Chương 1- Cơ học

Phương trình quĩ đạo : Khi chuyển động, các vị trí của chất điểm ở các thời điểm khác nhau vạch ra trong không gian một đường cong liên tục nào đó gọi là quĩ đạo của chuyển động.. Khái n

I.1 Khái quát về chuyển động cơ học :

I.1.1 Định nghĩa chuyển động cơ học :

Chuyển động cơ học là sự chuyển dời vị trí trong không gian của các vật hay là sự chuyển động của một bộ phận này so với bộ phận khác của cùng một vật.

Ví dụ : chuyển động của các thiên thể trên bầu trời, chuyển động của xe ôtô trên đường, chuyển động của con thoi trong một máy dệt, chuyển động của rôto đối với stato trong một động cơ điện …

Nói một vật chuyển động hay đứng yên thì điều đó chỉ có tính chất tương đối vì

điều này còn phụ thuộc vào người quan sát đứng ở vị trí nào Thật vậy, nếu ta đứng

bên đường quan sát thì ta thấy cái cây đứng yên, nhưng nếu ta ngồi trên một cái ôtô đang chuyển động thì ta thấy cái cây chuyển động Điều tương tự xảy ra nếu ta nếu

ta quan sát các ngôi sao trên bầu trời : ta thấy quả đất đứng yên còn mặt trời, mặt trăng và các ngôi sao đều quay quanh trái đất

Tóm lại, chuyển động có tính chất tương đối và phụ thuộc vào vị trí mà ở đó ta đứng quan sát chuyển động Thực ra trong vũ trụ không có vật nào đứng yên một

cách tuyệt đối, mọi vật đều chuyển động không ngừng Vì vậy, khi nói rằng một

vật chuyển động thì ta phải nói rõ vật đó là chuyển động đối với vật nào mà ta qui ước là đứng yên.

I.1.2 Hệ qui chiếu :

Vật hay hệ vật mà ta qui ước là đứng yên khi nghiên cứu chuyển động của một vật khác được gọi là hệ qui chiếu

Cần lưu ý rằng, cùng một chuyển động nhưng sẽ xảy ra khác nhau trong các hệ qui

chiếu khác nhau Ví dụ xét chuyển động của một điểm M nằm trên vành xe đang chạy, nếu ta chọn hệ qui chiếu là xe đạp thì ta thấy chuyển động của điểm đó là chuyển động tròn đều, còn nếu hệ qui chiếu là mặt đường thì điểm M sẽ tham gia một chuyển động phức tạp là tổng hợp của hai chuyển động : chuyển động tròn đối với xe và chuyển động thẳng của xe đối với mặt đường

Khi xét một chuyển động cụ thể người ta thường chọn hệ qui chiếu sao cho chuyển

động được mô tả một cách đơn giản nhất.

Để mô tả các chuyển động trên mặt quả đất, ta thường chọn hệ qui chiếu là quả đất

hay các vật gắn liền với quả đất Ví dụ khi nghiên cứu chuyển động của quả đạn

pháo thì ta chọn hệ qui chiếu là mặt đất hay là chính khẩu pháo

Khi nghiên cứu chuyển động của các hành tinh thì ở hệ qui chiếu quả đất ta thấy chuyển động của các hành tinh phức tạp đến nỗi trong nhiều thế kỷ các nhà thiên văn không thể nào tìm được các qui luật chuyển động của các hành tinh Mãi đến

đầu thế kỷ 17, nhờ sử dụng hệ qui chiếu mặt trời (hệ qui chiếu Copernic), Kepler mới tìm được qui luật đúng đắn mô tả chuyển động của các hành tinh trong hệ mặt trời Cần chú ý rằng chuyển động tuy được mô tả khác nhau trong các hệ qui chiếu khác nhau nhưng nếu biếtchuyển động tương đối của các hệ qui chiếu đối với nhau thì có thể từ cách mô tả chuyển động trong hệ qui chiếu này có thể suy ra cách mô tả chuyển động trong hệ qui chiếu kia Ví dụ, biết chuyển động tròn đều của một điểm trên vành xe đạp và biết chuyển động của xe đạp đối với mặt đường ta có thể mô tả chuyển động của điểm trên vành xe đối với mặt đường.

I.1.3 Hệ tọa độ :

Vì rằng chuyển động xảy ra trong không gian và trong thời gian nên để mô tả

chuyển động thì trước tiên ta phải tìm cách định vị vật trong không gian Muốn vậy, ta phải đưa thêm vào hệ qui chiếu một hệ tọa độ Trong vật lý người ta sử

dụng nhiều hệ tọa độ khác nhau Ở đây, ta sẽ giới thiệu hai hệ tọa độ thường hay gặp

I.1.3.1 Hệ tọa độ Đề-các (Descartes) :

Hệ tọa độ Đề-các gồm ba trục Ox, Oy, Oz tương ứng vuông góc với nhautừng đôi một, chúng tạo thành một tam diện thuận Điểm O gọi là gốc tọa

độ Vị trí của một điểm M bất kỳ được hoàn toàn xác định bởi bán kínhvectơ , hay bởi tập hợp của ba số (x,y,z) trong đó x,y,z là hình chiếu củađiểm mút M của vectơ = Olên các trục tương ứng Ox, Oy, Oz được gọi là

ba tọa độ của điểm M trong hệ tọa độ Đề-các

Nếu gọi , , là các vectơ đơn vị hướng theo các trục Ox, Oy, Oz thì ta cóthể viết :

= x + y + z

I.1.3.2 Hệ tọa độ cầu :

Trong hệ tọa độ cầu,vị trí của một điểm M bất kỳ được xác định bởi ba tọa

độ r, θ , ϕ Trong đó r là độ dài bán kính vectơ , θ là góc giữa trục Oz và , còn góc ϕ là góc giữa trục Ox và tia hình chiếu của trong mặt phẳng xOy

Biết ba tọa độ cầu của điểm, ta có thể tính được các tọa độ Đề-các của điểm

đó theo công thức sau :

I.1.4.Chất điểm và vật rắn :

Để mô tả chuyển động của các vật có kích thước, cần phải biết rõ chuyển động của mọi điểm của vật Tuy nhiên khi kích thước của vật là bé so với khoảng cách dịch chuyển mà ta xét thì mọi điểm trên vật dịch chuyển gần như nhau thì có thể mô tả chuyển động của vật như chuyển động của một điểm Khi đó vật được xem là một

chất điểm, tức là một điểm hình học nhưng lại có khối lượng bằng khối lượng của

vật Ví dụ khi xét chuyển động của quả đất quanh mặt trời ta xem chuyển động như

là chuyển động của chất điểm Trái lại, khi xét chuyển động tự quay quanh mình của quả đất thì ta không thể xem chuyển động đó là chuyển động của một chất điểm

Trong nhiều trường hợp, nhờ có khái niệm chất điểm mà việc nghiên cứu chuyển động của các vật trở nên đơn giản hơn rất nhiều

I.2 Phương trình chuyển động và phương trình quĩ đạo:

I.2.1 Phương trình chuyển động :

Để xác định chuyển động của một chất điểm chúng ta cần biết vị trí của chất điểm tại những thời điểm khác nhau Nói cách khác, chúng ta cần biết sự phụ thuộc theo

thời gian của bán kính vectơ của chất điểm :

= (t) (I.1a)

Phương trình này biểu diễn vị trí của chất điểm theo thời gian và gọi là phương

trình chuyển động của chất điểm.

Trong hệ tọa độ Đề-các, phương trình chuyển động của chất điểm là một hệ gồm

I.2.2 Phương trình quĩ đạo :

Khi chuyển động, các vị trí của chất điểm ở các thời điểm khác nhau vạch ra trong

không gian một đường cong liên tục nào đó gọi là quĩ đạo của chuyển động Phương trình mô tả đường cong quĩ đạo gọi là phương trình quĩ đạo Trong hệ tọa

độ Đề-các phương trình quĩ đạo có dạng :

f(x,y,z) = C (I.2)

trong đó f là một hàm nào đó của các tọa độ x, y, z và C là một hằng số.

Về nguyên tắc, nếu ta biết phương trình chuyển động (I.1) thì bằng các khử tham

số t ta có thể tìm được mối liên hệ giữa các tọa độ x, y, z tức là tìm được phương

trình quĩ đạo Vì vậy, đôi khi người ta còn gọi phương trình chuyển động (I.1) là

phương trình quĩ đạo cho ở dạng tham số.

Quay trở lại ví dụ về chuyển động của chất điểm cho bởi phương trình :

x = Acosω t

y = Asinω t

z = 0

Ta khử tham số thời gian t bằng cách sau :

x2 + y2 = A2(cos2 ωt + sin2 ωt) = A2

z = 0

Ta suy ra quĩ đạo của chất điểm là một đường tròn bán kính A và tâm nằm ở gốc tọa độ Đường tròn này nằm ở trong mặt phẳng xOy

I.3 Vận tốc của chuyển động:

I.3.1 Khái niệm vận tốc :

Chuyển động của chất điểm trên quĩ đạo có thể lúc nhanh lúc chậm, do đó để có thể

mô tả đầy đủ trạng thái nhanh hay chậm của chuyển động người ta đưa vào một đại

lượng vật lý gọi là vận tốc Trong đời sống hàng ngày chúng ta thường gặp khái niệm vận tốc dưới dạng thuật ngữ tốc độ.

Xét một chuyển động đơn giản là chuyển động thẳng Giả sử sau khoảng thời gian

∆ t chất điểm đi được một đoạn đường thì theo định nghĩa vận tốc trung bìnhcủa chất điểm trên đoạn đường đó là :

= lim∆ t → 0 = = (I.3)

Từ hình trên ta thấy khi ∆ t→ 0 thì sẽ dần tới phương tiếp tuyến của quĩ đạo tại

điểm đang xét Vậy vectơ vận tốc luôn hướng theo phương tiếp tuyến của quĩ

đạo và có chiều là chiều của chuyển động Nếu ta gọi là vectơ đơn vị hướng theo

phương tiếp tuyến và có chiều là chiều của chuyển động thì ta có thể viết :

= = v (I.4)

Biểu thức trên cho thấy vectơ vận tốc có độ lớn là v= và có phương và chiều hướng theo vectơ đơn vị Nói chung, khi chất điểm chuyển động trên quĩ đạo thì vectơ cóthể thay đổi phương nhưng tại mỗi điểm của quĩ đạo thì luôn hướng theo phương tiếp tuyến của quĩ đạo tại điểm đó

I.3.2 Biểu thức vận tốc trong hệ tọa độ Đề-các :

Vì vận tốc là một vectơ nên ta có thể phân tích thành ba thành phần trên ba trục của

hệ tọa độ Đề-các như sau :

= vx + vy + vz.Mặt khác từ (I.3) ta có thể viết như sau :

= = ( x + y + z ) = + +

So sánh với biểu thức ở trên, ta suy ra :

vx= ; vy= ; vz = (I.5)Vậy, trong hệ tọa độ Đề-các, muốn tính thành phần của vận tốc trên một trục nào

đó thì ta chỉ việc lấy đạo hàm theo thời gian của thành phần tương ứng của vectơ

bán kính

Độ lớn của vận tốc được xác định bằng hệ thức :

v = (vx + vy + vz )1/2 = [( )2+ ( )2 + ( )2]1/2 (I.6)

1.4 Gia tốc của chuyển động :

I.4.1 Khái niệm về gia tốc :

Trong quá trình chuyển động, vận tốc của chất điểm có thể thay đổi cả về độ lớn cũng như về phương và chiều Để đặc trưng cho sự thay đổi của vận tốc theo thời gian , người ta đưa thêm vào một đại lượng vật lý mới gọi là gia tốc.

Giả sử sau một khoảng thời gian ∆ t, vận tốc của chất điểm thay đổi một lượng là ∆

thì theo định nghĩa gia tốc trung bình tb trong khoảng thời gian ∆ t là :

tb =

Khi tiến đến giới hạn, cho ∆ t→ 0 ta được biểu thức của gia tốc tức thời tại một điểm trên quĩ đạo :

= lim∆ t → 0 = (I.7)Kết hợp (I.3) với (I.7) ta có thể biểu diễn gia tốc :

= = (I.8)

I.4.2 Bán kính cong và độ cong tại một điểm của quĩ đạo :

Ta xét hai điểm M và N ở gần nhau trên quĩ đạo của chất điểm Lấy một điểm P bất

kỳ nằm giữa M và N, qua ba điểm M, N và P không thẳng hàng đó ta vẽ một đườngtròn Cho điểm N tiến lại gần M và qua ba điểm mới ta lại vẽ được một đường tròn mới Khi N tiến tới giới hạn ở M thì các đường tròn trên cũng sẽ tiến tới một đường

tròn giới hạn gọi là đường tròn mật tiếp với quĩ đạo tại điểm M Bán kính R của đường tròn mật tiếp được gọi là bán kính cong của quĩ đạo tại điểm M Giá trị nghịch đảo của R là K được gọi là độ cong của quĩ đạo tại điểm M.

Hình 3 Đường tròn mật tiếp và bán kính cong

I.4.3 Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến :

phương pháp tuyến của quĩ đạo tại điểm đang xét vì hướng theo phương tiếp

tuyến Nếu ta gọi là vectơ đơn vị hướng theo phương pháp tuyến của quĩ đạo tạiđiểm đang xét và có chiều hướng về chiều lõm của đường cong thì d và có cùng phương và chiều Vấn đề còn lại là tính độ lớn của d

Khi 1 rất gần với 2 thì có thể xem dây cung d bằng cung tròn dτ , do đó ta có

dτ =  τ 2 dϕ = dϕ Vậy ta có thể viết =

Cuối cùng ta viết lại (*) như sau :

= + (I.9)(I.9) chứng tỏ rằng gia tốc gồm có hai thành phần : một thành phần

hướng theo phương tiếp tuyến của quĩ đạo (dv/dt) , gọi là gia tốc tiếp tuyến, và một thành phần hướng theo phương pháp tuyến của quĩ đạo, gọi là gia tốc pháp

Từ các biểu thức của gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến, ta thấy rõ ý nghĩa vật

lý của các thành phần này của gia tốc toàn phần :

Gia tốc tiếp tuyến t đặc trưng cho sự thay đổi về độ lớn của vận tốc theo thời

gian còn gia tốc pháp tuyến n đặc trưng cho sự thay đổi về phương của vận tốc

theo thời gian.

Để làm sáng tỏ ý nghĩa của gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến , ta hãy xét hai

1.4 Gia tốc của chuyển động :

I.4.1 Khái niệm về gia tốc :

Trong quá trình chuyển động, vận tốc của chất điểm có thể thay đổi cả về độ lớn cũng như về phương và chiều Để đặc trưng cho sự thay đổi của vận tốc theo thời gian , người ta đưa thêm vào một đại lượng vật lý mới gọi là gia tốc.

Giả sử sau một khoảng thời gian ∆ t, vận tốc của chất điểm thay đổi một lượng là ∆

thì theo định nghĩa gia tốc trung bình tb trong khoảng thời gian ∆ t là :

tb =

Khi tiến đến giới hạn, cho ∆ t→ 0 ta được biểu thức của gia tốc tức thời tại một điểm trên quĩ đạo :

= lim∆ t → 0 = (I.7)Kết hợp (I.3) với (I.7) ta có thể biểu diễn gia tốc :

= = (I.8)

I.4.2 Bán kính cong và độ cong tại một điểm của quĩ đạo :

Ta xét hai điểm M và N ở gần nhau trên quĩ đạo của chất điểm Lấy một điểm P bất

kỳ nằm giữa M và N, qua ba điểm M, N và P không thẳng hàng đó ta vẽ một đườngtròn Cho điểm N tiến lại gần M và qua ba điểm mới ta lại vẽ được một đường tròn mới Khi N tiến tới giới hạn ở M thì các đường tròn trên cũng sẽ tiến tới một đường

tròn giới hạn gọi là đường tròn mật tiếp với quĩ đạo tại điểm M Bán kính R của đường tròn mật tiếp được gọi là bán kính cong của quĩ đạo tại điểm M Giá trị nghịch đảo của R là K được gọi là độ cong của quĩ đạo tại điểm M.

Hình 3 Đường tròn mật tiếp và bán kính cong

I.4.3 Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến :

phương pháp tuyến của quĩ đạo tại điểm đang xét vì hướng theo phương tiếp

tuyến Nếu ta gọi là vectơ đơn vị hướng theo phương pháp tuyến của quĩ đạo tạiđiểm đang xét và có chiều hướng về chiều lõm của đường cong thì d và có cùng phương và chiều Vấn đề còn lại là tính độ lớn của d

Khi 1 rất gần với 2 thì có thể xem dây cung d bằng cung tròn dτ , do đó ta có

dτ =  τ 2 dϕ = dϕ Vậy ta có thể viết =

Cuối cùng ta viết lại (*) như sau :

= + (I.9)(I.9) chứng tỏ rằng gia tốc gồm có hai thành phần : một thành phần

hướng theo phương tiếp tuyến của quĩ đạo (dv/dt) , gọi là gia tốc tiếp tuyến, và một thành phần hướng theo phương pháp tuyến của quĩ đạo, gọi là gia tốc pháp

Từ các biểu thức của gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến, ta thấy rõ ý nghĩa vật

lý của các thành phần này của gia tốc toàn phần :

Gia tốc tiếp tuyến t đặc trưng cho sự thay đổi về độ lớn của vận tốc theo thời

gian còn gia tốc pháp tuyến n đặc trưng cho sự thay đổi về phương của vận tốc

theo thời gian.

Để làm sáng tỏ ý nghĩa của gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến , ta hãy xét hai

I.5 Vận tốc góc và gia tốc góc trong chuyển động tròn :

I.5.1 Vận tốc góc :

Xét một chất diểm chuyển động theo một quĩ đạo tròn Trong trường hợp này vị trí của chất điểm hoàn toàn xác định bởi một tọa độ góc là θ

Từ (I.11) ta thấy được xác định bằng qui tắc vặn nút chai : quay cái vặn nút chai

sao cho cán của nó quay từ đến thì chiều tiến của cái mũi vặn nút chai cho ta chiều của Trên hình ta thấy có phương vuông góc với mặt phẳng quĩ đạo của

chất điểm và có chiều hướng lên trên Trường hợp quĩ đạo là tròn thì vì và

vuông góc với nhau nên theo qui tắc nhân vectơ ta thấy = r.v do đó từ (I.11)

Ta tìm quan hệ giữa gia tốc góc và gia tốc dài trong chuyển động tròn Từ (I.14) và (I.11) ta có :

Vì t và cùng phương nên khi so sánh biểu thức trên với (I.11) ta suy ra và

cùng phương Khi chất điểm quay nhanh dần thì và cùng chiều, còn khi chất

điểm quay chậm dần thì chúng ngược chiều nhau.

Về độ lớn, vì và t vuông góc với nhau nên từ (I.15) ta suy ra ngay :

β = at / r (I.16)

Trong chuyển động tròn thì at chính là gia tốc dài của chuyển động nên giữa gia

tốc dài và gia tốc góc ta có mối quan hệ về độ lớn :

at = β rTóm lại trong chuyển động tròn của chất điểm ta cũng có các hệ thức sau giữa các đại lượng :

ω = ω o + β t

θ = θ o + ω ot + β t2 (I.17)

I.6 Một vài dạng chuyển động cơ học :

I.6.1 Chuyển động thẳng :

Xét một chất điểm chuyển động theo quĩ đạo thẳng với gia tốc Theo định nghĩa (I.7), ta có :

a = hay dv = a.dtLấy tích phân hai vế của phương trình trên, ta được :

v = = a = vo + at (I.18)

trong đó vo là hằng số tích phân do tích phân trên không có cận, nó được xác định

từ điều kiện ban đầu, tức là khi t = 0 Từ (I.18) ta cho t = 0 được v=vo,do đó có thể thấy rõ là vochính là vận tốc ban đầu.

Mặt khác từ biểu thức (I.3) ta có thể viết :

ds = vdt hay ds = (vo + at) dtLấy tích phân hai vế phương trình trên ta có :

(I.17) so với (I.19) là trong chuyển động tròn ta phải thay tọa độ dài s bằng tọa độ

góc θ , vận tốc dài v bằng vận tốc góc ω và gia tốc dài a bằng gia tốc góc β

I.6.2 Chuyển động của viên đạn pháo :

Xét chuyển động của một viên đạn pháo được bắn lên với một vận tốc ban đầu không đổi và làm với phương nằm ngang một góc là α

Ta chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ bên : trục Ox hướng theo phương nằm ngang còn Oy theo phương thẳng đứng Viên đạn chuyển động trong trường trọng lực nhưng do trong lực hương theo phương Oy nên theo phương Ox ta có thể xem như