đường khác.

Cộng vế với vế các BĐT trên ta được ĐPCM

Chúng ta có thể đề xuất bài toán mới như thế nào?

* Nhìn theo góc độ số mũ của hai vế của BĐT (1): Xét riêng a3 và a b2 ta thấy trong sốhạng a3 số mũ của a là 3, trong số hạng a b2 thì số mũ của a là 2, số mũ của b là 1 Nhưvậy số mũ của a đã giảm đi 1 đơn vị nhưng tổng số mũ của a và b trong số hạng a b2 bằng

số mũ của a trong a3 Từ đó ta có những BĐT tương tự sau:

Đặc biệt hóa các giá trị của m, n ta lại có những BĐT mới

Chẳng hạn m = n = 2 ta thu được BĐT quen thuộc a +b4 4 ≥ 2a b 2 2 (6)

Trang 13

n = 5, m = 2 ta thu được BĐT a +b5 5 ≥ a b +b a 3 2 3 2 (7)

* Tiếp tục quan sát số biến của các BĐT, các bài toán trên chỉ áp dụng cho 2 biến ta hoàntoàn có thể mở rộng cho 3 biến, 4 biến, …và khái quát hóa lên n biến Ta có thể xây dựngnhững BĐT tương tự sau:

Khái quát hóa bài toán trên trong trường hợp n biến

Cho n số dương a , a , a , a1 2 3 n, m, k ∈ ¥ , m k ≥ Chứng minh rằng:

a +a + +a ≥ a a +a a + +a a (10)

BĐT này chứng minh tương tự như ở cách giải 2

Bằng những cách làm đó ta có thể hướng học sinh độc lập suy nghĩ để không ngừngrèn luyện trí thông minh và sự sáng tạo

Ta có thể sáng tạo được BĐT (2), (3), (4), (6), (7) nhờ sự tương tự với BĐT (1) Đốichiếu sự tương ứng giữa các BĐT tìm ra dấu hiệu bản chất của chúng để xây dựng được bàitoán tổng quát Từ đó bằng khái quát hóa để được BĐT (4), (5) và (10), ta thấy mức độ kháiquát hóa ở đây cũng tăng dần

Tính sáng tạo sẽ phát triển cao hơn nếu ta biết đề xuất và giải quyết các bài toán mới từnhững bài toán đã biết

có chứng minh Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh chứng minh BĐT trên như sau:

Trang 14

Giáo viên: Thay b =3 a a a1 2 3 thì (*) có dạng gì?

Giáo viên: Như vậy BĐT trên được chứng minh nhờ thao tác đặc biệt hóa

Cách 2: Sử dụng tương tự và đặc biệt hóa.

Chúng ta có thể biểu diễn (1) dưới dạng:

⇔ ≥ luôn đúng Đẳng thức xảy ra khi a = a1 2.

Vấn đề là sự tương tự giữa (2) và (3) có giúp gì cho việc chứng minh hay không?

Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm mối liên hệ giữa (2) và (3)

Trang 15

Áp dụng (3) cho các cặp số không âm ( a ; a , a ; a1 2) ( 3 4) ta được điều gì?

  Như vậy (2) đã được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi a = a = a1 2 3.

Quá trình trên là cả một chuỗi từ KQH → TT → ÐBH → KQH → ÐBH

Sau khi tìm được lời giải, học sinh cần kiểm tra lời giải Kiểm tra lại lời giải bài toántức là xem xét lời giải có sai lầm hay thiếu sót gì không? Sai lầm khi chứng minh BĐTthường bắt nguồn từ việc vận dụng các BĐT cổ điển mà không để ý đến điều kiện để BĐTđúng hoặc sử dụng sai sót các quy tắc suy luận khi từ BĐT này suy ra BĐT kia

Trang 16

Nhóm 2

 Xét bài toán 1:

Cho a, b > 0 Chứng minh rằng : a3+ ≥b3 a b ab2 + 2

Chúng ta có thể giải bài toán theo hai cách sau:

Cách 1: ( sử dụng phép biến đổi tương đương).

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh

 Bài toán tương tự hóa, ta có bài toán :

 Bài toán đặc biệt hóa:

Với n=4,m=2 ,ta có được bài toán bất đẳng sau : a4+b4 ≥2a b2 2

Tương tự: n=5,m=2,ta có được bài toán bất đẳng sau : a5+ ≥b5 a b3 2+a b2 3

 Từ khái hoát hóa đó , ta có các bài toán tương tự như sau :

• Cho a, b,c > 0 Chứng minh rằng : a3+ + ≥b3 c3 a b b c c a2 + 2 + 2

• Cho a, b,c > 0 Chứng minh rằng : a4+ + ≥b4 c4 a b2 2+b c2 2+c a2 2

Trang 17

 Khái hoát hóa bài toán trên trong trường hợp n biến

Cho n số dương a a1, , ,2 a m k N m k n, , ∈ , ≥ Chứng minh rằng:

Giải quyết bài toán không phải đơn giản, ta không biết được tổng các khoảng cách

đó là gì? Để tính được tổng đó ta lấy một trường hợp riêng: chọn điểm đó trùng với đỉnh

của tam giác Dễ dàng nhận thấy tổng đó bằng đường cao của tam giác đều.

Vấn đề bây giờ là chứng minh tổng số các khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến cáccạnh của tam giác đều bằng đường cao

Khó khăn tiếp theo là làm sao liên hệ được tổng ba khoảng cách ấy với đường cao

Để giải quyết ta tiếp tục xét trường hợp riêng sau: Điểm đó nằm trên một cạnh của tam giác:

Lúc này ta chỉ cần tính MI + MJ vì d (M , AC ) = 0.Từ M vẽ MN // BC, N∈BC Gọi

O = MN AH Rõ ràng ∆ AMN đều ⇒ MJ= AO.

Mặt khác MI = OH, nên MI + MJ = OH + AO = AH.

Từ những trường hợp đặt biệt đó ta bước vào trường hợp tổng quát: M là điểm bất kỳ:

Qua M kẻ đường thẳng song song BC cắt AB và AC lần lượt tại

Trang 18

tự với tam giác đều trong không gian? Dễ dạng nhận ra đó là tứ diện đều; còn đường caocủa tam giác đều ứng với đường cao của tứ diện đều.

Vậy có thể chứng minh được bài toán: “Tổng khoảng cách từ một điểm bất kỳ bêntrong tứ diện đều tới các mặt bằng đường cao của tứ diện”

Cách 2 Áp dụng BDT Cauchy cho 3 số không âm ta có:

a3 + a3 + b3≥ 3 a b3 6 3= 3a2b ⇔ 2a3 + b3≥ 3a2btương tự ta có b3 + b3 + a3≥ 3 b a3 6 3 = 3b2a ⇔ 2b3 + a3≥ 3ab2

Cộng vế theo vế ta có a3 + b3≥ a2b +ab2

a Mở rộng bài toán theo con đường tương tự :

Bài toán: Cho a, b ≥0 CMR: a4 +b4≥ a3b + ab3

Bài toán: Cho a, b ≥0 CMR: an + bn≥ an – 1b + abn – 1 ( n ∈ N*)

b Mở rộng bài toán theo con đường đặc biệt hóa.

Đặc biệt hóa bài toán bằng cách cho a 0≥ , b = 2 Khi đó ta được bài toán mới:

Bài toán: Cho a ≥0 Chứng minh rằng: a3 + 8 ≥ 2a2 +4a

Trang 19

c Mở rộng bài toán theo con đường khái quát

Từ bài toán ban đầu, ta có thể khái quát bài toán trong trường hợp 3 số không âm a, b, c

Bài toán: Cho a, b, c ≥0 CMR: a3 + b3 + c3≥ a2b + b2c + c2a

 Khái quát bài toán trong trường hợp 4 số không âm a, b, c, d

Bài toán: Cho a, b, c, d ≥0 CMR: a3 + b3 + c3 + d3≥ a2b + b2c + c2a + d2a

 Khái quát hóa bài toán trong trường hợp n số không âm a 1 , a 2 , … , a n

Bài toán: Cho n số không âm a1, a2, … , an và n ∈ N*

d Mở rộng bài toán theo con đường khác

Bài toán: Cho n số không âm a1, a2, … , an và m, k ∈ N*, m ≥ k

Trang 20

O

C Hình 1b D B

A

O

Hình 1a C B

A

O

Chúng ta có 3 trường hợp sau:

- Tâm O nằm trên cạnh của góc (hình 1a)

- Tâm O nằm bên trong góc nội tiếp (hình 1b).

- Tâm O nằm bên ngoài góc nội tiếp (hình 1c).

Trong ba trường hợp trên chúng ta đều chứng minh được góc nội tiếp bằng một nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung Từ đó bằng khái quát hóa chúng ta đi đến qui luật phổ biến đối với mọi góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung nói chung Định lí được rút ra nhờ khái quát hóa trên cơ sở phân tích ba trường hợp riêng

lẻ có thể xảy ra (và chỉ có thể xảy ra một trong ba trường hợp đó mà thôi)

Trang 21

Cho D là trung điểm của đoạn thẳng AM Trên cùng một nữa mặt phẳng bờ AM vẽ nửa đường tròn đường kính AM và nửa đường tròn đường kính AD Tiếp tuyến tại D của nửa đường tròn đường kính AD cắt nửa đường tròn lớn tại C và tiếp tuyến tại C của nửa đường tròn lớn cắt tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn nhỏ tại B P là một điểm bất kì trên cung nhỏ AC đường thẳng PD cắt nửa đường tròn nhỏ tại K Chứng minh AP là tia phân giác góc BAK.

D

CP

Tứ giác ABCD là một hình vuông, ta có thể thay đổi giả thiết ta có các bài toán mới như sau: Cho hình vuông ABCD, vẽ nửa đường tròn đường kính AD, lấy D làm tâm

vẽ cung tròn AC trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là AD Nối D với một điểm P bất

kỳ trên cung AC, DP cắt nửa đường tròn đường kính AD tại K Kẻ PN vuông góc với

AB Chứng minh rằng tam giác AKN cân tại A.

Ví dụ 2: Trong hình học phẳng ta có bài toán sau:

Cho tam giác ABC có O, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm tam giác ABC Chứng minh rằng O, G, H thẳng hàng.

Ta có bài toán tương tự trong không gian:

Cho tứ diện ABCD có O, G, H lần lượt là tâm hình cầu ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tứ diện Chứng minh rằng 3 điểm O, G, H thẳng hàng.

3 Đặc biệt hóa:

Ví dụ : Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A Kẻ đường kínhAOB và

AO’C Gọi DE là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn, D thuộc (O) và E thuộc (O’) Gọi M là giao điểm của BD và CE CM tứ giác ADME là hình chữ nhật.

GT (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A

Trang 22

DE là tiếp tuyến chung của (O)và (O’)

Nếu hai đường tròn không tiếp xúc ngoài với nhau mà ở ngoài nhau thì kết luận của bài toán vẫn đúng Ta có bài toán khác:

Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau Đường nối tâm OO’ cắt (O) và (O’) tại các điểm A, B, C, D theo thứ tự trên đường thẳng đó Gọi EF là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn, E thuộc (O) và F thuộc (O’) Gọi M là giao điểm của

AE và DF; N là giao điểm của EB và FC Chứng minh tứ giác MENF là hình chữ nhật.

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC nội tiếp trong một đường tròn O

vẽ đường cao AH và bán kính OA Chứng minh rằng: OAH· = −B Cµ µ

Trang 23

KL OAH = B - C · µ µ

thiết lập bài toán tương tự ta có:

Cho tam giác ABC có Â < 90o và AB < AC nội tiếp trong một đường tròn O vẽ đường cao AH và bán kính OA Chứng minh rằng: OAH· = −B Cµ µ .

∠A < 90°

E

O B

Trang 24

Câu 3: So sánh hệ tiên đề Hilbert, hệ tiên đề Pogorelov, hệ tiên đề hình học phổ thông Nhóm 1

Khi xây dựng một số lý thuyết hình học người ta cần phải có các khái niệm cơ bản (là những khái niệm đầu tiên không định nghĩa), và các tiên đề (là những mệnh đề xuất phát,được thừa nhận là đúng) Tuy nhiên hệ thống các tiên đề cần phải được đảm bảo điều kiện phi mâu thuẫn, điều kiện độc lập, điều kiện đầy đủ

So sánh hệ tiên đề Hilbert, hệ tiên đề Pogorelov, hệ tiên đề hình học phổ thông.

- Sáu khái niệm cơ bản:

Điểm, Đường thẳng, mặt phẳng (đối tượng

cơ bản) thuộc, ở giữa, bằng (tương quan cơ bản)

- Khái niệm cơ bản:

Điểm, Đường thẳng, mặt phẳng, điểm nằm giữa hai điểm khác, Độ dài đoạn thẳng, số đo (độ) của góc

Xây dựng dựa theo tinh thần hệ tiên đề

Pogorelov

- Khái niệm cơ bản:

Điểm, Đường thẳng, Mặt phẳng, Điểm thuộc đường thẳng, điểm nằm giữa hai điểm khác, Độ dài đoạn thẳng, số đo (độ) của góc

Các tiên đề được đưa ra ngắn gọn dễ hiểu hơn,

+ Nhóm 8 tiên đề “liênthuộc”

+ Nhóm 4 tiên đề “thứtự”

+ Nhóm 5 tiên đề

“bằng nhau”

+ Nhóm 2 tiên đề liên tục

+ Nhóm 1 tiên đề về song song

- Hệ tiên đề này gồm 6 nhóm

+ Nhóm tiên đề về liên thuộc giữa điểm và đường thẳng trong mặt phẳng

+ Nhóm tiên đề về vị trítương đối của điểm trênđường thẳng và trên mặt phẳng

+ Nhóm tiên đề về đo đoạn thẳng và đo góc

+ Nhóm tiên đề về đặt đoạn thẳng có độ dài cho trước và đặt góc có

số đo cho trước

+ Nhóm tiên đề về

- Hệ tiên hình học

phẳng: gồm 6 nhóm

+ Nhóm tiên đề về liên thuộc

+ Nhóm tiên đề liên quan đến khái niệm nằmgiữa

+ Nhóm tiên đề liên quan đến khái niệm độ dài đoạn thẳng

+ Nhóm tiên đề liên quan đến khái niệm số

đo góc

+ Tiên đề về hai tam giác bằng nhau

+ Tiên đề Ơclit

Trang 25

đường thẳng song song.

+ Nhóm tiên đề hình học không gian

của không gian, mà

việc nghiên cứu nhiều

chiều là đòi hỏi của

Trang 26

Nhóm 2

a) Sự giống nhau giữa hai hệ tiên đề Hinbe và Pogorelov:

- Cả hai hệ tiên đề đã khắc phục được nhược điểm của hệ thiên đề Owclit mà không

có các tiên đề về sự lien tục

- Một số tiên đề, định lí của hệ tiên đề này là tiên đề hay định lý của hệ tiên đề kia:

Trong hệ tiên đề Hinbe, định lý của hệ tiên đề Pogorelov là một tiên đề, gọi là tiên

đề II ( tiên đề Pát ): Cho ba diểm A, B, C không cùng thuộc một đường thẳng vàmột đường thẳng a thuộc mặt phẳng (ABC) nhưng khong thuộc bất cứ điểm nàotrong ba điểm A, B, C cả Nếu đường thẳng a có một điểm chung với đoạn thẳng

AB thì nó còn có một điểm chung nữa hoặc với đoạn AC hoặc với đoạn BC

Trong hệ tiên đề Hinbe, hệ quả 3 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 8: Nếu điểm B

ở giữa A, C điểm C ở giữa B và D thì các điểm B và C đều ở giữa A và D

Trong hệ tiên đề Hinbe, hệ quả 4 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 9: Nếu điểm C

ở giữa A và D, điểm B ở giữa A và C thì điểm B ở giưa A, D và điểm C ở giữa B

và D

Trong hệ tiên đề Hinbe, định lý 3 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 9: Nếu hai tamgiác ABC và A’B’C’ có AB = A’B’, AC = A’C’,µA A= µ ' thì hai tam giác ABC bằngtam giác A’B’C’

Trong hệ tiên đề Hinbe, định lý 4 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 20: Nếu haitam giác ABC và A’B’C’ có AB=A’B’, µA A B B=µ µ', = µ' thì hai tam giác ABC bằngtam giác A’B’C’

Trong hệ tiên đề Hinbe, định lý 5 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 21: Nếu haitam giác ABC có AC = CB thì ·CAB CBA=· và ·CBA CAB= ·

Trong hệ tiên đề Hinbe, định lý 6 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 23: Nếu haitam giác ABC và A’B’C’ có AB = A’B’, AC = A’C’, BC = B’C’ thì hai tam giácABC bằng tam giác A’B’C’

Trong hệ tiên đề Hinbe, định lý 7 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 29: Góc ngoàicủa một tam giác lớn hơn mỗi góc trong kề với góc đó

Trong hệ tiên đề Hinbe, định lý 8 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 30: Trong mộttam giác, đối diện với các cạnh lớn hơn có góc lớn hơn và ngược lại đối diện vớigóc lớn hơn có cạnh lớn hơn

Trong hệ tiên đề Hinbe, định lý 10 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 37: cho a, b,

c là ba đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và nếu c cắt a, b tạo nên hai góc

so le trong bằng nhau thì a và b song song với nhau

Trong hệ tiên đề Hinbe, định lý 11 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 38: Qua mộtđiểm không thuộc một đường thẳng cho trước bao giờ cũng có một đường thẳngsong song với đường thẳng cho trước đó

 Trong hệ tiên đề Hinbe, định lý 12 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 39: Haiđường thẳng song song tạo với một cát tuyến hai góc so le trong bằng nhau

Trang 27

Trong hệ tiên đề Hinbe, định lý 13 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 40: Trongmỗi tam giác tổng các góc bằng hai vuông.

b) Sự khác nhau giữa hai hệ tiên đề Hinbe và hệ tiên đề Pogorelov

Sự khác nhau thể hệ tiên đề Hinbe ở số lượng, vị trí, thứ tự sắp xếp các tiên đề, định

lý, hệ quả trong hai hệ tiên đề:

Hệ tiên đề Hinbe Hệ tiên đề Pogorelov

+ Nhóm tiên đề về hình học không gian(3TĐ)

c) Ưu điểm của hệ tiên đề Pogorelov

- Đã sử dụng ngôn ngữ lý thuyết tập hợp và tính chất của trường số thực, do đó nókhông cồng kềnh, phù hợp cho giảng dạy ở trường phổ thông

- Số lượng các khái niệm cơ bản tương đối ít

- Những nội dung có liên quan đến tính liên tục của các điểm trên đường thẳng và trênmặt phẳng được trình bày thông qua việc sử dụng các tính chất của trường số thực

- Có thể sử dụng ký hiệu, ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp và do đó có thể trình bày cáckhái niệm khác nhau như khái niệm biến hình một cách hệ tiên đề Hinbe đại, rõ ràng

- Có thể dụng phương pháp tọa độ để việc nghiêm cứu hình học bằng cách chọn cáctrục số, mỗi điểm trên đường thẳng ứng với một số, một điểm trong mặt phẳng ứng

Trang 28

với một bộ hai số có thứ tự và mỗi điểm trong không gian ứng với một bộ ba số cóthứ thự.

Trang 29

Nhóm 3

- Cả hai hệ tiên đề đã khắc phục được nhược điểm của hệ thiên đề Ơclit mà không cócác tiên đề về sự liên tục

+ Trong hệ tiên đề Hinbe, định lý của hệ tiên đề Pogorelov là một tiên đề, gọi là tiên

đề II ( tiên đề Pát ): Cho ba diểm A, B, C không cùng thuộc một đường thẳng và mộtđường thẳng a thuộc mặt phẳng (ABC) nhưng không thuộc bất cứ điểm nào trong ba điểm

A, B, C cả Nếu đường thẳng a có một điểm chung với đoạn thẳng AB thì nó còn có mộtđiểm chung nữa hoặc với đoạn AC hoặc với đoạn BC

+ Trong hệ tiên đề Hinbe, hệ quả 3 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 8: Nếu điểm B

ở giữa A, C điểm C ở giữa B và D thì các điểm B và C đều ở giữa A và D

+ Trong hệ tiên đề Hinbe, hệ quả 4 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 9: Nếu điểm C

ở giữa A và D, điểm B ở giữa A và C thì điểm B ở giữa A, D và điểm C ở giữa B và D

+ Trong hệ tiên đề Hinbe, định lý 3 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 9: Nếu haitam giác ABC và A’B’C’ có AB = A’B’, AC = A’C’,µA A= µ ' thì hai tam giác ABC bằng tamgiác A’B’C’

+ Trong hệ tiên đề Hinbe, định lý 4 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 20: Nếu haitam giác ABC và A’B’C’ có AB=A’B’, µA A B B= µ µ', =µ' thì hai tam giác ABC bằng tam giácA’B’C’

+ Trong hệ tiên đề Hinbe, định lý 5 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 21: Nếu haitam giác ABC có AC = CB thì ·CAB CBA=· và ·CBA CAB= ·

+ Trong hệ tiên đề Hinbe, định lý 6 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 23: Nếu haitam giác ABC và A’B’C’ có AB = A’B’, AC = A’C’, BC = B’C’ thì hai tam giác ABC bằngtam giác A’B’C’

+ Trong hệ tiên đề Hinbe, định lý 7 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 29: Góc ngoàicủa một tam giác lớn hơn mỗi góc trong kề với góc đó

+ Trong hệ tiên đề Hinbe, định lý 8 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 30: Trong mộttam giác, đối diện với các cạnh lớn hơn có góc lớn hơn và ngược lại đối diện với góc lớnhơn có cạnh lớn hơn

+ Trong hệ tiên đề Hinbe, định lý 10 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 37: cho a, b,

c là ba đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và nếu c cắt a, b tạo nên hai góc so letrong bằng nhau thì a và b song song với nhau

+ Trong hệ tiên đề Hinbe, định lý 11 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 38: Qua mộtđiểm không thuộc một đường thẳng cho trước bao giờ cũng có một đường thẳng song songvới đường thẳng cho trước đó

+ Trong hệ tiên đề Hinbe, định lý 12 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 39: Haiđường thẳng song song tạo với một cát tuyến hai góc so le trong bằng nhau

+ Trong hệ tiên đề Hinbe, định lý 13 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 40: Trongmỗi tam giác tổng các góc bằng hai vuông

Trang 30

Sự khác nhau thể hệ tiên đề Hinbe ở số lượng, vị trí, thứ tự sắp xếp các tiên đề, định

lý, hệ quả trong hai hệ tiên đề:

+ Nhóm tiên đề về hình học không gian(3TĐ)

- Đã sử dụng ngôn ngữ lý thuyết tập hợp và tính chất của trường số thực, do đó nó khôngcồng kềnh, phù hợp cho giảng dạy ở trường phổ thông

- Số lượng các khái niệm cơ bản tương đối ít

- Những nội dung có liên quan đến tính liên tục của các điểm trên đường thẳng và trênmặt phẳng được trình bày thông qua việc sử dụng các tính chất của trường số thực

- Có thể sử dụng ký hiệu, ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp và do đó có thể trình bày cáckhái niệm khác nhau như khái niệm biến hình một cách hệ tiên đề Hinbe đại, rõ ràng

- Có thể dụng phương pháp tọa độ để việc nghiêm cứu hình học bằng cách chọn các trục

số, mỗi điểm trên đường thẳng ứng với một số, một điểm trong mặt phẳng ứng với một bộhai số có thứ tự và mỗi điểm trong không gian ứng với một bộ ba số có thứ tự

Trang 31

Nhóm 4

- Cả hai hệ tiên đề đã khắc phục được nhược điểm của hệ thiên đề Ơclit mà không có các tiên đề về sự liên tục.

+ Trong hệ tiên đề Hinbe, định lý của hệ tiên đề Pogorelov là một tiên đề, gọi

là tiên đề II ( tiên đề Pát): Cho ba diểm A, B, C không cùng thuộc một đường thẳng

và một đường thẳng a thuộc mặt phẳng (ABC) nhưng không thuộc bất cứ điểm nào trong ba điểm A, B, C cả Nếu đường thẳng a có một điểm chung với đoạn thẳng AB thì nó còn có một điểm chung nữa hoặc với đoạn AC hoặc với đoạn BC.

+ Trong hệ tiên đề Hinbe, hệ quả 3 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 8: Nếu điểm B ở giữa A, C điểm C ở giữa B và D thì các điểm B

và C đều ở giữa A và D.

+ Trong hệ tiên đề Hinbe, hệ quả 4 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 9: Nếu điểm C ở giữa A và D, điểm B ở giữa A và C thì điểm B ở giữa A, D và điểm C ở giữa B và D.

+ Trong hệ tiên đề Hinbe, định lý 3 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 9: Nếu hai tam giác ABC và A’B’C’ có AB = A’B’, AC = A’C’, µA A= µ ' thì hai tam giác ABC bằng tam giác A’B’C’

+ Trong hệ tiên đề Hinbe, định lý 4 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 20: Nếu hai tam giác ABC và A’B’C’ có AB=A’B’,µA A B B=µ µ', =µ' thì hai tam giác ABC bằng tam giác A’B’C’.

+ Trong hệ tiên đề Hinbe, định lý 5 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 21: Nếu hai tam giác ABC có AC = CB thìCAB CBA· = · và CBA CAB· = · .

+ Trong hệ tiên đề Hinbe, định lý 6 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 23: Nếu hai tam giác ABC và A’B’C’ có AB=A’B’, AC=A’C’, BC=B’C’ thì hai tam giác ABC bằng tam giác A’B’C’.

+ Trong hệ tiên đề Hinbe, định lý 7 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 29: Góc ngoài của một tam giác lớn hơn mỗi góc trong kề với góc đó.

+ Trong hệ tiên đề Hinbe, định lý 8 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 30: Trong một tam giác, đối diện với các cạnh lớn hơn có góc lớn hơn và ngược lại đối diện với góc lớn hơn có cạnh lớn hơn.

+ Trong hệ tiên đề Hinbe, định lý 10 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 37: cho a, b, c là ba đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và nếu c cắt a, b tạo nên hai góc so le trong bằng nhau thì a và b song song với nhau.

+ Trong hệ tiên đề Hinbe, định lý 11 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 38: Qua một điểm không thuộc một đường thẳng cho trước bao giờ cũng có một đường thẳng song song với đường thẳng cho trước đó.

Trang 32

+ Trong hệ tiên đề Hinbe, định lý 12 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 39: Hai đường thẳng song song tạo với một cát tuyến hai góc so le trong bằng nhau.

+ Trong hệ tiên đề Hinbe, định lý 13 của hệ tiên đề Pogorelov là định lý 40: Trong mỗi tam giác tổng các góc bằng hai vuông.

Sự khác nhau thể hệ tiên đề Hinbe ở số lượng, vị trí, thứ tự sắp xếp các tiên đề, định lý, hệ quả trong hai hệ tiên đề:

+ Nhóm tiên đề về đặt đoạn thẳng có độ dài cho trước và đặt góc có số đo cho trước (3TĐ).

+ Nhóm tiên đề về song song (1TĐ).

+ Nhóm tiên đề về hình học không gian (3TĐ).

- Đã sử dụng ngôn ngữ lý thuyết tập hợp và tính chất của trường số thực, do đó nó không cồng kềnh, phù hợp cho giảng dạy ở trường phổ thông.

- Số lượng các khái niệm cơ bản tương đối ít.

- Những nội dung có liên quan đến tính liên tục của các điểm trên đường thẳng và trên mặt phẳng được trình bày thông qua việc sử dụng các tính chất của trường số thực.

- Có thể sử dụng ký hiệu, ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp và do đó có thể trình bày các khái niệm khác nhau như khái niệm biến hình một cách hệ tiên đề Hinbeện đại, rõ ràng.

Trang 33

- Có thể dụng phương pháp tọa độ để việc nghiêm cứu hình học bằng cách chọn các trục số, mỗi điểm trên đường thẳng ứng với một số, một điểm trong mặt phẳng ứng với một bộ hai số có thứ tự và mỗi điểm trong không gian ứng với một bộ ba số có thứ thự.

Trang 34

Câu 4: Hệ tiên đề hình học dùng trong phổ thông thể hiện như thế nào trong sách giáo khoa Nhóm 1

Trong sách giáo khoa hình học ở trường phổ thông, chúng ta gặp những khái niệmđầu tiên của hình học như điểm, đường thẳng, mặt phẳng, điểm thuôc đường thẳng,…Cáckhái niệm này được mô tả bằng hình ảnh của chúng và đều không được định nghĩa Người

ta gọi đó là các khái niệm cơ bản và dùng chúng để định nghĩa các khái niệm khác Hơnnữa, khi học Hình học, chúng ta còn gặp những mệnh đề toán học thừa nhận những tính chấtđúng đắn đơn giản nhất của đường thẳng và mặt phẳng mà không chứng minh, đó là các tiên

đề hình học

Hệ tiên đề để xây dựng hình học phổ thông Việt Nam gồm có 19 tiên đề gồm haiphần:

 Hệ tiên đề của hình học Ơ-clit trên mặt phẳng

Khái niệm cơ bản: Điểm, đường thẳng (đường thẳng được hiểu là một tập hợp điểm,nên có thể nói về điểm thuộc đường thẳng hay không thuộc đường thẳng, đường thẳng điqua hay không đi qua điểm), quan hệ điểm ở giữa hai điểm, độ dài đoạn thẳng, số đo góc

Các tiên đề:

Tiên đề 1: Đường thẳng là một tập hợp chứa nhiều điểm Có nhiều đường thẳng.

Tiên đề 1 được thể hiện trong sách giáo khoa Toán 6 tập 1 phần hình học, chương 1,

bài 1: “Điểm Đường thẳng” dưới dạng một tính chất: “Bất cứ hình nào cũng là một tập hợp các điểm.”

Tiên đề 2: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt cho trước

bài 3: “Đường thẳng đi qua hai điểm” dưới dạng một nhận xét: “Có một đường thẳng và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm A và B.”

Tiên đề 3: Trong 3 điểm thẳng hàng và phân biệt, có một và chỉ một điểm ở giữa hai điểm

còn lại

bài 2: “Ba điểm thẳng hàng” dưới dạng một nhận xét: “Trong ba điểm thẳng hàng, có một

và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại.”

Tiên đề 4: Mỗi điểm O của một một đường thẳng chia các điểm còn lại của đường thẳng

thành hai tập hợp điểm không rỗng, không giao nhau, sao cho:

- Hai điểm phân biệt thuộc cùng một tập hợp khi và chỉ khi điểm O không nằm giữa chúng

- Hai điểm phân biệt thuộc hai tập hợp khác nhau khi và chỉ khi điểm O nằm giữa chúng.Định nghĩa: Điểm O cùng với một trong hai tập hợp nói trên được gọi là tia, điểm O là gốccủa tia Tia có gốc O và chứa điểm A kí hiệu là tia OA

Định nghĩa: Tập hợp gồm hai điểm phân biệt A, B và những điểm giữa chúng gọi là đoạnthẳng AB và BA Hai điểm A, B gọi là hai đầu (hoặc mút) của đoạn thẳng AB

Tiên đề 4 được thể hiện trong sách giáo khoa Toán 6 tập 1 phần hình học, chương 1, các bàisau:

- Bài 2: “Ba điểm thẳng hàng” trong mục 2 nói về quan hệ giữa ba điểm thẳng hàng:

“Hai điểm C và B nằm cùng phía đối với điểm A Hai điểm A và C nằm cùng phía đối với điểm B Hai điểm A và B nằm khác phía đối với điểm C Điểm C nằm giữa hai điểm A và B.”

Trang 35

- Bài 5: “Tia” thể hiện ở phần khái niệm: “Hình gồm điểm O và một phần đườngthẳng bị chia ra bởi điểm O được gọi là tia gốc O (còn được gọi là một nửa đường thẳng gốcO).

- Bài 6: “Đoạn thẳng” thể hiện ở phần khái niệm: “Đoạn thẳng AB là hình gồm điểm A, điểm B và tất cả các điểm nằm giữa A và B Đoạn thẳng AB còn được gọi đoạn thẳng BA Hai điểm A, B là hai mút (hoặc hai đầu) của đoạn thẳng AB”.

Tiên đề 5: Mỗi đường thẳng a chia các điểm không thuộc nó thành hai tập hợp không rỗng,

không giao nhau sao cho:

- Hai điểm A, B phân biệt thuộc cùng một tập hợp khi và chỉ khi đoạn thẳng AB và đườngthẳng a không có điểm chung

- Hai điểm A, B thuộc hai tập hợp khác nhau khi và chỉ khi đoạn thẳng AB và đường thẳng a

có điểm chung

Định nghĩa: Hình gồm một trong hai tập hợp nói trên và đường thẳng a được gọi là nửa mặtphẳng Hợp của hai nửa mặt phẳng có bờ chung gọi là mặt phẳng

bài 1: “Nửa mặt phẳng” như sau:

- Khái niệm: “Hình gồm đường thẳng a và một phần của mặt phẳng bị chia cắt bởi a được gọi là nữa mặt phẳng bờ a Hai nửa mặt phẳng có chung bờ được gọi là hai nửa mặt phẳng đối nhau”.

- Tính chất: “Bất kì đường thẳng nào nằm trên mặt phẳng cũng là bờ chung của hai mặt phẳng đối nhau”.

- Từ hình vẽ, ta nói: “Hai điểm M, N nằm cùng phía đối với đường thẳng a; hai điểm

N, P (hoặc M, P) nằm khác phía đối với đường thẳng a”.

Tiên đề 6: Mỗi đoạn thẳng có một độ dài xác định là một số dương

Kí hiệu: Độ dài đoạn thẳng AB cũng được kí hiệu là AB

bài 7: “Độ dài đoạn thẳng” dưới dạng nhận xét: “Mỗi đoạn thẳng có một độ dài xác định.

Độ dài đoạn thẳng là một số lớn hơn 0”, và “độ dài đoạn thẳng AB bằng 17 mm kí hiệu là

AB =17 mm”

Tiên đề 7: Nếu điểm M ở giữa 2 điểm A và B thì độ dài đoạn thẳng AB bằng tổng độ dài 2

đoạn thẳng AM và MB tức là AB = AM + MB

bài 8: “Khi nào thì AM + MB = AB” dưới dạng nhận xét: “Nếu điểm M nằm giữa 2 điểm A

và B thì AM + MB = AB Ngược lại, nếu AM + MB = AB thì điểm M nằm giữa hai điểm A

và B.”

Tiên đề 8: Trên một tia Ox cho trước, với bất kì số dương m , bao giờ cũng có duy nhất

điểm M sao cho OM = m

Định nghĩa: Hình gồm hai tia Ox và Oy có góc O chung gọi là góc Điểm O gọi là đỉnh củagóc Hai tia Ox, Oy gọi là hai cạnh của góc Góc có hai cạnh trùng nhau gọi là góc là góckhông Góc có hai cạnh hợp thành một đường thẳng gọi là góc bẹt

Định nghĩa: Cho góc xOy khác góc không và khác góc bẹt Một tia Ot là nằm trong gócxOy nếu có ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên tia Ox, Oy, Ot sao cho điểm C nằm giữa haiđiểm A và B

bài 9: “Vẽ đoạn thẳng cho biết độ dài” dưới dạng nhận xét: “Trên tia Ox bao giờ cũng vẽ được một và chỉ một điểm M sao cho OM = a”.

Trang 36

Định nghĩa được thể hiện trong sách giáo khoa Toán 6 tập 2 phần hình học, chương

2, bài 2: “Góc” dưới dạng khái niệm: “Góc là hình gồm hai tia chung gốc Gốc chung của hai tia là đỉnh của góc Hai tia là hai cạnh của góc”

2, bài 1: “Nửa mặt phẳng” như sau: “Cho ba tia Ox, Oy, Oz chung gốc Lấy điểm M nằm bất kì trên tia Ox, lấy điểm N bất kì trên tia Oy (M và N đều không trùng với điểm O) Tia

Oz cắt đoạn thẳng MN tại một điểm nằm giữa M và N, ta nói tia Oz nằm giữa hai tia Ox,

Oy Và còn được thể hiện trong sách giáo khoa Toán 6 tập 2 phần hình học, chương 2, bài 2:

“Góc” dưới dạng tính chất : “Khi hai tia Ox, Oy không đối nhau, điểm M nằm bên trong góc xOy nếu tia OM nằm giữa Ox, Oy Khi đó ta còn nói: Tia OM nằm trong góc xOy”.

Tiên đề 9: Mỗi góc đều có một số đo xác định tính bằng độ Góc không có số đo bé nhất

bằng 0o, góc bẹt có số đo lớn nhất bằng 180 o

Kí hiệu: Số đo của góc xOy được kí hiệu

bài 3: “Số đo góc” dưới dạng nhận xét: “Mỗi góc có một số đo Số đo của góc bẹt là 180 o

Số đo của mỗi góc không vượt quá 180 o ”, và phần kí hiệu: “Số đo của góc xOy được kí hiệu

”

Tiên đề 10: Nếu tia Ot nằm trong góc thì số đo góc bằng tổng số đo của 2 góc và:

bài 4: “Khi nào thì ” dưới dạng nhận xét: “Nếu tia nằm giữa 2 tia

bài 5: “Vẽ góc cho biết số đo” dưới dạng nhận xét: “Trên nửa mặt phẳng cho trước có bờ chứa tia , bao giờ cũng vẽ được một và chỉ một tia sao cho ”.

2, như sau: “Tam giác ABC là hình gồm ba đoạn thẳng AB, BC, CA khi ba điểm A, B, C không thẳng hàng Ba điểm A, B, C là ba đỉnh của tam giác, ba đoạn thẳng AB, BC, CA gọi

là ba cạnh của tam giác, các góc BAC, ABC, BCA gọi là ba góc của tam giác.”.

2, bài 2: “Hai tam giác bằng nhau” như sau: “Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.”

Trang 37

Tiên đề 12: Hai tam giác ABC và gọi là bằng nhau nếu , và

Định nghĩa: Hai đường thẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung

bài 4: “Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác (cạnh-góc-cạnh)” dưới dạng tính chất

cơ bản: “Nếu 2 cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng 2 cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì 2 tam giác đó bằng nhau”; và hệ quả suy ra tính chất cơ bản đó: “Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau”.

1, bài 3: “Đường thẳng đi qua hai điểm” dưới dạng định nghĩa: “Hai đường thẳng xy và zt không có điểm chung nào (dù có kéo dài về hai phía), ta nói chúng song song với nhau” Và

còn được nhắc lại trong sách giáo khoa Toán 7 tập 1 phần hình học, chương 1, bài 4: “Hai

đường thẳng song song” qua phần nhắc kiến thức lớp 6: “Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung”.

Tiên đề 13: Nếu điểm không thuộc đường thẳng thì qua có không quá một đường

thằng song song với đường thẳng

bài 5: “Tiên đề clit về đường thẳng song song” dưới dạng tính chất mang tên “tiên đề clit” sau: “Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó”.

Ơ- Hệ tiên đề của hình học không gian

Hệ tiên đề của hình học ơ-clit trong không gian bao gồm các tiên đề của Hình họcphẳng và bổ sung thêm một khái niệm cơ bản là “mặt phẳng” và 6 tiên đề sau đây:

Tiên đề 14: Có ít nhất bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

Tiên đề 14 được thể hiện trong sách giáo khoa Hình học 11, chương 2, bài 1: “Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng” dưới dạng tính chất thừa nhận 4: “Tồn tại bốn điểm

không cùng thuộc một mặt phẳng.”

Tiên đề 15: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng cho trước.

Tiên đề 15 được thể hiện trong sách giáo khoa Hình học 11, chương 2, bài 1: “Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng” dưới dạng tính chất thừa nhận 2: “Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng”.

Tiên đề 16: Nếu một đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm

của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó

Tiên đề 16 được thể hiện trong sách giáo khoa Hình học 11, chương 2, bài 1: “Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng” dưới dạng tính chất thừa nhận 3: “Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.”

Tiên đề 17: Nếu 2 mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác

nữa

Tiên đề 17 được thể hiện trong sách giáo khoa Hình học 11, chương 2, bài 1: “Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng” dưới dạng tính chất thừa nhận 5: “Nếu 2 mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa”.

Tiên đề 18: Trên mỗi mặt phẳng, các tiên đề của hình học phẳng đều đúng.

Trang 38

Tiên đề 18 được thể hiện trong sách giáo khoa Hình học 11, chương 2, bài 1: “Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng” dưới dạng tính chất thừa nhận 6: “Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng”.

Tiên đề 19: Mỗi đoạn thẳng trong không gian đều có một độ dài xác định

Tiên đề 19 không được thể hiện trong sách giáo khoa qua các khái niệm và tính chất,nhưng được giáo viên thể hiện qua các bài tập ở phần hình học 11

Trang 39

đường thẳng đi qua 2 điểm phân

biệt cho trước

SGK Hình Học 11, Nâng cao, Bài 1: Đại cương vềđường thẳng và mặt phẳng

Tính chất thừa nhận 1: Có một và chỉ một đường thẳng

đi qua 2 điểm phân biệt cho trước

Tiên đề 3: Trong 3 điểm thẳng

hàng và phân biệt, có một và chỉ

một điểm ở giữa hai điểm còn lại

SGK Toán 6 tập một, Bài 2: Ba điểm thẳng hàng.Nhận xét: Trong 3 điểm thẳng hàng, có một điểm và chỉmột điểm nằm giữa 2 điểm còn lại

Tiên đề 6: Mỗi đoạn thẳng có

một độ dài xác định là một số

dương

SGK Toán 6 tập một, Bài 7: Độ dài đoạn thẳng

Nhận xét: Mỗi đoạn thẳng có một độ dài xác định Độdài đoạn thẳng là một số lớn hơn 0

Tiên đề 7: Nếu điểm ở giữa 2

điểm và thì độ dài đoạn thẳng

bằng tổng độ dài 2 đoạn thẳng

và , tức là

SGK Toán 6 tập một, Bài 8: Khi nào thì

.Nhận xét: Nếu điểm nằm giữa 2 điểm và thì

Tiên đề 8: Trên một tia cho

trước, với bất kì số dương , bao

giờ cũng có duy nhất điểm sao

SGK Toán 6 tập hai, Bài 3: Số đo góc

Nhận xét: Mỗi góc có một số đo Số đo của góc bẹt là Số đo của mỗi góc không vượt quá

Tiên đề 10: Nếu tia nằm trong

góc thì số đo góc bằng

tổng số đo của 2 góc và

SGK Toán 6 tập hai, Bài 4: Khi nào thì Nhận xét: Nếu tia nằm giữa 2 tia và thì

Trang 40

Tiên đề 11: Cho tia nằm trên

bờ của một nửa mặt phẳng xác

định Khi đó,với bất kì số sao

cho , trong nửa

Tiên đề 12: Hai tam giác ABC và

gọi là bằng nhau nếu

Tiên đề 13: Nếu điểm không

thuộc đường thẳng thì qua có

không quá một đường thằng song

song với đường thẳng

SGK Toán 7 tập 1, Bài 5: Tiên đề Ơ-clit về đường thẳngsong song

Tính chất 1: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng,chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó

Tiên đề 14: Có ít nhất 4 điểm

không cùng thuộc một mặt phẳng SGK Hình Học 11, Nâng cao, Bài 1: Đại cương vềđường thẳng và mặt phẳng

Tính chất thừa nhận 4: Tồn tại 4 điểm không cùng nằmtrên một mặt phẳng

Tiên đề 16: Nếu một đường

thẳng đi qua 2 điểm phân biệt của

một mặt phẳng thì mọi điểm của

đường thẳng đều thuộc mặt phẳng

Tiên đề 17: Nếu 2 mặt phẳng có

một điểm chung thì chúng còn có

một điểm chung khác nữa

SGK Hình Học 11, Cơ bản, Bài 1: Đại cương về đườngthẳng và mặt phẳng

Tính chất 5: Nếu 2 mặt phẳng phân biệt có một điểmchung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa

Tiên đề 18: Trên mỗi mặt phẳng,

các tiên đề của hình học phẳng

đều đúng

SGK Hình Học 11, Nâng cao, Bài 1: Đại cương vềđường thẳng và mặt phẳng

Định dạng
Số trang	127
Dung lượng	9,7 MB