Báo cáo đà lạt 08

Báo cáo đà lạt 08

Một số kết quả của Hình học và Giải tích vi phân

trong cấu trúc o-tối tiểu

Tạ Lê Lợi

Khoa Toán-Tin học, Đại học Đàlạt

Đà lạt, 26 tháng 10 năm 2008

Giới thiệu.

Bài này nêu một số kết quả chính của tác giả trong hơn 10 năm trở lại đây

• Đối tượng nghiên cứu:

Là các đối tượng định nghĩa được trong cấu trúc o-tối tiểu

Hiện nay là đối tượng chính của Hình học giải tích thực (từ sau 1990)

Là mở rộng tự nhiên và cần thiết của nhiều bài toán liên quan đến các hàm phức tạp hơn lớp hàm:

- Semi-đại số (Whitney, Lojasiewicz, vào những năm 50)

- Sub-giải tích (Gabrielov, Hironaka, Hardt, Lojasiewicz và trường phái Kraków vào những năm 70)

Các tiên đề về cấu trúc o-tối tiểu được đưa ra bởi Lou van den Dries (1980)

Có thể xem là một cách tiếp cận cho việc phát triển các phạm trù Hình học thuần do Grothendieck đề xuất ở Esquisse d’un Programme (1984)

Trong những năm gần đây tính o-tối tiểu của nhiều cấu trúc đáng chú ý

đã được chứng minh và các kết quả thú vị đối với đối tượng thuần được xác lập (chẳng hạn các kết quả của M Coste, L van den Dries, A Gabrielov, K Kurdyka, C Miller, P Speissegger, M Shiota, A Wilkie, và tác giả)

• Các bài toán quan tâm:

Thuộc lĩnh vực Hình học thực và Giải tích vi phân của lý thuyết này

(14B05, 14E5, 14J17, 14P10, 26E05, 26E, 32B20, 32S60, 28A78)

• Bố cục:

1 Cấu trúc o-tối tiểu trên (R, +, ·)

2 Các kết quả về phân tầng

3 Ba định lý cơ bản của lý thuyết Kỳ dị.

4 Các bất đẳng thức kiểu Lojasiewicz

5 Chặn trên cho độ đo Hausdorff

Tài liệu dẫn

1 Cấu trúc o-tối tiểu trên (R, +, ·)

1.1 Định nghĩa ([D] 1980) Mộtcấu trúc o-tối tiểu là một họ D = (Dn)n∈N thoả:

(D1) Dn là một đại số boole các tập con của Rn

(D2) Nếu A ∈ Dn, thì A × R và R × A ∈ Dn+1

(D3) Nếu A ∈ Dn+1, thì π(A) ∈ Dn, với π là phép chiếu xuống n tọa độ đầu (D4) Dn chứa mọi tập đại số {x ∈ Rn : P (x) = 0}, với P ∈ R[X1, · · · , Xn] (D5) Mọi tập thuộc D1 là hợp của hữu hạn các khoảng và các điểm

Một tập trong D được gọi làđịnh nghĩa được (trong cấu trúc đó)

ánh xạ định nghĩa được trong cấu trúc D là ánh xạ có đồ thị thuộc D

1.2 Ví dụ Các cấu trúc o-tối tiểu đáng chú ý là:

- Lớp tập semi-đại số (Tarski-1951)

- Lớp tập sub-giải tích compact tương đối (Gabrielov-1968)

- Cấu trúc sinh bởi hàm mũ (Wilkie và Khovanski-1991)

- Cấu trúc sinh bởi các hàm lũy thừa tổng quát (van den Dries và Miller-1994)

- Cấu trúc sinh bởi các hàm Pfaff (Wilkie-1996)

- Cấu trúc sinh bởi các hàm Gevrey (van den Dries và Speissegger-1997)

Trong báo cáo này, cố định một cấu trúc o-tối tiểu D, “định nghĩa được”

có nghĩa là định nghĩa được trong D

2 Các kết quả về phân tầng.

Một Cp phân tầng của Rn là một phân hoạch S của Rn thành hữu hạn tập con, gọi là các tầng, sao cho:

(S1) Mỗi tầng là một đa tạp con lớp Cp của Rn và là tập định nghĩa được (S2) Với mỗi Γ ∈ S, Γ \ Γ là hợp của một số tầng

Một Cp phân tầng Whitney (t.ư phân tầng Verdier) là một Cp phân tầng

S sao cho Γ, Γ0 ∈ S, mà Γ ⊂ Γ0 \ Γ0, thì (Γ, Γ0) thoả điều kiện Whitney (b) (t.ư điều kiện Verdier (w)) tại mỗi điểm của Γ

2.1 Định lý (1998) Cho S1, · · · , Sk là các tập định nghĩa được trong Rn Khi

đó tồn tại một Cp phân tầng Verdier của Rn tương thích với mỗi {S1, · · · , Sk}

Trong cấu trúc o-tối tiểu điều kiện (w) suy ra điều kiện (b), ta có

2.2 Định lý (1996, 1998, c.f.[DM][S]) Cho S1, · · · , Sk là các tập định nghĩa được trong Rn Khi đó tồn tại một Cp phân tầng Whitney của Rntương thích với mỗi {S1, · · · , Sk}

Cho X ⊂ Rn định nghĩa được và f : X → Rm định nghĩa được Một Cp

phân tầng Whitney của f là (S, T ), với S và T là các Cp phân tầng Whit-ney của Rn và Rm, S tương thích với X và nếu Γ ∈ S mà Γ ⊂ S, thì tồn tại

Φ ∈ T , f |Γ: Γ → Φ là một Cp submersion

2.3 Định lý (1996,1998, c.f.[DM][S]) Cho f : X → Rm là ánh xạ định nghĩa được Khi đó tồn tại Cp phân tầng Whitney của f

Cho f : X → R là định nghĩa được Cho S là một phân tầng của f

Với x ∈ Γ, ký hiệu Tx,f = ker d(f |Γ)(x)

Cho Γ, Γ0 ∈ S với Γ ⊂ Γ0\ Γ0

Cặp (Γ, Γ0) được gọi là thoả điều kiện Thom tại y0 ∈ Γ nếu:

(af) nếu dãy (xk) in Γ0, hội tụ về y0, thì δ(Ty0,f, Txk,f) → 0

Cặp (Γ, Γ0) được gọi là thoả điều kiện Thom chặt tại y0 nếu:

(wf) tồn tại C > 0 và lân cận U của y0, sao cho

δ(Ty,f, Tx,f) ≤ Ckx − yk với mọi x ∈ Γ0∩ U, y ∈ Γ ∩ U

2.4 Định lý (1997).Tồn tại Cp phân tầng của f thoả điều kiện Thom (af) tại mọi điểm của mỗi tầng

Nói chung, hàm định nghĩa được không có phân tầng thoả (wf)

Ví dụ: f : (a, b) × (0, +∞) → R, f (x, y) = yx

2.5 Định lý(1998) Giả sử D bị chặn kiểu đa thức Khi đó tồn tại Cp phân tầng của f thoả điều kiện (wf) tại mọi điểm của mỗi tầng

2.6 Hệ quả (2002, 2004, c.f.[C]) Cho f : X × T → R, (x, t) 7→ ft(x), là

họ các hàm định nghĩa được Khi đó tồn tại phân hoạch T = ∪ki=1Ti bởi các

đa tạp lớp Cp định nghĩa được, sao cho khi t và t0 cùng thuộc Ti, thì ft và ft0

là tương đương topo

Hệ quả trên mở rộng kết quả của Fukuda (1976) chứng minh kiểu topo của

hàm đa thức trên Rn bậc ≤ d là hữu hạn.

3 Ba định lý cơ bản của lý thuyết Kỳ dị.

Gọi Dp(N, M ) là không gian các hàm từ đa tạp N vào M, định nghĩa được, lớp Cp Không gian này trang bị topo Whitney định nghĩa được

Cho X là tập con của Rn và S là một Cp phân tầng Whitney của X Một

hàm Morse f trên X là hạn chế của một hàm ˜f : Rn→ R lớp Cp, thoả:

(M1) Với mỗi S ∈ S, các điểm tới hạn của f |S là không suy biến

(M2) Với mọi điểm tới hạn x ∈ S của f |S, và mỗi không gian tiếp xúc suy rộng Q tại x mà Q 6= TxS, thì d ˜f (x)|Q 6= 0

3.1 Tính mở và trù mật của các hàm Morse (2006) Tập các hàm định nghĩa được lớp Cp trên Rn mà là hàm Morse trên X và có các giá trị tới hạn khác nhau là mở và trù mật trong Dp(Rn, R)

3.2 Định lý Morse-Sard (2008) Cho f : M → Rn là định nghĩa được, lớp C1 Đặt

Σs(f ) = {x ∈ M : rank df (x) < s}

Khi đó Cs(f ) = f (Σs(f )) là tập định nghĩa được có chiều Hausdorff < s

Định nghĩakhông gian các r-tia định nghĩa đượclà

JDr(N, M ) = {jrf ∈ Jr(N, M ) : f ∈ Dr(N, M )}

3.3 Định lý hoành (2008) Cho A là họ hữu hạn các đa tạp lớp C1 định nghĩa được của Jr

D(N, M ) (0 < r < p) Khi đó tập

τr(A) = {f ∈ Dp(N, M ) : jrf hoành với mỗi phần tử của A}

là trù mật trong Dp(N, M )

Hơn nữa, nếu A là phân tầng một tập đóng và thoả điều kiện Whitney (a), thì τr(A) là mở trong Dp(N, M )

4 Các bất đẳng thức kiểu Lojasiewicz.

4.1 Tính bị chặn đều (1996, c.f.[DM]) Cho f : X × R → R là hàm định nghĩa được Khi đó tồn tại hàm định nghĩa được ϕ : R → R sao cho

|f (x, t)| ≤ ϕ(t) , khi t đủ lớn

Gọi Φp là tập mọi hàm chẵn, lớp Cp, tăng trên R+, định nghĩa được và p-phẳng tại 0

4.2 Định lý (1994, c.f.[DM], [Ku])

(i) Cho f, g : X → R là các hàm liên tục, định nghĩa được trên tâp đóng X trong Rn Giả sử f−1(0) ⊂ g−1(0) Khi đó tồn tại p ∈ N, ϕ ∈ Φp và hàm liên tục h trên X sao cho ϕ(g) = hf

Đặc biệt, tồn tại ϕ, ϕ0 ∈ Φp sao cho

|f (x)| ≥ ϕ(|g(x)|), ∀x ∈ X,

|f (x)| ≥ ϕ0( dist(x, f−1(0)), ∀x ∈ X, (ii) Cho X, Y là các tập đóng trong Rn Khi đó tồn tại p ∈ N, ϕ ∈ Φp sao cho

dist(x, X) + dist(x, Y ) ≥ ϕ(dist(x, X ∩ Y )), ∀x ∈ Rn

(iii) Cho f : U → R là hàm lớp C1 định nghĩa được trên tập mở U của Rn Giả sử 0 ∈U và lim

x→0f (x) = 0 Khi đó tồn tại p ∈ N, ϕ ∈ Φp sao cho

|gradf (x)| ≥ ϕ−1(|f (x)|), khi x ∈ U gần 0

Ghi chú:

- Nếu D là bị chặn kiểu đa thức thì ϕ có dạng ϕ(t) = C|t|α, α > 0

- Nếu D là bị chặn kiểu mũ thì ϕ(t) = C

expm(1/|t|), m ∈ N.

5 Chặn trên cho độ đo Hausdorff.

Với k ≤, đặt Λ(m, k) là tập mọi hàm tăng từ {1, · · · , k} vào {1, · · · , m} Với λ ∈ Λ(m, k), tương ứng pλ : Rm → Rk, p(x1, · · · , xm) = (xλ(1), · · · , xλ(k)) Cho A là tập con của Rm Định nghĩa

B0,m−k(A) = sup{B0(A ∩ p−1λ (y)) : λ ∈ Λ(m, k), y ∈ Rk}

Ghi chú: Khi A định nghĩa được, thì B0,m−k(A) hữu hạn Hơn nữa, nếu A là semi-đại số, thì B0,m−k(A) bị chặn bởi hằng số chỉ phụ thuộc lược đồ của A

Cho A ⊂ Rm là tập semi-đại số A =Sp

i=1

Tj i

j=1Aij, Aij có dạng {(x1, · · · , xm) ∈ Rm : pij(x1, · · · , xm) ≥ 0}, hay

{(x1, · · · , xm) ∈ Rm : pij(x1, · · · , xm) > 0}

với pij là các đa thức bậc dij

Bộ D = D(A) = (m, p, j1, · · · , jp, (dij)) được gọi làlược đồ của A

5.1 Độ đo Hausdorff (2008 với P Phiến) Nếu A, B là các tập định nghĩa được trong Rm, có chiều k Giả sử B compact và A ⊂ B Khi đó

1 Hk(B) là hữu hạn.

2 Hk(A) ≤ CmkB0,m−k(A)Hk(B)

Hơn nữa nếu A, B là semi-đại số, thì Hk(A) ≤ C(D(A))Hk(B)

5.2 Hệ quả Cho A là tập định nghĩa được trong Rm có chiều k Khi đó với mọi hình cầu Bm

r bán kính r trong Rm,

Hk(A ∩ Brm) ≤ CmkB0,m−k(A)Volk(B1k)rk

5.3 Ví dụ

a) Khi A ⊂ Rm là tập đại số k-chiều, bậc d, thì

Hk(A ∩ Brm) ≤ CmkdVolk(B1k)rk

Đặc biệt, nếu A là đường cong phẳng bậc d thì độ dài l(A ∩ Br2) ≤ 4dr b) Khi A là tập semi-đại số k-chiều có lược đồ D như định nghĩa ở trên, thì

Hk(A ∩ Brm) ≤ CmkB0(D)Volk(B1k)rk

trong đó B0(D) = 1

2

p

X

i=1

di(di− 1)m−1, với di =

j i

X

j=1

dij

Cho f : A → Rn là ánh xạ định nghĩa được Với k ∈ {1, · · · , dim A}, đặt

Ik(f ) = {y ∈ Rn : dim f−1(y) ≤ k}

Ký hiệu

B0,m−k(f ) = sup{B0(f−1(y) ∩ p−1λ (w) ∩ Bm(a, r)) : y ∈ Ik(f ), λ ∈ Λ(m, k),

w ∈ Rk, a ∈ Rm, r > 0}

Ghi chú: B0,m−k(f ) là hữu hạn và khi f là semi-đại số thì B0,m−k(f ) bị chặn bởi hàm chỉ phụ thuộc lược đồ của f

5.4 Chặn đều cho độ đo của thớ (2008 với P Phiến) Cho f : A →

Rn là một hàm liên tục, định nghĩa được, với A ⊂ Rm Khi đó với mỗi

k ∈ {1, · · · , dim A} và với mọi hình cầu Bm

r bán kính r trong Rm,

Hk(f−1(y) ∩ Brm) ≤ CmkB0,m−k(f )Volk(Bk1)rk, với mọi y ∈ Ik(f )

Đặc biệt, nếu f là semi-đại số, thì

Hk

(f−1(y) ∩ Brm) ≤ Ck(D(f ))rk, với mọi y ∈ Ik(f )

Ghi chú:

- Các kết quả của bài này đúng cho các đối tượng thuần (xem [DM] và [S])

- Có thể đưa ra các đánh giá tường minh ở phần 5 cho tập semi-Pfaff hay sub-Pfaff (xem [Kh])

Tài liệu dẫn

[C] M.Coste, Finitude du nombre de types topologiques dans une définissable de fonctions, preprint(1996)

[D] L.van den Dries, Tame Topology and o-minimal Structures, London Math Soc Lecture Note Ser 248, Cambridge Univ Press (1997)

[DM] L.van den Dries and C.Miller, Geometric Categories and o-minimal Struc-tures, Duke Math J 84, No 2(1996), 497-540

[F] T.Fukuda, Types topologiques de polynômes, Inst Hautes Étudees Sci Publ Math 46(1976), 87-106

[H] R.Hardt, Semi-algebraic local triviality in semi-algebraic mappings, Amer J Math 102(1980), 291-302

[Kh] A.G.Khovanskii, Fewnomials, Trans Math Monographs AMS Vol.88(1991) [Ku] K.Kurdyka, On gradients of functions definable in o-minimal structures, preprint(1997)

[L1] T.L.Loi, On the global Lojasiewicz inequalities for the class of logarithmic-exponential functions, C R Acad Sci Paris, (Série I) 318(1994), 543-548 [L2] T.L.Loi, Lojasiewicz Inequalities for Sets Definable in the Structure Rexp, Ann Inst Fourier 45,4(1995), 951-971

[L3] T.L.Loi, Whitney Stratification of Sets Definable in the Structure Rexp, Ba-nach Center Publications, Vol 33(1996), 401-409

[L4] T.L.Loi, Thom stratifications for functions definable in o-minimal structures

on (R, +, ·), C R Acad Sci., Paris, Série I, 324 (1997), 1391-1394

[L5] T.L.Loi, Verdier and Strict Thom Stratifications in o–minimal structures, Illinois J.Math., Vol 42, No.2 (1998), 347-356

[L6] T.L.Loi, Stratifications of families of functions definable in o-minimal struc-tures, Acta Math Vietnam., Vol 27, No.2 (2002) , 239-244

[L7] T.L.Loi, Tame topology and Tarski-type systems, Vietnam Journal of Math 31:2 (2003), 127-136

[L8] T.L.Loi, Genericcity of aF and wF regularity conditions and equisingular-ity of functions in a family of functions definable in o-minimal structures, Proceedings of the National conferences of Vietnam 2002 (2004), 183-189 [L9] T.L.Loi, Density of Morse Functions On Sets Definable in O-minimal Struc-tures, Ann Polon Math 89.3 (2006) , 289-299

[L10] T.L.Loi, Transversality Theorem in O-minimal Structures, Compositio matem-atica, August (2008)

[S] M.Shiota, Geometry of subanalytic and semianalytic sets, Progress in Math Vol 150, Birkh¨auser, Boston (1997)