Đề và đáp án thi HSG 9, q.Tây Hồ, vòng I

Tia DI cắt tia CB tại E.. Đờng thẳng CI cắt AE tại M.. Trên tia đối tia AB lấy điểm N sao cho AN=BE.. a Chứng minh rằng CN vuông góc với DE.. b Chứng minh rằng DE vuông góc với BM... - H

PHềNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO

QUẬN TÂY HỒ Kè THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9, VềNGI,CẤPQUẬN

Năm học 2010-2011

Môn thi : Toán

Ngày thi: 9/10/2010 Thời gian làm bài: 150 phút







































x

x x

x x x

x

x M

2

2 :

2

3 2

4

a) Rút gọn M.

b) Tính giá trị của M nếu x 6  2 5

c) Tìm các giá trị của n để có x thỏa mãn  x 1.M  xn

Câu 2 (3 điểm)

a) Cho x và y là các số dơng thỏa mãn 1 21 2 2011







xy

Tính giá trị của biểu thức : Ax 1 y2 y 1 x2

b) Cho xy=1 và x>y Chứng minh rằng 2 2

2 2







y x

y x

Câu 3 (5 điểm)

a) Cho x, y, z là các số nguyên sao cho (x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z Chứng minh rằng khi

đó xyz 27

b) Cho biểu thức M  a 3  4 a 1  a 15  8 a 1

- Tìm điều kiện của a để M xác định.

- Tìm giá trị nhỏ nhất của M.

Câu 4 (5 điểm) Cho hình vuông ABCD, gọi I là điểm bất kì trên cạnh AB (I khác A và

B) Tia DI cắt tia CB tại E Đờng thẳng CI cắt AE tại M Trên tia đối tia AB lấy điểm N

sao cho AN=BE.

a) Chứng minh rằng CN vuông góc với DE.

b) Chứng minh rằng DE vuông góc với BM.

Câu 5 (2 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c và chu vi tam giác là 2p.









p b p

p a p p

-

Hết - Giám thị không giải thích đề thi

PHềNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO

Năm học 2010-2011

Tõy Hồ ngày 21 thỏng 10 năm 2010

HƯỚNG DẪN CHẤM THI MễN TOÁN

I.Hướng dẫn chung:

- Làm trũn toàn bài đến 0,5 điểm

- Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tương đương

II Thang điểm và đáp án:

điểm







































x

x x

x x

x x

x M

2

2 :

2

3 ) 2 (

4

4

) 2 ( ) 2 (

4 4









x x x

M 1  x ĐK: x0;x4

2đ

1

(5 đ)

b) x 6  2 5  ( 5  1 ) 2  x  5  1  M  2  5 1đ c)  x 1.M xn 1  x1  x xn x xn 1  0

n

x   















4

5 2

1 2 Vì x>0 nên

4

1 2

1 2

































4

5 2

1 4

1 4

1 4

5









2đ

2

(3 đ)

a) 2011  (xy 1 x21 y2) 2=x2y2  2xy 1 x21 y2 1 x2 y2 x2y2

1 1  ( 1 ) 1 2

) 1

2















x y xy x y y x = 1 2 1 22 1







y y x x

  1 2 1 22 2010







y y x

2đ

b) xy x y 0

2

2 ) ( 2

2 2

2





































y x y x y

x y x y

x

y x y

x

xy y

x y

x

y

3

(5 đ)

a)Ta có một số nguyên chia cho 3 có số dư là 0; 1 hoặc 2

 Nếu x, y, z chia cho 3 có 3 số dư khác nhau thì x-y, y-z, z-x đều không chia hết

cho 3 Do đó (x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z không xảy ra

 Nếu x, y, z chỉ có 2 số chia cho 3 có cùng số dư Giả sử là x và y chia cho 3

cùng dư thì x-y chia hết cho 3; còn x+y+z không chia hết cho 3

 Vậy x-y, y-z, z-x chia cho 3 cùng dư  xyz (x y)(y z)(z x)  27

2đ

b) M  a 3  4 a 1  a 15  8 a 1= a 1  4 a 1  4  a 1  8 a 1  16

2

2 ( 4 1 ) )

2 1 (     

M

M xác định khi a 1  0 hay a 1

M=| a 1  2 |  | 4  a 1 |  | a 1  2  4  a 1 |=2 Ta có M 2

Dấu = khi ( a 1  2 )( 4  a 1 )  0  2  a 1  4  5 a 17

1đ

2đ

4

(5 đ)

a)Gọi K,L là giao điểm của AE và NC,DN Gọi H

là giao điểm của DE và NC







BAE AND(c.g.c) góc BAE=góc AND

Mà góc BAE+góc LAD=90 0

Suy ra ADL+ góc LAD=90 0 Hay AL  ND

Tương tự BCN  CDE CN DE

b) K là trực tâm của tam giác EDN  DK  NE

I là trực tâm của tam giác CEN  CI  NE

Suy ra DK//CI

2đ

I K

C D

E

N

L

M

Trong

EK

EM ED

EI

EC

EB ED

EI

Suy ra BM//CK Vậy DEBM

3đ

5

(2 đ)

Xét bài toán phụ với x>0; y>0 ;z>0 (   )(111)  9

z y x z y x

Áp dụng với x= p-a > 0 ; y= p-b > 0 ;z= p-c > 0 ,

Ta có      . 1 1 1  9































c p b p a p c p b p a p

Thay (p-a)+(p-b)+(p-c)=3p-2p=p suy ra  9









p b p

p a p p

1đ

1đ