Bài II 2 điểm: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 6 giờ 40 phút đầy bể.. Nếu để chảy một mình thì thờ
Trang 1PHÒNG GD&ĐT NAM TỪ LIÊM
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ KIỂM TRA KSCL HỌC SINH LỚP 9 NĂM HỌC: 2017 – 2018 – Môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút (Đề kiểm tra gồm 01 trang)
Bài I (2 điểm):
Cho hai biểu thức: A = x 2
x
và B = 1 7 9
9 3
x x
với x > 0; x ≠ 9
1 Tính giá trị của biểu thức B khi x = 36
2 Rút gọn biểu thức B
3 Cho biểu thức P = A
B Tìm các giá trị m để có x thỏa mãn P = m
Bài II (2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 6 giờ 40 phút đầy bể Nếu để chảy một mình thì thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 3 giờ Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể
Bài III (2 điểm):
1 Giải hệ phương trình:
3 2 1 1
1 2
1
y x
y y x
y
2 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d)
y = 2mx – m 2 + m
Tìm giá trị m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1,
x2 thỏa mãn: 3
Bài IV (3,5 điểm):
Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính MN và PQ vuông góc với nhau Lấy điểm A trên cung nhỏ PN, PA cắt MN tại B, AQ cắt MN tại E
1 Chứng minh: OABQ là tứ giác nội tiếp
2 Nối AM và PQ và PN lần lượt tại C và I
Chứng minh rằng: Tích MC.MA không đổi khi A di chuyển trên cung nhỏ PN
3 Chứng minh: IN = 2EN
4 Tìm vị trí của điểm A để diện tích tam giác ACE đạt giá trị lớn nhất
Bài V (0,5 điểm): Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: a + b + c ≥ 6
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M =
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
… … …… …… ……….……….Hết……….……… …… ……
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh ……….Số báo danh………
PHÒNG GD&ĐT NAM TỪ LIÊM HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
ĐỀ KIỂM TRA KSCL HỌC SINH LỚP 9 NĂM HỌC 2018 – 2019 – MÔN: TOÁN
A Hướng dẫn chung
Trang 2- Nếu học sinh giải theo cách khác mà đúng và đủ các bước thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa
- Trong mỗi bài, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các bước sau có liên quan không được điểm
- Bài hình học bắt buộc phải vẽ đúng hình thì mới chấm điểm, nếu không có hình vẽ đúng ở phần nào thì giám khảo không cho điểm phần lời giải liên quan đến hình của hần đó
- Điểm toàn bài là tổng điểm của các ý, các câu, tính đến 0,25 điểm và không làm tròn
B Đáp án và thang điểm
Bài I
(1đ)
1
(0,5
đ)
Thay x = 36 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức B, ta có:
B = 36 1 7 36 9 6 1 7.6 9
36 3
0,25
B = 5 33 5 11 4
327 3 9 9 Vậy B = 4
9 khi x = 36 0,25
2
(1đ)
B = 1 7 9 ( 1)( 3) 7 9
9
3 ( 3)( 3) ( 3)( 3)
x
( 3)( 3) ( 3)( 3)
= ( 3)( 2) ( 3)( 3)
= ( 2) ( 3)
x x
3
(0,5
đ)
Cho biểu thức P = A
B Tìm các giá trị m để có x thỏa mãn P = m
P = 2: 2 2 3 3
ĐK: x > 0; x ≠ 4; x ≠ 9
P = m x 3 m (m 1) x 3
x
(*) Nếu m = 1 thì (*) vô nghiệm
Nếu m ≠ 1 thì từ (*) 3
1
x m
0,25
Do có x > 0; x ≠ 4; x ≠ 9 x > 0; x ≠ 2; x ≠ 3
Để có x thỏa mãn P = m
3
2 2 2 3
3 3 1
m
m
m
Vậy m > 1; m ≠ 2 và m 5
2
thỏa mãn yêu cầu đề bài
0,25
Bài II
(2đ)
Đổi 6 giờ 40 phút = 20
3 giờ Gọi thời gian chảy một mình đầy bể của vòi 1 là x (h) (x > 20
3 )
0,25
Khi đó thời gian chảy một mình đầy bể của vòi 2 là x + 3 (h) 0,25
Trang 3Trong 1 giờ, vòi 1 chảy được 1
Trong 1 giờ, vòi 2 chảy được 1
3
x (bể)
0,25 Trong 1 giờ, cả hai vòi chảy được 3
20 (bể) Theo đề bài ta có phương trình: 1 1 3
3 20
x x
Đưa được về PT bậc hai: 3x2 – 31x – 60 = 0 0,25 Giải phương trình ta được x1 = 12 (thoả mãn); x2 = 5
3
(loại) 0,25 Vậy thời gian chảy một mình đầy bể của vòi 1 là 12(h)
Thời gian chảy một mình đầy bể của vòi 2 là 12 + 3 = 15 (h) 0,25
Bài
III
(2đ)
1
(1đ)
(I)
3 2 1 1
1 2
1
y x
y y x
y
ĐK: x 1
2
; y ≠ -1
Đặt 2x1 = a;
1
y
y = b
Hệ phương trình (I) 3 1
2 5
a b
0,25
Giải hệ ta được 1
2
a b
Suy ra
2 1 1 2 1 1 1 (TM)
2 2
1
y
y
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y) = (1; -2) 0,25
2
(1đ)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P): 2x 2mx m 2 m x22mx m 2 m 0 (*)
' m2m2mm
Để đường (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ’ > 0 m > 0
Áp dụng định lý Vi-ét ta có:
2 (1)
1 2
2 (2)
1 2
x x m
x x m m
0,25
Theo đề bài: 3
x x điều kiện x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
2
1 2
m
x x x x (3) 0,25
Trang 4Thay (3) vào (1) ta có: 4 2 3
Thay vào (2) ta có:
0 (loai)
m
m
Vậy với m = 4 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2
thỏa mãn 3
Bài
IV
(3,5đ)
1
(1đ)
0,25
Vẽ hình đúng đến câu a Xét (O) có PAQ = 90 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) o
o QAB = 90
MN PQ (gt) QOB = 90o 0,25 Xét tứ giác OABQ có: QOB = QAB = 90 o
Mà hai đỉnh O và A kề nhau cùng nhìn cạnh QB dưới một góc 900
Vậy tứ giác OABQ nội tiếp (dhnb)
0,25
2
(1đ)
Nối A với N Xét (O) có MAN = 90o (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 0,25 Xét MOC và MAN có:
AMN là góc chung
o MOC = MAN = 90
0,25
ΔMOC ΔMAN
(g.g) MO = MC MC.MA = MO.MN
MA MN
Mà MO = R, MN = 2R MC.MA = 2R2 (không đổi) Vậy khi A di chuyển trên cung nhỏ PN thì tích MC.MA không đổi 0,25 Xét (O) có: MN PQ tại O (gt) M là điểm chính giữa cung PQ
o
PM = MQ MAQ = MQP = 45
Xét tứ giác AIEN có:
o IAE = INE = 45 (cmt)
Mà 2 đỉnh A và N kề nhau cùng nhìn cạnh IE dưới một góc 450
0,25
Trang 5Nên tứ giác AIEN nội tiếp (dhnb)
o IAN + IEN = 180
Mà IAN = 90o (cmt)
o IEN = 90
Xét IEN vuông tại E có ENI = 45oEIN = 45o
sin EIN = IN = o = = 2EN IN = 2EN
IN sin 45 2
2
4
(0,5
đ)
Xét MEQ và QMC có:
o EMQ = MQC = 45
1 MEQ = CMQ =
2sđ AQ ΔMEQ ΔQMC
(g.g) MQ = ME MQ = QC.ME2
Xét MOQ vuông tại O có MQ2 = OM2 + OQ2 (ĐL Pitago)
MQ = R +R = 2R QC.ME = 2R
Tứ giác MCEQ có 2 đường chéo CQ và ME vuông góc
S = QC.ME = 2R = R
0,25
S = S + S MAQ ACE CEQM mà SMCEQ không đổi
ACE max S
MAQ max +) Kẻ AH MQ S = AH.MQ1
MAQ 2
mà MQ không đổi S
MAQ
max AH max A là điểm chính giữa của cung nhỏ PN Vậy S
ACE max A là điểm chính giữa của cung nhỏ PN
0,25
Bài V
(0,5đ)
Vì a, b, c > 0 nên ta có:
2(a3 + b3) – (a + b)(a2 + b2) = (a – b) 2.(a + b) ≥ 0 0,25
Trang 63 3
2 2 2
Tương tự: 3 3
2 2 2
3 3
2 2 2
3 3 3 3 3 3 2( )
2 2 2 2 2 2 2
A ≥ a + b + c ≥ 6
Min A = 6 a = b = c = 2
0,25