Trường điện từ kỹ thuật siêu cao tần

Xin chân thành cám ơn quí th7y cô trong b môn Vi$n thông và K thu t ñi u khi&n, khoa Công ngh Thông tin và Truy n thông ñã giúp ñn tôi hoàn thành giáo trình này.. Trư ng ñi n tĩnh và trư

TRƯ NG Đ I H C C N THƠ KHOA CÔNG NGH THÔNG TIN VÀ TRUY N THÔNG

TRƯ NG ĐI N T

ThS ĐOÀN HÒA MINH

NĂM 2006

M C L C

M Đ U ………1

0.1 GI I THI U MÔN H C TRƯ NG ĐI N T ………1

0.2 PHƯƠNG PHÁP H C VÀ THI ………2

0.3 TÀI LI U THAM KH!O ……… 2

CHƯƠNG 1 : LÝ THUY T TRƯ NG 3

1.1 TRƯ NG VÔ HƯ NG (Scalar field) 3

1.1.1 Đinh nghĩa 3

1.1.2 M2t ñ5ng tr6 4

1.1.3 Gradient 4

1.2 TRƯ NG VECTƠ (VECTOR FIELD) 6

1.2.1 Đinh nghĩa 6

1.2.2 Đư=ng dòng 7

1.2.3 Thông lưAng (Flux) 7

1.2.4 Đinh lý Green – Đ6nh lý Stokes – Đ6nh lý Ôxtrôgratxki 7

1.2.5 Divergence……….10

1.2.6 Trư=ng Kng 10

1.2.7 Lưu sK (Circulation) và vectơ xoáy 12

1.3 TOÁN TP HAMILTON VÀ TÓAN TP LAPLACE 13

1.3.1 Tóan tS Hamilton 13

1.3.2 BiVu diWn , , bZng tóan tS ∇ 13

1.3.3 Tóan tS Laplace 14

1.4 TRƯ NG ĐI N T 14

1.4.1 Khái ni\m 14

1.4.2 Hai m2t ñi\n và t] c^a trư=ng ñi\n t] 15

1.4.3 Các ñ_i lưAng cơ b`n ñ2c trưng cho trư=ng ñi\n t] 16

BÀI TaP 18

CHƯƠNG 2 : TRƯ NG ĐI N TĨNH TRONG CHÂN KHÔNG 20

2.1 TRƯ NG ĐI N TĨNH 20

2.1.1 Khái ni\m 20

2.1.2 Đ6nh ludt Coulomb 20

2.1.3 Các hình thfc phân bK ñi\n tích 22

2.1.4 Các tính chit c^a trư=ng ñi\n tĩnh 24

2.1.5 Đi\n thj (Potential) 27

2.1.5.1 Khái ni\m vk ñi\n thj .27

2.1.5.2 Đi\n thj t_i mlt ñiVm trong ñi\n trư=ng 27

2.1.5.3 Hi\u ñi\n thj 30

2.1.5.4 Phương trình Poisson và phương trình Laplace cho ñi\n thj 31

2.1.6 Mô t` hình hmc c^a trư=ng ñi\n 40

2.2 TRƯ NG T TĨNH 41

2.2.1 Đ6nh nghĩa 41

2.2.2 Các nguyên lý và ñ6nh ludt vk t] trư=ng 41

2.2.3 Các tính chit c^a trư=ng t] tĩnh 46

2.2.4 T] thj Vectơ 48

2.4.5 BiVu diWn hình hmc c^a t] trư=ng 51

BÀI TaP 51

CHƯƠNG 2 : TRƯ NG ĐI N T TĨNH TRONG MÔI TRƯ NG CH T 58

3.1 ĐI N MÔI (DIELECTRIC MATERIALS) 58

3.1.1 Khái ni\m 58

3.1.2 So phân coc (Polarization) 58

3.1.3 Đi\n tích liên kjt (Bound Charges) 60

3.1.4 Đi\n trư=ng trong chit ñi\n môi 62

3.2 T MÔI (MAGNETIC MATERIALS) 63

3.2.1 Khái ni\m 63

3.2.2 Dòng ñi\n liên kjt (Bound Current) 65

3.2.3 T] trư=ng trong t] môi 67

3.3 VaT DqN ĐI N (ELECTRICAL CONDUCTORS) 69

3.3.1 Khái ni\m 69

3.3.2 Phương trình lien tsc 71

3.3.3 Nghi\m xác ldp c^a phương trìng Laplace 72

3.4 ĐItU KI N B 73

3.4.1 Điku ki\n b= vui các vectơ và 73

3.4.2 Điku ki\n b= vui các vectơ và 75

3.4.3 Tvng kjt các ñiku ki\n b= 76

3.5 NĂNG LƯxNG CyA TRƯƠNG ĐI N T 77

2.5.1 Năng lưAng trư=ng ñi\n ñưAc tích lũy b|i ts ñi\n 77

2.5.2 Năng lưAng trư=ng t] ñưAc tích lũy b|i culn c`m 78

2.5.3 Năng lưAng t] trư=ng 79

BÀI TaP 79

CHƯƠNG 4 : TRƯ NG ĐI N BI N THIÊN 82

4.1 ĐI N TRƯ NG XOÁY 83

4.1.1 Sfc ñi\n ñlng 83

4.1.2 Đinh ludt Faraday 84

4.1.3 Đi\n trư=ng xoáy 86

4.2 DÒNG ĐI N D€CH 86

4.3 H PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL 88

CÂU H„I ÔN TaP 88

CHƯƠNG 5 : SÓNG ĐI N T 90

5.1 KHÁI NI M 90

5.2 SÓNG PH…NG TRONG CHÂN KHÔNG HAY ĐI N MÔI KHÔNG T†N HAO 91

5.3 SÓNG PH…NG TRONG ĐI N MÔI CÓ T†N HAO 96

5.4 DÒNG CÔNG SU‡T – VECTƠ POYNTING 100

5.5 SÓNG PH!NG TRONG VaT DqN ĐI N TˆT 102

5.6 S‰ PH!N XŠ, KHÚC XŠ CyA SÓNG ĐI N T 106

5.7 HI N TƯxNG SÓNG ĐŒNG – T• Sˆ SÓNG ĐŒNG 112

5.8 TRŽ KHÁNG VÀO CyA MÔI TRƯ NG NHÌN T NGU•N 114 5.9 MaT Đ• DÒNG CÔNG SU‡T CyA SÓNG T I, SÓNG PH!N XŠ VÀ

SÓNG KHÚC XŠ 115

5.10 BÀI TÓAN HAI M‘T PHÂN CÁCH 116

5.11 SÓNG T I CÓ PHƯƠNG TRUYtN VUÔNG GÓC V I M‘T CyA M•T VaT DqN ĐI N TˆT 117

5.12 VaN TˆC SÓNG, VaN TˆC NHÓM, VaN TˆC PHA 119

CÂU H„I ÔN TaP 121

BÀI TaP 123

PH L C 126

TÀI LI U THAM KH*O 127

L I NÓI Đ U

Trư ng ñi n t là m t môn h c cơ s cho nhi u ngành khoa h c k thu t như V t

lý, Đi n k thu t, Đi n t#, Vi$n thông, K thu t ñi u khi&n,…Trư ng ñi n t không ph)i là m t môn h c m*i l+ b c ñ+i h c, các khái ni m và m t s/ ñ0nh

lu t cơ b)n v Trư ng ñi n t ñã gi)ng d+y t b c ph4 thông trung h c Vào ñ+i

h c, sinh viên l+i m t l7n n8a ti9p c n v*i m t s/ khái ni m và ñ0nh lu t v Trư ng ñi n t trong môn V t lý ñ+i cương Đây là l7n th; ba, sinh viên tr l+i v*i Trư ng ñi n t Tuy không ph)i là hoàn toàn m*i l+, nhưng Trư ng ñi n t v<n là m t môn h c khó, v*i c) th7y l<n trò Tr l+i v*i Trư ng ñi n t , v*i tư cách là m t môn h c, sinh viên có m t cách ti9p c n m*i ? ñây, môn Trư ng

ñi n t là h th/ng hoàn ch@nh, v a có tính t4ng quát cao l+i v a ñi sâu chi ti9t, v*i phương pháp tính toán m*i, ñòi hCi k năng toán h c cao hơn, ñòi hCi kh) năng trù tưFng hóa và khái quát hóa cao hơn Hơn n8a, ñây là m t môn cơ s , sinh viên chưa th& ;ng dHng ngay và chưa thIy h9t các ;ng dHng cJa nó vào chuyên ngành, ñi u này cũng là m t nguyên nhân làm cho ngư i h c kém h;ng thú

N i dung cJa môn Trư ng ñi n t khá l*n, bao gOm ph7n lý thuy9t t4ng quát và các ph7n v n dHng trong các lĩnh vQc cH th& Khi tham kh)o nhi u giáo trình cJa các trư ng ñ+i h c, ta sS thIy có sQ khác nhau v vi c ch n lQa n i dung l<n cách ti9p c n

T4ng quát, môn Trư ng ñi n t bao gOm các n i dung sau:

U Các cơ s toán h c c7n cho môn h c này;

U Trư ng ñi n t tĩnh và d ng trong chân không và trong các môi trư ng: các khái ni m, ñ0nh lu t, ñ0nh lý, phương trình;

U V t li u ñi n t ;

U Các phương pháp gi)i các bài toán trư ng ñi n t ;

U Trư ng ñi n t bi9n thiên và h phương trình Maxwell;

U Sóng ñi n t ; nhi$u x+ sóng ñi n t ;

U Các ph7n t# b;c x+ sóng ñi n t và anten;

U Đư ng truy n sóng, /ng d<n sóng và h p c ng hư ng;

U Cơ s thuy9t tương ñ/i v trư ng ñi n t

Nói chung, có hai cách ti9p c n khác nhau:

U Đi t t4ng quát ñ9n cH th&:

Trong cách ti9p c n này, cIu trúc chương trình môn h c ñưFc s]p x9p theo th; tQ

kh i ñ7u là các nguyên lý và ñ0nh lu t, h th/ng phương trình maxwell, sau ñó tri&n khai ;ng dHng các nguyên lý và ñ0nh lu t này cho trư ng ñi n t tĩnh và

d ng, các phương pháp gi)i các bài toán trư ng ñi n t , trư ng ñi n t bi9n thi9n, sóng ñi n t , ñư ng truy n sóng, /ng d<n sóng, h/c c ng hư ng

U Đi t cH th& ñ9n t4ng quát và tr v cH th&:

Trong cách ti9p c n này, cIu trúc chương trình môn h c ñi ngay vào phân tích trư ng ñi n t tĩnh và d ng trong chân không, thông qua ñó ñưa vào các nguyên

lý, ñ0nh lu t, phương trình Sau ñó phân tích trư ng ñi n t trong các môi trư ng

chIt: ñi n môi, t môi và v t d<n T ñó khái quát hóa các khái ni m, các nguyên lý, ñ0nh lu t thành h phương trình Maxwell cho trư ng ñi n t tĩnh và

d ng Bư*c k9 ti9p là hình thành các khái ni n ñi n trư ng xoáy và dòng ñi n d0ch, thông qua ñó thành l p h phương trình Maxwell cho trư ng ñi n t bi9 thiên T*i ñây, trư ng ñi n t ñã ñưFc xây dQng thành m t h th/ng hoàn ch@nh

ñJ ñ& v n dHng vào vi c phân tích quá trình truy n sóng ñi n t trong các nôi trư ng chIt và các ;ng dHng khác

Vi c ch n lQa n i dung và cách ti9p c n tùy thu c vào chuyên ngành và mHc tiêu môn h c Giáo trình này ñưFc biên so+n chJ y9u cho các chuyên ngành K thu t

ñi n, Đi n t#, Vi$n thông và K thu t ñi u khi&n Đ& ngư i h c không b ng , d$ ti9p thu và có th& t n dHng th i gian dành cho môn h c, nhưng v<n b)o ñ)m

ñJ lưFng ki9n th;c và rèn luy n ñưFc các k năng c7n thi9t cho sinh viên cJa các chuyên ngành này, chúng tôi ch n cách ti9p c n th; hai và ch n m t n i dung t/i thi&u cho giáo trình Giáo trình bao gOm 5 chương và các phHc lHc:

Chương 1: Lý thuy9t trư ng Chương này nhdm ôn l+i các ki9n th;c toán h c và

k năng c7n thi9t cho môn h c, hình thành khái ni m t4ng quát v trư ng ñi n t , làm n n t)ng cho các chương sau

Chương 2: Trư ng ñi n t tĩnh và d ng trong chân không Chương này nhdm hình thành các khái ni m, các nguyên lý, ñ0nh lu t cơ b)n v trư ng ñi n t ; gi*i thi u các phương pháp và rèn luy n k năng gi)i các bài toán v trư ng ñi n t Chương 3: Trư ng ñi n t tĩnh và d ng trong các môi trư ng Chương này nhdm phân tích cho ngư i h c hi&u ñưFc sQ tương tác gi8a trư ng ñi n t và các môi trư ng chIt Khái quát hóa các khái ni m và các ñ0nh lu t v trư ng ñi n t trong

m i trư ng chIt T ñó t4ng k9t thành h phương trình Maxwell cho trư ng ñi n

t tĩnh và d ng

Chương 4: Trư ng ñi n t bi9n thiên Chương này hình thành các khái ni m ñi n trư ng xoáy, dòng ñi n d0ch và xây dQng h phương trình Maxwell cho trư ng

ñi n t bi9n thiên

Chương 5: Sóng ñi n t Đây là chương quan tr ng vì có nhi u ;ng dHng trong chuyên ngành, kh)o sát sóng ñi n t truy n trong các môi trư ng ñi n môi và d<n ñi n

Các phH lHc nhdm ôn l+i m t s/ ki9n th;c toán h c c7n thi9t như: các h t a ñ trQc chuhn, trH và c7u; sQ chuy&n ñ4i gi8a các h t a ñ ; vi phân ñư ng, vi phân mit, vi phân kh/i trong các h t a ñ ; các toán t# Gradient, Divergence, Curl trong các h t a ñ …

Đ& rút ng]n ph7n lý thuy9t, các phương pháp gi)i các bài toán trư ng ñi n t ñưFc hình thành trong ph7n bài t p Ph7n ki9n th;c v ñư ng truy n truy n sóng, /ng d<n sóng, h p c ng hư ng và anten ñã ñưFc ñưa vào môn Anten và truy n sóng

Tuy ñã có nhi u năm kinh nghi m trong gi)ng d+y môn Trư ng ñi n t , nhưng sau khi hoàn thành giáo trình này, tôi v<n chưa an tâm và c)m thIy còn nhi u thi9u sót Tôi mong nh n ñưFc ý ki9n ñóng góp cJa quí th7y, cô, cJa sinh viên và

Xin chân thành cám ơn quí th7y cô trong b môn Vi$n thông và K thu t ñi u khi&n, khoa Công ngh Thông tin và Truy n thông ñã giúp ñn tôi hoàn thành giáo trình này

Đic bi t cám ơn K sư Nguy$n cao Quí ñã ph)n bi n và giúp ñ tôi trong vi c s#a lpi và in In giáo trình

ĐOÀN HÒA MINH

Trư ng ñi n t là m t môn h c cơ s cho nhi u ngành khoa h c k thu t như V t lý, Đi n

k thu t, Đi n t$, Vi%n thông, K thu t ñi u khi'n,…m)c tiêu chính c,a môn h c là giúp

cho sinh viên “ có ki%n th/c cơ b2n v4 trư7ng ñi:n t; và sóng ñi:n t; m>t cách có h:

th ng; vAn d'ng ñưCc các phương pháp phân tích, tính toán v4 trư7ng và sóng ñi:n

t; trong chuyên ngành” Đ' ñ1t ñư2c m)c tiêu này, sinh viên c4n ph5i th6a mãn các yêu

c4u c) th' sau:

Có các k năng toán h c c4n thi=t: vi tích phân, hình h c gi5i tích, ñ1i s@ tuy=n

tính, hàm bi=n phBc, và các ki=n thBc cơ b5n v v t lý ñ1i cương

Hi'u và v n d)ng ñư2c các khái ni m, ñEnh lý, mô hình v lý thuy=t trư ng nói

chung và trư ng ñi n t nói riêng

Có kh5 năng h th@ng hóa toàn b ki=n thBc v trư ng ñi n t bao gFm: các khái

ni m ñGc trưng cho trư ng ñi n t và dòng ñi n; các ñEnh lu t và ñEnh lý v

trư ng ñi n t ; sJ hình thành trư ng ñi n, trư ng t , dòng ñi n và các thông sF

ñGc trưng cho sJ tương tác giKa trư ng ñi n t vLi các môi trư ng chMt như ñi n

môi, t môi, v t dNn

Hi'u ñư2c cơ ch= hình thành sóng ñi n t , thành l p ñư2c phương trình truy n

sóng trong các môi trư ng và v n d)ng chúng ñ' gi5i các bài toán v sJ truy n

sóng trong các môi trư ng chMt

Có kh5 năng tOng h2p các phương pháp gi5i các bài toán v trư ng ñi n t và

sóng ñi n t như v n d)ng các ñEnh lu t Coulomb, AmpereRBiotRSavart, Gauss,

Ampere lưu s@, Faraday, ñEnh lý UmopRPoynting,…; v n d)ng các phương trình

Poisson, Laplace và các ñi'u ki n b , h phương trình Maxwell dưLi các d1ng

tích phân, vi phân (ñi'm) và phasor; và m t s@ phương pháp ñGc bi t khác

Có kh5 năng gi5i các bài toán sóng truy n trong v t dNn, truy n qua nhi u môi

trư ng có các thông s@ ñi n t khác nhau Có kh5 năng phân tích các hi n tư2ng

4 Hình h c gi5i tích X X X

0.1.3 N>i dung cMa môn hOc:

Ôn t p: các h t a ñ trJc chukn, tr) và c4u; sJ chuy'n ñOi t a ñ ñi'm và bi'u di%n

các vectơ trong các h t a ñ ; bi'u di%n các vi phân dài, vi phân mGt và vi phân kh@i

trong các h t a ñ ;

Lý thuy=t trư ng và khái ni m tOng quát v trư ng ñi n t

Trư ng ñi n tĩnh và trư ng t d ng trong chân không

Trư ng ñi n tĩnh và trư ng t d ng trong các môi trư ng chMt

Trư ng ñi n t bi=n thiên

Sóng ñi n t phmng trong chân không và trong các môi trư ng chMt

Các phương pháp gi5i các bài toán v trư ng ñi n t và sóng ñi n t (thJc hi n và

tOng k=t thông qua vi c gi5i bài t p, không trình bày trong ph4n lý thuy=t)

0.2 PHƯƠNG PHÁP H C VÀ THI

HưLng tLi các phương pháp d1y h c lMy sinh viên làm trung tâm:

ĐGc vMn ñ và cùng gi5i quy=t vMn ñ trên lLp

GV cho trình bày trên lLp các khái ni m, nguyên lý, ý tư ng SV tJ h c các n i

dung có tính suy lu n và Bng d)ng

Ki'm tra vMn ñáp ñ4u các buOi h c

Cho ñEnh n i dung SV ph5i chukn bE cho buOi h c k= ti=p

Thi tJ lu n hoGc làm bài t p lLn, có tính ñi'm ki'm tra thư ng xuyên trên lLp

0.3.TÀI LI U THAM KHVO

Tài li:u tham kh2o chính:

[1] Đoàn Hòa Minh – GIÁO TRÌNH TRƯzNG ĐI{N T| – ĐHCT – 2006

[2] Richard E.DuBroff… Electromagnetic Concepts and ApplicationsR Prentice Hall

International, Inc

Tài li:u tham kh2o thêm:

[1] Ngô NhAt Vnh_ Trương TrOng Tu`n Ma R Trư ng Đi n T R Trư ng ĐHKT

TPHCMR2000

[2] Ki4u Khbc Lâu – Lý Thuy=t Trư ng Đi n T R NXB Giáo D)cR1999

[3] Nguycn Bình Thành_ Nguycn TrLn Quân_ Lê Văn B2ng R C S Lý Thuy=t

Trư ng Đi n T R NXB ĐH&THCNR1969

[4] Nguycn Đình Trí – Th Quang Đĩnh – Nguycn Hj Quỳnh – Toán h c cao

cMp – NXB Giáo D)c R 2003

LÝ THUY T TRƯ NG

M c tiêu:

Chương này giúp cho ngư i h c:

− Hi u ñư c các khái ni n chung v trư ng vô hư ng và trư ng vectơ

− Ôn l%i m't s) ki*n th+c và rèn luy n các k- năng toán h c c/n thi*t, làm n n t1ng cho các chương sau

− Hình thành khái ni m chung v trư ng ñi n t4, hi u v5n d7ng ñư c m't s) ñ%i

lư ng ñ8c trưng cơ b1n c:a trư ng ñi n t4

Ki n th c n n:

− Các ki*n th+c và k- năng toán h c ñã yêu c/u = ph/n m= ñ/u

− Các ki*n th+c v5t lý ñ%i cương

− Xem các ph7c l7c

1.1.1 Đ"nh nghĩa:

Trư ng vô hư ng là m t ph n không gian mà t i m i ñi m c a nó tương ng m t ñ i

lư ng vô hư ng xác ñ"nh (bi u di'n b(ng m t con s+)

Ví d7: B SD phân b) nhi t trong m't v5t th

B Trư ng ñi n th*

M't trư ng vô hư ng hoàn toàn xác ñInh n*u ta có hàm c:a trư ng:

(dĩ nhiên, cũng có th xác ñInh bRng các t a ñ' tr7 ho8c c/u)

Nói cách khác, t%i m i ñi m M trong mi n tương +ng v i m't giá trI xác ñInh c:a hàm u(M)

N*u mi n xác ñInh là m't m8t phTng P, khi ñó hàm c:a trư ng là hàm 2 bi*n:

Sau ñây, ta chW nghiên c+u các trư ng vô hư ng mà giá trI c:a hàm u(M) không ph7 thu'c vào th i gian t, v i m i ñi m M(x,y,z), g i là trư ng n ñ"nh hay trư ng d/ng

Chương 1

1.1 TRƯ NG VÔ HƯ)NG (Scalar field)

1.1.2 M2t ñ4ng tr" (Level surface)

Xét m't trư ng vô hư ng u = u(x,y,z) xác ñInh trong mi n Qu1 tích nh3ng ñi m mà

t i ñó giá tr" c a trư ng b(ng m t h(ng s+ C nào ñó ñư c g5i là m6t ñ7ng tr" c a trư ng

1.1.3.1 Đ"nh nghĩa Gradient: T%i m]i ñi m trong trư ng vô hư ng cho b=i hàm

u,x

uix

u

∂

∂+

∂

∂+

1.1.3.2 Vi phân toàn phFn c<a mAt trư=ng vô hư?ng:

Trong m't trư ng vô hư ng, t4 m't ñi m M(r) ta di chuy n ñ*n ñi m M'(r), gi1 se 2

ñi m này rct g/n nhau, khi ñó ño%n dIch chuy n có th bi u difn bRng vectơ d hư ng t4

M ñ*n M' (hình 1.1), ta có:

dr = '

M M

z

Hình 1.1

C’

Nói chung, M và M' nRm trên 2 m8t ñTng trI khác nhau, nghĩa là khi ñi t4 M ñ*n M' giá trI c:a trư ng thay ñii m't lư ng là:

phân toàn ph%n c:a trư ng vô hư ng

V m8t toán h c ta có th vi*t:

dzz

rudyy

rudxx

rurdu

∂

∂+

∂

∂+

1.1.3.3 Đ8o hàm theo hư?ng (Directional Derivatives)

Bi u th+c (1.8) ñư c vi*t l%i:

dltrugradr

trugradl

ru

)

()

∂

∂ ( )

bi u difn t)c ñ' bi*n thiên

c,a vectơ gradu(r) theo hư*ng ñó

1.1.3.4 TJc ñA bi n thiên cLc ñ8i c<a trư=ng vô hư?ng

kỳ t G i α là góc gi\a t và gradu(r) = ñi m M Phương trình (1.11) có th vi*t l%i:

)cos(

)()

cos(

)()

()

(

α

trugradt

rugradl

Ý nghĩa: Vectơ Gradient t%i m]i ñi m trong trư ng vô hư ng u cho bi*t phương mà d c theo phương cy t)c ñ' bi*n thiên c:a trư ng có giá trI tuy t ñ)i cDc ñ%i

1.1.3.5 Hư?ng c<a vectơ gradient và m2t ñ4ng tr"

tuy*n v i m8t ñTng trI t%i M và:

0)()()

()

(r = gradu r dr=u M| −u M =

nhau, nhgĩa là: Gradient c,a m4t trư ng u t'i mAi ñiBm M luôn cùng hư*ng v*i pháp tuy n c,a mCt ñDng tr7 ñi qua ñiBm ñó (Hình 1.2)

1.1.3.6 Tích phân ñư=ng c<a Gradient

Gradient c:a m't trư ng vô hư ng là m't vectơ, tích phân ñư ng c:a nó là:

a b

b a b

a b

l

)(udl

]t)

rugrad[l

Pt(1.14) cho phép ta tính tích phân ñư ng c:a Gradient c:a m't trư ng vô hư ng bRng

1.2.1 Đ"nh nghĩa :

Trư ng vectơ là m t ph n không gian mà tương ng t i m i ñi m c a nó có m t ñ i

lư ng vectơ xác ñ"nh (bi u ñi'n b<i m t vectơ)

Ví d7: B Đi n trư ng; t4 trư ng

B Trên m't dòng nư c ch1y (v5n t)c không ñii theo th i gian), t%i m]i ñi m trong dòng nư c cũng có m't vectơ v5n t)c xác ñInh V5y trư ng v5n t)c dòng nư c cũng là m't trư ng vectơ

M't trư ng vectơ hoàn toàn xác ñInh n*u ta bi*t hàm vectơ c:a trư ng:

1.2 TRƯ NG VECTƠ (Vector field)

V = V (x,y,z) =V (r) = V (M) (1.15)

h qui chi*u vuông góc ta có th bi u difn:

Sau ñây ta chW xét các trư ng vectơ dRng hay Sn ñ"nh t+c là nh\ng trư ng vectơ mà hàm

y , ta có m't trư=ng ph4ng

1.2.2 Đư=ng dòng:

Trong m't trư ng vectơ, ñư ng dòng c a trư ng là các ñư ng cong C mà m5i ti>p ñi m trên ñư ng cong ñó, ti>p tuy>n c a nó cùng phương v i vectơ c a trư ng t i ñi m ñó (hình 1.3)

Ví d7: B Các ñư ng s+c trong ñi n trư ng hay t4 trư ng

B Đư ng dòng ch1y c:a dòng nư c

Chi u c:a ñư ng dòng là chi u c:a vectơ trư ng t%i m]i ñi m

1.2.3 Thông lưUng (Flux)

Ta qui ư c pháp tuy*n dương c:a m8t S t%i m't ñi m M trên m8t S là pháp tuy*n hư ng

ra phía l|i ñ)i v i m8t không kín và hư ng ra phía ngoài ñ)i v i m8t kín N*u S là m8t phTng thì chi u pháp truy*n dương là chi u c7 th mà ta ph1i chW ra

1.2.3.2 Đ7nh nghĩa thông lưHng

vectơ V (M) = V (x,y,z) = V (r)

ñii trên m8t S Thông lư ng qua m8t S, ký hi u là Φ ñư c ñInh nghĩa b=i bi u th+c:

Φ = S.|

k ñây, vectơ S = S n là vectơ ñ8c trưng cho m8t ñInh hư ng S Sau này, khi ñ c8p ñ*n

Bây gi , gi1 se S là m't m8t cong và V bi*n thiên theo M, trong h qui chi*u vuông

Ta chia m8t S ra thành n m1nh vô cùng nhw nhw không d}m lên nhau G i tên và c1 di n

như các m8t phTng và vectơ V tương +ng v i m i ñi m trên dSi là không ñii Do ñó

i i i i

i i i

i i n

sdVz)dxdyy,

R(x,z)dzdx y,

Q(x,z)dydzy,

Ngư i ta ch+ng minh ñư c rRng, n*u S là m8t ñInh hư ng, liên t7c và có pháp tuy*n bi*n thiên liên t7c, n*u các hàm P; Q; R liên t7c trên m8t S thì t|n t%i tích phân lo%i hai (1.21) 1.2.4 Đ"nh lý GreenYĐ"nh lý StokesYĐ"nh lý Ôxtrôgratxki

Các ñInh lý này ñã ñư c ch+ng minh trong giáo trình toán cao ccp [4], nên = ñây ta chW nh€c l%i, không ch+ng minh, nh/m ñ v5n d7ng trong các ph/n sau

QdyPdxdxdy

y

Px

Ta cũng có ñInh lý rRng: N>u P(x,y), Q(x,y) liên tMc cùng v i các ñ o hàm riêng cKp m t

c a chúng trong m t miNn ñơn biên D, thì ñiNu kiTn Ut có và ñ ñ tích phân ñư ng

sD m= r'ng c:a ñInh lý Green

Đ"nh lý: N>u các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) và các ñ o hàm riêng cKp m t c a chúng liên tMc trên m6t S thì ta có công th c:

y

Px

Qdxdzx

Rz

Pdydzz

Q

y

R

(1.24)

trong ñó L là biên c a m6t S, chiNu lKy tích phân trên L ñư c ch5n sao cho m t ngư i

ñ ng trên S, hư ng c a pháp tuy>n dương ñi t/ chân ñ>n ñ u nhìn thKy chiNu trên L là ngư c chiNu kim ñSng hS

N*u S là m't m8t phTng song song v i m't m8t phTng t a ñ', chTn h%n n*n S song song

v i m8t phTng Oxy, ta có z = hRng s), nên dz = 0 Khi ñó, pt(1.24) tr= thành phương trình (1.22)

1.2.4.3 Đ7nh lý Ostrogradski

ĐInh lý Ostrogradski bi u difn m)i quan h gi\a tích phân b'i ba và tích phân m8t

Đ"nh lý: N>u các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) và các ñ o hàm riêng cKp m t c a chúng liên tMc trên miNn V thì ta có công th c:

∂

∂+

∂

∂

S W

RdxdyQdzdx

Pdydzdz

dxdyz

Ry

Qx

P

trong ñó S là biên c a miNn V, tích phân m6t lKy theo m6t ngoài c a S (Vectơ pháp tuy>n

1.2.5 Divergence

m8t cong hai phía trong trư ng cy, thông lư ng qua m8t cong S ñư c xác ñInh b=i công th+c (1.21), ta vi*t l%i:

=Φ

S

z y

nds VdsV

S

z y

trong ñó, Vn là hình chi*u c:a vectơ V lên hư ng n, Φ là m't s) ñ%i s)

thì Φ ñ8c trưng lưu lư ng c:a lu|ng nư c qua m8t cong S

G i W là mi n gi i h%n b=i m8t cong S, theo ñInh lý Ôxtrôgratxki ta ñư c:

dzdxdyz

Vy

Vx

Vdxdy

VdzdxVdydz

V

W

z y x

S

z y

∂

∂+

∂

∂

=+

∂

∂+

∂

∂

z

Vy

Vx

Công th+c (1.28) ñư c vi*t l%i:

dzdxdyVdivdxdy

VdzdxVdydz

V

W S

z y

là m't s) dương Nói cách khác, thông lư ng ñi vào m8t S ít hơn thông lư ng xuct phát t4 M ñi ra qua m8t S Đi m M lúc ñó ñư c g i là ñi m ngu|n

Y Đi;m rò: N*u divV(M) < 0 thì thông lư ng qua m8t S theo hư ng ñi vào l n hơn ñi ra Trư ng h p này, M là ñi m rò

Đ thcy rõ ý nghĩa c:a divergence, ta kh1o sát m't lu|ng nư c ch1y Ta hình dung có m't m8t cong kín trong lu|ng nư c, kh1o sát lư ng nư c vào và ra xuyên qua m8t kín ñó N*u m8t kín có bao b c m't ñi m ngu|n nư c, thì lư ng nư c ch1y ra nhi u hơn lư ng

lư ng nư c ch1y ra; n*u m8t kín không có ñi m ngu|n và cũng không có l] rò thì lư ng

nư c ñi vào ss bRng lư ng nư c ñi ra khwi m8t kín

g i là trư ng )ng Nói cách khác, trư ng )ng là m't trư ng vectơ không có ñi m ngu|n

và ñi m rò

Đ hi u ý nghĩa c:a khái ni m trư ng )ng, ta xét m't )ng dòng, t+c là ph/n không gian

v i m't lu|ng nư c ch1y thì )ng dòng chính là m't dòng nư c (chTng h%n, dòng nư c t4

)ng dòng là S0 G i S là m8t cong kín t%o b=i S0, S1 và S2 (Hình1.5)

0dxdydzVdivds

VdsVdsVdsVdxdy)Vdzdx Vdydz

(V

W S

n S

n S

n S

n S

z y

x

2 1

0

=

=+

+

=

=+

+

=

Trên m8t S0 m i pháp tuy*n ñ u vuông góc v i ti*p tuy*n c:a m8t, và cũng vuông góc

0dsV

nds V dsV

V5y, trong m't )ng dòng, thông lư ng tính theo chi u c:a ñư ng dòng (chi u c:a vectơ ti*p tuy*n v i ñư ng dòng) qua m i ti*t di n c:a )ng ñ u không ñii n*u trư ng vectơ ñã cho là trư ng )ng Thông lư ng vào = ñ/u này c:a )ng luôn luôn bRng v i thông lư ng

ra = ñ/u kia Trong )ng không có sD tăng thông lư ng (không có ñi m ngu|n) và cũng

1.2.7 Lưu sJ (Circulation) và vectơ xoáy (Curl)

L%i xét m't trư ng vectơ xác ñInh b=i hàm vectơ:

V = Vxi + Vyj + Vzk = Pi + Qj + Rk

và L là m't ñư ng cong kín trong trư ng

L

dl.V

RdzQdyPdxC

L

++

Qdxdzx

Rz

Pdydzz

Qy

RRdz

Qdy

Pdx

S L

y

Px

Qx

Rz

Pz

Qy

∫∫

∫∫

S S

n L

ds.Rods

RoRdz

Qdy

ky

Px

Qjx

Rz

Piz

Qy

RV

là ñi m không xoáy

L

RdzQdy

nư c bình thư ng, công ting c'ng sinh ra khi ñi d c theo m't ñư ng cong kín bRng 0, vì

công sinh ra khi ñi “thu5n chi u” lu|ng nư c bRng v i công c1n khi ñi d c theo ph/n

“ngư c chi u” lu|ng nư c (hình 1.6)

N*u trong lu|ng nư c có m't xoáy nư c t%i ñi m M và L là m't ñư ng cong kín khá bé bao quanh M, thì ta thcy ngay, công ñó không tri t tiêu: n*u ñi theo L thu5n chi u xoáy thì sinh ra m't công dương, còn n*u ñi ngư c chi u xoáy thì sinh ra m't công âm

jx

i

∂

∂+

∂

∂+

chW là các ký hi u bi u difn phép tính ñ%o hàm riêng, th5t ra

máy móc các qui t€c tính toán như ñ)i v i m't vectơ thông thư ng

1.3.2 Bi;u dicn grad u, div Vvà rot V beng toán ta ∇

Gradient:

uk

uj

uiu

1.3 TOÁN Th HAMILTON VÀ TOÁN Th LAPLACE

Divergence:

z

Vky

Vjx

ViV

∂

∂+

∂

∂+

Vkx

Vz

Vjz

Vy

ViV

Ta có: ∇.V =0 ⇔⇔⇔ V là trư ng )ng

0V

2 2

zyx

∂

∂+

∂

∂+

z

uy

ux

uu

∂

∂+

∂

∂+

uy

ux

uu

2 2 2 2 2

2

=

∂

∂+

∂

∂+

Trư ng ñiTn t/ b c x là sa th+ng nhKt hai hình thái v`n ñ ng sóng và h t photon c a

tính trong chân không

T4 ñInh nghĩa trên, ta tri n khai thêm m't s) ý như sau:

B Trư ng ñi n t4 là m't thac th v`t lý và thu'c tính cơ b1n c:a m't thDc th v5t lý là t|n t%i và v5n ñ'ng khách quan, trư c h*t là theo ý nghĩa ñ'ng lDc h c

V div V

∇

V rot V

∇

1.4 TRƯ NG ĐInN To

B Đ thcy rõ cơ ch* tương tác c:a m't thDc th v5t lý cơ b1n, ta ph1i xét nó qua sD tương tác v i các thDc th khác V5y, vi c nghiên c+u v trư ng ñi n t4 luôn g€n li*n v i các thDc th khác tham gia tương tác v i nó Trư ng ñi n t4 và thDc th tương tác v i nó t%o thành m't hT th+ng v`t lý Ta có hai mô hình h th)ng v5t lý: hT th+ng trư ng lưHng tT U h't mang ñi n và hT th+ng trư ng liên tVc – môi trư ng chXt

B HT th+ng trư ng lư ng ti j h t mang ñiTn: là m't trong các mô hình cơ b1n v h tương tác gi\a trư ng ñi n t4 và các d%ng v5t chct khác H t cơ bkn là m't thDc th hoàn chWnh không chia nhw ñư c, t+c ta không bi*t ccu trúc n'i t%i c:a h%t Do ñó, theo mô hình này,trư ng ñi n t4 ph1i trao ñii nh\ng lư ng ti năng lư ng, ñ'ng lư ng,… nhct ñInh V i mô hình tương tác trư ng – h%t, trư ng và h%t có nh\ng ñi m gi)ng nhau (ví d7: sD tương tác , các thông s),… ñư c lư ng te hóa), tuy nhiên cũng có nh\ng ñi m khác nhau: h%t rct t5p trung = m't ñi m trong không gian còn trư ng thì phân b) r1i ra và

có th tách ra nh\ng lư ng te trư ng; h%t chuy n ñ'ng v i nh\ng v5n t)c khác nhau, thư ng nhw hơn c, nhưng trư ng và các lư ng te trư ng luôn luôn chuy n ñ'ng v i v5n t)c c trong chân không v i m i h qui chi*u

j HT th+ng trư ng liên tMc – m i trư ng chKt liên tMc: là h tương tác thư ng ñư c xét trong thDc t* Môi trư ng chct là m't t5p h%t liên k*t theo m't qui lu5t nhct ñInh (như ccu trúc nguyên te, phân te, tinh th ,…) Trong ccu trúc chct thDc t*, các h%t thư ng cách nhau nh\ng kho1ng chân không rct l n so v i kích thư c h%t, nhưng l%i vô cùng nhw so

v i kích thư c thông thư ng trong k- thu5t Do ccu trúc c:a chct thDc t* rct gián ño%n, theo ñó, trư ng cũng phân b) không ñ u, t5p trung m%nh = lân c5n các h%t và y*u d/n = vùng gi\a các h%t Nhưng trong thDc t* các thi*t bI k- thu5t ñi nBñi n te và các d7ng c7

ño ñ u ho%t ñ'ng theo nh\ng giá trI trung bình c:a trư ng và môi trư ng trong nh\ng vùng ñ: l n so v i kích thư c c:a h%t Vì v5y, trong giáo trình này, ta kh1o sát trư ng

ñi n t4 theo theo quan niTm liên tMc hóa môi trư ng và trư ng ñiTn t/ trong không gian

và th i gian Ta ss “dàn ñ u” các h%t chct ra mi n lân c5n thành m't mô hình chct liên t7c hóa và trung bình hóa ñIa phương Mô hình phân b) này ñư c g i là môi trư ng chKt Theo ñó trư ng ñi n t4 cũng ñư c quan ni m liên t7c hóa theo nghĩa trung bình ñIa phương Tương tác c:a h cũng ñư c liên t7c hóa, không gian và th i gian cũng ñư c liên t7c hóa theo T4 ñó, ta có th mô t1 tương tác c:a h dư i d%ng nh\ng phương trình ñ%o hàm riêng c:a nh\ng bi*n liên t7c

j Cũng c n nói thêm r(ng, tính liên tMc c a trư ng ñiTn t/ th hiTn < cKu trúc sóng và tính gián ño n c a nó th hiTn < cKu trúc lư ng ti (h t) Nh3ng tương tác cac nhanh ho6c < nh3ng dki t n cac cao, ngoài dki t n vô tuy>n ñiTn, như < dki t n ánh sáng, thac nghiTm và lý thuy>t cho cho thKy rõ nét sa ñSng nhKt gi3a hai hình thái v`n ñ ng sóng và

h t photon c a trư ng ñiTn t/ b c x M i lư ng ti b c x (photon) c a trư ng mang

m t năng lư ng ñư c tính theo công th c Einstein:

T4 d1i t/n vô tuy*n ñi n tr= xu)ng, hi n tư ng lư ng te hoàn toàn không rõ nét và trư ng ñi n t4 th hi n tính chct sóng là chính Đây cũng là lý do mà ta chW kh1o sát mô hình liên t7c c:a trư ng ñi n t4

1.4.2 Hai m2t ñimn và tR c<a trư=ng ñimn tR :

Phân tích tương tác c:a trư ng ñi n t4 lên môi trư ng chct trong m't h qui chi*u quán tính ta thcy trư ng ñi n t4 có hai m6t (hay hai lu5t) tương tác v i các h t ho6c v`t nhq mang ñiTn tuỳ theo cách chuy n ñ'ng c:a v5t trong h :

Đó là các lDc Lorentz c:a trư ng ñi n t4 tác d7ng lên v5t mang ñi n Ta nói trư ng ñi n t4 có hai m8t th hi n và g i hai m8t th hi n cy l/n lư t là trư ng ñiTn và trư ng t/

Ta cũng bi*t rRng, trư ng ñi n t4 ñư c sinh ra b=i các h%t hay v5t mang ñi n tích, trong

ñó, trư ng t4 chW xuct hi n khi các h%t ho8c v5t mang ñi n chuy n ñ'ng Như v5y, dòng

ñi n là dòng chuy n d i có hư ng c:a các h%t mang ñi n nên cũng t%o ra trư ng t4

C/n chú ý rRng, trư ng ñi n và trư ng t4 cùng các lDc Lorentz và năng lư ng c:a chúng

là nh\ng khái ni m tương ñ)i B=i vì sD chuy n ñ'ng c:a các v5t mang ñi n là tương ñ)i, ph7 thu'c vào h qui chi*u mà ta xét Trư ng ñi n t4 v}n t|n t%i ñ'c l5p v i h qui chi*u, nhưng tác d7ng ñ'ng lDc h c c:a nó ss khác nhau trong các h qui chi*u khác nhau Hơn n\a, trư ng ñi n và trư ng t4 có th chuy n hóa l}n nhau, trư ng ñi n t4 là m't thDc th th)ng nhct, toàn vŽn, ta chW có th kh1o sát t4ng m8t tác d7ng ñi n ho8c t4 ch+ không th tách riêng ñi n trư ng và t4 trư ng thành hai thDc th khác nhau

1.4.3 Các ñ8i lưUng cơ bpn ñ2c trưng cho trư=ng ñimn tR

Ta có th chia ra làm hai lo%i thông s):

B Thông s+ bi>n tr ng thái: là các ñ%i lư ng bi u difn tr%ng thái và quá trình ñ'ng lDc h c c:a h (ví d7: năng lư ng, ñ'ng lư ng,…) ho8c bi u difn năng lDc tương tác c:a các thành viên c:a h (ví d7: ñi n tích, vectơ cư ng ñ' ñi n trư ng, vectơ c1m +ng t4,…)

j Thông s+ hành vi: là các ñ%i lư ng bi u difn tính qui lu5t các ho%t ñ'ng, hành vi c:a m't thDc th trong quá trình tương tác v i các thDc th khác (ví d7: h s) phân cDc, các toán te,…)

B Cùng m't ñi u ki n v trư ng, v vI trí và chuy n ñ'ng, các v5t mang ñi n có

th chIu tác d7ng lDc Lorentz theo hai chi u ngư c nhau V5y ta phân bi t hai lo%i h%t hay v5t mang ñi n có ñi n tích trái dcu nhau: ñi n tích âm và ñi n tích dương

Như v5y, ñiTn tích có giá tr" là m t s+ thac Trong h th)ng SI, ñơn vI c:a ñi n tích là Coulomb (C), ñi n tích c:a m't electron là e = B1,6.10B19C

ñi n, ño m't thu'c tính ch+ không ph1i là m't chct gì t%o nên ho8c mang trong v5t

Đimn tích ñi;m: M t v`t tích ñiTn có kích thư c rKt nhq so v i vùng không gian khko sát

M't ñi n tích ñi m dùng ñ xác ñInh sD t|n t%i và ño kh1 năng tác d7ng lDc c:a trư ng

ñi n t4 g i là ñiTn tích thi

Xét m't ñi n tích the $q ñ+ng yên t%i m't ñi m M trong m't h qui chi*u quán tính, n*u v5t mang ñi n chIu tác d7ng m't ñi n lDc $F thì ta nói lân c5n ñi m M có t|n t%i m't trư ng ñi n t4

tính b(ng lac ñiTn t/ tác dMng lên m t ñơn v" ñiTn tích dương ñ ng yên t i ñi m Ky

trư ng ñi n t4 Ta có:

V i quan ñi m liên t7c hóa, và dùng các lư ng trung bình ñIa phương v ñi n tích, lDc,

cư ng ñ' ñi n trư ng, ta có th thay các s) gia trong các bi u th+c trên bRng nh\ng vi phân:

E.dqFdq

chIu tác d7ng m't lDc Lorentz v t4 (mà ta có th phân bi t v i lDc Lorentz v ñi n), ta b1o rRng lân c5n v5t ñó t|n t%i m't trư ng t4 (hi u là m't th hi n c:a trư ng ñi n t4) M't v5t mang ñi n chuy n ñ'ng cũng tương ñương v i m't dòng ñi n ch%y trong m't dây d}n V5y, m't ño%n dây d}n có dòng ñi n ch%y qua ñ8t = vI trí ñang xét cũng chIu tác d7ng m't Lorentz v t4

M't kim nam châm ñư c ñ8t trong vùng ñó cũng chIu tác d7ng lDc t4, ta bi*t nam châm

có nh\ng dòng ñi n phân te ho8c spin

ThDc nghi m cho thcy, lDc t4 dFB có phương vuông góc v i v và vuông góc v i m't

ñi n và kim nam châm, mà là chi u ñ8c trưng riêng c:a trư ng ñi n t4 v m8t tác d7ng lDc Lorentz t4

Trên cơ s= kh1o sát quan h tW l gi\a lDc t4 và v5n t)c, ngư i ta ñã thành l5p ñư c bi u th+c:

Trong ñó, dcu “x” là tích h\u hư ng c:a hai vectơ B là h s) tW l ph7 thu'c vào trư ng

Xét m't dây d}n có ti*t di n vô cùng nhw so v i chi u dài c:a nó có dòng ñi n ch%y qua,

ta g i là dòng ñi n dài hay dòng ñi n dây tóc

là chi u dòng ñi n, sao cho dl có th coi như ño%n thTng

Trong ñó I là cư ng ñ' dòng ñi n

th i gian dt lư ng ñi n tích t1i qua ti*t di n dây d}n là dq, cư ng ñ' dòng ñi n trên dây d}n là i = dq/dt

dt

dql

Ta có lDc t4 tác d7ng lên m't ph/n te dòng ñi n là:

Bx.dqBxlidF

r r 4

q E

πε

=

2 2 2

a) Xét v m8t th* năng thì trư ng ñi n là m't trư ng vô hư ng Hãy vi*t phương trình c:a m8t ñTng th* (tương +ng v i m't giá trI c nào ñó) và ch+ng minh trư ng ñi n là m't trư ng th*

I ld

ñ8t ñi n tích q là ñi m ngu|n (gi1 se q>0)

f) Ch+ng minh trư ng ñi n th* là m't trư ng ñi u hòa

1.2 Tính divergence và curl c:a trư ng v5n t)c phTng t%i m]i ñi m c:a m't v5t quay tròn

v i v5n t)c góc ω xung quanh tr7c Oz, theo hư ng ngư c chi u kim ñ|ng h|

x2 + y2 = R2, chi u cao c:a hình tr7 này là h

và φ là vectơ ñơn vI c:a t a ñ' r và φ, t%i ñi m P(2,π/4,0)

1.5 Trong h t a ñ' trDc chu•n, dòng nư c ch1y theo phương Ox v i v5n t)c là v=3yz lít/phút.m2 Tính lưu lư ng nư c ch1y qua m't di n tích hình ch\ nh5t v i 4 góc là (0,0,0), (0,3,0), (0,0,2) và (0,3,2), ñơn vI tính trên các tr7c là m

TRƯ NG ĐI N T TĨNH TRONG CHÂN KHÔNG

M c tiêu:

Chương này nh m hình thành các khái ni m, các nguyên lý, ñ nh lu t cơ b n v trư"ng

ñi n t#; gi%i thi u các phương pháp và rèn luy n k( năng gi i các bài toán v trư"ng

ñi n t#

Ki n thưc n"n:

, Toàn b ki/n th0c và phương pháp ñã h2c chương trư%c;

, Ki/n th0c và k( năng toán h2c như ñã yêu c4u 5 ph4n m5 ñ4u

Trư"ng ñi n t# d#ng là trư"ng mà các ñ7i lư8ng ñ9c trưng cho nó không ph< thu.c th"i gian và có dòng ñi n không ñ?i t@n t7i trong không gian cAa trư"ng Như ta bi/t, trư"ng t# ñư8c sinh ra do các h7t mang ñi n chuyDn ñ.ng hay dòng ñi n Vì v y, khái

ni m trư"ng ñi n t# tĩnh là không ch9t chG, không hoàn toàn chính xác Tuy nhiên, n/u xét riêng t#ng m9t tác d<ng ñi n ho9c t# Ta có thD ñ nh nghĩa các khái ni m trư"ng

ñi n tĩnh và trư"ng t# tĩnh

2.1.1 Đ&nh nghĩa trư(ng ñi*n tĩnh

Trư ng ñi n tĩnh là m t th hi n c a trư ng ñi n t g n v i môi trư ng mang ñi n tích phân b tĩnh trong m t h qui chi#u quán tính Đó là tr7ng thái mà hai m9t ñi n và t# có thD t@n t7i hoàn toàn riêng lL Nó thD hi n nhMng hi n tư8ng ñơn ñ.c v ñi n mà không kèm theo nhMng thD hi n v t#

2.1.2 Đ&nh lu,t Coulomb

Khi m.t v t tích ñi n sG sinh ra xung quanh nó m.t trư"ng ñi n (ta xét riêng v m9t trư"ng ñi n cAa trư"ng ñi n t#) ĐR ñơn gi n, ta xét m.t ñi n tích ñiDm q1 ñ0ng yên t7i m.t ñiDm M1 trong m.t h qui chi/u quán tính Trư"ng ñi n do nó sinh ra là m.t trư"ng ñi n tUnh Trong cùng h qui chi/u ñó, t7i ñiDm M2 ta ñ9t m.t ñi n tích ñiDm

q2 Như v y trư"ng ñi n do q1 sinh ra t7i ñiDm M2 , có vectơ cư"ng ñ trư"ng ñi n là

1

E , sG tác d<ng lên q2 m.t lXc là F12 Ngư8c l7i, trư"ng ñi n do q2 sinh ra t7i ñiDm

M1, có vectơ cư"ng ñ trư"ng ñi n là E 2, sG tác d<ng lên q1 m.t lXc là F21 (hình2.1) Đ&nh lu,t Coulomb:

Đi n l,c do ñi n tích ñi m q1 tác d.ng lên ñi n tích q2 ñ0t cách q1 m t kho2ng R là:

0 2 0

2 1

12 r

R 4

q q F πε

\ ñây, r0 là vectơ ñơn v hư%ng t# q1 ñ/n q2; εεεε0 = 8,854.10,12

F/m là h1ng s3 ñi*n môi tuy*t ñ3i c6a chân không (permittivity of free space)

CHƯƠNG 2

2.1 TRƯ NG ĐI N TĨNH

Khi q1 và q2 có ñơn v là Coulomb (C), R có ñơn v là m, thì F12có ñơn v là Newton (N)

Tương tX, F21lXc do q2 tác d<ng lên q1 ngư8c chi u và có ñ l%n b ng v%i lXc do q1

q q

0

1 r R 4

q

q

3 0

= πε

N 1 k

N 1 k k k

3 k 0

k

E R

R 4

2.1.3 Các hình thBc phân b3 ñi*n tích

Pt(2.6) mô t trư"ng ñi n sinh ra b5i m.t t p các ñi n tích ñiDm r"i r7c Chúng ta sG m5 r.ng công th0c này cho trư"ng h8p trư"ng ñi n sinh ra b5i m.t môi trư"ng chht có

ñi n tích phân bm m.t cách liên t<c

1 Trư ng ñi n c$a m&t v(t th) có phân b- ñi n tích kh-i

Xét m.t môi trư"ng chht là m.t v t có thD tích V trong h qui chi/u quán tính (Hình2.3) G2i r là vectơ t2a ñ cAa m.t ñiDm N bht kỳ n m trong v t thD, r M là vectơ t2a ñ cAa ñiDm M mà ta sG tính cư"ng ñ ñi n trư"ng

a M(t ñ& ñi n tích kh-i:

Ta tư5ng tư8ng m.t khmi c4u nhq bao quanh ñiDm N trong v t thD có thD tích là V và mang ñi n tích là q M6t ñ ñi n tích kh i trung bình ñư8c ñ nh nghĩa b5i biDu th0c:

q r

V

V = =

→ 0

lim ) (

Trong trư"ng h8p này V bi/n thành ñiDm có t2a ñ r

b Trư ng ñi n sinh ra b0i m&t v(t th) có phân b- ñi n tích kh-i

Xét m.t thD tích vi chp dV có t2a ñ.r n m trong m.t v t thD có m t ñ ñi n tích khmi

ρV, ñi n tích tương 0ng là: dq = ρV dV, Vectơ cư"ng ñ ñi n trư"ng do ñi n tích dq sinh ra t7i ñiDm M có t2a ñ là r M :

R R

dV r R

R

dq r

E

3 0 3

0 4

) ( 4

) (

r r

Có nhi u trư"ng h8p mà ñi n tích chU phân bm m9t ngoài cAa m.t v t thD Xét 1 ñiDm

N bht kỳ có t2a ñ là r trên m9t v t thD Tư5ng tư8ng m.t di n tích S bao quanh

ñiDm này có ñi n tích tương 0ng là q (Hình 2.4) M t ñ ñi n tích m9t t7i ñiDm có t2a ñ r là:

dS

dq S

q r

S

S = =

→0

lim ) (

Hình 2.4

b Trư ng ñi n c$a m&t v(t th) có phân b- ñi n tích m1t

Trư"ng ñi n do ñi n tích dq ch0a trong di n tích vi chp ds sinh ra t7i ñiDm M có t2a

ñ r M là:

R R

dS r R

R

dq r

E

0 3

0 4

) ( 4

) (

r r

3 Trư ng ñi n c$a m&t v(t th) có phân b- ñi n tích ñư ng

a M(t ñ& ñi n tích ñư ng

Khi ñi n tích chU phân bmtrên m.t ñư"ng dây, sX phân bm ñi n tích ñư8c mô t b5i m t

ñ ñi n tích ñư"ng Xét 1 ñiDm N bht kỳ có t2a ñ là r trên ñư"ng dây l Tư5ng tư8ng m.t ño7n dây nhq có chi u dài l xung quanh ñiDm này có ñi n tích tương 0ng

là q (Hình 2.5.a) M t ñ ñi n tích ñư"ng t7i ñiDm có t2a ñ r là:

dl

dq l

q r

S

l = =

→0

lim ) (

Hình 2.5.a

b Trư ng ñi n c$a m&t v(t th) có phân b- ñi n tích ñư ng

Trư"ng ñi n do ñi n tích dq ch0a trong chi u dài vi chp dl sinh ra t7i ñiDm M có t2a ñ

M

r là:

R R

dl r R

R

dq r

E

0 3

0 4

) ( 4

) (

r r

M9c dù các cách phân bm ñi n tích khác nhau sinh ra các trư"ng ñi n khác nhau, nhưng trư"ng ñi n tĩnh có các tính chht chung như sau:

2.1.4.1 Lưu s- c$a trư ng ñi n tĩnh

Theo ñ nh lý Stokes và pt(1.36) , lưu sm cAa vectơ cư"ng ñ ñi n trư"ng E d2c theo m.t ñư"ng cong kín L trong di n trư"ng là:

ds r E x dl

r E

S L

)].

( [ ).

v%i S là di n tích gi%i h7n b5i ñư"ng cong kín L

Trư%c tiên, ta xét trư"ng ñi n E sinh ra b5i m.t ñi n tích ñiDm q Ta có biDu th0c cAa

− +

−

− +

− +

− πε

= πε

=

2 2 0 2

0 2

0

0 0

0 0

3

0 [( x x ) ( y y ) ( z z ) ]

k ) z z ( j ) y y ( i ) x x ( 4

q R R 4

q )

(

Vì trư"ng ñi n sinh ra do m.t h ñi n tích ñiDm là ch@ng chht cAa các trư"ng ñi n sinh

ra b5i t#ng ñi n tích ñiDm riêng lL và tích phân cAa m.t t?ng b ng t?ng tích phân cAa t#ng sm h7ng, nên ta có thD m5 r.ng pt(2.18) và pt(2.19) cho trư"ng h8p trư"ng ñi n sinh ra b5i m.t t p h8p nhi u ñi n tích ñiDm ho9c m.t v t có phân bm ñi n tích liên t<c

K t lu,n: Lưu s c a vectơ cư ng ñ ñi n trư ng dDc theo m t ñư ng cong kín luôn bEng 0, pt(2.18) và pt(2.19) nghi m ñúng cho mDi trư ng hKp V6y, ñi n trư ng là m t trư ng không xoáy

q ñư8c ñ9t t7i ñiDm M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) và E ñư8c tính t7i ñiDm M(x,y,z) Thay E vào tích hMu hư%ng ∇ x E ta ñư8c:

E x

và k/t qu là:

ds r E x dl

r E

S L

)].

( [ ).

Pt(2.19.a) và (2.19.b) l4n lư8t là ñ nh lu t Ampere lưu sm cho trư"ng ñi n d7ng tích phân và d7ng ñiDm

x S

dV E dxdydz E dxdy

E dzdx E dydz E ds E

\ ñây, V là thD tích gi%i h7n b5i m9t kín S

− +

−

− +

− +

− πε

∇

=

∇

2 2 0 2

0 2

0

0 0

0

0 [( x x ) ( y y ) ( z z ) ]

k ) z z ( j ) y y ( i ) x x ( 4

q )

(

E

.

2 2 0 2

0 2

0

0 0

2 2 0 2

0 2

0

0 0

2 2 0 2

0 2

0

0 0

] ) ( ) ( ) [(

) ( 4

] ) ( ) ( ) [(

) ( 4

] ) ( ) ( ) [(

) ( 4

z z y

y x

x

z z z

q

z z y

y x

x

y y y

q

z z y

y x

x

x x x

q

− +

− +

−

−

∂

∂ +

− +

− +

−

−

∂

∂ +

− +

− +

Tính các ñ7o hàm riêng ph4n và rút g2n, ta ñư8c:

E

V S

Trong ñó, V là thD tích ñư8c gi%i h7n b5i m9t kín S

Do tính chht cAa tích phân (tích phân cAa m.t t?ng b ng t?ng tích phân cAa t#ng sm h7ng) và nguyên lý ch@ng chht ñi n trư"ng, ta có thD m5 r.ng Pt(1.29) cho trư"ng h8p

R

trư"ng ñi n sinh ra b5i m.t t p các ñi n tích ñiDm hay m.t phân bm ñi n tích liên t<c

n m ngoài m9t kín S

K t lu,n: Thông lưKng c a vectơ cư ng ñ trư ng ñi n gNi qua m t m0t kín S:

0 0

Trư%c tiên, ta cũng xét trư"ng h8p trư"ng ñi n do m.t ñi n tích ñiDm sinh ra (hình2.7)

Ta tư5ng tư8ng m.t m9t c4u rht nhq S1, có bán kính là r1, bao quanh q và n m g2n trong m9t kín S G2i V01 là thD tích cAa mi n giMa 2 m9t S và S1 Chi u cAa các pháp tuy/n dương ñư8c ch2n hư%ng ra ngoài mi n V01 như hình vG (n trên S và n1 trên

S1) Vì q n m ngoài mi n V01, nên áp d<ng pt(2.21), ta ñư8c:

.

0

S S

V

ds E ds E dv E

Suy ra:

0

2 1 2 1 0 1

3 1 1 0

) 4 )(

1 ( 4 4

.

1

q r r

q ds n r

r q ds E ds E

s S

TKng quát: Ta xét trư ng ñi n E sinh ra do m t phân b ñi n tích bPt kỳ, có nhSng phTn ñi n tích nEm trong và nEm ngoài m0t kín S, gDi Q là tVng ñi n tích nEm trong m0t kín S, ta có:

0 S

Q ds E

ĐLNH LUOT GAUSS DSNG ĐITM:

Xét m.t trư"ng ñi n E (r ) ñư8c sinh ra b5i m.t phân bm ñi n tích bht kỳ M.t cách t?ng quát ta biDu diRn m.t phân bm ñi n tích b ng m t ñ ñi n tích khmi ρv Xét m.t thD tích V0 ñư8c bao b2c b5i m9t kín S0 Đi n tích ch0a b5i trong m9t kín S0 là:

Áp d<ng pt(2.24) trên m9t S0 , ta ñư8c: ∫ ∫ρ

ε

= ε

=

0

0 0

dv ) ( 1 Q s d ) ( E

S V 0

dv ) ( E s

d ) ( E

( E

ε

ρ

=

∇ (2.25)

Pt(2.25) là dYng ñi m c a ñZnh lu6t Gauss ñư8c dùng ñD tính vector cư"ng ñ

ñi n trư"ng E tương 0ng v%i m.t phân bm ñi n tích xác ñ nh

2.1.5 ĐI N THU (Potential)

2.1.5.1 Khái ni*m v" ñi*n th

Theo tính chht cAa trư"ng ñi n tĩnh (2.1.4), ∇xE d2c theo m.t ñư"ng cong kín luôn luôn b ng không Do ñó, trư"ng ñi n là m.t trư"ng th/ ĐD thhy ñư8c ý nghĩa cAa trư"ng th/ ta sG tính công cAa vector cư"ng ñ ñi n trư"ng khi di chuyDn m.t ñơn vi

ñi n tích dư"ng ñi t# ñiDm A ñ/n B trong trư"ng ñi n (Hình 2.8)

Gi s• ñi t# A ñ/n B theo ñư"ng A1B và ñi t# B ñ/n A theo ñư"ng B2A bht kỳ, như v y ta ñư8c m.t ñư"ng cong kín

Theo phương trình (2.19) ta ñư8c : ∫ = ∫ + ∫ = ∫ =

L A B B A S

dS E rot l

d E l

d E l

d E

1 2 ( )

0

Suy ra: ∫ = − ∫ = ∫

B 1

A B 2 A A 2 B

l d E l d E l

d

Vì A1B và A2B là các ñư"ng cong bht kỳ, nên công cAa E (ñi n lXc tác d<ng lên m.t ñơn v ñi n tích dương) khi ñi t# A ñ/n B không ph< thu.c và d7ng ñư"ng cong mà chU ph< thu.c vào ñiDm ñ4u và ñiDm cumi

Ta cũng nh% l7i , tích phân ñư"ng cAa grad cAa m.t trư"ng vô hư%ng u cũng có tính chht này Phương trình (1.14) ñư8c vi/t l7i :

∫ = −

B A

A

B [ u r )]

)]

r u [ l d ) ( u grad (2.27)

Trong ñó [ u ( r )]B và [ u ( r )]A l4n lư8t là giá tr cAa trư"ng tương 0ng v%i các m9t ñ€ng tr qua các ñiDm B và A

Như v y, t7i m•i ñiDm M (r ) cAa trư"ng vectơ E (r ) ta cũng có m.t trư"ng vô hư%ng

)

(r

u sao cho:

) ( E ) ( u

Giá tr u ( ) ñư8c g2i là ñi n th/ t7i ñiDm M ( )

2.1.5.2 Đi*n th t[i m\t ñi]m trong ñi*n trư(ng:

Trư%c tiên ta xét trư"ng h8p ñi n trư"ng sinh ra do m.t ñi n tích ñiDm q ñ9t t7i v trí

có to7 ñ r0 trong m.t h qui chi/u vuông góc, ta sé g2i ñiDm này là ñi)m ngu;n Ta

sG thi/t l p biDu th0c tính ñi n th/ u(r) t7i m.t ñiDm có to7 ñ là r, ta sé g2i là ñi)m trư ng (Hình 2.9) Kho ng cách t# ñiDm trư"ng ñ/n ñiDm ngu@n là : R= r−r0 G2i R0 là vectơ ñơn v hư%ng t# ñiDm ngu@n ñ/n ñiDm trư"ng

M•i ñiDm trư"ng tương 0ng v%i m.t ñ7i lư8ng vô hư%ng R Vì v y ta cũng có thD xem kho ng cách t# ñiDm ngu@n ñ/n các ñiDm trư"ng là m.t trư"ng vô hư%ng và m9t ñ€ng

tr cAa nó là các m9t c4u có tâm là ñiDm r0 và bán kính là R

Ta có ,∇.R là m.t vectơ luôn vuông góc v%i m9t ñ€ng tr nên cùng phương v%i R0

ĐD tính ∇ R , ta xét m.t ñiDm trư"ng M (r ) n m trên m9t c4u ñ€ng tr có tâm là

|

|

Hình 2.10 minh h2a cách tính |∇.R| v%i giá thi/t r ng M0 và M n m trên m9t ph{ng Oyz, khi ñó các vòng tròn là các m9t c{t qua tâm cAa các m9t c4u ñ{ng tr

K/t qu ∇.R là m.t vectơ ñơn v vuông góc v%i m9t ñ€ng tr

Trong m.t trư"ng tĩnh do m.t ñi n tích ñiDm sinh ra, ñiDm ngu@n là cm ñ nh, hàm biDu diRn trư"ng vô hư%ng u (r ) chU ph< thu.c vào kho ng cách R (T# ñiDm ngu@n ñ/n ñiDm trư"ng ) Ta có thD vi/t:

) R ( u ) (

R

) R ( u R ).

R ( u R ) R ( ) ( u

0

RR4

qR

R4

qr

E

πε

=πε

=

ĐD ý r ng: [ ] [ ] [ ]1 2 0

0 1

1 2 R = − ∇

Th/ vào biDu th0c tính ñi n trư"ng:

q R

q r

E

0 4 1

So sánh pt(2.33) v%i (2.28) ta thhy có khác nhau 5 dhu “,“ ĐD hai phương trình này gimng nhau thì trong ñ nh nghĩa ñi n th/ u 5 pt(2.32) ta ph i thêm vào dhu “,“ Tuy nhiên ñây chU là qui ư%c, ta v‡n ñ nh nghĩa ñi n th/ u như 5 pt(2.32) ñD phù h8p v%i các tính toán sau này

Trong trư"ng h8p ñi n th/ sinh ra do m.t t p h8p N ñi n tích ñiDm M5 r.ng công th0c (2.32) ta ñư8c:

Q r

Trong ñó RK là khoáng cách t# ñi n tích ñiDm th0 K ñ/n ñiDm trư"ng mà ta xét

Trư"ng h8p ñi n th/ sinh ra b5i m.t phân bm ñi n tích liên t<c goi dQ là trên m.t phân

bm vi chp (thD tích dv, di n tích ds, ñ dài dl) ñư8c coi như m.t ñi n tích ñiDm, áp d<ng pt(2.34) v%i t?ng ñư8c thay b ng tích phân trên mi n có phân bm ñi n tích, ta ñư8c:

( ) = ∫

R

dQ r

∫ = −∫∇

B A

B A

l d r u l

d r E

Ta ñã bi/t tính chht cAa gradient cAa m.t trư"ng vô hư%ng (phương trình (1.14), ñó là:

B A

B u u l d r u

Vì ñư"ng cong ta ch2n là bht kỳ, và t# pt(2.36), ta nh n thhy lưu sm cAa vectơ cư"ng

ñ ñi n trư"ng (công cAa ñi n lXc tác d<ng lên m.t ñơn v ñi n tích dương) khi ñi t# A ñ/n B không ph< thu.c vào ñư"ng cong mà chU ph< thu.c vào ñiDn ñ4u và ñiDm cumi, ñây là m.t tính chht cAa trư"ng th/

Xem l7i các pt(2.32), (2.34), (2.35) ta thhy ñi n th/ u( )r tU l ngh ch v%i kho ng cách t# ñiDm trư"ng ñ/n ñiDm ngu@n N/u ta cho B ti/n ñ/n vô cXc, RB → ∞ và uB → 0

Đi u này hàm ý r ng, ñi n th< t=i m&t ñi)m trư ng chính là hi u ñi n th< giDa ñi)m

ñó vEi m&t ñi)m ñư8c chCn làm g-c 0 vô cFc (lý do t7i sao ta không thêm vào dhu tr# trong công th0c ñ nh nghĩa ñi n th/), cũng chính là công d ch chuyDn m.t ñơn v ñi n tích dương t# ñiDm ñó ra xa vô cXc (lXc tác d<ng cùng chi u v%i chi u d ch chuyDn nên công có giá tr dương)

Trong thXc t/, ta có thD ch2n m.t m9t ñ€ng th/ u0 nào ñó và qui ư%c ñây là gmc ñi n th/ , nghĩa là gán cho u0=0 (m9t dù theo ñ nh nghĩa ñi n th/ 5 trên, u0 có thD khác 0)

và ñ nh nghĩa ñi n th/ t7i ñiDm bht kỳ khác b ng hi u ñi n th/ giMa ñiDm ñó và ñiDm bht kỳ trên m9t ñ€ng th/ u0 ( công cAa lXc ñi n khi d ch chuyDn m.t ñơn v ñi n tích dương t# m.t ñiDm nào ñó trên m9t ñ€ng th/ u0 ñ/n ñiDm ñư8c xét) T# pt(2.36) ta có thD tính công cAa ñi n lXc khi d ch chuyDn m.t ñi n tích q t# A ñ/n B trong ñi n trư"ng:

=B

T# ñó ta cũng thhy r ng, n/u A và B cùng n m trên m.t m9t ñ€ng th/ thì công cAa

ñi n lXc khi d ch chuyDn m.t ñi n tích q t# A ñ/n B sG b ng 0

2.1.5.4 Phương trình Poisson và phương trình Laplace cho ñi*n th :

Trong m<c 2.1.5, hàm ñi n th/ u( )r ñư8c tính t# pt(2.32), (2.34) và (2.35) Bây gi", ta trình bày m.t phương pháp khác, phương pháp này giúp ta tìm ñư8c hàm ñi n th/ (và/ho9c cư"ng ñ ñi n trư"ng) trong m.t mi n ñư8c gi%i h7n m.t m9t kín mà các

ñi u ki n ñ4u ñã ñư8c bi/t

1 Phương trình Poisson và phương trình Laplace

Ta vi/t l7i pt(2.25), ñ nh lu t Gauss d7ng ñiDm: ( ) ( )

0

V rr

E

ε

ρ

=

∇

V%i ρV( )r là m t ñ ñi n tích khmi t7i ñiDm ta xét

Thay th/ E( )r = − ∇ u( )r vào ta ñư8c: [ ( ) ] [ ( ) ] ( )

0

.

.

ε

r u r

∇ (2.37) Phương trình (2.37) ñư8c g2i là phương trình Piosson

N/u trong mi n kh o sát, ρV = 0 thì: u( )r = 0 (2.38)

Phương trình (2.38) chính là phương trình Laplace

2 Các tính chIt ñ1c bi t nghi m c$a phương trình Laplace

Nghi m cAa phương trình Laplace có m.t sm ñ9c tính như sau:

(1) N/u u( )r tho phương trình Laplace, thì giá tr u( )r 5 tâm cAa m.t khmi c4u b ng v%i trung bình cAa các giá tr u( )r 5 trên m9t c4u ñó nghĩa là:

p u( )ds

r4

1

u (2.39)

V%i r1 là bán kính cAa m9t c4u S

(2) G2i umin và umax l4n lư8t là các giá tr cXc tiDu và cXc ñ7i cAa u( )r trên m9t S (gi s• u( )r tho phương trình Laplace) thì giá tr cAa u( )r bên trong m9t S sG tho bht phương trình:

umin ≤ u( )r ≤ umax (2.40) (3) Nghi m cAa phương trình Laplace (bên trong m9t S) không thD có các giá tr cXc ñ7i c<c b (Local maxima) hay cXc tiDu c<c b (Local minima)

(Ta sG không ch0ng minh các tính chht này, n/u c4n xem tài li u tham kh o [1], trang 227)

Tính chht th0 ba có thD minh ho7 b ng hình 2.11 Trong ñó m.t hàm hai bi/n f(x,y) xác ñ nh trên m.t vùng nào ñó cAa m9t ph€ng Oxy, giá tr cAa hàm có thD biDu diRn theo tr<c Oz ( ñ9t z=f(x,y)) Trong hình 2.11(a), f(x,y) có m.t giá tr cXc ñ7i c<c b t7i ñiDm (xm,ym) bên trong mi n xác ñ nh Vì v y không thD là nghi m cAa phương trình Laplace (m9c dù nó v‡n có thD là nghi m cAa phương trình Poisson) Trong hình 2.11(b), hàm f(x,y) bi/n thiên ñ u (smooth) và không có cXc tr c<c b., vì v y hàm f(x,y) tho mãn tính chht nghi m cAa phương trình Laplace

Khi gi i các phương trình Poisson (1.46) và phương trình Laplace (1.47) ta ñư8c m.t

t p h8p vô sm nghi m sai khác nhau b5i nhMng hàm cAa các bi/n x,y,z (trong to7 ñ vuông góc) Ch€ng h7n, n/u m.t hàm u nào ñó ñã nghi m ñúng phương trình Poisson, thì khi c.ng thêm vào nó nhMng hàm có ñ7o hàm chp hai tri t tiêu (như k1x, k2y,

k3xy,k4yz,k5xyz, ) nó v‡n nghi m ñúng phương trình Vì v y ph i dXa vào các ñi u

ki n bi/t trư%c ñD có thD xác ñ nh nghi m

a ĐiJu ki n b Dirichlet

Thông thư"ng, mi n kh o sát ñư8c gi%i h7n b5i m.t m9t kín S, n/u hàm ñi n th/ u( )r

v%i các ñiDm trên m9t kín S ñư8c bi/t, ñó là ñi_u ki n b Dirichlet, thì các phương trình Poisson và Laplace có duy nhht m.t nghi m

Th,c v6y, ta xét m.t mi n ñư8c gi%i h7n b5i m9t kín S (hình 1.11) gi s• hàm ñi n th/

( )r

u t7i m•i ñiDm trên m9t S b ng v%i hàm u0( )r ñã bi/t :

S r S

.

0 V 0

V 2

2 1

2 e

Ta thhy, ue( )r là m.t nghi m cAa phương trình Laplace v%i ñi u ki n b" Dirichlet (giá

tr cAa ue( )r t7i m•i ñiDm trên m9t S ñư8c xác ñ nh b ng 0)

Theo ñ9c tính (2) và (3) cAa nghi m phương trình Laplace thì ue( )r không ccó cXc tr c<c b và: 0≤ ue( )r ≤ 0 nên: ue( )r =0 v%i m2i ñiDm bên trong m9t S

Đi u này có nghĩa là u1( )r = u2( )r Nói cách khác, phương trình Poisson có duy nhht m.t nghi m

b ĐiJu ki n b Neumann:

Đi u ki n này là “ĐYo hàm c a hàm ñi n th# u( )r theo hư ng pháp tuy#n dương n

c a m0t S tYi mbi ñi m trên m0t S ñưKc bi#t trư c”

Theo pt(1.11) ta có: ( ) ( )n E( )r n E ( )r

l

r u

(2.42)

( )r

En chính là thành ph4n cAa E trên pháp tuy/n n cAa m9t S V y n.i dung cAa bài toán theo ñi u ki n b" Neumann là tìm sX phân bm ñi n th/ u trong mi n ñXơc gi%i h7n b5i m9t kín S Khi bi/t ñư8c thành ph4n pháp tuy/n cAa vectơ cư"ng ñ ñi n trư"ng

E là En, trên b" S