Thay loi seminar1-1

Thay loi seminar1-1

giới thiệu một số kết quả định lượng

trong giải tích vi phân

Tạ Lê Lợi

ý kiến tìm ra các kết quả có tính định lượng trong Giải tích vi phân được đề xuất bởi Yomdin (2004) Để các kết quả có tính định tính (chẳng hạn trong lý thuyết Kỳ dị ) có thể áp dụng được trong tính toán, điều quan trọng là phải làm mạnh hơn các kết quả đó để ‘định lượng’ được, i.e cung cấp thông tin tường minh và có thể đánh giá hiệu quả mọi tham số quan trọng có liên quan Điều này sẽ mở ra khả năng áp dụng của Giải tích vi phân trong các lĩnh vực khác như Giải tích, Hình học, Phương trình vi phân, Hệ động lực, ,và khoa học tính toán

Mục đích của bài này là giới thiệu một số kết quả quan trọng theo hướng nêu trên

Bố cục:

1 Định lý hàm ẩn

2 Định lý Morse

3 Định lý Sard

4 Định lý hoành

5 Định lý chuẩn bị và Định lý chia

6 Các vấn đề

7 Tài liệu

Ký hiệu: Bn

r hay Br là hình cầu tâm 0, bán kính r, trong Rn Bn= Bn

1

1 Định lý hàm ẩn

Định lý (Dạng định tính) Cho f : Rn→ Rp ∈ Ck, với k ≥ 1, n ≥ p, f (a) = 0, cho trong hệ tọa độ y1 = f1(x1, · · · , xn), · · · , yp = fp(x1, · · · , xn) Giả sử Df (a)

có hạng cực đại p Khi đó tồn tại các lân cận U (a), U (0) trong Rn, và biến đổi tọa độ lớp Ck, ϕ : U (0) → U (a), x1 = ϕ1(w1, · · · , wn), · · · ϕn(w1, · · · , wn), sao cho trong tọa độ đó f có dạng y1 = w1, · · · , yp = wp

Định lý (Dạng định lượng) Giả sử mọi đạo hàm riêng đến cấp k của f

bị chặn bởi K trên Bn Khi đó tồn tại r(K), m(K), M (K) > 0, có biểu thức tường minh, sao cho U (0) = Br(K) và m(K) < kϕkCk < M (K)

Note Xem kỹ các chứng minh kinh điển sẽ có r, m, M tường minh Có thể xem kết quả của Clark (1976) mở rộng định lý cho f thoả điều kiện Lipschitz

Note Trường hợp f giải tích: Smale (1986) cho các đánh giá cho Định lý hàm ngược, i.e p = n; các ví dụ khi n, p = 1, 2 xem Yomdin (2005)

Note Các đánh giá định lượng là cần thiết khi xử lý dữ liệu số với độ chính xác hữu hạn Chẳng hạn trong Giải tích số, xét định lý trên dưới dạng: Cho f : Rm × Rp → Rp ∈ C1 Giả sử f (a0, y0) = 0 và đạo hàm theo y, (∂f /∂y)(a0, y0) là không suy biến Khi đó tồn tại g : U (a0) → Rp ∈ C1, sao cho f (a, g(a)) = 0, khi a ∈ U (a0), và g(a0) = y0

Khi xem a0 là input và y0 là output, theo công thức Taylor, để chặn trên cho sai số vô cùng bé của output y theo sai số vô cùng bé của input a, người ta dùng số điều kiện µ = kDg(a0)k, trong đó

Dg(a0) = − ∂f

∂y(a0, y0)

! −1

∂f

∂a(a0, y0) Vậy µ càng lớn thì đánh giá sai số giữa y và y0 càng tệ

Shub và Smale (1993) có những kết quả đánh giá xác suất (theo phân phối chuẩn) khi µ ≥ 1/ε cho các hệ đa thức n biến bậc ≤ d Ngoài ra nhóm này còn nêu các áp dụng trong lý thuyết Tính toán và độ phức tạp

2 Định lý Morse

Cho f0 : Bn → R ∈ Ck (k ≥ 3) Khi đó ta có tính chất đủ tổng quát của hàm Morse:

Định lý (Morse 1931) Tồn tại nhiễu bé tùy ý (theo chuẩn k.kCk) dạng f =

f0 + h, sao cho

(i) Mọi điểm kỳ dị xi của f là không suy biến Vậy số điểm kỳ dị là hữu hạn (ii) Các giá trị kỳ dị là khác nhau

(iii) Tồn tại biến đổi tọa độ tại lân cận xi là y1, · · · , yn, sao cho

f (y1, · · · , yn) = y12+ · · · + yp2− y2

p+1− · · · − y2

n+ const Note Tính trù mật của các hàm Morse có nhiều áp dụng quan trọng, chẳng hạn như trong lý thuyết Morse (Morse 1931, Milnor 1963, Goresky và McPher-son 1988)

Dạng định lượng của định lý trên là:

Định lý (Yomdin 2004) Giả sử mọi đạo hàm riêng của f0 bị chặn bởi K Khi đó với mọi ε > 0, tồn tại hàm f = f0 + h có khkCk ≤ ε, và các hàm

ψ1(K, ε), ψ2(K, ε), ψ3(K, ε), d(K, ε), N (K, ε), M (K, ε) > 0 có biểu thức tường minh, sao cho

(i) Tại mọi điểm kỳ đị xi của f , các giá trị riêng của Hessian Hf (xi) có trị tuyệt đối ≥ ψ1(K, ε)

(ii) Khoảng cách giữa hai giá trị kỳ dị khác nhau d(xi, xj) ≥ d(K, ε) Số điểm

kỳ dị không vượt quá N (ε)

(iii) Với δ = ψ3(K, ) và mỗi điểm kỳ dị xi của f , trong δ-lân cận của xi, tồn tại biến đổi tọa độ y1, · · · , yn, sao cho

f (y1, · · · , yn) = y12+ · · · + yp2− y2

p+1− · · · − y2

n+ const Các biến đổi này có chuẩn k.kCk−1 không vượt quá M (K, ε)

Note Yomdin (2005) còn cho chứng minh là khi f là hàm Morse như định lý trên, tồn tại α0, sao cho với o < α < α0, nếu f1 gần f theo Ck-chuẩn không quá α, thì f1 = G ◦ f ◦ H với G, H là các vi phôi khác với ánh xạ đồng nhất, theo Ck−1-chuẩn, không quá một giá trị s(K, ψ1, ψ2, α)

Note Niederman (2004) đã sử dụng kết quả của định lý trên vào bài toán ổn định của hệ Hamilton

3 Định lý Sard

Độ đo và chiều Hausdorff Cho A là tập con của một không gian metric Với mỗi α ≥ 0, ký hiệu C(, A) = {(Di)i∈N : A ⊂S

i∈NDi và diam (Di) ≤ },

Hα

(A) = inf{X

i

diam (Di)α : (Di)i∈N ∈ C(, A)}

Độ đo Hausdorff chiều α của A được định nghĩa là Hα(A) = lim

→0Hα

(A) Nếu Hα(A) 6= ∞, thì Hα0(A) = 0 khi α0 > α; nếu Hα(A) 6= 0, thì Hα0(A) = ∞ khi α0 < α Từ đó định nghĩa số chiều Hausdorff của A:

dimHA = inf{α : Hα(A) = 0} = sup{α : Hα(A) = ∞}

Note Chiều Hausdorff là mở rộng chiều cổ điển, độ đo Hausdorff Hn(A) trùng với độ đo Lebesgue Ln(A) trong Rn đối với một lớp khá rộng các tập A

Định lý (Morse 1939, Sard 1942, Holm 1987) Cho f : Rn → Rp ∈ Ck Gọi Σ(f ) = {x ∈ Rn : rank Df (x) < p}, và ∆(f ) = f (Σ(f )) Khi k ≥ max(n − p + 1, 1), ta có Hp(∆(f )) = 0

Định lý (Federer 1969) Cho f : Rn → Rp ∈ Ck Với ρ < p, ký hiệu Σρ(f ) = {x ∈ Rn: rank Df (x) ≤ ρ}, và ∆ρ(f ) = f (Σρ(f )) Khi đó Hρ+(n−ρ)/k(∆ρ(f )) =

0 Đặc biệt

dimH(∆ρ(f )) ≤ ρ +n − ρ

k Note Một hệ quả của định lý Sard khẳng định với hầu hết giá trị y ∈ Rp,

f−1(y) hoặc trống hoặc là đa tạp con có chiều n − p

Note Định lý sau suy ra định lý đầu khi cho ρ = p − 1 Hơn nữa, nó còn cho thấy bậc trơn k đóng vai trò quan trọng Tuy nhiên, thông tin về độ đo không khó có thể áp dụng được

Để các định lý có thể áp dụng được, Yomdin (1983) đưa ra khái niệm ‘gần kì dị’ và dùng entropy để đánh giá

Giá trị gần kỳ dị (Yomdin 1983):

Cho L : Rn → Rp là ánh xạ tuyến tính Khi đó L(Bn) là một ellipsoid r chiều

có độ dài các nửa cạnh là l1(L) ≥ · · · ≥ lr(L), với r = rank L Khi r < p, ký hiệu lr+1(L) = · · · = lp(L) = 0

Cho f : Rn → Rp ∈ Ck Với mỗi Λ = (1, · · · , p), 1 ≥ · · · ≥ p ≥ 0,

ký hiệu Σ(f, Br, Λ) = {x ∈ Br : li(Df (x)) ≤ i, i = 1, · · · , p},

khi đó tập giá trị Λ-tới hạn của f trên Br, định nghĩa là

∆(f, Br, Λ) = f (Σ(f, Br, Λ))

Entropy và chiều entropy Với A là tập con của một không gian metric

và α > 0, ký hiệu M (α, A) là min của số hình cầu đóng bán kính ≤ α, phủ A log2(M (α, A)) gọi là α-entropy của A, nó phản ánh lượng thông tin cần thiết

để ghi nhớ A bằng số với độ chính xác α (Kolmogorov và Tihomirov 1961) Số chiều entropy của A, định nghĩa là bậc của M (α, A) theo 1/α khi α → 0:

dimeA = lim sup

α→0

log(M (α, A)) log(1/α) = inf{δ : M (α, A) ≤ (1/α)

δ, khi α đủ bé }

Note Ta có dimHA ≤ dimeA

Ký hiệu Rk(f ) = 1

(k − 1)!x∈Bsupr

kDkf (x)krk

Định lý (Yomdin 1983) Cho 0 = 1 Khi đó tồn tại hằng số C(n, p, k), ˜C(n, p, k) chỉ phụ thuộc n, p, k sao cho

M (α, ∆(f, Br, Λ)) ≤ C(n, p, k)

p

X

i=0

0· · · i

r α

 i Rk(f ) α

! n−i k

khi α ≤ Rk(f )

M (α, ∆(f, Br, Λ)) ≤ ˜C(n, p, k)

p

X

i=0

0· · · i

r α

 i

khi α > Rk(f )

Định lý (Yomdin 1983) Cho 0 = 1, i = sup{li(Df (x)) : x ∈ Br}, i ∈

{1, · · · , ρ} Khi đó

M (α, ∆ρ(f, Br, Λ)) ≤ C1(n, p, k)

ρ

X

i=0

0· · · i

r α

 i Rk(f ) α

! n−i k

khi α ≤ Rk(f )

M (α, ∆ρ(f, Br, Λ)) ≤ C2(n, p, k)

ρ

X

i=0

0· · · i

r α

 i

khi α > Rk(f )

Đặc biệt dimH(∆ρ(f, Br)) ≤ dime(∆ρ(f, Br)) ≤ ρ + n − ρ

k Note Kết quả định lượng cho tập giá trị gần tới hạn cho phép áp dụng trong tính toán, mà kết quả loại như vậy không thể suy từ tính độ đo không như định lý Sard cổ điển Một ví dụ điển hình là:

Mệnh đề Cho f : Bn → R là đa thức bậc d Khi đó ∆(f, Bn, λ) có thể phủ bởi N (d, n) ≤ (2d)n khoảng có độ dài λ Suy ra:

(i) ∆(f, Bn, λ) có độ đo không vượt quá (2d)nλ

(ii) Chọn ngẫu nhiên ξ thuộc [a, b], thì xác suất để ξ không là giá trị λ-tới hạn

là 1 − (2d)nλ/(b − a)

(iii) Với h > 0, gọi Zh = {xi = x0+ ih : i ∈ I} là một lưới của [a, b] Khi đó với λ ≥ 0, có ít nhất (b − a)/h − (2d)n(λ/h + 1) điểm thuộc lưới mà không là giá trị λ-tới hạn của f Chẳng hạn h ≤ h0 = (b − a)/(2d)n và λ = h0− h

4 Định lý hoành

Khái niệm về tính hoành được Thom (1955) đề xuất, nó đóng một vai trò căn bản trong lý thuyết Kỳ dị

Tính hoành Cho g : Rn → Rm ∈ Ck và P là một đa tạp con trong Rm Khi đó

g gọi là hoành với P tại x nếuu g(x) 6∈ P hoặc ImDg(x) + Tg(x)P = Rm

g gọi là hoành với P nếuu nó hoành với P tại mọi x ∈ Rn

Định lý (Hoành yếu, Thom 1955) Cho T là đa tạp con p chiều trong Rm,

f : Rn × T → Rm ∈ C∞ Xét họ (ft)t∈T, ft(x) = f (x, t), x ∈ Rn, t ∈ T Giả sử f hoành với P Khi đó tập T1 = {t ∈ T : ft hoành với P } là residue trong T (nên trù mật) Nếu P compact, thì T1 là mở và trù mật Đặc biệt

Hp(T \ T1) = 0

Để định lượng, cần đo độ hoành giữa các đối tượng Ta có thể đưa bài toán về dạng sau:

Cho f : Bn

r × Bp

r → Rp ∈ Ck Xét họ (ft)t∈Bp

r, ft(x) = f (x, t), x ∈ Bn

r

Giả sử với mọi (x, t), đạo hàm theo t, Dtf (x, t) : Rp → Rp là toàn ánh Do tính compact, ta có thể giả sử

(∗) Tồn tại ρ > 0, sao cho lp(Dtf (x, t)) ≥ ρ, ∀(x, t) ∈ Brn× Bp

r Với mỗi Λ = (1, · · · , p), 1 ≥ · · · ≥ p ≥ 0, và δ > 0, ký hiệu

Σ(f, Br, Λ, δ) = {(x, t) ∈ Brn×Bp

r : li(Dxf (x, t)) ≤ i, i = 1, · · · , p, kf (x, t)k ≤ δ} Gọi π2 : Rn× Rp → Rp là phép chiếu tự nhiên Định nghĩa

∆(f, Br, Λ, δ) = π2(Σ(f, Br, Λ, δ))

là tập các tham số t ∈ Brp, mà tồn tại x ∈ Brn, li(Dft(x)) ≤ i, i = 1, · · · , p; và

kf (x, t)k ≤ δ

Định lý (Yomdin và Comte 2004) Với các ký hiệu ở trên Cho 0 < α < ρr

2k. Nếu α ≤ Rk(f ), thì

M (α, ∆(f, Br, Λ, δ)) ≤ C3

p

X

i=0

0· · · i r

Rk(f )

! i k

(1 + δ

α + · · · + (

δ

α)

p−i)

Nếu α > Rk(f ), thì

M (α, ∆(f, Br, Λ, δ)) ≤ C4

p

X

i=0

0· · · i(1 + δ

α + · · · + (

δ

α)

p−i

) trong đó C3, C4 là các hằng số phụ thuộc kf k, kDf k

Note Một số áp dụng quan trọng của định lý Sard và định lý hoành định lượng vào Hình học symplectic được cho bởi Donalson (1996-1999) và vào lý thuết hệ động lực cho bởi Niederman (2004)

Note Các công cụ chính để chứng minh các định lý trên thuộc lĩnh vực Hình học đại số thực Ngoài ra, để có các bất đẳng thức cho M (α, A) có thể dùng lý thuyết Tích phân hình học, cụ thể là biến phân nhiều chiều (Ivanov

1975, Yomdin và Comte 2004):

Cho một tập bị chặn A trong không gian Rn Với α > 0, ta có chặn trên theo

đa thức của 1/α như sau

M (α, A) ≤ C(n)

n

X

i=1

Vi(A)(1/α)i

trong đó Vi(A) là biến phân thứ i của A, là giá trị trung bình theo P (với

độ đo thích hợp) của số thành phần liên thông của A ∩ P , với P thuộc không gian các không gian affin n − k chiều trong Rn

5 Định lý chuẩn bị và định lý chia.

Cho f là hàm xác định trên một lân cận của (0, 0) ∈ Rn × R Ký hiệu (z, w) ∈ Rn× R Khi đó f được gọi là chính qui cấp k theo biến thứ n + 1 hay w-chính qui cấp k nếuu f (0, w) = h(w)wk, với h(0) 6= 0

Định lý (Chuẩn bị Weierstrass, Poincaré 1879, Weierstrass 1886) Giả sử

f (z, w) là hàm giải tích tại U của (0, 0) trong Rn× R, f (0, 0) = 0 và w- chính qui cấp k Khi đó tồn tại lân cận B của (0, 0), trên đó hàm f có biểu diễn duy nhất:

f (z, w) = h(z, w)P (z, w), trong đó h, P là giải tích trên B, h khác không trên B, và

P (z, w) = wk+ a1(z)wk−1+ · · · + ak(z), với aj(0) = 0

Định lý (Chia Weierstrass, Spath 1929) Cho f (z, w) là hàm giải tích tại lân cận U của (0, 0) trong Rn × R Giả sử f là w- chính qui cấp k Khi đó với mọi hàm g giải tích tại lân cận 0, tồn tại lân cận B của (0, 0) trên đó g có biểu diễn duy nhất:

g(z, w) = Q(z, w)f (z, w) + R(z, w) , trong đó Q, R là giải tích trên B, R(z, w) = a1(z)wk−1+a2(z)wk−2+· · ·+ak(z) Note Nghiên cứu kỹ một số chứng minh bằng phương pháp chuỗi lũy thừa (chẳng hạn của Grauert và Remmert ) có các đánh giá định lượng cho độ lớn của lân cận B, và các hệ số của các chuỗi ở phần kết luận của định lý, theo kích thước của U và chặn trên của các hệ số của các chuỗi ở phần giả thiết Kết quả định lượng cho định lý chia hay định lý chuẩn bị Malgrange, i.e cho hàm khả vi, chưa được biết

6 Các vấn đề Một cách rộng, vấn đề là đưa ra các kết qủa định lượng của Giải tích vi phân và các áp dụng Có thể nêu ra một số hướng sau:

• Kỳ dị Trong lý thuyết Kỳ dị, các công cụ chính là Định lý Sard, Định

lý hoành, Định lý chia, Định lý chuẩn bị và các kỹ thuật đại số để phân loại

và chuẩn hoá các kỳ dị Về nguyên tắc, các kết quả đó có thể đưa ra dạng định lượng Ngoài ra, xem xét các kết quả định lượng trong lý thuyết Phân tầng (chưa ai làm, có ý nghĩa? ) hay trong nghiên cứu tập rẽ nhánh của một ánh

xạ (Nhóm Kurdyka 2000-2003, có kết quả về định lý Sard định lượng cho tập giá trị tới hạn suy rộng của ánh xạ semi-đại số )

• Cấu trúc o-tối tiểu Đánh giá tường minh các bất đẳng thức trong các định lý nêu trên theo các dữ liệu của các yếu tố tham gia thuộc một cấu trúc o-tối tiểu cụ thể, chẳng hạn đa thức, semi-đại số, (một số kết quả của D’ Acunto và Kurdyka 2003, cho một số chặn trên tường minh cho một vài đối tượng liên quan đến đa thức, e.g độ dài qũy đạo gradient, số đoạn N (d, n) phủ tập ∆(f, Br) )

• Xác suất Dựa vào các kết quả định lượng, đánh giá phân phối xác suất,

kỳ vọng, (như hệ quả của định lý Sard nêu trên, hay các kết quả của Smale)

• áp dụng Một hướng phát triển gần đây là sử dụng các kết quả định lượng làm cho các kết quả của Giải tích vi phân có thể áp dụng được, hay đưa ra các áp dụng vào các lĩnh vực khác như Giải tích số, Hệ động lực, Lý thuyết

độ phức tạp,

7 Tài liệu

ở đây chỉ dẫn ra một số tài liệu điển hình nhất có liên quan đến đề tài

Các tài liệu chính dùng để viết bài này:

Comte G , Entropy and quatitative transversality, Elservier (2006)

Yomdin Y, The geometry of critical and near-crictical values of differentiable mapping., Math Ann 264(4) (1983), 495-515

Yomdin Y và Comte G, Tame Geometry with Application in Smooth Analysis, LNM vol 1834 (2004)

Yomdin Y, Some quantitative results in singularity theory, Ann Pol Math 87 (2005), 277-299

Các tài liệu cho phần cơ sở:

Arnold V.I, Gusein-Zade S.M và Varchenko A.N, Singularities of Differen-tiable Maps, Vol I và II, Birkhauser Boston (1985) và (1988)

Bochnak J, Coste M, Roy M.F, Real algebraic geometry, Sringer-Verlag (1998) Federer H, Geometric measures theory, Springer-Verlag (1969)

Golub G.H và van Loan C.F, Matrix computation, Johns Hopkins Univ Press (1983)

Golubitski M và Guillemin V, Stable mappings and their singularities, GTM

14 (1973)

Gromov M, Entropy, homology and semialgebraic geometry, Séminaire

Bour-baki, Vol 1985/86, Astérisque 145-146 (1987), 225-240.

Lojasiewicz S, Ensembles semi-analytiques, preprint I.H.E.S (1965)

Malgrange B, Ideals of differentiable functions, Oxford Univ Press (1966) Tougeron J.Cl, Idéaux de functions differentiables, Springer (1972)

Tham khảo để làm bài tập:

Clarke F.H, On the inverse function theorem, Pacific J Math 64 (1976), 97-102

Krantz S.G và Parks H.R, The implicit fuction theorem - History, theory and applications, Birkhauser (2002)

Grauert H và Remmert R, Analytische Stenalgebren, Springer-Verlag (1971) Smale S, Algorithms for solving equations, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, AMS (1986), 172-195

Các kết quả khác và áp dụng:

Blum L, Cucker F, Shub M, Smale S, Complexity and Real Computation, Spriger-Verlag (1998)

D’Acunto D và Kurdyka K, Bounds for gradient trajectories of definable fuc-tions with applicafuc-tions to robotics and semialgebraic geometry, Ppreprint (2003) Donaldson S.K, Symplectic submanifolds and almost-complex geometry, J Dif-ferential Geom 44 (1996), 666-705

Kurdyka K, Orro P và Simon S, Semialgebraic Sard theorem for generalized critical values, J Differential Geom 56 (2000), 67-92

Neiderman L, Prevalence of exponential stability among near-integrable Hamil-tonian systems, preprint Univ Paris XI (2004)

Rohde A, On the ε-entropy of nearly critical values, J Approx Theory 76 (1994), 166-176

Yomdin Y, Sard’s theorem and its improved versions in numerical analysis, Lectures in Applied Math Vol 26 (1990), 701-706

Hướng Cấu trúc o-tối tiểu:

van den Dries L, Tame topology and o-minimal structures, London Math So-ciety LNS 248 (1996)

Loi T.L, Tame topology and Tarski-type systems, Vietnam J Math 31:2 (2003), 127-136

Loi T.L, Genericity of aF and wF regularity conditions and equisingularity of functions in a family of functions definable in o-minimal structures, Proc of the National conf of Vietnam, 2002 (2004), 183-189

Loi T.L, Density of Morse fuctions on sets definable in o-minimal structures, Ann Pol Math 89.3 (2006), 289-299

Shiota M, Geometry of subanalytic and semialgebraic sets, Progress in Math-ematics 150 (1997)