Sáng kiến kinh nghiệm môn toán lớp 9, chuyên đề Tìm vị trí của một điểm, hay tìm điều kiện của một hình phụ thuộc thỏa mãn điều kiện nào đo của đề bài PHẦN II HỆ THỐNG CÁC VÍ DỤ. DẠNG I: ĐỂ HÌNH PHỤ THUỘC TRỞ THÀNH HÌNH ĐẶC BIỆT Ví dụ 1: Cho (O, R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Tia AO cắt đường tròn ở D. Tìm điều kiện của A để tứ giác ABDC là hình thoi hoặc với điều kiện nào của điểm A thì tứ giác ABDC là hình thoi. DẠNG II: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA MỘT ĐIỂM ĐỂ ĐOẠN THẲNG CÓ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HAY BÉ NHẤT. Ví dụ 4: Cho đường tròn O đường kính CD = 2R. Từ C và D kẻ hai tiếp tuyến Cx và Dy. Lấy E trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến tại E cắt Cx và Dy lần lượt tại A và B. Xác định vị trí của điểm E trên đường tròn sao cho tổng các khoảng cách AC và BD là ngắn nhất.
Trang 11
A-LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Dạy học là con đường cơ bản, đặc trưng của nhà trường, là con đường quan trọng để hình thành và phát triển nhân cách cho thế hệ trẻ Giáo dục nhà trường là giáo dục ưu việt nhất, đã góp một phần rất quan trọng cho việc thực hiện mục tiêu nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài cho đất nước Qua đó ta thấy được vai trò hết sức quan trọng của người giáo viên, người làm công tác giáo dục
Môn toán một môn học chiếm một thời gian rất đáng kể trong kế hoạch đào tạo của nhà trường phổ thông, với đặc điểm của riêng mình, nó sẽ góp phần những
gì và như thế nào trong việc thực hiện mục tiêu và nguyên lí giáo dục?
Có thể nói rằng chất lượng đào tạo của môn toán được thể hiện ở hai mặt như sau:
Học sinh phải nắm được hệ thống kiến thức và quan điểm cũng như phương pháp cơ bản của toán học phổ thông theo quan điểm hiện đại và phải vận dụng nó vào hoạt động lao động sản xuất
Học sinh phải thể hiện một số phẩm chất đạo đức của người lao động mới thông qua hoạt động học toán: đức tính cẩn thận, chính xác, chu đáo, làm việc có
kế hoạch, có kỉ luật, có năng suất cao, có tinh thần tự lực cánh sinh, khắc phục khó khăn, dám nghĩ dám làm, trung thực, khiêm tốn
Môn toán trong nhà trường phổ thông đóng vai trò một môn học công cụ vì ngôn ngữ toán học, kiến thức toán học, tư duy và phương pháp toán học là cần thiết cho cuộc sống, cho việc học các môn khác đặc biệt là các môn: vật lí, hoá học, kĩ thuật công nông nghiệp, công nghệ học Nó còn cần cho việc rèn luyện tác phong khoa học: biết cách đặt vấn đề phân tích, giải quyết vấn đề, kiểm tra cách giải quyết, biết nhận ra các bản chất, biết phân loại các trường hợp, biết từ những vấn đề riêng lẻ rút ra kết luận chung, biết áp dụng lí luận chung vào những tình huống cụ thể, biết suy luận ngắn gọn chính xác, biết trình bày rõ ràng mạch lạc Môn toán còn giúp chúng ta rèn luyện nhiều đức tính quý báu khác như: cần
cù, nhẫn nại, ý chí vượt khó, yêu thích chính xác, ham chuộng chân lí
Dù phục vụ ở ngành nào, trong công tác nào thì các kiến thức và phương pháp toán học cũng cần thiết
Vậy mỗi giáo viên chúng ta cần phải tìm tòi sáng tạo ra những phương pháp giảng dạy tốt nhất nhằm tiết kiệm được quỹ thời gian, phù hợp với khả năng nhận thức của học sinh phát huy được khả năng tư duy sáng tạo, óc tìm tòi ham học hỏi của học sinh
Trong chương trình toán THCS thì phân môn hình học gúp học sinh tèn luyện được đầy đủ các phẩm chất đã được nêu lên ở trên
Đối với toán hình việc chứng minh một định lý, một bài toán là điều đã khó song với loại toán “Tìm vị trí của một điểm, hay tìm điều kiện của một hình để một hình phụ thuộc thỏa mãn điều kiện nào đó của đề bài” là vấn đề khó hơn Vì đây là
Trang 2loại toán tìm điều kiện "cần và đủ" và khi làm phải vận dụng những mệnh đề tương đương Để giúp học sinh có thể làm những bài toán dạng này tốt hơn, tôi hướng dẫn học sinh cách phân loại, lập luận trình bày bài Từ đó tìm ra phương pháp thích hợp giúp các em lĩnh hội kiến thức hiệu quả Do thời gian có hạn nên trong đề tài này tôi chỉ đi sâu nghiên cứu loại toán "Tìm điều kiện của một điểm, một hình để hình phụ thuộc thoả mãn điều kiện đề bài"
Trang 33
B - NỘI DUNG:
I CƠ SỞ LÍ LUẬN
Xuất phát từ thực tế là các em học sinh ngại khó và mất định hướng khi giải các bài toán liên quan đến “Tìm vị trí của một điểm, hay tìm điều kiện của một hình để một hình phụ thuộc thỏa mãn điều kiện nào đó của đề bài”, tôi thấy cần phải tạo ra cho các em có niềm yêu thích say mê học tập, luôn tự đặt ra những câu hỏi và tự mình tìm ra câu trả lời Khi gặp các bài toán khó, phải có nghị lực, tập trung tư tưởng, tin vào khả năng của mình trong quá trình học tập Để giúp học sinh bớt khó khăn và cảm thấy dễ dàng hơn trong việc giải bài toán “Tìm vị trí của một điểm, hay tìm điều kiện của một hình để một hình phụ thuộc thỏa mãn điều kiện nào đó của đề bài” giáo viên chúng ta không chỉ giúp các em nắm được lý thuyết, hiểu các dạng bài tập mà còn phải tạo ra cho các em có một phương pháp học tập cho bản thân, rèn cho các em có khả năng thực hành Nếu làm được điều
đó chắc chắn kết quả học tập của các em sẽ đạt được như mong muốn
Để làm bài tập về “Tìm vị trí của một điểm, hay tìm điều kiện của một hình
để một hình phụ thuộc thỏa mãn điều kiện nào đó của đề bài”, Giáo viên cần rèn luyện cho học sinh các kĩ năng sau:
+ Phát hiện dạng toán
+ Các thao tác tư duy theo sơ đồ
+ Các kỹ năng trình bày bài
Qua quá trình giảng dạy tôi đã tổng hợp một số dạng toán sau:
Tìm vị trí của một điểm, điều kiện của hình:
+ Để hình phụ thuộc trở thành hình đặc biệt
+ Để độ dài đoạn thẳng lớn nhất (bé nhất)
+ Để diện tích hình lớn nhất (bé nhất)
+ Để đa giác nội tiếp đường tròn
+ Để đường thẳng tiếp xúc với đường tròn
Trang 4PHẦN II - HỆ THỐNG CÁC VÍ DỤ
DẠNG I: ĐỂ HÌNH PHỤ THUỘC TRỞ THÀNH HÌNH ĐẶC BIỆT
Ví dụ 1: Cho (O, R) và điểm A nằm ngoài đường tròn Qua A kẻ 2 tiếp tuyến
AB, AC với đường tròn Tia AO cắt đường tròn ở D Tìm điều kiện của A để tứ giác ABDC là hình thoi hoặc với điều kiện nào của điểm A thì tứ giác ABDC là hình thoi
Để tứ giác ABDC là hình hoi thì ta cần đi tìm điều kiện của điểm A
Đồng thời để các em có thể xác định cách làm dễ hơn tôi hướng dẫn học sinh chia 2 bài toán nhỏ
Bài toán 1: Chứng minh điều kiện cần
Bài toán 2: Chứng minh điều kiện đủ
Với bài tập trên
Tôi hướng dẫn học sinh suy nghĩ như sau:
Bài toán đã cho
+ Tứ giác ABDC có đặc điểm gì?
(AB = AC theo tính chất của tiếp tuyến, BD = DC vì AD là trung trực của BC)
+ Muốn có tứ giác ABDC là hình thoi cần phải có điều kiện gì?
(AB//CD; AC//BD)
+ Muốn có AB//CD; AC//BD cần điều kiện gì?
ABC=BCD, ·ACB=CBD· (so le trong)
Trên hình vẽ đã có góc nào bằng nhau? Vì sao?
DBC=BCD (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
vậy suy ra BDC; BAC là tam giác gì?
(BDC; BAC là các tam giác đều => Â = 600)
có thể tính OA theo bán kính R không?
(OBA vuông => BAO· = 300, OA = 2R)
Qua các câu hỏi trên tôi cho học sinh ghi theo sơ đồ :
Tứ giác BACD có AB = AC là hình thoi khi
AB//CD; AC//BD => ·ABC =BCD· , ·ACB=CBD·
có BDC· = ·ABC= ·ACB(cùng =
2
1 Sđ »BC)
ABC đều => BAC· = 600 => BAO· = 300 => OA = 2R
D
C
B
O A
Trang 55
Như vậy học sinh tìm được điều kiện cần để tứ giác ABDC là hình thoi thì A cách O một khoảng OA = 2R
Bài toán 2: Tôi cho các em chứng minh ngược lại
Nếu OA = 2R; AB, AC là hai tiếp tuyến tia AO (0) = D Chứng minh tứ giác ABDC là hình thoi
Tôi lại hướng dẫn học sinh đặt câu hỏi tương tự
BOA là tam giác gì cạnh OA = 2R => OB = R => BAO· = ?
=>·BAC = ? => BAC là tam giác gì?
=> Các đoạn thẳng nào song song => Tứ giác ABDC là hình gì? Tôi lại cho học sinh ghi sơ đồ:
ABDC là AB//CD ·ABC=BCA· = ·DBC=BCD·
hình thoi AC//BD ·BAC= ·ABC =BCA· =BDC· CDB đều:
OA = 2R => ·BAO = 300 => ·BAC=600
Qua hai sơ đồ trên tôi cho học sinh trình bày bài theo mệnh đề tương đương Bài giải:
ABDC là hình thoi có AB = AC (tính chất tiếp tuyến)
Để ABDC là hình thoi BA//CD; BD//AC
ABC=BCD; ·DBC=BCA· (so le trong)
ABC=BCA=BDC (cùng chắn cung BC)
ABC đều ·BAC = 600 BAO· = 300 (AO là phân giác)
BOA (·ABO = 1v), OA = 2OB = 2R
(cạnh đối diện góc 300 bằng nửa cạnh huyền)
Vậy tứ tứ giác ABDC là hình thoi OA = 2R
Ví dụ 2:
Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn O
Lấy điểm D thuộc tia đối của tia AC sao cho AD =
AC Nối BD cắt đường tròn (O) tại P Gọi Q là điểm
đối xứng của P qua B Tia AB cắt tia CQ tại K Tìm
điều kiện của ABC để tứ giác APKQ là hình bình
hành
A
D
Q
K P
Trang 6Để làm bài này tôi yêu cầu học sinh nêu định nghĩa tính chất và các dấu hiệu chứng minh một tứ giác là hình bình hành từ đó tôi hướng dẫn học sinh tìm điều kiện cần của bài
Bài toán có 4 phần các phần trước đã chứng minh được tứ giác ADKQ nội tiếp DB = CK
Để chứng minh tứ giác APKQ là hình bình hành ta thấy đã có đường chéo AK
PQ = B và PB = BQ nên ta sử dụng tính chất hai đường chéo để chứng minh bài này
+ Muốn tứ giác APKQ là hình bình hành cần điều kiện gì? (AB = BK)
+ Muốn có BA = BK ta có thể chứng minh?
(DAB = KBC)
+ DAB và KBC đã có dữ kiện nào bằng nhau?
DAB là tam giác gì?
vậy suy ra điều kiện của ABC
Qua các câu hỏi trên tôi cho học sinh viết sơ đồ
APKQ là hình bình hành
BA = BK có BP = BQ BP = BQ (đã có)
BC = AB = AD
Từ hai sơ đồ trên đưa ra bài giải:
APKQ là hình bình hành BP = BQ (giả thiết)
DAB = KBC
mà DAB cân (AD = AB)
có DÂ = KÂ (2 góc nội tiếp cùng chắn AQ )
BD = CK (Chứng minh trên)
KBC cân; BC = AB
Trang 77
ABC đều
Vậy tứ giác APKQ là hình bình hành ABC đều
Ví dụ 3: Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD,
đáy nhỏ BC nội tiếp đường tròn (O); AB và CD kéo
dài cắt nhau ở I Các tiếp tuyến của đường tròn tại B
và D cắt nhau ở K
a, Chứng minh 5 điểm B, O, D, K, I cùng nằm
trên đường tròn
b, IK // BC
c, Hình thang ABCD cần điều kiện gì để AIKD
là hình bình hành
Khi học sinh làm phần c, bài tập này tôi hướng
dẫn các em viết điều kiện cần của bài Sau đó gọi học sinh lên bảng trình bày điều kiện đủ và đưa ra lời giải của bài toán
AIKD là hình bình hành IK//AD (đã có)
BI//KD có IK//AD BIKD là hình thang
mà B, I, K, D nằm trên 1 đường tròn (a)
BKD = IBK (cùng =
2
1 Sđ AB) BIKD là hình thang cân
cung AD = cung BCD IK = BD (cạnh bên của thang cân)
Từ sơ đồ tôi hướng dẫn học sinh trình bày lời giải của bài như sau:
Hình thang AIKD là hình bình hành IB//KD (đã có IK//AD)
mà BIKD thuộc 1 đường tròn BIKD là hình thang cân
Có IK = BD (cạnh bên thang cân)
mà IK = AD (cạnh đối của HBH)
BD = AD
E
O
Trang 8y
C
A
B E
DẠNG II: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA MỘT ĐIỂM ĐỂ ĐOẠN THẲNG CÓ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HAY BÉ NHẤT
Ví dụ 4:
Cho đường tròn O đường kính CD = 2R Từ C và D kẻ hai tiếp tuyến Cx và
Dy Lấy E trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến tại E cắt Cx và Dy lần lượt tại A và B Xác định vị trí của điểm E trên đường tròn sao cho tổng các khoảng cách AC
và BD là ngắn nhất
Bài này có 3 phần, phần trên học sinh đã có
AC + BD = AB
Bài toán xác định điểm E sao cho (AC + BD) ngắn nhất đưa về xác định E sao cho AB ngắn nhất
Để làm bài này học sinh cần biết quan hệ các đường thẳng
+ Đường vuông góc bao giờ cũng có độ dài nhỏ hơn đường xiên
+ Trong đường tròn đường kính là dây cung lớn nhất
+ Trong tam giác độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu hai cạnh còn lại
và nhỏ hơn tổng hai cạnh ấy
+ Vận dụng các bất đẳng thức: Côsi, Bu nhia, bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
Với các kiến thức này áp dụng vào bài tập trên ta thấy ngay AB ngắn nhất
AB = CD vì hình thang ABDC thang vuông cạnh xiên AB
E là điểm chính giữa cung CD hoặc gợi ý các em làm như sau:
Vì AC = AE; BD = BE
AC + BD = AE + BE => (AC + BD) min
(AE + BE) min
Theo côsi AE + BE 2 AE.BE = 2R
Đẳng thức xảy ra AE = BE E chính giữa cung
CD
Với đề bài toán trên tôi có thể hỏi xác định vị trí
E để diện tích S của tứ giác ABDC nhỏ nhất
ABDC là hình thang vuông nên:
min ) (
) (
.
BD AC
Khi đưa công thức xác định S = (AC+BD)R các em khẳng định được ngay với câu hỏi này bài toán đưa về giống ví dụ
Xác định vị trí E có S đạt min vậy em có thể xác định vị trí của điểm E để chu
vi tam giác AOB đạt giá trị nhỏ nhất hay không
Trang 99
Ta biết chu vi tam giác AOB = AO + OB + AB
do E thay đổi nên độ dài các đoạn AO; OB; AB cũng thay đổi
Lúc này tôi hướng dẫn học sinh tìm mối quan hệ các cạnh tam giác AOB với yếu tố cố định
Xét quân hệ AOB và CED (đồng dạng)
Tỉ số chu vi quan hệ tỉ số đồng dạng (bằng nhau) Khi đó tôi hướng dẫn học sinh trình bày như sau:
vì AOB ~ CED (học sinh tự chứng minh)
Chu vi tam giác AOB
= AB Chu vi tam giác CED CD
1
CD
AB
Chu vi AOB min AB min
Bài toán trở về bài toán ban đầu
Ví dụ 5: Cho đường tròn (O) đướng kính AB cố định và đường kính EF bất kì
(E A,B) Tiếp tuyến tại B với đường trong cắt tia AE, AF thứ tự ở H; K Từ A kẻ đường vuông góc với EF cắt HK tại M
Gọi P,Q là các trung điểm tương ứng của HB và BK Xác định vị trí của đường kính EF để tứ giác EFQP có chu vi nhỏ nhất
Gợi ý: Chu vi EFQP = EF + FQ + QP + PE
vì EP = PB = BH
2 1
FQ = QB = BK
2 1
Chu vi EFQP = EF+2PQ
= AB + 2PQ
Chu vi EFQP nhỏ nhất PQ nhỏ nhất
Đến đây các em bài toán đưa về giống ví dụ 4
Ví dụ 6 Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định , một điểm I nằm giữa
A và O sao cho AI = 2
3AO Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I Gọi C là điểm tùy
ý thuộc cung lớn MN, sao cho C không trùng với M, N, B Nối AC cắt MN tại E Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách
từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ
nhất
Để làm bài tập này học sinh cần nhớ kiến thức độ
dài đoạn thẳng nối một điểm nằm ngoài đường thẳng đến
O
A
B
E
F
O'
N E
M
I
O
C
Trang 10một thẳng nhỏ nhất khi đoạn thẳng đó vuông góc với đường thẳng
Ta để ý rằng ·AMN =·ACM (các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau) Mà
·ACM hay ECM· là góc nội tiếp đường tròn ngoại tiếp tam giác MEC từ đó suy ra
MA là tiếp tuyến của đường tròn đó => tâm O’ của đường tròn ngoại tếp tam giác MEC nằm trên MB là đường vuông góc với MA
=> NO’ nhỏ nhất khi NO’ ⊥ MB
=> Cách xác định vị trí điểm C: Kẻ NO’ vuông góc với MB nối O’O sau đó
kẻ tia Mx vuông góc với MA, Mx cắt (O) tại C
DẠNG III: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA ĐIỂM (HÌNH) ĐỂ DIỆN TÍCH, CHU VI TAM GIÁC ĐẠT MAX (MIN)
Ví dụ 6: Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn Từ A kẻ hai
tiếp tuyến AB, AC, cát tuyến AMN với đường tròn (AM < AN) Gọi E là trung điểm của MN, đường CE cắt (O) tại I Xác định vị trí của cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất(max)
Để làm bài tập này học sinh cần nhớ lại
kiến thức về diện tích:
+ Công thức tính
+ Diện tích tam giác không đổi khi đỉnh
chạy trên đường thẳng song song với đáy
S - (diện tích)
SABN = SAIN (vì bài tập này 4 phần thì phần
đã có BI//MN)
2
.NH
AB
S ABN =
AB không đổi SABN đạt max NH max
Đến đây học sinh biết cần sử dụng các quan hệ đã nói ở dạng II
NHmax NH = BN
BN là dây cung của đường trong (O)
BNmax BN là đường kính
N = BO (O)
Vậy SAINmax N làgiao điểm của BO với (O) hoặc để làm bài tập này tôi đã hướng dẫn các em có thể sử dụng công thức về diện tích sau:
ABN sin 2
BN AB
SABN =
ta biết sin ABN 1
Smax sin ABN = 1 ABN = 900 B, O, N thẳng hàng
O
I
A
B
C
N M
E H
Trang 1111
Ví dụ 7:
Cho đường trong (O) đường kính AB = 2R, dây MN vuông góc với AB tại I sao cho IA < IB Xác định vị trí điểm I sao cho chu vi
tam giác MIO đạt giá trị lớn nhất
Chu vi (C)
CMIO = MI + IO + MO
= MI + IO + R
CMIO đạt Max
(MI+IO) max
Xét quan hệ MI + IO với độ dài đoạn thẳng cố định
Học sinh trả lời ngay em có MI2 + IO2 = R2 không đổi
Vậy thì làm như thế nào từ MI + IO ta có được MI2 + IO2
Theo bất đẳng thức Bu nhia ta có:
) d c )(
b a (
| bd
ac
Đẳng thức xảy ra
d
b c
a =
Nhận xét bài này ta có thể sử dụng bất đẳng thức này hay không Khi đó các
em trả lời ngay được
Trình bày như sau :
MI + IO = 1.MI + 1.IO 2 2 2 2
(MI+IO) max =
2
2
O
B A
M
N I