Seminar3-Semidaisodinhluong-4

Seminar3-Semidaisodinhluong-4

lý thuyết tập semi-đại số định lượng

Nội dung:

1 Diagram của tập semi-đại số

2 Số thành phần liên thông của tập semi-đại số

3 Volume của tập semi-đại số

4 Định lý Sard định lượng

Tài liệu

[1] J.Milnor, On the Betti numbers of real varieties, Proc.AMS 152, 1964,

275-280, Springer-Verlag (1998)

[2] Jacek Bochnak, Michel Coste, Marie-Francoise Roy, Real Algebraic Geom-etry, Springer-Verlag (1998)

[3] Lou van den Dries, , Tame Topology and O-minimal Structures, Springer-Verlag (1998)

[4] Michel Coste, An Introduction to Semialgebraic Geometry, Università Di Pisa Dipartimento Di Mathematica - Italy (2000)

[5] Robert M.Hardt, Some Analytic Bounds For Subanalytic Sets, Progress in Math., No.27, Birkh¨auser, 1983, 259-27

[6] Yosef Yomdin, Metric properties of semialgebraic sets and mappings and their applications in smooth analysis,

[7] Yosef Yomdin and Georges Comte, Tame Geometry With Application In Smooth Analysis, Universite De Nice - Sophia Antipolis (2005)

[8] Yosef Yomdin, Some quantitative results in singularity theory, ANNALES POLONICI MATHEMATICI 87, 177-299 (2005)

1 Diagram của tập semi-đại số.

Cho A ⊂ Rn là tập semi-đại số, có dạng A = ∪pi=1Ai, với Ai = ∩ji

j=1Aij, và Aij

có dạng:

{(x1, , xn) ∈ Rn : pij(x1, , xn) > 0}, {(x1, , xn) ∈ Rn : pij(x1, , xn) ≥ 0},

pij là các đa thức bậc dij

Định nghĩa 1.1 Tập hợp các dữ liệu: (n, p, j1, , jp, (dij)i=1, ,p; j=1, ,ji) được gọi là diagram của tập A, ký hiệu D(A)

Định nghĩa 1.2 Cho diagram bất kỳ D = (n, p, j1, , jp, (dij)i=1, ,p; j=1, ,ji),

ta định nghĩa

B0(D) = 1

2

p

X

i=1

di(di− 1)n−1, với di =

j i

X

j=1

dij

Cho A là một tập semi-đại số, ta định nghĩa

b

B0(A) = inf{B0(D) : D là diagram biểu diễn A}

Định lý 1.1 (Tarski-Seidenberg) Cho A ⊂ Rn là tập semi-đại số Khi đó, tập π(A), với π : Rn → Rm là phép chiếu chính tắc, là semi-đại số, và diagram của π(A) chỉ phụ thuộc vào diagram của A

Chứng minh

1 Ta chỉ cần chứng minh định lý trong trường hợp π : Rn+1→ Rn

2 Bởi mệnh đề [2] Ch.2 Pro.2.1.8 đủ để chứng minh định lý trong trường hợp

A là tập semi-đại số dạng:

{(y, x) ∈ Rn

× R|fi(y, x) = 0, i = 1, , l, gj(y, x) > 0, j = l + 1, , m}

3 Bởi hệ quả của nguyên lý Tarski-seidenberg [2] Ch.1 Coro.1.4.7, tồn tại một

tổ hợp boolean các phương trình và bất phương trình đa thức B(Y ) biến Y với hệ số trong R sao cho với mỗi y ∈ Rn, hệ











f1(y, X) = · · · = fl(y, X) = 0

g1(y, X)) > 0

· · ·

gm(y, X)) > 0

có một nghiệm x trong R khi và chỉ khi B(y) thỏa mãn Hơn nữa, tập các

y ∈ Rn thỏa B(y) là semi-đại số

Do đó, π(A) = {y ∈ Rn, B(y) thỏa mãn và fi(y, x) = 0, i = 1, · · · , l, gj(y, x) >

0, j = 1, · · · , m}, fi, gj ∈ R[y]} là tập semi-đại số, và có lược đồ phụ thuộc vào lược đồ của A

Định lý 1.2 Cho A ⊂ Rn là tập semi-đại số Khi đó, các tập A,A, ∂A, mỗi◦ thành phần liên thông của A là các tập semi-đại số, và diagram của mỗi tập phụ thuộc vào diagram của A

Chứng minh

Ta có

A = {x ∈ Rn : ∀t ∈ R ∃y ∈ A(k y − x k2< t2 hoặc t = 0)}

có thể viết lại là

A = Rn\π2[Rn+1\π1({(x, y, t) ∈ R2n+1 : y ∈ A(k y − x k2< t2 hoặc t = 0)})] Trong đó π1 : R2n+1 → Rn+1 là phép chiếu được định nghĩa bởi π1(x, y, t) = (x, t) và π2 : Rn+1→ Rn là phép chiếu được định nghĩa bởi π2(x, t) = x

áp dụng định lý 1.1 và tập semi-đại số đóng đối với phép lấy phần bù thì A

là semi-đại số và D(A) chỉ phụ thuộc vào D(A)

Từ đó dễ dàng ta thấy

◦

A= Rn\ Rn\ A

∂A = A ∩ Rn\ A

cũng semi-đại số và lược đồ của mỗi tập chỉ phụ thuộc vào D(A)

Định lý 1.3 Cho A là một tập semi-đại số Khi đó, bất kỳ 2 điểm x, y thuộc một thành phần liên thông của A đều có thể nối trong A bởi một đường cong semi-đại số S, với diagram D(S) chỉ phụ thuộc vào D(A)

Chứng minh Theo bổ đề chọn đường cong, ∀x, y thuộc cùng một thành phần liên thông, tồn tại một hàm semi-đại số liên tục ϕ : [0; 1] → A, ϕ(0) =

x, ϕ(1) = y và S = ϕ([0; 1]) ⊂ A Khi đó D(S) chỉ phụ thuộc vào D(A) Định lý 1.4 Cho f : Rn→ Rm là một ánh xạ đa thức bậc d, và A là tập semi-đại số trong Rn Giả sử B là một tập con semi-đại số trong f (A) ⊂ Rm Khi

đó, tồn tại một tập semi-đại số C ⊂ A, với dimC = dimB, để cho f (C) = B,

và lược đồ D(C) chỉ phụ thuộc vào D(A), D(B), n, m và d

Chứng minh Với mọi y ∈ B, f−1(y) ∩ A là semi-đại số trong Rn Lấy x(y) là điểm lớn nhất trong f−1(y) ∩ A theo thứ tự tự điển thuận trong Rn Khi đó

rõ ràng C ⊂ A là tập các điểm {x(y), y ∈ B} là semi-đại số, lược đồ của nó chỉ phụ thuộc vào D(A), D(B), n, m và d và f |C : C → B là song ánh

Mệnh đề 1.1 (Xem [6], [7]) Cho A ⊂ Rn là một tập semi-đại số Khi đó, tất cả các số Betti bi(A), i = 1, , n, đều bị chặn bởi hằng số Bi(D) chỉ phụ thuộc vào diagram D(A) Đặc biệt, Số thành phần liên thông của A bị chặn bởi B0(D)

2 Số thành phần liên thông của tập semi-đại số.

Định lý 2.1 Cho A ⊂ Rn là tập semi-đại số, khi đó, chặn trên của số thành phần liên thông của A, eB0(A), bị chặn bởi bB0(A)

Chứng minh.

1 Ta cần chứng minh số thành phần liên thông của A = Tq

j=1{pj > (≥ )0}, degpj = dj nhiều nhất là 12d(d − 1)n−1, d =Pq

j=1dj

2 Ta có thể giả sử A chỉ được định nghĩa bởi các bất phương trình ≥, và

do vậy A là đóng Trong mỗi thành phần liên thông Ai của A, ta chọn một điểm xi, do số thành phần liên thông của A là hữu hạn nên số các xi là hữu hạn (Định lý Lojasiewicz )

Nếu một bất phương trình định nghĩa A có dạng pj > 0, ta đặt mini(pj(xi)) =

δ > 0 Do vậy, nếu ta thay thế pj > 0 trong định nghĩa A bởi pj − δ

2 ≥ 0, ta nhận được một tập mới A0 ⊂ A Và khi đó, mỗi thành phần liên thông của A0

đều nằm trong một thành phần liên thông của A, và tất cả các điểm xi vẫn nằm trong A0, cho nên eB0(A0) ≥ eB0(A)

3 Ta có thể giả sử rằng mỗi thành phần liên thông của A có một phần trong khác trống Thực vậy, A = Tq

j=1{pj ≥ 0} là đóng, do đó, khoảng cách ngắn nhất giữa các thành phần liên thông Ai của A (xét bên trong quả cầu B chứa tất cả các thành phần liên thông bị chặn của A) là ρ > 0 Giả sử U là ρ3-lân cận mở của A, đặt ξ = maxx∈B\Umin1≤j≤qpj(x) Vì hàm liên tục min1≤j≤qpj đạt giá trị max của nó trên tập compact B\U , nên ta nhận được ξ < 0 Định nghĩa A00 = Tq

j=1{pj − 1

2ξ ≥ 0}, ta có A ⊂ A00 ⊂ U , vì ξ < ξ

2 < 0 Với ρ đã chọn ta cũng có eB0(A) = eB0(U ) ≤ eB0(A0)

Như vậy, mọi thành phần liên thông của A00 đều chứa một thành phần liên thông có phần trong khác trống của A, thật vậy, nếu ngược lại, có thể tìm một dãy điểm xn trong A00 mà có giới hạn x ∈ A sao cho pj(xn) < 12ξ, ∀j ∈ {1, , q}, mâu thuẩn, vì A00=Tq

j=1{pj −1

2ξ ≥ 0} Như vậy, ta kết luận rằng

số chặn trên của số thành phần liên thông của A00 mà có một phần trong khác trống là lớn hơn B0(A) Mà diagram của A và A00là như nhau, do đó để chứng minh định lý ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp A chỉ có các thành phần liên thông với phần trong khác trống

4 Thật vậy, ta có thể giả sử rằng A = Tq

j=1{pj ≥ 0}, với mỗi thành phần

bị chặn của A có một phần trong khác trống Đặt p = Qq

j=1pj, deg(p) =

Pq

j=1deg(dj) = d

Mọi thành phần liên thông bị chặn của A đều chứa ít nhất một thành phần của Tq

j=1{pj > 0}, bởi vì một thành phần của Tq

j=1{pj = 0} không có một phần trong khác trống Do vậy, mọi thành phần liên thông bị chặn của A đều chứa ít nhất một thành phần của {p > 0} và cuối cùng: eB0(A) ≤ eB0({p > 0}) Thành phần của {p > 0} là mở, do vậy, ảnh qua p của một thành phần

là một khoảng không tầm thường có dạng (0, C) hoặc (0, C], C ∈ R+∪ {∞} Theo định lý Sard, giả sử η > 0 là một giá trị chính quy đủ nhỏ của p sao cho trong mỗi thành phần bị chặn của {p > 0} có ít nhất một thành phần Zi của siêu mặt chính quy Z = {p = η}

Xét một dạng tuyến tính ` trên Rn (giả sử ` = x1: tuyến tính theo biến

x1) Ta có thể giả sử tất cả các điểm tới hạn của ` trên Z là không suy biến,

và trên mỗi Zi có ít nhất hai điểm tới hạn của ` - là minimum và maximum Nhưng các điểm tới hạn của ` trên Z được định nghĩa bởi hệ phương trình:

∂p

∂x 2 = 0 bậc d − 1

∂p

∂x 3 = 0 bậc d − 1

. . .

∂p

∂x n = 0 bậc d − 1 Theo định lý Bezout, số các điểm tới hạn của ` trên Z nhiều nhất là d(d−1)n−1,

và do vậy,

e

B0(A) ≤ eB0(Z) ≤ 1

2d(d − 1)

n−1



Hệ quả 2.1 Cho A ⊂ Rn là một tập semi-đại số với diagram

D(A) = (n, p, j1, , jp, (dij)i=1, ,p; j=1, ,ji)

Khi đó:

(i) Số thành phần liên thông của giao A với bất kỳ quả cầu Br trong Rn bị chặn bởi 12Pp

i=1(di+ 2)(di+ 1)n−1, với di =Pj i

j=1dij, (ii) Số chặn trên của số thành phần liên thông của A∩P , với P là một `-phẳng của Rn, bị chặn bởi 12 Pp

i=1(di+ 2)(di+ 1)`−1, (iii) Đặc biệt, số thành phần liên thông của A ∩P cũng bị chặn bởi 12Pp

i=1(di+ 2)(di+ 1)`−1

Chứng minh

(i) Ta thêm vào tập các bất đẳng thức định nghĩa A bất đẳng thức

r2−

n

X

i=1

x2i ≥ 0 (bậc 2)

(ii) Ta thay thế n − ` biến trong các phương trình bởi ` biến còn lại

(iii) Chặn 12 Pp

i=1(di + 2)(di + 1)`−1 không phụ thuộc vào bán kính của quả cầu, mà chỉ phụ thuộc vào bậc đa thức, do vậy nó cũng chính là chặn trên cho

số thành phần liên thông của chính A ∩ P 

3 Volume của tập semi-đại số.

Ký hiệu Lk là độ đo Legesque chiều k trên đa tạp trơn k-chiều của Rn Mệnh đề 3.1 (Xem [6]) Giả sử Y là một đa tạp trơn k-chiều trong Rn, sao cho tất cả các không gian con affine (n-k)-chiều của Rn giao với Y nhiều nhất

p điểm Khi đó, cho bất kỳ Bn

r ⊂ Rn, ta có

Lk(Y ∩ Brn) ≤ Q(n)prk,

ở đây, Q(n) chỉ phụ thuộc vào n

Định lý 3.1 Giả sử A ⊂ Rn là một tập semi-đại số chiều k Khi đó, cho bất

kỳ Bn

r ⊂ Rn,

Lk(A ∩ Brn) ≤ crk,

ở đây hằng số c chỉ phụ thuộc vào D(A)

Chứng minh

Mọi không gian con affine chiều (n-k) P ⊂ Rn giao với A chỉ gồm các điểm

cô lập Mặt khác, D(A ∩ P ) phụ thuộc vào D(A), và theo mệnh đề 1.2, số các điểm của A ∩ P bị chặn bởi B0(D(A ∩ P ))

Với c = Q(n)B0(D(A ∩ P )), áp dụng mệnh đề 3.1 ta nhận được điều cần chứng

Định lý 3.2 Giả sử A ⊂ Rn là một tập semi-đại số, Brn ⊂ Rn là quả cầu bán kính r Khi đó, bất kỳ 2 điểm x, y cùng thuộc thành phần liên thông của

A ∩ Bn

r, đều có thể nối với nhau trong A ∩ Bn

r bởi một đường cong có độ dài

Kr, ở đây K chỉ phụ thuộc vào D(A)

Chứng minh (Xem chứng minh tương tự trong [7, 4.12])

Từ A∩Bn

r là một tập semi-đại số có diagram chỉ phụ thuộc vào D(A), theo định

lý 1.1, có một đường cong semi-đại số S nối x và y, và D(S) phụ thuộc D(A) Theo định lý 3.1, chiều dài của S không vượt quá c(D(S))r = Kr  Định lý 3.3 (Xem [7]) Cho bất kỳ một tập semi-đại số compact A, luôn tồn tại một hằng số K và α > 0, để cho mọi x, y cùng thuộc một thành phần liên thông của A đều có thể nối trong A bởi một đường cong có độ dài ≤ Kkx−ykα Nêu ví dụ về đường cong bậc 2 trong mặt phẳng Cho bất kỳ một đường cong, số mũ α trong định lý trên là 1

4 Định lý Sard định lượng.

Giả sử f : Rn → R là một ánh xạ đa thức bậc d Cho γ ≥ 0, ta định nghĩa: Σ(f, γ) = {x : kgrad f (x)k ≤ γ} : là tập các điểm γ− tới hạn của f

Σ(f, γ, r) = Σ(f, γ) ∩ Brn,

∆(f, γ, r) = f (Σ(f, γ, r))

Định lý 4.1 (Định lý Sard định lượng trên các hàm đa thức) Tập ∆(f, γ, r)

có thể được phủ bởi N(d, n) khoảng có chiều dài γr, với N(d, n) chỉ phụ thuộc vào d và n

Chứng minh (Xem chứng minh tương tự trong [7], định lý 1.8 )

Ta ký hiệu Σi là các thành phần liên thông của Σ(f, γ, r), và đặt ∆i = f (Σi) Trong mỗi Σi, cố định xi và giả sử y là một điểm khác trong Σi Theo định lý 3.2, tồn tại một đường cong S có độ dài < Kr nối xi và y trong Σi Do vậy,

|∆i| = |f (y)−f (xi)| = |

Z

S

grad f.dS| ≤

Z

S

kgrad f kdS ≤ length(S).γ ≤ Krγ

(Do chuẩn của gradf (x) không vượt quá γ với x ∈ Σ)

Do y là một điểm tùy ý của Σi, do đó ∆i được chứa trong một khoảng nào

đó có độ dài 2Krγ, và do vậy ∆i có thể được phủ bởi K0 = 2K + 1 khoảng

có độ dài γr Nhưng theo mệnh đề 1.2, số thành phần liên thông của Σi

không vượt quá hằng số B0(D(Σi)) Như vậy, ∆ = ∪∆i có thể được phủ bởi

N = B0(D(Σi))(2k + 1) khoảng có độ dài γr Tất cả các hằng số trên đều phụ thuộc vào D(Σ(f, γ, r)), và do đó N chỉ phụ thuộc vào n và d  Chú ý 4.1 Nếu γ = 0 thì số các giá trị tới hạn của f (i.e các giá trị của f tại grad f = 0) không vượt quá (d − 1)n

Giả sử g : Brn → R là một hàm thuộc lớp Ck, và giả sử p là đa thức Taylor thứ (k-1) của g tại tâm của Bn

r Ta có,

|g − p| ≤ Rk(g) kdg − dpk ≤ 1

rRk(g), với Rk(g) = maxkdkgkrk là số hạng của phần dư trong công thức Taylor Do vậy, tập các điểm tới hạn của g chứa trong Σ(p, γ, r), với γ = 1rRk, và tập các giá trị tới hạn của g chứa trong Rk-lân cận của ∆(p, γ, r) áp dụng định lý 4.1,

ta nhận được:

Định lý 4.2 Tập các giá trị tới hạn của g có thể được phủ bởi N1(n, k) khoảng

có độ dài Rk(g), với N1(n, k) = 3N (n, k − 1) chỉ phụ thuộc vào n và k

Cho A ⊂ R, ε > 0, M (ε, A) là số nhỏ nhất các khoảng có chiều dài ε phủ

A Ta có thể mở rộng định lý 4.1 cho ánh xạ đa thức:

Định lý 4.3 Giả sử f : Rn→ R là một đa thức bậc d Khi đó, ε > 0,

M (ε, ∆(f, γ, r)) ≤ A1(n, d) + A2(n, d).γ.r

ε. Bằng việc thay thế ε = γr, ta nhận được định lý 4.1 với N = A1+ A2

Định lý 4.4 sau đây được xây dựng từ định lý 4.1 kết hợp với việc xấp xỉ

f bởi các đa thức Taylor địa phương của nó trên một lưới thích hợp (Theo Y.Yomdin trong [6], việc chứng minh định lý 4.4 là không đơn giản)

Định lý 4.4 (Định lý Sard định lượng trên không gian Ck(Rn, R) - Xem [6]) Giả sử f : Rn→ R là một hàm thuộc lớp Ck Khi đó, ∀γ ≥ 0, ∀ε > Rk(f ), tập 4(f, γ, r) có thể được phủ bởi

C1(n, k) + C2(n, k)γ(r/ε) khoảng có chiều dài ε, và nếu ε ≤ Rk(f ) thì nó có thể được phủ bởi

C3(n, k) Rk(f )

ε

n/k

+ C4(n, k)γr

ε

 Rk(f ) ε

(n−1)/k

khoảng Đặc biệt, cho γ = 0, thì tập 4(f, 0, r) các giá trị tới hạn của f có thể được phủ bởi

C1(n, k) + C3(n, k) Rk(f )

ε

n/k

khoảng có độ dài ε

Hệ quả 4.1 Giả sử rằng tính trơn k lớn hơn n Khi đó, với γ đủ nhỏ, độ đo của tập các giá trị γ-tới hạn của f thỏa

measure(∆(f, γ, r)) ≤ cγ(k−n)/(k−1)

ở đây c là một hằng số chỉ phụ thuộc vào k, n, r và Rk(f ) Đặc biệt, độ đo của ∆(f, γ, r) tiến về 0 khi γ → 0

Chứng minh

Từ giả sử γ là một số đủ nhỏ, và ε sẽ được chọn sau theo bậc của γk/(k−1), ta dùng bất đẳng thức thứ hai trong định lý 4.4 với ε ≤ Rk(f ):

C3(n, k) Rk(f )

ε

n/k

+ C4(n, k)γr

ε

 Rk(f ) ε

(n−1)/k

=

C3(n, k)Rk(f )n/k 1

ε

n/k

+ C4(n, k)rRk(f )n−1/kγ 1

ε

  1 ε

(n−1)/k

đặt

C = max{C3(n, k)Rk(f )n/k, C4(n, k)rRk(f )n−1/k} khi đó, ta thấy rằng tập ∆(f, γ, r) có thể được phủ bởi

C

"

 1 ε

n/k

+ γ 1 ε

(n+k−1)/k#

khoảng có chiều dài ε

Đặt ε0 = γk/(k−1) Khi đó, tập ∆(f, γ, r) có thể được phủ bởi

C

"

 1

γ

n/(k−1)

+ 1 γ

−1

 1 γ

(n+k−1)/(k−1)#

= 2C 1

γ

n/(k−1)

khỏa có chiều dài ε0

Đặt c = 2C, khi đó, độ đo của ∆(f, γ, r) không vượt quá cε0γ1

n/(k−1)

=

cγ(k−n)/(k−1) 

Hệ quả tiếp theo sau đây chính là định lý Morse-Sard thông thường

Hệ quả 4.2 Cho k > n, độ đo của tập ∆(f, 0, r) là 0

Phan Phiến

Đà Lạt, tháng 5/2008