ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN VONG I

Rút gọn biểu thức b.. Tìm giá trị của x để P có giá trị nhỏ nhất.. Tìm giá trị nhỏ nhất đó c.

PHÒNG GD-ĐT HUYỆN DIỄN CHÂU

TRƯỜNG THCS DIỄN TRƯỜNG

ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN VONG I

NĂM HỌC 2011-2012

Môn Toán 9- (Thời gian làm bài 120 phút)

Câu I.(6đ)

Cho biểu thức

1

1 :

1

1 1

1

2 2

+









−

+

− +

=

x x x x

x x

x x

P

a Rút gọn biểu thức

b Tìm giá trị của x để P có giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

c Tính gia trị của P khi x=3− 5

Câu 2 (4đ)

a Cho hai số x và y là hai số dương và x3+y3= x-y

Chứng minh rằng : x2+ y2<1

b Chứng minh rằng , nếu 1+1+1=2

c b

a và a + b + c = abc thì ta có: 12 + 12 + 12 =2

c b a

Câu III (5đ)

a Chứng minh rằng : n(n+2)(25n2-1) 24 với ∀n∈N

b Giải phương trình: x+2 x−1+ x−2 x−1=2

Câu IV.(5đ)

1. Cho hình thang vuông ABCD (Aˆ =Dˆ =900), O là trung điểm của AD và góc BOC=90o Gọi E là giao điểm của BO và CD

a Chứng minh tam giác BCE cân tại C

b Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AD

2 Cho tam giác ABC với hai phân giác BD và CE Gọi M là một điểm trên đoạn thẳng DE Chứng minh rằng khoảng cách đến BC bằng tổng khoảng cách từ M đến AB và AC

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHON HSG VÒNG I NĂM HỌC 2011-2012 HUYỆN DIỄN CHÂU

Câu I.(6đ) a ĐKXĐ: x≥0;x≠1

Rút gon biểu thức P=x− x−2

b Biến đổi P= x− + − ≥− ;∀x∈

4

9 ) 4

9 ( ) 2

1

Suy ra GTNN của P là -9/4 khi x=1/4

2

1 5 5

x

Câu II

(4đ)

a Ta có : y+y 3 = x(1-x 2 )>0 ; (vì x;y>0) Suy ra 0<x 2 <1 hay 0<x<1

Mà x 3 +y 3 = x-y>0 (vì x;y>0)

Suy ra 0<y<x<1

Áp dung bất đẳng thức Bunhiakopsky ta có:

(Vì

1

) 1 1

1

1 )

)(

( ) (

) (

2 2

2 2

2 2

2 2 3 3 2

3 3

2 2 2

<

+

⇒

<

−

<

−

⇒

<

<

−

= + +

≤ +

= +

y x

y y

x x

y x y x y x y

y x x y

x

b Do : 1+1+1=2⇒

c b

1 1 1 ( 2 1 1 1

2 2

ca bc ab c

b

Và a + b + c = abc⇒ 1 + 1 + 1 =1

ca bc

ab (2)

Từ (1) và (2) ⇒ 12 + 12 + 12 =2

c b a

Câu III

(5đ)

a Ta có: A=n(n+2)(25n 2 -1) = n(n+2)(24n 2 +n 2 -1) = n(n+2)24n 2 + n(n+2) (n 2 -1)

= n(n+2)24n 2 + (n-1)n(n+1)(n+2)

Vì n(n+2)24n 2 24 Nếu n = 0 hoặc n =1 thì (n-1)n(n+1)(n+2) = 0 ⇒A24 Nếu n>1 thì (n-1)n(n+1)(n+2) là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp ⇒(n-1)n(n+1)(n+2) 3 và (n-1)n(n+1)(n+2) 8

Mà (3 ; 8)=1 ⇒(n-1)n(n+1)(n+2) 24

⇒ A24

b ĐKXĐ : x≥1

x+2 x−1+ x−2 x−1=2

2 1 1

1 1

2 1 1 1

1

2 ) 1 1 ( ) 1 1

=

−

− + +

−

⇔

=

−

− + +

−

⇔

=

−

− +

+

−

⇔

x x

x x

x x

Ta có x−1+1+1− x−1 ≥ x−1+1+1− x−1 =2

Dấu “=” xẩy ra khi ( x−1+1)(1− x−1)≥0

⇔x≤2

Kết hợp vơi ĐKXĐ ⇒1≤x≤2

Câu IV

(5đ)

1

a Chứng minh tam giác BCE cân tại C

∆AOB = ∆DOE ⇒OB = OE

Mà OC⊥BE

⇒ ∆CBE cân tại C

b

- Hạ OH ⊥BC ⇒OH = OD (∆CBE cân tại C⇒CO là tia phân giác của góc C)

- Mà O là tâm của đừơng tròn đường kính AD ⇒BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kinh AD

2

Từ D, hạ DL⊥AB; DR⊥BC

Từ E, hạ EQ⊥BC; EN⊥AC

B A

C D

E

O

B

H

A

D

C

R H

Q B

E

K N

P

M S

L

Ta có:

ED

MD EQ ED

MD EN MK ED

MD EN

ED

EM DR ED

EM DL MP ED

EM DL

=

=

⇒

=

⇒

ED

EM DR MD EQ ED

EM DR ED

MD EQ MP

MK + = . + . = . + . (3)

*Nếu ED//AB ⇒EQ=DR=MH⇒

MH ED

EM MD MH ED

EM DR MD EQ MP

*Nếu ED không song song vơi AB⇒ED cắt AB tại S Xét ∆SDR có EQ//MH//DR.

Theo Talet

SM

MD SM

SM SD MH

MH DR SM

SD MH

EM

SM SE SM

SM EQ

MH

MH SE

SM EQ

−

=

−

⇒

Nhân (4) và (5) vế theo vế ta có:

ED

EQ MD DR EM MH

EQ MD DR EM EM

MD MH

EQ MD DR EM MH EM MH MD

MH EM DR EM EQ MD MH MD

MH DR EM EQ

MH MD EM

MD EQ MH

MH DR

) (

) (

) (

+

=

⇒

+

= +

⇒

+

= +

⇒

−

=

−

⇒

−

=

−

⇒

=

−

−

(6)

Từ (3) Và (6) ⇒ MK+MP=MH