Hướng dẫn tự học môn toán cao cấp cho các nhà kinh tế 1 đại học kinh tế quốc dân

Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính ĐN: Các phép biến đổi sau đây đối với một hệ phương trình tuyến tính được gọi là các phép biến đổi sơ cấp: Đổi chỗ hai phương trình củ

Trang 1

§¹I HäC KINH TÕ QUèC D¢N

BµI GI¶NG §IÖN Tö

Gi¶ng viªn: ABCD EFGH IJKML

Trang 2

Một số quy định về học tập:

• Trên lớp: Trật tự, ghi bài đầy đủ…

• Về nhà: Học bài, làm bài tập…

Đánh giá kết quả học tập

• 10%: Đi học đầy đủ, đúng giờ, học và làm bài tập về nhà…, điểm chẵn;

• 20%: Là điểm kiểm tra (45 – 60 phút) trên lớp (vào tuần thứ 12), điểm chẵn;

• 70%: Thi hết học phần (lấy lẻ đến 0,5)

Ví dụ: Một SV đạt điểm 10% là 8, 20% là 7, 70% là 9 thì điểm TB là:

ĐTB = 0,1*8 + 0,2*7 + 0,7*9 = 8,5

Điều kiện dự thi hết môn: Sinh viên phải tham gia ít nhất 80% số tiết học

(Chỉ được phép nghỉ tối đa là 3 buổi ~ 20% số tiết học)

NỘI DUNG CHƯƠNG TRÌNH

TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ

học phần 1

Trang 3

Chương 1 Không gian vectơ

số học n chiều

Vectơ n chiều và KGVT

Các mối liên hệ tuyến tính…

Cơ sở của không gian vectơ

Trang 4

Chương 3 Hệ phương trình tuyến tính

PP ma trận & định thức

Hệ PTrTT tổng quát

Hệ PTrTT thuần nhất Một số MHTT trong kinh tế

SỐ HỌC N CHIỀU

Trang 5

Bài 1 Hệ phương trình tuyến tính và

phương pháp khử ẩn liên tiếp (Khử Gauss)

Mục tiêu của bài này là giới thiệu về Hệ phương trình tuyến tính và

phương pháp khử Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính

Bài 1 Hệ phương trình tuyến tính và

phương pháp khử ẩn liên tiếp (Khử Gauss)

1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

2 Ma trận hệ số và ma trận mở rộng

3 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

5 Các phép biến đổi sơ cấp

4 Hệ tương đương và phép biến đổi tương đương

6 Hai loại hệ phương trình tuyến tính đơn giản (tam giác, hình thang)

Trang 6

I Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính

Trang 7

II Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính

Trang 8

ĐN: Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính gồm n ẩn số

là bộ gồm n số thực có thứ tự sao cho khi gán vào các phương trình thì ta được m đẳng thức đúng (m là số phương trình của hệ)

ĐN: Hai hệ phương trình tuyến tính với các ẩn số như nhau được gọi

là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm

?: Hai hệ phương trình tuyến tính với các ẩn số như nhau và đều vô

nghiệm có tương đương với nhau không?

Có tương đương, vì tập nghiệm bằng nhau (là tập rỗng)

Trả lời:

ĐN: Một phép biến đổi biến một hệ phương trình thành một hệ khác

tương đương với nó được gọi là phép biến đổi tương đương

Trang 9

ĐN: Các phép biến đổi sau đây đối với một hệ phương trình tuyến

tính được gọi là các phép biến đổi sơ cấp:

Đổi chỗ hai phương trình của hệ;

Các phép biến đổi sơ cấp là các phép biến đổi tương đương

nó bội của một phương trình khác”

tương tự như các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của ma trận

5y  4z  9

HỆ TAM GIÁC

ĐN:

Đặc điểm của hệ tam giác:

• Số phương trình bằng số ẩn;

Trang 10

Giải hệ tam giác:

HỆ TAM GIÁC

Ví dụ:

Từ phương trình cuối cùng tính được: z  3

Thế vào phương trình thứ 2 ta được: z  3 y 1 

Thế vào phương trình thứ 2 ta được: y 1, z   2 x   2

Vậy nghiệm của hệ là:  x   2, y 1, z   3 

• Từ trên xuống dưới các ẩn mất dần;

• Phương trình cuối cùng có nhiều hơn 1 ẩn

a x   a x  b

Trang 11

HỆ HÌNH THANG

Cách giải: Xét hệ hình thang:

Các ẩn được gọi là các ẩn tự do xm 1, xm 2 , , xnBước 1: Gán cho ẩn tự do giá trị thực bất kỳ;

Bước 2: Chuyển hệ thành hệ tam giác với các ẩn chính, giải hệ

tam giác này

Trong hệ hình thang trên:

x  7     7 1





Trang 12

III Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss)

Hệ Bất kỳ CC: Biến đổi sơ cấp Hệ TG/ HT

Khử bằng cách nào? ai1 Lấy pt(i) cộng vào nó lần pt(1), i = 2,…,n i1

11

a a

0.x  0.x   0.x  b Nếu b = 0 thì loại khỏi hệ;

Nếu b ≠ 0 thì PT Vô nghiệm

Trang 13

Quá trình cứ tiếp tục…, ta có 1 trong 3 khả năng sau sẽ xảy ra:

• Hệ nhận được vô nghiệm (ứng với b ≠ 0 ở trên);

• Hệ nhận được có dạng tam giác;

NX: Một hệ phương trình tuyến tính hoặc vô nghiệm, hoặc có 1 nghiệm,

hoặc vô số nghiệm

Chú ý: Thay vì thực hiện khử Gauss trực tiếp trên hệ, ta sẽ làm việc đó trên

ma trận mở rộng của hệ đó Việc thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên hệ sẽ được thay bằng thực hiện các phép biến đổi sơ cấp tương ứng trên ma trận mở rộng tương ứng của nó Cụ thể:

Đổi chỗ 2 phương trình của hệ; Đổi chỗ 2 dòng tương ứng của ma

trận;

Nhân một phương trình với số

α ≠ 0;

Nhân dòng tương ứng với số α;

Cộng vào phương trình (i) bội k

lần phương trình (j);

Cộng vào dòng (i) bội k lần dòng (j);

Trang 14

Giải hệ HT được nghiệm là:

 ( 5)

Trang 15

Giải hệ HT được nghiệm là:

 ( 2)

Trang 16

Chú ý: Khi giải hệ thuần nhất bằng khử Gauss ta chu ý các đặc điểm sau:

 Hệ có duy nhất nghiệm tầm thường (quá trình khử ẩn kết thúc ở

dạng tam giác)

 Hệ có vô số nghiệm (quá trình khử ẩn kết thúc ở dạng hình thang)

• Mọi hệ tuyến tính thuần nhất với số phương trình nhỏ hơn số ẩn đều có vô

số nghiệm;

• Khi khử Gauss để giải hệ thuần nhất ta chỉ cần thực hiện trên ma trận hệ số

• Hệ luôn có nghiệm , gọi là nghiệm không (nghiệm

2

 5

Trang 17

Các thuật ngữ cơ bản

Hệ phương trình tuyến tính

Ma trận hệ số

Ma trận mở rộng

Biến đổi sơ cấp trên ma trận

Biến đổi sơ cấp trên hệ phương trình tuyến tính

Hệ tam giác

Hệ hình thang

Phương pháp khử Gauss

Hệ thuần nhất

Mục tiêu của bài này là giới thiệu về vectơ số học n chiều, các phép

toán trên vectơ và khái niệm ban đầu về không gian vectơ

Trang 18

Bài 2 Vectơ n chiều và không gian vectơ

III Không gian vectơ số học n chiều Khái niệm không gian con

1 Định nghĩa phép cộng và phép nhân với số

2 Vectơ không và vectơ đối

3 Các tính chất cơ bản của phép cộng và phép nhân vectơ với số

4 Phép trừ vectơ

1 Không gian vectơ số học n chiều

2 Khái niệm không gian con

I Khái niệm vectơ n chiều

ĐN: Vectơ n chiều là một bộ gồm n số thực có thứ tự  x , x ,1 2 , xn

 1 2 n

X x , x , , x

Trong đó xi là thành phần tọa độ thứ i của vectơ

Ký hiệu: Vectơ thường được ký hiệu bởi những chữ cái IN HOA

Cách biểu diễn:

 1 2 n

X  x , x , , x

1 2

n

x x X

Trang 19

I Khái niệm vectơ n chiều

Trang 20

II Các phép toán vectơ

ĐN: Tổng của hai vectơ n chiều:

là một vectơ n chiều, ký hiệu là X + Y và được xác định như sau:

 1 2 n  1 2 n

X  x , x , , x , Y  y , y , , y

 1 1 2 2 n 2

X   Y x  y , x  y , , x  yĐN: Tích của vectơ n chiều với số thực X   x , x ,1 2 , xn 

TC1: Phép cộng vectơ có tính chất giao hoán

X Y    Y XVới X, Y, Z là các vectơ n chiều, là các số bất kỳ   ,

TC2: Phép cộng vectơ có tính chất kết hợp

 X  Y     Z X  Y  Z TC3: Với mọi vectơ X: X 0  n  0n X

TC4: Với mọi vectơ X: X     X  0n

TC5: Với mọi vectơ X: 1.X  X

TC6: Tính phân phối:

 X Y  X Y

     

     X     X XTC7: Với mọi vectơ X:    X      X

Trang 21

ĐN: Hiệu của hai vectơ n chiều X và Y là một vectơ n chiều, ký hiệu là

X – Y và được xác định như sau:

 

X Y     X YNX: Ta có thể thực hiện phép trừ theo tọa độ:

 1 2 n  1 2 n

X  x , x , , x , Y  y , y , , y

 1 1 2 2 n n

X Y   x  y , x  y , , x  yChú ý: Từ các tính chất suy ra: Ta có thể thực hiện các phép tính toán trên

vectơ như đối với biểu thức đại số (chuyển vế thì đổi dấu)…

Ví dụ 5: Cho các vectơ

X  4, 3,1, 2 , X    3,7, 4,5 , X  2,7,9, 4 Tìm vectơ X thỏa mãn:

Trang 22

III Không gian vectơ số học n chiều Không gian con

ĐN: Không gian vectơ số học n chiều là tập hợp tất cả các vectơ n chiều,

trong đó phép cộng vectơ và phép nhân vectơ với số được và thỏa mãn 8 tính chất đặc trưng ở trên

Ký hiệu: Không gian vectơ số học n chiều được ký hiệu là n

III Không gian vectơ số học n chiều Không gian con

ĐN: Một tập hợp không rỗng được gọi là không gian con của

không gian nếu nó kín đối với phép cộng vectơ và phép nhân vectơ với số

n

L 

Xét tập - là tập các vectơ n chiều, ta nói: L  

1 L được gọi là KÍN ĐỐI VỚI PHÉP CỘNG VECTƠ nếu:

Trang 23

Ví dụ 6: Với mọi không gian vectơ thì và chính là các không

gian con của nó;

Thứ hai: L kín đối với phép cộng vectơ

 x , y1 1   x , y2 2   x1 x , y2 1 y2  L

Thứ ba: L kín đối với phép nhân vectơ với số

 x , y1 1  L  2x1 5y1 0  2 x    1 5 y1 0

 x , y1 1   L,Với mọi ta phải chứng minh   x , y1 1     x , y1 1  L

Vectơ số học n chiều

Phép cộng hai vectơ

Phép nhân vectơ với số

Không gian vectơ

Không gian vectơ con

Trang 24

Bài 3 Các mối liên hệ tuyến tính trong không gian vectơ

Mục tiêu của bài này là giới thiệu về khái niệm hệ vectơ độc lập

tuyến tính, hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính

Bài 3 Các mối liên hệ tuyến tính trong không gian vectơ

I Tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn tuyến tính

III Một số kết quả cơ bản về sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính

1 Tổ hợp tuyến tính

2 Phép biểu diễn tuyến tính

1 Khái niệm sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính

2 Xét sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính của một hệ vectơ

3 Một số ví dụ

Trang 25

ĐN: Mỗi tổng , trong đó là các số thực cho trước

được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ Các số được gọi là hệ số của tổ hợp tuyến tính đó

cho trước là một không gian con của không gian X , X ,1 2 , Xm n

ĐN: Ta nói rằng vectơ X biểu diễn tuyến tính qua các vectơ

nếu vectơ là một tổ hợp tuyến tính nào đó của hệ vectơ này

Nói cách khác, vectơ X biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ

Nếu tồn tại bộ m số sao cho:

Trang 26

1, 2, 3 X 1.X1 2.X2 3.X3

         Trả lời: Không biểu diễn được

Làm thế nào để kiểm tra vectơ X có biểu diễn tuyến tính được qua hệ

 X , X ,1 2 , XkBước 1: Xét hệ thức X  1X1 2X2  kXk

Bước 2: Viết lại hệ thức trên dưới dạng hệ phương trình tuyến tính có ma

trận mở rộng nhận các vectơ Xi làm cột thứ i, vectơ X làm cột

tự do

A

Việc vectơ X có biểu diễn tuyến tính được quy hệ {X1, X2,…,Xk} hay không tùy

thuộc vào hệ tuyến tính trên đây có nghiệm hay vô nghiệm, ta lại dẫn về bài

toán giải hệ bằng phương pháp khử Gauss

Trang 27

Ví dụ: Cho các vectơ sau đây

X  1, 2,3 ;X  4, 2,1 ;X   1, 2, m ;X  3, 2,5Tìm tham số m để vectơ X biểu diễn tuyến tính được qua hệ {X1, X2, X3}

Lời giải

Xét hệ thức

1 1 2 2 3 3

X   X   X   XViết hệ thức trên ở dạng hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng là

Hệ này có nghiệm khi và chỉ khi m  3

Chú ý: Bài toán này lại được giải bằng phương pháp khử Gauss

II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính

ĐN: Ta nói rằng hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ

khi tồn tại m số thực , trong đó có ít nhất một số khác 0, sao cho:

Ngược lại, nếu đẳng thức chỉ thỏa mãn khi tất cả các hệ số ở vế trái bằng

0 thì ta nói hệ vectơ độc lập tuyến tính

(*)

    1 2   m 0 

Xem xét hệ thức dưới dạng biểu diễn vectơ qua hệ (*) 0n X , X ,1 2 , Xm

Có   0  Phụ thuộc tuyến tính

Trang 28

BT: Xét xem hệ vectơ X , X ,1 2 độc lập hay phụ thuộc tuyến tính , Xm

Thuật toán xét hệ vectơ độc lập – phụ thuộc tuyến tính: X , X ,1 2 , Xm

Bước 1: Lập ma trận A, với các cột là các vectơ X , X ,1 2 , Xm

Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp, đưa A về một trong 2 dạng

(tam giác hoặc hình thang), nếu A đưa được về tam giác (có nghiệm duy nhất là nghiệm 0) thì hệ độc lập; Ngược lại, nếu A đưa được về dạng hình thang (vô số nghiệm), thi hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính

Trang 29

Hệ vectơ trên độc lập tuyến tính

Ví dụ 1: Xét hệ vectơ trong không gian vectơ n

Biến đổi sơ cấp trên A ta được:

Ví dụ 2: Xét hệ vectơ trong không gian vectơ 3

 ( 3)

Trang 30

X  4, 2,3 ,  X   1,5,3 , X  2, 4, 1  

Biến đổi sơ cấp trên A ta được:

Ví dụ 3: Xét hệ vectơ trong không gian vectơ 3

 ( 3)

III Một số kết quả về sự phụ thuộc - độc lập tuyến tính

ĐL1: Một hệ vectơ n chiều có từ hai vectơ trở lên phụ thuộc tuyến tính khi

và chỉ khi ít nhất một vectơ của hệ đó biểu diễn tuyến tính qua những vectơ còn lại

HQ1: Một hệ chỉ gồm 2 vectơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi

chúng tỷ lệ

HQ2: Mọi hệ vectơ n chiều chứa vectơ đều phụ thuộc tuyến tính 0nĐL2: Nếu một hệ vectơ có một hệ con (một bộ phận) phụ thuộc tuyến tính

thì hệ vectơ đó phụ thuộc tuyến tính

HQ1: Nếu một hệ vectơ độc lập tuyến tính thì mọi hệ con của nó

Trang 31

III Một số kết quả về sự phụ thuộc - độc lập tuyến tính

ĐL3: Cho 2 hệ vectơ n chiều

Nếu r > s và mọi vectơ của hệ (X) biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của hệ (Y) thì hệ vectơ (X) phụ thuộc tuyến tính

HQ1: Nếu hệ vectơ (X) độc lập tuyến tính và mọi vectơ của hệ (X)

biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của hệ (Y) thì r s

ĐL4: Mọi hệ vectơ có số vectơ lớn hơn số chiều đều phụ thuộc tuyến tính

HQ2: Nếu cả hai hệ vectơ độc lập tuyến tính, mỗi vectơ của hệ

này đều biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của hệ kia và ngược lại thì hai hệ vectơ đó có số vectơ bằng nhau

Trang 32

Bài 4 Cơ sở của không gian vectơ

Mục tiêu của bài này là giới thiệu về cơ sở của không gian vectơ và

không gian con, nghiên cứu các đặc trưng của một cơ sở

Bài 4 Cơ sở của không gian vectơ

1 Định nghĩa cơ sở

2 Tọa độ của vectơ trong một cơ sở

Trang 33

I Khái niệm cơ sở của không gian vectơ

ĐN: Trong không gian vectơ hệ gồm n vectơ độc lập tuyến tính được

gọi là một cơ sở của nó

n

,

Mọi hệ từ n+1 vectơ trở lên đều Phụ thuộc tuyến tính

NX:

Muốn chứng minh hệ vectơ là cơ sở của X , X ,1 2 , Xr n

Hệ vectơ là một cơ sở của được gọi là hệ cơ sở đơn vị  E , E ,1 2 , En n,

Trang 34

 ( 2)

Hệ vectơ đã cho là một cơ sở của 3

Hệ ba vectơ này có là cơ sở của hay không? 3

ĐL: Trong không gian vectơ cho trước một cơ sở Khi đó, mọi vectơ

bất kỳ đều biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất qua cơ sở đó

n

,

Cụ thể: Giả sử là một cơ sở của khi đó với mọi

thì tồn tại duy nhất bộ n số thực sao cho:

vectơ X trong hệ cơ sở

Trang 35

Ví dụ 3: Trong không gian vectơ cho hệ cơ sở: 3

,

P  2,0, 3 ,  P   1,0, 4 , P  4,3,0Tìm tọa độ của vectơ trong hệ cơ sở này X   5,6,7 Đáp số: Giải hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng A

được nghiệm là tọa độ của X trong hệ cơ sở đã cho:

Ví dụ 4: Cho không gian con:

II Cơ sở của không gian con

1 2 1 2

L  x , x ,0 x , x  

ĐN: Một hệ vectơ của không gian con L được gọi là một cơ sở

của nó nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau:

1 2 r

P , P , , P

1 P , P , độc lập tuyến tính 1 2 , Pr

2 Mọi vec tơ đều biểu diễn tuyến tính qua X  L P , P ,1 2 , Pr

hãy tìm cơ sở của không gian cho này

 P1 1,0,0 , P2 0,1,0 Đáp số:

Trang 36

Ví dụ 5: Cho không gian con:

L  X x, y, z 2x   y 3z  0 hãy tìm cơ sở của không gian con này

 P1 1, 2,0 , P2  0,3,1 Đáp số:

ĐN: Số vectơ của cơ sở của một không gian con của không gian

được gọi là số chiều của không gian con đó

n

NX: Hai cơ sở bất kỳ của cùng một không gian vectơ con có số vectơ

bằng nhau

Hai mệnh đề sau đây khẳng định cơ sở của không gian con cũng có các tính

chất tương tự như cơ sở của không gian vectơ

MĐ1: Trong một không gian con r chiều của của không gian mọi hệ

vectơ có số vectơ lớn hơn r đều phụ thuộc tuyến tính

Trang 37

Cơ sở của không gian vectơ

Cơ sở của không gian con

Tọa độ của một vectơ đối với một cơ sở

Bài 5 Hạng của một hệ vectơ

Mục tiêu của bài này là giới thiệu về Hạng của một hệ vectơ và các

tính chất cơ bản của hạng

Trang 38

Bài 5 Hạng của một hệ vectơ

1 Phép biến đổi thêm - bớt vectơ

2 Các phép biến đổi sơ cấp

I Khái niệm cơ sở và hạng của hệ vectơ

Với một hệ vectơ bất kỳ, mọi hệ cơ sở của nó (nếu có) đều có số vectơ bằng nhau

NX1:

ĐN: Cơ sở của hệ vectơ n chiều là một hệ con của nó

thỏa mãn hai điều kiện sau:

1 2 m

X , X , , X

1 Độc lập tuyến tính;

2 Mọi vectơ của hệ ban đầu biểu diễn tuyến tính qua các

vectơ của hệ con đó

ĐN: Hạng của một hệ vectơ là số vectơ trong cơ sở của hệ vectơ đó

Hạng của hệ vectơ không vượt quá số chiều của hệ vectơ và số vectơ của hệ đó

NX2:

Trang 39

I Khái niệm cơ sở và hạng của hệ vectơ

Ta thấy rằng hệ 2 vectơ {X1, X2} là hai vectơ không tỷ lệ, nên nó ĐLTT

Mỗi vectơ của hệ đều biểu diễn tuyến tính qua hệ  X , X , X , X , X1 2 3 4 5  X , X1 2

Từ đó suy ra hệ là một cơ sở, và hạng r = 5  X , X1 2

ĐL1: Hạng của một hệ vectơ bằng r khi và chỉ khi trong hệ vectơ đó tồn tại

một hệ con gồm r vectơ độc lập tuyến tính và mọi hệ con có số vectơ lớn hơn r (nếu có) đều phụ thuộc tuyến tính

II Các định lý cơ bản về hạng

Nói cách khác, hạng của một hệ vectơ chính là số vectơ độc lập tuyến tính cực đại trong hệ đó

HQ1: Một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi hạng của hệ vectơ

nhỏ hơn số vectơ trong hệ

Nói cách khác, một hệ vectơ độc lập tuyến tính khi và chỉ khi hạng Của hệ vectơ bằng số vectơ của nó

Trang 40

ĐL2: Cho hai hệ vectơ

ĐL: Hạng của một hệ vectơ không thay đổi nếu ta thêm vào một vectơ

biểu diễn tuyến tính qua những vectơ của hệ đó, hoặc bớt đi một vectơ biểu diễn tuyến tính qua những vectơ còn lại của nó

III Các phép biến đổi không làm thay đổi hạng

Định dạng
Số trang	138
Dung lượng	12,95 MB