Bài tập Toán cho các nhà kinh tế 2

Câu 5: 1,25 điểm Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm và bán sản phẩm đó trên hai trị trường khác nhau được phân biệt giá.. Xác định lượng tư bản và lao động được sử dụng để

§Ò Sè 1

Câu 1: (1,25 điểm) Tính giới hạn:   2

1

x 0

lim x cos x

Câu 2: (1,25 điểm) Khai triển Maclaurin đến lũy thừa bậc 4 với phần dư dạng Peano:

f x ln x 1 

Câu 3: (2,5 điểm) Một nhà sản xuất độc quyền bán sản phẩm trên thị trường với hàm cầu

ngược p 2620 11,5Q 

a) Tính hệ số co giãn của cầu theo giá tại mức giá p 10 và nêu ý nghĩa;

b) Xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa biết hàm chi phí cận biên

2

MC 5Q 2Q 120

Câu 4: (1,25 điểm) Cho hàm ẩn z x, y  xác định bởi phương trình:

x y z 2x 4y 2z 3 0    Tìm các đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2 và viết biểu thức vi phân toàn phần cấp 2 của hàm z x, y 

Câu 5: (1,25 điểm) Giả sử hàm lợi ích khi mua sắm hàng hóa của người tiêu dùng

0,5 0,6

1 2

U x x Trong đó, x , x1 2 lần lượt là lượng hàng hóa thứ 1 và thứ 2 Xác định cơ cấu mua sắm để tối đa hóa lợi ích, biết rằng giá mỗi hàng hóa thứ 1 và 2 tương ứng là p115, p2 18 và ngân sách dành cho mua sắm cố định là m 330

Câu 6: (1,25 điểm) Một công ty có hàm lợi nhuận cận biên được cho bởi

 x 1000x e2 0,2x



  , với x là lượng sản phẩm bán được Tìm hàm tổng lợi nhuận biết rằng công ty có lợi nhuận 2000 USD khi x 0

Câu 7: (1,25 điểm) Giải phương trình vi phân:

1 e y x xy   y x e xyy' 0

§Ò Sè 2

Câu 1: (1,25 điểm) Tìm các đạo hàm riêng tại điểm  2,0 của hàm số

 

 





 



y 2x 1.arctan ; víi x, y , y 0

y w

0 ; víi x, y , y 0

Câu 2: (1,25 điểm) Xác định khoảng tăng, giảm và tìm cực trị của hàm số:

2

y x 3 2x 

Câu 3: (1,25 điểm) Cho hàm ẩn y y x   xác định từ phương trình x2 x2 3

y  2 

TẬP ĐỀ LƯU HÀNH NỘI BỘ!

Chứng tỏ hàm số y y x   này là nghiệm của phương trình vi phân:

x

   

Câu 4: (1,25 điểm) Như ta đã biết, giá trị của quỹ vốn tại thời điểm t chính là lượng đầu tư

tích lũy đến thời điểm t Giả sử rằng hàm đầu tư của một dự án được cho bởi

I t 100000t.e , 0 t 24   ( t tính theo tháng), hãy lập hàm quỹ vốn K t  theo thời gian t , biết rằng tại thời điểm ban đầu t 0 , quỹ vốn đã có 120000 USD

Câu 5: (1,25 điểm) Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm và bán sản phẩm đó trên hai trị trường khác nhau (được phân biệt giá) Cho biết hàm chi phí cận biên:

MC 10,5 0,1.Q  Q Q Q

và cầu của thị trường đối với sản phẩm của công ty:

Thị trường 1: p1 72 0,3.Q 1; Thị trường 2: p2 54 0,15.Q 2 Xác định sản lượng và giá bán trên trên mỗi thị trường để công ty thu được lợi nhuận tối đa

Câu 6: (1,25 điểm) Một nhà máy sản xuất thùng container dự định sản xuất các thùng hình hộp chữ nhật với thể tích 12m có đáy và nắp là các hình vuông Biết rằng chi phí để sản xuất 3 nắp và các mặt bên là 2USD / m2, chi phí để sản xuất đáy là 3USD / m2 Hỏi rằng các chiều của thùng container bằng bao nhiêu để tối thiểu hóa chi phí sản xuất?

Câu 7: (1,25 điểm) Giải phương trình vi phân: x.y 3y 2x2

y

  

§Ò Sè 3

Câu 1: (1,25 điểm) Tính đạo hàm của hàm số y 2 x   x 1

Câu 2: (1,25 điểm) Tìm khoảng tăng giảm và cực trị của hàm số

2018 4x 3

2 4 1



Câu 3: (1,25 điểm) Tính tích phân:   2x

0





Câu 4: (1,25 điểm) Viết công thức khai triển Maclaurin của hàm số đến lũy thừa bậc 4 của x

với phần dư dạng peano

f x ln x 3x 2

Câu 5: (1,25 điểm) Cho hàm số w f x, y   có tất cả các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục, chứng minh rằng hàm số

2 2

u f sin ,

y y x

thỏa mãn điều kiện x u y u 0

Câu 6: (1,25 điểm) Một công ty nhận thấy rằng lợi nhuận P của họ (tính theo triệu USD) được

xác định bởi:

P x, y  5x 3y 48x 4y 2xy 290   Với x là lượng tiền đầu tư cho quảng cáo (tính theo triệu USD) và y là lượng hàng bán được (tính theo nghìn sản phẩm) Tìm giá trị lớn nhất của lợi nhuận P và giá trị của a và n khi lợi nhuận P lớn nhất

Câu 7: (1,25 điểm) Một doanh nghiệp có hàm sản suất

1 1 3 2

Q 30K L Giả sử giá thuê một đơn

vị tư bản là $96, giá thuê một đơn vị lao động là $15 và doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách cố định là $4800 Xác định lượng tư bản và lao động được sử dụng để doanh nghiệp thu được sản lượng tối đa Nếu ngân sách dành cho sản suất tăng thêm 1% thì sản lượng tối đa thay đổi như thế nào? Tại sao?

Câu 8: (1,25 điểm) Giải phương trình vi phân:

3x22xy y 21 dx x22xy 3y 23 dy 0 

§Ò Sè 4

Câu 1: (1,25 điểm) Cho hàm số f x   x3 khi x 0

2a 1 x b 2 khi x 0





a) Tìm a, b sao cho hàm số liên tục tại điểm x0  ; 0

b) Tìm a,b sao cho hàm số khả vi tại điểm x0  0

Câu 2: (1,25 điểm) Biết hàm cầu đảo đối với sản phẩm của một doanh nghiệp độc quyền là

p 600 4Q  và hàm chi phí tại mỗi mức sản lượng Q là

1

3

Tính và nêu ý nghĩa của hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức giá doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận

Câu 3: (1,25 điểm) Lập công thức đạo hàm của hàm lũy thừa f (x) x  theo định nghĩa

Câu 4: (1,25 điểm) Một công ty sản xuất và bán ô tô điện vừa giới thiệu một mẫu ô tô điện

mới, biết rằng hàm cung cận biên của công ty đối với mẫu này có dạng:

 

100p

20 p



 Với S p  là lượng xe được đặt hàng khi giá là p (nghìn USD/chiếc) Tìm hàm cung S p  biết rằng công ty sẽ bán được 2000 chiếc khi giá là 19 (nghìn USD)

Câu 5: (1,25 điểm) Cho hàm số y y x   dưới dạng hàm ẩn

y arctan

x y e , hãy tính đạo hàm cấp 1 của hàm số

Câu 6: (1,25 điểm) Tìm cực trị của hàm số

2 2 2

w 3x 3y 11z 12x 12y 20z 6yz 20   

Câu 7: (1,25 điểm) Một nhà máy sản xuất và bán 2 loại bảng viết cho trường học, gồm loại phổ thông và loại đặc biệt Biết rằng lợi nhuận hàng tuần được cho bởi

 x, y x2 2y2 xy 140x 210y 4300

với x là lượng bảng loại cơ bản, y là lượng bảng loại đặc biệt được bán mỗi tuần Nhà máy có thể sản xuất và bán được 90 bảng mỗi tuần Giả sử rằng x và y không âm, hỏi rằng có bao nhiêu bảng mỗi loại được sản xuất và bán mỗi tuần để lợi nhuận hàng tuần là lớn nhất, lợi nhuận lớn nhất khi đó là bao nhiêu?

Câu 8: (1,25 điểm) Giải phương trình vi phân arcsin x 1 y dx  3y2x y dy 02 

§Ò Sè 5

Câu 1: (1,25 điểm) Cho hàm số y 3 x.sin 2x, hãy tính y

Câu 2: (1,25 điểm) Khai triển Taylor hàm số y x 3.tan x

4



  tại x 1 đến số hạng chứa

 2

x 1 với phần dư dạng peano

Câu 3: (1,25 điểm) Cho hàm cung của nhà sản xuất và hàm cầu của người tiêu dùng đối với

1

p 15 Q , p 2 Q

3

   Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất PS

Câu 4: (1,25 điểm) Xác định các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số:

3

y 2x 1 x 2 

Câu 5: (1,25 điểm) Một nhà máy sản xuất 2 loại kính râm, kính cho nam được bán với giá

$17, còn kính cho nữ được bán với giá $21 Tổng doanh thu (tính theo nghìn USD) có được khi x (nghìn) kính cho nam và y (nghìn) kính cho nữa là TR x, y 17x 21y Chi phí để sản xuất x (nghìn) kính cho nam và y (nghìn) kính cho nữ là

TC x, y 4x 4xy 2y 11x 25y 3  Tìm lượng kính mỗi loại cần sản xuất và bán để đạt lợi nhuận tối đa

Câu 6: (2,5 điểm) Một doanh nghiệp có hàm sản xuất 0,6 0,5

Q 10K L (Q là sản lượng, K là tư bản, L là lao động) Giá thuê tư bản là $18, giá thuê lao động là $12 và ngân sách dùng cho sản xuất là $1980

a) Tính giá trị sản phẩm hiện vật cận biên của tư bản tại mức sử dụng K0 50 (đơn vị tư bản), L0 60 (đơn vị lao động) và cho biết ý nghĩa của số đó;

b) Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, hãy xác định lượng tư bản và lượng lao động cần dùng trong sản xuất để đem lại sản lượng tối đa cho doanh nghiệp với ngân sách sản xuất đã cho

Câu 7: (1,25 điểm) Giải phương trình vi phân: x y2  4x2xy y 2

§Ò Sè 6

Câu 1: (1,25 điểm) Tính giới hạn

sin 3x

0 tan 4x

x 0 0

tan 5t.dt lim

arcsin 2t.dt









Câu 2: (1,25 điểm) Cho hàm ẩn y y x   xác định bởi phương trình

3 3

x y 3xy 1 0  Viết khai triển Maclaurin đến bậc hai của hàm số với phần dư dạng Penano

Câu 3: (1,25 điểm) Một hãng có hàm lợi nhuận cận biên là  

9000 3000x





Tìm hàm tổng lợi nhuận của hãng biết rằng hãng đạt lợi nhuận 1500 USD khi bán được 3 sản phẩm

Câu 4: (2,5 điểm) Giả sử một doanh nghiệp có hàm sản xuất là

2 1

3 3

Q 30K L

a) Hãy đánh giá hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất của doanh nghiệp;

b) Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, tìm mức sử dụng các yếu tố đầu vào của sản xuất sao cho doanh nghiệp phải bỏ ra chi phí nhỏ nhất khi sản xuất Q0 6000 đơn vị sản phẩm, cho biết giá thuê tư bản và lao động lần lượt là wK 3; wL 12

Câu 5: (1,25 điểm) Cho hàm 2 biến

2 2

xy x 2y

, khi 3x y 0

 Tính đạo hàm riêng fyx  0,0

Câu 6: (1,25 điểm) Tính zxy tại điểm dừng của hàm ẩn z z x, y , z 1    được xác định bởi phương trình x23y2 z3 2x 12y 2z 14 0   

Câu 7: (1,25 điểm) Giải phương trình vi phân 2xy2y dx xdy 0.  

§Ò Sè 7

Câu 1: (2,5 điểm) Cho hàm số f x 3x21 x 1 

a) Tìm khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số f x ;

b) Viết khai triển Maclaurin của hàm số f x đến lũy thừa bậc 3 với phần dư dạng Peano  

Câu 2: (1,25 điểm) Tìm đạo hàm riêng theo biến y của hàm số:

 

2 2

f x, y x xy y





Câu 3: (1,25 điểm) Thời gian (tính theo giờ) để một nhà máy thực hiện kế hoạch sản xuất được cho bởi

T x, y x 16y 32xy 40 Với x là lượng nghìn USD được sử dụng cho quản trị chất lượng và y là lượng nghìn USD được sử dụng cho tư vấn Tìm lượng tiền sử dụng cho quản trị chất lượng và tư vấn sao cho thời gian tiêu tốn cho sản xuất là ít nhất, và số giờ ít nhất là bao nhiêu?

Câu 4: (2,5 điểm) Người tiêu dùng lựa chọn một túi hàng gồm 2 loại sản phẩm với hàm lợi ích

tiêu dùng: U 50 x y 0,6 0,4, trong đó x là lượng hàng hóa A, y là lượng hàng hóa B

a) Hãy xác định lượng cầu đối với mỗi mặt hàng nếu người tiêu dùng tối đa hóa lợi ích, biết rằng giá của hàng hóa A là $6, giá hàng hóa B là $8 và thu nhập dành cho tiêu dùng

là $140

b) Nếu thu nhập dành cho tiêu dùng tăng thêm $1 thì lợi ích tiêu dùng tối đa thay đổi như thế nào?

Câu 5: (1,25 điểm) Cho hàm cung của nhà sản xuất và hàm cầu của người tiêu dùng đối với

d

1800

a) Tìm điểm cân bằng của thị trường;

b) Tính thặng dư của nhà sản xuất PS và thặng dư của người tiêu dùng CS

Câu 6: (1,25 điểm) Tìm nghiệm của phương trình vi phân  2

y  2x y 2y 4x 3  thỏa mãn điều kiện: y 0  1

§Ò Sè 8

Câu 1: (1,25 điểm) Như ta đã biết, đạo hàm tại một điểm của một hàm số chính là hệ số góc

của tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm đó, nghĩa là f x 0 k, k tan  - với  là góc tạo bởi tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x0 với trục hoành Ox Câu hỏi đặt ra

là có phải hàm số sẽ có đạo hàm tại mọi điểm mà tại đó ta vẽ được tiếp tuyến với đồ thị hàm số hay không? Nếu có, hãy chứng minh; Nếu không hãy đưa ra một phản ví dụ

Câu 2: Giả sử hàm cầu đối với sản phẩm của một doanh nghiệp độc quyền và hàm chi phí cận

biên của doanh nghiệp là:

2 300000

Q

a) (0,75 điểm) Lập hàm lợi nhuận  của doanh nghiệp biết rằng chi phí cố định của doanh nghiệp là FC 174000 ; (chi phí cố định là chi phí mà doanh nghiệp phải bỏ ra

kể cả không sản xuất một đơn vị sản phẩm nào)

b) (0,5 điểm) Hãy tìm mức sản lượng Q0 và giá p0 sao cho doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối

đa, khi đó lợi nhuận tối đa của doanh nghiệp là bao nhiêu?

Câu 3: (1,25 điểm) Tính các đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số:

2

x

y 2z



Câu 4: (1,25 điểm) Tính tích phân:

1

ln 2x

3x 5







Câu 5: (1,25 điểm) Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp có dạng Q 500.K 0,25.L0,35 Hãy tính hệ số co dãn riêng của mức sản lượng Q theo lượng tư bản K tại mức sử dụng các yếu tố đầu vào K ,L0 0 và nêu ý nghĩa của giá trị hệ số co dãn này

Câu 6: (1,25 điểm) Lợi nhuận (tính theo nghìn USD) mà một hãng sản xuất thu được từ việc

sản xuất x (tấn) thép và y (tấn) nhôm được cho bởi

P x, y 36xy x 8y Tìm lượng thép và nhôm sao cho lợi nhuận của hãng là tối đa, tính lợi nhuận tối đa đó?

Câu 7: (1,25 điểm) Mỗi sản phẩm có thể được sản xuất tại máy A hoặc máy B, biết rằng chi

phí để sản xuất x sản phẩm ở máy A và y sản phẩm ở máy B được cho bởi các hàm số:

Chi phí khi sản xuất x sản phẩm ở máy A: A  2

x

6

Chi phí khi sản xuất y sản phẩm ở máy B: B  3

y

9

Tổng chi phí được cho bởi C x, y C xA C yB  Nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm

ở mỗi máy để tối thiểu hóa tổng chi phí nếu cần sản xuất 10100 sản phẩm?

Câu 8: (1,25 điểm) Giải phương trình vi phân xy y dx  x21 dy 0 

§Ò Sè 9

Câu 1: (1,25 điểm) Tính giới hạn  2x 5x1

xlim e 1

Câu 2: (1,25 điểm) Giả sử hàm doanh thu cận biên và hàm tổng chi phí của một doanh nghiệp

là:

MR 100 2Q, TC 2Q   163Q 230Q 173000 Hãy tìm mức sản lượng Q0 sao cho doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa, khi đó lợi nhuận tối đa của doanh nghiệp là bao nhiêu?

Câu 3: (1,25 điểm) Cho f t là hàm khả vi trên  thỏa mãn   f 1 2,f 1   và 3

3

x

w f 2x y x sin f xy y

Hãy tính w 1,1x 

Câu 4: (1,25 điểm) Tính tích phân 4 3x

3





Câu 5: (1,25 điểm) Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp có dạng 0,25 0,35

Q 4500.K L , biết rằng doanh nghiệp sử dụng L0 300 đơn vị lao động, tìm mức sử dụng tư bản K0 sao cho sản lượng hiện vật cận biên của tư bản tại K , L0 0 là MPPK 250

Câu 6: (1,25 điểm) Tìm cực trị của hàm số 4 2 2 2 2

u x 4x y 10x 5y z 16y 2z 41 

Câu 7: (1,25 điểm) Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, tìm cực trị của hàm

2

u 3x 2y 10 với điều kiện ràng buộc 2x y 15 

Câu 8: (1,25 điểm) Giải phương trình vi phân 2x 3y dx  3x y dy 0  

§Ò Sè 10

Câu 1: (1,25 điểm) Khai triển Maclaurin hàm số sau đến x với phần dư Peano: 2

f x e cos

2



Câu 2: (1,25 điểm) Tìm các điểm cực trị của hàm số sau

0

y e  x 13 e 0,5 t 1,6 dt

Câu 3: (2,5 điểm) Một doanh nghiệp phân phối 1 sản phẩm độc quyền trên 2 thị trường với hai

hàm cầu là:

Q 1440 20p , Q 900 10p biết hàm chi phí 2

TC 0,05Q 3Q 111, Q Q  Q

a) Hãy xác định các mức cầu Q ,Q1 2 và các mức giá p , p1 2 để doanh nghiệp thu được lợi nhuận lớn nhất trong trường hợp phân biệt giá ở hai thị trường

b) Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, tìm các mức cầu để doanh nghiệp thu được lợi nhuận tối đa trong trường hợp không phân biệt giá ở hai thị trường, tức p1 p2

Câu 4: (1,25 điểm) Cho hàm số f x, y  có các đạo hàm riêng và hàm hợp

g x, y f y 5x ,10x 2y

2y.g x, y 15x g x, y  0

Câu 5: (1,25 điểm) Giả sử tồn tại hàm ẩn y f x   xác định tại lân cận của điểm x 4 ,

y 2 cho bởi phương trình 4y3x32y 10x 12  Hãy tính đạo hàm cấp hai f 4 

Câu 6: (1,25 điểm) Một công ty có hàm cầu cận biên của người tiêu dùng đối với sản phẩm của mình là D p  2000p2

25 p



 Tìm hàm cầu biết rằng lượng cầu bằng 13000 khi giá mỗi sản phẩm là 3 USD

Câu 7: (1,25 điểm) Giải phương trình vi phân 2y 2  

x

§Ò Sè 11

Câu 1: (1,25 điểm) Tính giới hạn  1x

x 0

lim

x



Câu 2: (2,5 điểm)

a) Hàm cầu ngắn hạn đối với dầu thô ở Mỹ năm 2008 được xấp xỉ bởi hàm

Q D p 2431129.p (Nguồn: 2003 OPEC Review) với p là giá mỗi thùng dầu thô và Q biểu diễn lượng tiền tiêu dùng dầu thô tương ứng (lượng cầu thể hiện qua giá trị bằng tiền của lượng tiêu dùng dầu thô) Tính và nêu ý nghĩa của hệ số co giãn của cầu khi giá là 40 USD/thùng

b) Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số sau trên đoạn 2,0:

f x  x 1 arcsin x 1    x 2x

Câu 3: (1,25 điểm) Tích phân suy rộng

 3 

1

dx I

x x 1









Câu 4: (1,25 điểm) Cho f t  là hàm khả vi trên  , hãy viết biểu thức vi phân toàn phần của hàm 2 biến    2  f xy 2

w x, y f 3x 2y e

Câu 5: (1,25 điểm) Tìm cực trị của hàm số trên miền x 0, y 0,z 0  

u x y  z 3xy 3xz 3yz 1  

Câu 6: (1,25 điểm) Giả sử một doanh nghiệp hoạt động trong thị trường cạnh tranh có hàm sản

xuất là Q 120.K L 0,4 0,6 Doanh nghiệp nhận được hợp đồng 12000 sản phẩm, chỉ còn một

tháng nữa là đến hẹn giao hàng Cho biết giá bán của mỗi sản phẩm là p ,0 giá thuê tư bản và lao động (trong một tháng) lần lượt là: wK 8, wL 12 Bạn hãy lập kế hoạch sử dụng các yếu

tố đầu vào sao cho doanh nghiệp thu được lợi nhuận tối đa

Câu 7: (1,25 điểm) Giải phương trình vi phân cấp một 8x23y.cos x dx 3sin x.dy 0  

§Ò Sè 12

Câu 1: (1,25 điểm) Tính giới hạn  2x

x 0lim 3x sin 2x

Câu 2: (1,25 điểm) Viết khai triển Maclaurin hàm số   2x x

f x e sin

4

 

 đến lũy thừa x2 với phần dư dạng Peano

Câu 3: (1,25 điểm) Tính tích phân  

0

arccot 1 2x

dx

1 2x 4 4x