luong giac nang cao

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CÁCH GIẢIKHÔNG MẪU MỰC A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI Một số bài toán về phương ttìm GTLN GTNN của các hàm số sau a.. tìm gtln và gtnn của các hàm số ứng với k=1 b.. xác đ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CÁCH GIẢI

KHÔNG MẪU MỰC

A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Một số bài toán về phương ttìm GTLN GTNN của các hàm số sau

a y=/sinx/+/cosx/

b y=3cos^2x+4sinxcosx-5sin^2x +2

c y=(2sinx + 3 cosx)(3sinx+4cosx)

bài 2 cho hàm số yk =(2kcosx+k+1)/(cosx+sinx+2)

a tìm gtln và gtnn của các hàm số ứng với k=1

b xác định tham số k sao cho giá trị lớn nhất của hàm số yk là nhỏ nhất

bài 3 xác định dạng của tam giác ABC sao cho biểu thức P=cosA+cosB+cosC đạt gtln

bài 4 xác định dạng của tam giác ABC sao cho biểu thức Q=sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)đạt gtln BÀI 5 tìm gtln của hàm số

a y= ((sin^2x(1-4sin^2x))/cos^4x trên khoảng(0;PI/6rình lượng giác mà cách giải tuỳ theo đặc thù của phương trình, chứ không nằm ở trong phương pháp đã nêu

ở hầu hết các sách giáo khoa

Một số phương trình lượng giác thể hiện tính không mẫu mực ở ngay dạng của chúng, nhưng cũng có những phương trình ta thấy dạng rất bình thường nhưng cách giải lại không mẫu mực

Sau đây là những phương trình lượng giác có cách giải không mẫu mực thường gặp

I.PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG

Phương pháp này nhằm biến đổi phương trình lượng giác về dạng một

vế là tổng bình phương các số hạng (hay tổng các số hạng không âm) và vế còn lại bằng không và áp dụng tính chất:







=

=

⇔=

+

0

0 0 2 2

B

A B

A

Bài 1 Giải phương trình:

0 2 sin 4 tan 3 2 sin 4 tan

GIẢI

(m n Z)

n x

m x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

∈













+

=

+

=

⇔













=

=

⇔







=

−

=

−

⇔

=

− +

−

⇔

= +

− +

+

−

⇔

= +

−

− +

, 2 6 6

2

1 sin

3

3 tan

0 1 sin

2

0 1 tan 3

0 ) 1 sin 2 ( ) 1 tan 3

(

0 1 sin 4 sin 4 1 tan 3 2 tan

3

0 2 sin 4 tan 3 2 sin 4 tan

3

2 2

2 2

2 2

π π

π π

ĐS x π 2kπ

= (k∈Z)

II.PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP

Phương pháp này được xây dựng trên tính chất: Để giải phương trình

)

(

)

f = , ta có thể nghĩ đến việc chứng minh tồn tại A → R:

) , ( ,

)

f ≥ ∀ ∈ và g(x) ≤A, ∀x∈ (a,b) thì khi đó:







=

=

⇔

=

A xg

A

xf xg

xf

)(

)(

)(

)(

Nếu ta chỉ có f(x) >A và g(x) <A, ∀x∈ (a,b) thì kết luận phương trình vô ngiệm

Bài 2 Giải phương trình:

0

GIẢI

x x

x

Vì − 1 ≤ cosx≤ 1 nên 0 ≤ x2 ≤ 1 ⇔ − 1 ≤x≤ 1

mà [ ] cos 0 , [ 1 , 1] cos 0 , [ 1 , 1]

2

, 2 1

,









 −

⊂

Do x2 > 0 và − cos 5 x< 0 nên phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 3 Giải phương trình:

1 cos

GIẢI

(1) ⇔ sin 1996x+ cos 1996 x= sin 2x+ cos 2x

) cos 1 ( cos ) 1 (sin

x x

x

x

x

∀

≤

−

⇒









≤

≥

,0 )1 (sin

sin 1 sin

0

1994 2

x

x

∀≥

−

⇒









≥

−

≥

,0 ) cos 1(

cos 0 cos

1

0

1994 2

2

2

1 cos 0cos

1 sin

0sin

0) cos1(

cos

0)1

(sinsin

1994 2

1994

2

Znm

nx nx

m x mx

x x x

x

x x

x

x

∈

⇔

⇔

⇔

Vậy nghiệm của phương trình là: ( )

k

x= π ∈

k

x= π ∈

Áp dụng phương pháp đối lập, ta có thể suy ra cách giải nhanh chóng những phương trình lượng giác ở các dạng đặc biệt dưới đây:





















−=

−=







=

=

⇔=

1 sin

1 sin

1 sin

1 sin 1 sin.

sin

bx ax bx

ax bx

ax

•





















=

−=







−=

=

⇔−

=

1 sin

1 sin

1 sin

1 sin 1 sin.

sin

bx ax bx

ax bx

ax

Cách giải tương tự cho các phương trình thuộc dạng:

1 cos

.

sin

1 cos

.

sin

1 cos

.

cos

1 cos

.

cos

−

=

=

−

=

=

bx ax

bx ax

bx ax

bx ax

III PHƯƠNG PHÁP ĐOÁN NHẬN NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM

Tuỳ theo dạng và điều kiện của phương trình, ta tính nhẩm một nghiệm của phương trình, sau đó chứng tỏ nghiệm này là duy nhất bằng một trong những cách thông sụng sau:

•Dùng tính chất đại số

•Áp dụng tính đơn điệu của hàm số

Phương trình f(x) = 0 có 1 nghiệm x= α ∈( b a, ) và hàm f đơn điệu trong (a,b) thì f(x) = 0 có nghiệm duy nhất là x=α .

Phương trình f(x) =g(x) có 1 nghiệm x= α ∈( b a, ), f (x) tăng (giảm) trong (a,b), g (x) giảm (tăng) trong (a,b) thì phương trình f(x) =g(x) có nghiệm x=α là duy nhất.

Bài 4 Giải phương trình:

2 1

cos

2

x

x= − với x> 0

GIẢI

Ta thấy ngay phương trình có 1 nghiệm x= 0

2 cos )

f là biểu thức của hàm số có đạo hàm

0 , 0 sin

)

(

f (vì x > sinx, ∀x)

⇒ Hàm f luôn đơn điệu tăng trong (0 , +∞)

⇒ f(x) = 0 có 1 nghiệm duy nhất trong (0 , +∞)

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x = 0

B.CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN

Bài 1: Giải phương trình:

0 2 sin 2 cos

2

GIẢI

Ta có (1) ⇔x2 − 2xcosx+ cos 2x+ sin 2x− 2 sinx+ 1 = 0







=

=

⇔







=

−

=

−

⇔

=

− +

−

⇔

1 sin cos

0 1 sin

0 cos

0 )1 (sin )

cos

x

x x x

x x

x x

x

Phương trình vô nghiệm

Bài 2: Giải phương trình:

1 cos

GIẢI

Ta có: sin 4x+ cos 15 x= 1

x x

x

⇔

) cos 1 ( cos ) 1 (sin

Vì sin 2 x(sin 2 x− 1 ) ≤ 0 , ∀x

Và cos 2x( 1 − cos 13 x) ≥ 0 , ∀x

Do đó (1)









=

−

=

−

⇔

0 ) cos 1(

cos

0 )1 (sin sin

13 2

2 2

x x

x x





















=

=







±

=

=

⇔

1 cos

0 cos

1 sin

0 sin

x x x x

) ,(

2 2

2 m n Z

n x

n x

m x

m x

∈



























=

+

=







 +

=

=

⇔ π

π π

π π π

ĐS x=π +kπ

2 hay x= 2kπ , (k∈Z)

C.CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO VÀ ĐỀ THI

Bài 3: Giải các phương trình:

4 ( cos

4

1

GIẢI

1 Ta có:

(1)

4

1 4

) 2 2 cos(

1 4

) 2 cos 1 (

2 2

=







+

−

⇔

π

x x

1 ) 2 sin 1 ( ) 2 cos 1

2

2 ) 4 2 cos(

1 2 sin 2 cos

=

−

⇔

= +

⇔

π

x

x x

) ( 4

Z k k x

k x

∈









+

=

=

⇔

π π π

2.Với điều kiện

2

π

k

x≠ ta có tanx và cotx luôn cùng dấu nên:

1 cot 4

1 tan 1 cot 4

1 tan 2 cot 4

1 tan cot

4

1

n

x x

x x

x x

x x

Dấu "=" xảy ra tan 21

4

1 tan cot

4

1

•Với n= 2: phương trình cot 1

4

1 tan

2

=











 x+ x có nghiệm cho bởi:

) ( 2

1 arctan 2

1

•Với n∈Z,n> 2 thì:

1 sin cos

sin

1 2 2

2 2

2

m n khi k x

hay k x

m n khi k x

∈













+

= +

=

=

=

=

⇔

π π π

π

(đều không thoả mãn điều kiện x≠kπ2 của phương trình)

Vậy với n> 2 ,n∈Z thì phương trình vô nghiệm

2

1

Bài 4: Giải phương trình:

1 1 3 cos

1 3 cos 1 cos

1

x

x x

GIẢI

Điều kiện:







>

>

0 3 cos

0

cos

x

x

Khi đó (1) ⇔ cosx− cos 2x+ cos 3x− cos 2 3x = 1

2

1 ( 4

a

Do đó cosx− cos 2 x≤41 và cos 3x− cos 2 3x≤41

2

1 3 cos 3 cos 2

1 cos

Dấu bằng xảy ra ∅∈⇔













=

=

⇔













=−

=−

x

x

x x

x x

2

1 3cos

2

1 cos 4

1 3cos 3cos

4

1 cos cos

2 2

Vậy phương trình (1) vô nghiệm

D.CÁC BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1: Giải phương trình:

x x

HƯỚNG DẪN

x x

x x

x

x x x

x x x

∀

≥

−

∀

≤ +

⇒

∀

≤

∀

≤

, 1 sin

2

, 1 cos sin

, cos cos

, sin sin

4

3 3

2 3

2 3

Vậy phương trình tương đương:









=

−

=

+

1 sin 2

1 cos sin

4

3 3

x

x x

x=π + π ∈

Bài 2: Giải phương trình:

0 2 tan

sinx+ x− x= với 0≤x≤π2

HƯỚNG DẪN

Dễ thấy phương trình có 1 nghiệm x = 0

Đặt f(x) = sinx+ tanx− 2x liên tục trên 









2

;

0 π

Có

f

⇒ đơn điệu tăng trên 









2

;

0 π

Bài 3: Giải phương trình:

(cos 4x− cos 2x) = 5 + sin 3x

x=π + π ∈

Bài 4: Giải phương trình:

x x

x

ĐS x=kπ (k∈Z)

Bài 5: Giải phương trình:

0 1 sin

2

2 − xy+ =

x

ĐS









+

=

=

π

π k

y

x

2 2

1

hay







 +

=

−

=

π

π k

y

x

2 2

1 (k∈Z)

tìm GTLN GTNN của các hàm số sau

a y=/sinx/+/cosx/

b y=3cos^2x+4sinxcosx-5sin^2x +2

c y=(2sinx + 3 cosx)(3sinx+4cosx)

bài 2 cho hàm số yk =(2kcosx+k+1)/(cosx+sinx+2)

a tìm gtln và gtnn của các hàm số ứng với k=1

b xác định tham số k sao cho giá trị lớn nhất của hàm số yk là nhỏ nhất

bài 3 xác định dạng của tam giác ABC sao cho biểu thức P=cosA+cosB+cosC đạt gtln

bài 4 xác định dạng của tam giác ABC sao cho biểu thức Q=sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)đạt gtln BÀI 5 tìm gtln của hàm số

a y= ((sin^2x(1-4sin^2x))/cos^4x trên khoảng(0;PI/6

BÀI TẬP NÂNG CAO:

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT

1) cho y = f(x) = 4cos2x + 3 3sinx + 7 sin2x

a) Tìm GTLN của f(x)

b) Tìm GTLN của | f(x) |

2) Tìm GTLN, GTNN của sin4x + cos4x + msinxcosx

3) Tìm GTLN, GTNN của: y = 2 2

4) Cho yk = cos2 cosk x+sinx k+ +x+12

a/ Tìm k để GTLN của yk l à NN

b/ Khi k =2 T ìm GTLN, GTNN của y 2 v ới x ∈ − ( π π ; ).

5) Cho y = sin10x + cos10x T ìm Max và min của y

6) Tìm GTNN của hàm số: y = (cosx + sinx)3 + 2 2

1

7) Tìm GTLN, GTNN của :

a y = cos 6 x – sin 5 x b y = cosx+ sinx

c y = 4 sinx− cosx. d y = sin5x + 3sinx

8) Tam giác ABC, tìm GTNN của

Q =

9) Tìm GTLN, GTNN của: y = 2 2

10) Cho M(x; y) thuộc Elip: 2 2 1.

2