Thay Loi seminar3-2.

Thay Loi seminar3-2.

độ đo, chiều hausdorff và metric entropy

Để mở rộng độ đo Lebesgue cho các tập ‘α - chiều’ của Rn với α ≤ n, năm

1918 Hausdorff đã đưa ra khái niệm độ đo α - chiều, và số chiều Hausdorff (có thể không nguyên) cho các tập trong không gian Rn

Một cách tiếp cận khác về độ đo (chẳng hạn theo hướng xấp xỉ) là khái niệm entropy hay metric entropy được Kolmogorov đưa ra vào 1930

Bài này tóm tắt một số kết quả cơ bản của độ đo và số chiều Hausdorff và liên

hệ nó với metric entropy

Nội dung

1 Độ đo Hausdorff

2 Chiều Hausdorff

3 Các ví dụ

4 Entropy và chiều entropy

Tham khảo

Falconer K.J, Fractal Geometry, Wiley (2003)

Federer H, Geometric measures theory, Springer-Verlag (1969)

Kolmogorov A.N, Tihomirov V.M, -entropy and -capacity of sets in fuctional space, Amer Math Soc Transl 17 (1961), 277-364

Simon L, Lectures on geometric measure theory, Proc Centre Math Anal Austral Nat Univ 3 (1983)

1 Độ đo Hausdorff

Cho A là tập con trong Rn và α ≥ 0

Với mỗi  > 0, họ các  - phủ A được ký hiệu là

C(, A) = {(Ui)i∈N : A ⊂ [

i∈N

Ui và diam (Ui) ≤ }

Đặt

Hα

(A) = c(α) inf{ X

i

diam (Ui)α: (Ui)i∈N ∈ C(, A)}

trong đó c(α) = Γ(

1

2)α

2αΓ(α2 + 1) Khi α nguyên c(α) là thể tích hình cầu α - chiều,

có đường kính là 1

Khi  giảm về 0, thì họ phủ C(, A) tăng, nên inf của vế phải giảm Từ đó có thể định nghĩa độ đo Hausdorff chiều α của A là

Hα(A) = lim

→0Hα

(A)

Mệnh đề Hα là một độ đo trên Rn mà mọi tập Borel là Hα- đo được Chứng minh: Rõ ràng Hα(∅) = 0, và nếu (Ai) là họ đếm được các tập con của Rn thì Hα(S

iAi) ≤X

i

Hα(Ai) Theo tiêu chuẩn Caratheodory, để chứng minh các tập Borel là Hα - đo được, ta cần chứng minh

(C) Hα(A ∪ B) = Hα(A) + Hα(B), khi d(A, B) > 0

Dễ thấy Hα

(A ∪ B) = Hα

(A) + Hα

(B), khi d(A, B) > 2 Cho  → 0, ta có

Mệnh đề Độ đo Hausdorff chiều n trùng với độ đo Lebesgue Ln trong Rn

Cụ thể

Hn(A) = Hn(A)= Ln(A) với mọi A ⊂ Rn và  > 0

Chứng minh: (A Sard 1943)

Ln(A) ≤ Hn(A): Nếu A ⊂ ∪iUi, thì Ln(A) ≤P

iLn(Ui) ≤P

ic(n)(diam Ui)n Vậy Ln(A) ≤ Hn

(A), ∀ > 0 Suy ra Ln(A) ≤ Hn(A)

Ln(A) ≥ Hn(A): Với mọi  > 0, δ > 0, tồn tại họ hình cầu (Bi) ∈ C(, A) sao cho

X

i

Ln(Bi) =X

i

c(n)(diam Bi)n≤ Ln(A) + δ

Vậy Hn

(A) ≤ Ln(A) + δ Suy ra Hn

(A) ≤ Ln(A) và Hn(A) ≤ Ln(A)  Định lý (Area Formular) Cho f : Rm → Rn là ánh xạ Lipschitz với m ≤ m Gọi Jmf (x) =pdet(tDf (x)Df (x)) Khi đó

(i) Nếu A là tập Lm- đo được, thì

Z

A

Jmf (x)dLmx =

Z

R n

H0(f−1(y) ∩ A)dHmy (ii) Nếu u là hàm Lm- khả tích, thì

Z

R m

u(x)Jmf (x)dLmx =

Z

R n

X

x∈f −1 (y)

u(x)Hmy

Chứng minh: Xem trong Federer hay Simon 

Nhận xét Khi f |A là đơn ánh, thì công thức trên cho

Z

A

Jmf (x)dLmx = Hm(f (A))

Vậy H0(A) là số điểm của A, H1(A) là độ dài đường cong trơn A, H2(A) là diện tích mặt cong trơn A Tổng quát, nếu A là đa tạp con m chiều trong Rn, thì Hm(A) chính là thể tích m- chiều (sinh bởi metric Rieman cảm sinh từ Rn

lên A) của A

Một số tính chất của độ đo Hausdorff

(i) Cho f : A → Rn là ánh xạ H¨older, i.e tồn tại L, p > 0 sao cho

kf (x) − f (y)k ≤ Lkx − ykp (x, y ∈ A)

Khi đó Hα/p(f (A)) ≤ c(α/p)

c(α) L

α/pHα(A)

Đặc biệt, khi f là ánh xạ Lipschitz, i.e p = 1, thì Hα(f (A)) ≤ LαHα(A) (ii) Khi S là phép đồng dạng tỉ số λ > 0, thì Hα(S(A)) = λαHα(A)

(iii) Độ đo Hausdorff là bất biến qua phép đẳng cự, và vì vậy qua phép tịnh tiến

Chứng minh: Nếu (Ui) là một họ  - phủ A, thì từ tính chất H¨older ta có diam f (A ∩ Ui) ≤ Ldiam (A ∩ Ui)p Vậy họ (f (A ∩ Ui)) là một Lp - phủ f (A)

i

diam (f (A ∩ Ui))α/p≤ Lα/pX

i

diam (Ui)α

Suy ra Hα/pLp(f (A)) ≤ c(α/p)

c(α) L

α/pHα

(A) Cho  → 0, ta có (i)

Để chứng minh (ii), áp dụng (i) cho S và S−1, ta có

λαHα(A) ≤ Hα(S(A)) ≤ λαHα(A)

Do phép đẳng cự là Lipschitz với L = 1 và song ánh nên (iii) suy từ (i) 

Độ đo Hausdorff cầu Nếu trong định nghĩa trên, ta thay họ phủ bất kỳ bởi họ phủ là hình cầu

C(, A) = {(Bi)i∈N : A ⊂ [

i∈N

Bi và Bi là hình cầu có bán kính ≤ }

thì với các xây dựng tương tự ta có độ đo Hausdorff cầu chiều α, ký hiệu Sα

Do mỗi họ các cầu  - phủ A là  - phủ A, và mọi -phủ A đều chứa trong một

họ các cầu 2-phủ A, nên ta có

Hα ≤ Sα ≤ 2αHα Federer (1969) đã chứng minh khi m ∈ N và A ⊂ Rn là (Hm, m) rectifiable, thì Sm(A) = Hm(A)

2 Chiều Hausdorff

Cố định A ⊂ Rn Nếu 0 ≤ r < s, thì với mọi 0 <  < 1 và (Ui)i∈N ∈ C(, A),

ta có

X

i

diam (Ui)s =X

i

diam (Ui)r+(s−r)≤ s−rX

i

diam (Ui)r

Cho  → 0, ta thấy nếu Hr(A) 6= ∞, thì Hs(A) = 0; nếu Hs(A) 6= 0, thì

Hr(A) = ∞ Từ đó định nghĩasố chiều Hausdorff của A:

dimHA = inf{α : Hα(A) = 0} = sup{α : Hα(A) = ∞}

Ta có

Hα(A) = ∞ nếu 0 ≤ α < dimHA

0 nếu α > dimHA Khi α = dimHA, Hα(A) có thể 0 hay ∞

Nhận xét Do bất đẳng thức Hα ≤ Sα ≤ 2αHα, nên số chiều Hausdorff và số chiều Hausdorff cầu (với định nghĩa tương tự) là trùng nhau

Mệnh đề Chiều Hausdorff thoả các tính chất sau:

(i) Nếu A ⊂ B, thì dimHA ≤ dimHB

(ii) dimHS

∞

i=0Ai = sup0≤i≤∞dimHAi

(iii) Nếu A là đa tạp m chiều, thì dimHA = m

Chứng minh: (i) là rõ ràng

Do (i) ta có dimH∪iAi ≥ dimHAi Mặt khác, nếu s > dimH(Ai) với mọi i, thì

Hs(Ai) = 0, vậy Hs(∪iAi) = 0, từ đó có bất đẳng thức ngược lại Ta có (ii)

Mệnh đề

(i) Nếu f : A → Rn thoả điều kiện H¨older: kf (x) − f (y)k ≤ Lkx − ykp, thì dimHf (A) ≤ 1

pdimHA.

Đặc biệt, nếu f là ánh xạ Lipschitz, thì dimHf (A) ≤ dimHA

(ii) Nếu f : A → Rm là bi-Lipschitz, i.e tồn tại L1, L2 > 0 sao cho

L1kx − yk ≤ kf (x) − f (y)k ≤ L2kx − yk (x, y ∈ A)

thì dimHf (A) = dimHA (Tính bất biến qua biến đổi bi-Lipschitz)

Chứng minh: Nếu s > dimHA, thì theo tính chất của độ đo Hausdorff, ta có

Hs/p(f (A)) ≤ Ls/pHs(A) = 0 Suy ra dimHf (A) ≤ s/p với mọi s > dimHA Vậy ta có (i) Từ (i) , với p = 1 và f song ánh, suy ra (ii) 

Nhận xét Chiều Hausdorff phụ thuộc vào metric, không bất biến qua đồng phôi (xem các ví dụ trong Falconer)

3 Các ví dụ

Ví dụ 1 Do H0({a}) = 0, nên số chiều Hausdorff của tập đếm được là 0

và độ đo Hausdorff chiều α > 0 là 0

Ví dụ 2 Cho A là đĩa phẳng, bán kính đơn vị trong R3 Khi đó H1(A) =

độ dài(A) = 0, 0 < H2(A) = (4/π)× diện tích(A) < ∞, và H3(A) = thể tích(A) = 0 Vậy dimHA = 1, và Hs(A) = ∞ nếu s < 2, Hs(A) = 0 nếu s > 2

Ví dụ 3 Một tập A ⊂ Rn có dimHA < 1 là hoàn toàn gián đoạn, i.e hai điểm khác nhau của A thuộc vào hai thành phần liên thông khác nhau

Chứng minh: Cho x, y ∈ A khác nhau Xét f : Rn → R, f (z) = |z − x| Do

|f (z)−f (w)| ≤ |z −w|, nên theo tính chất Lipschitz dimHf (A) ≤ dimHA < 1 Vậy f (A) là tập trong R có độ đo Hausdorff 1- chiều bằng không, vậy có phần

bù là trù mật Chọn r 6∈ f (A) và 0 < r < f (y) Khi đó x ∈ {z ∈ A : |z −x| < r} còn y ∈ {z ∈ A : |z − x| > r}, vậy x, y thuộc hai thành phần liên thông khác

Ví dụ 4 Cho A ⊂ [0, 1] là tập Cantor (bỏ đi một phần ba giữa) Khi đó

s = dimHA = ln 2ln 3 và 12 ≤ Hs(A) ≤ 1

Tính toán heuristic: Phân A thành một phần trái AL = A ∩ [0,13] và phần phải AR= A ∩ [13, 1] Cả hai phần là đồng dạng với A tỉ lệ 13, và A = AL∪ AR

là hợp rời Vậy với mọi α ≥ 0

Hα(A) = Hα(AL) + Hα(AR) = (1

3)

αHα(A) + (1

3)

αHα(A)

Giả sử tại s = dimHA, ta có 0 < Hs(A) < ∞ (giả thiết này là khá lớn!) Với

α = s, chia cho Hs(A) ở đẳng thức trên, ta có 1 = 2(13)s Vậy s = ln 2ln 3

Tính chính xác: AT∞

k=0Ek, trong đó Ek là các đoạn xây dựng tập Cantor A

ở bước k: E0 = [0, 1], Ek lập từ Ek−1 bằng cách bỏ đi một phần ba phần giửa mỗi đoạn của Ek−1 Vậy Ek chứa đúng 2k đoạn có độ dài 3−k

Lấy các đoạn của Ek như là một 3−k-phủ của A, ta có Hs

3 −k(A) ≤ 2k3−ks= 1 nếu s = ln 2ln 3 Cho k → ∞ ta có Hs(A) ≤ 1

Để chứng minh Hs(A) ≥ 12, ta chứng minh

i

|Ui|s≥ 1

2 = 3

−s

với mọi (Ui) phủ A Do tính copact của A, ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức với (Ui) là họ hữu hạn và mỗi Ui là đoạn Với mỗi i gọi k, là số nguyên:

3−(k+1) ≤ |Ui| < 3−k Khi đó Ui giao với nhiều nhất là một đoạn trong Ek, vì khoảng cách giưa các đoạn đó ≥ 3−k Nếu j ≥ k, thì theo cách xây dựng Ui giao với nhiều nhất 2j−k = 2j3−sk ≤ 2j3s|Ui|s đoạn trong Ej Chọn j đủ lớn sao cho 3−(j+1) ≤ |Ui| với mọi i Do (Ui) giao với mọi 2j đoạn cơ sở có độ dài

3−j, đếm số đoạn cho ta 2j ≤P 2j3s|Ui|s Từ đó suy ra (∗) 

Nhận xét Có các ví dụ chứng tỏ với mọi α ∈ [0, n], đều tồn tại A ⊂ Rn

có số chiều Hausdorff là α (xem các ví dụ trong Falconer)

4 Entropy và chiều entropy

Một cách tiếp cận khác về độ đo (chẳng hạn theo hướng xấp xỉ) người ta muốn ‘đo ở mức độ ’, nghĩa là đo một tập mà không để ý đến những phần bất thường có kích thước bé hơn , rồi xét xem độ đo này biến thiên thế nào khi  → 0 Nếu độ đo ở mức  của tập A có xấp xỉ M (, A) ∼ c 1
s, thì có thể nói A có ‘chiều s’, và c xem như độ đo s-chiều của A Lấy logarithm ta có

log M (, A) ∼ s log1

 + log c và s = lim→0

log M (, A) log(1/) Công thức trên gợi ý cho tính toán hay thực nghiệm, vì s có thể ước lượng như là âm của đạo hàm của đồ thị log M (, A) theo log 

Một trong những cách ước lượng và số chiều như vậy là khái niệm entropy hay metric entropy được Kolmogorov đưa ra vào 1930

Định nghĩa Với A là tập con của Rn và  > 0, ký hiệu M (, A) là min của số hình cầu đóng bán kính ≤ , phủ A

log2(M (, A)) gọi là -entropy của A, nó phản ánh lượng thông tin cần thiết

để ghi nhớ A bằng số với độ chính xác  (Kolmogorov và Tihomirov 1961) Mệnh đề Cho  > 0 Khi đó

(i) Nếu A ⊂ B, thì M (, A) ≤ M (, B)

(ii) M (, A ∪ B) ≤ M (, A) + M (, B), và dấu bằng xảy ra khi d(A, B) > 2 (iii) Nếu 0 < 2 ≤ 2, thì M (1, A) ≥ M (2, A)

(iv) M (, A) = M (, A)

(v) Nếu f : A → Rn thoả điều kiện H¨older: kf (x) − f (y)k ≤ Lkx − ykp, thì

M (Lp, f (A)) ≤ M (, A)

Đặc biệt, khi f là ánh xạ Lipschitz, i.e p = 1, thì M (L, (f (A)) ≤ M (, A)

Chiều entropy Để xét tốc độ tăng của M (, A) khi  → 0, người ta so sánh với 1/ Số chiều entropy của A, được ký hiệu và định nghĩa là

dimeA = lim sup

→0

log(M (, A)) log(1/) = inf{δ : M (, A) ≤ (1/)

δ, khi  đủ bé }

Các định nghĩa tương tự Có thể thay định nghĩa M (, A) là:

(1) min của số tập bán kính ≤  phủ A

(2) min của số hộp bán kính ≤  phủ A

(3) số hộp của -lưới giao với A

(4) max của số hình cầu rời nhau có tâm thuộc A bán kính 

Danh sách trên có thể kéo dài thêm, tùy theo mục đích và sự thuận lợi trong thực hành Dễ thấy tuy giá trị M (, A) có thể khác nhau tùy theo cách chọn định nghĩa, nhưng chúng có chung số chiều lim sup

→0

log(M (, A)) log(1/) Tính chất của chiều entropy

(i) Nếu A ⊂ B, thì dimeA ≤ dimeB

(ii) dimeA ∪ B = max(dimeA, dimeB)

(iii) Nếu A là đa tạp m chiều, thì dimHA = m

(iv) Chiều entropy là bất biến qua biến đổi bi-Lipschitz

(v) dimHA ≤ dimeA

Chứng minh: (i) (ii) (ii) (iv) được chứng minh tương tự như chiều Hausdorff Nếu A có thể phủ bởi M (, A) hình cầu bán kính , thì theo định nghĩa

Hα

(A) ≤ M (, A)(2)α Nếu 1 < Hα(A) = lim→0Hα

(A), thì log M (, A) +

α log  > 0 khi  đủ bé Vậy α ≤ lim sup

→0

log(M (, A))

Nhận xét Chiều entropy có những ưu và khuyết điểm Xét các ví dụ sau:

(1) Chiều entropy không có tính ổn định đếm được: Nếu A trù mật trong

Rn, thì dimeA = dimeA = n.¯

(2) Cho A = {0, 1,12,13, · · · } Khi đó dimHA = 0, nhưng dimeA = 12.

Chứng minh: Cho 0 <  < 12 và gọi k là số nguyên: 1/k(k+1) ≤ 2 < 1/k(k−1) Nếu diam U ≤ 2, thì U chỉ có thể phủ nhiều nhất một điểm của {1,12, · · · ,k1},

vì 1(k − 1) − 1/k = 1/(k − 1)k > 2 Vậy số khoảng có đường kính 2 phủ A

ít nhất là k, i.e M (, A) ≥ k Suy ra log(M (, A))

log(1/) ≥ log k

log k(k + 1) Cho  → 0 (vậy k → ∞) ta có dimeA ≥ 12

Mặt khác, k + 1 khoảng độ dài 2 phủ [0, 1/k] còn k − 1 điểm còn lại của A

có thể phủ bởi k − 1 khoảng khác Vậy M (, A) ≤ 2k Suy ra log(M (, A))

log(1/) ≤ log 2k

log k(k − 1) Suy ra dimeA ≤

1

Tạ Lê Lợi

Đà lạt tháng 3 năm 2008