Cơ sở kỹ thuật siêu cao tần - Chương 4 pot

Điều này chophép đường truyền hay ống dẫn sóng được coi như một phần tử phân bố đặc trưng bởi độ dài,hằng số truyền lan và trở kháng đặc tính của nó.. Tới đây, chúng ta có thể kết nối nh

để giải quyết nhiều bài toán phân tích và thiết kế cao tần được quan tâm trong thực tế.

Lý do chính để làm điều này là ta sẽ dễ dàng hơn khi áp dụng các ý tưởng đơn giản và trựcgiác của phân tích mạch cho một bài toán cao tần so với việc giải các phương trình Maxwellcho cùng bài toán Phân tích trường cho ta nhiều thông tin về bài toán đang được xem xét hơnnhững gì ta thực sự muốn hoặc cần Tức là, do nghiệm của các phương trình Maxwell cho mộtbài toán đã cho là hoàn chỉnh, nó cho ta các trường điện và từ tại mọi điểm trong không gian.Nhưng thường chúng ta chỉ quan tâm đến điện áp hay dòng điện tại các cực, công suất chảy quathiết bị hay một số đại lượng "toàn cục" khác tương phản với mô tả chi tiết về đáp ứng tại mọiđiểm trong không gian Một lý do khác cho việc sử dụng phân tích mạch hay mạng là vì khi đó

sẽ rất dễ sửa đổi bài toán gốc, hoặc kết hợp một số phần tử khác nhau lại và tìm đáp ứng màkhông cần phân tích chi tiết hành vi của mỗi phần tử khi kết hợp với các lân cận của nó Phântích trường sử dụng các phương trình Maxwell cho những bài toán như vậy khó khăn vô ích.Tuy nhiên có những tình huống ở đó các kỹ thuật mạch như vậy được coi là đơn giản quá mức

và dẫn tới những kết quả không chính xác Trong những trường hợp như vậy ta phải sử dụngphương pháp phân tích trường với các phương trình Maxwell Một phần trong chương trình đàotạo các kỹ sư cao tần là tạo khả năng xác định khi nào các khái niệm phân tích mạch có thể ápdụng và khi nào thì chúng cần phải được loại trừ

Trình tự cơ bản cho phân tích mạng cao tần được mô tả như sau: Trước tiên chúng ta xét mộtloạt bài toán kinh điển, cơ bản sử dụng phân tích trường và các phương trình Maxwell (Như ta

đã thực hiện trong Chương cho nhiều loại đường truyền và ống dẫn sóng khác nhau) Khi thựchiện điều này chúng ta cố gắng đạt được các đại lượng có thể có liên hệ trực tiếp tới một tham

111

số đường truyền hay mạch điện Ví dụ, khi ta phân tích các đường truyền và ống dẫn sóng khácnhau chúng ta đã rút ra hằng số truyền lan và trở kháng đặc tính của đường truyền Điều này chophép đường truyền hay ống dẫn sóng được coi như một phần tử phân bố đặc trưng bởi độ dài,hằng số truyền lan và trở kháng đặc tính của nó Tới đây, chúng ta có thể kết nối nhiều phần tửkhác nhau và sử dụng lý thuyết đường truyền và/hoặc lý thuyết mạch để phân tích hành vi củatoàn bộ hệ thống các phần tử, kể cả các hiệu ứng như hệ số phản xạ, tổn hao, chuyển đổi trởkháng, và chuyển tiếp từ một loại môi trường truyền dẫn này sang môi trường khác (chẳng hạn

từ cáp đồng trục sang đường truyền vi dải) Như chúng ta sẽ thấy, chuyển tiếp giữa các đườngtruyền khác nhau hay các điểm gián đoạn trên đường truyền nhìn chung không thể được xem làmột kết nối đơn giản giữa hai đường truyền mà phải được xét bởi một số kiểu mạch điện tươngđương để tính cho cả các điện kháng liên quan tới sự chuyển tiếp hay sự gián đoạn

4.1 Trở kháng và điện áp và dòng điện tương đương

4.1.1 Điện áp và dòng điện tương đương

Tại tần số vi ba (cao tần) việc đo điện áp hay dòng điện rất khó khăn (hoặc không thể thực hiệnđược), trừ phi sẵn có một cặp điện cực đã được xác định rõ ràng Một cặp điện cực như vậy cóthể có mặt trong trường hợp các đường truyền loại TEM (chẳng hạn như cáp đồng trục, đườngtruyền vi dải hay đường truyền dải) nhưng không tồn tại đối với các đường truyền phi TEM(chẳng hạn các ống dẫn sóng hình chữ nhật, hình tròn hay dẫn sóng bề mặt)

Hình cho thấy các đường sức điện và từ trường của một đường truyền TEM hai dây dẫn bất

kỳ Như trong Chương trước, điện áp tương đối V của dây dẫn + so với dây dẫn - có thể xácđịnh bởi

ở đây đường tích phân bắt đầu từ dây + và kết thúc tại dây - Điều quan trọng cần nhận ra rằng,

do bản chất tĩnh điện của các thành phần trường ngang giữa hai dây dẫn, điện áp đinh nghĩatrong (4.1) là duy nhất và không phụ thuộc vào hình dạng của đường tích phân Tổng dòng điệnchảy trên dây + có thể được xác định từ việc sử dụng định luật Ampere

I =I

Tình huống sẽ khó khăn hơn đối với các ống dẫn sóng Để xem tại sao, chúng ta sẽ xéttrường hợp ống dẫn sóng hình chữ nhật như chỉ ra trên Hình Đối với mode chủ đạo T E10cáctrường ngang có thể được viết là

Vì vậy ta có thể thấy rằng điện áp phụ thuộc vào vị trí x cũng như độ dài của đường lấy tích phân dọc theo chiều y Lấy tích phân từ y=0 tới b cho x=a/2 cho một điện áp khác xa giá trị đạt được khi lấy tích phân từ y=0 tới b cho x=0 chẳng hạn Vậy khi đó điện áp chính xác là bao

nhiêu? câu trả lời là không có điện áp "chính xác" về ý nghĩa nào đó là duy nhất hoặc thích hợpcho mọi ứng dụng Một vấn đề tương tự nảy sinh với dòng điện và trở kháng đặc tính Bây giờchúng ta sẽ chỉ ra chúng ta có thể xác định điện áp, dòng điện và trở kháng hữu ích đối với cácđường dây phi TEM như thế nào

Có nhiều cách xác định điện áp, dòng điện và trở kháng tương đương cho các ống dẫn sóng,

do các đại lượng này không duy nhất cho các đường truyền phi TEM nhưng cân nhắc sau đâythường dẫn đến những kết quả hữu dụng nhất:

• Điện áp và dòng điện chỉ được định nghĩa cho một mode dẫn sóng nhất định và được địnhnghĩa sao cho điện áp tỷ lệ thuận với điện trường ngang và dòng điện tỷ lệ với từ trườngngang

• Để được sử dụng theo phương thức tương tự như điện áp và dòng điện của lý thuyết mạch,điện áp và dòng điện tương đương cần được định nghĩa sao cho tích của chúng cho côngsuất của mode

• Tỷ số điện áp trên dòng điện cho một sóng lan truyền đơn cần phải bằng trở kháng đặctính của đường truyền Trở kháng đặc tính có thể được chọn bất kỳ nhưng thường đượcchọn sao cho bằng trở kháng sóng của được dây hoặc được chuẩn hóa bằng 1

Đối với một mode dẫn sóng bất kỳ có cả sóng lan truyền theo chiều dương và âm, các trườngngang có thể được viết là

C2 (I

+e−jβz + I−ejβz) (4.6b)

ở đó ¯evà ¯hlà sự biến đổi trường ngang của mode, còn A+, A− là biên độ trường của sóng lantruyền Do ¯Et và ¯Ht quan hệ với nhau thông qua trở kháng sóng Zw theo biểu thức (2.68) nhưsau

¯h(x, y) = 1

ZT EM

ˆ

Phương trình (4.8) cũng định nghĩa điện áp và dòng điện tương đương là

V (z) = V+e−jβz + V−ejβz (4.8a)

I(z) = I+e−jβz+ I−ejβz (4.8b)với V+/I+ = V−/I− = Z0 Định nghĩa này thể hiện ý tưởng làm cho điện áp và dòng điệntương đương tỷ lệ thuận với các trường điện và từ ngang tương ứng Các hằng số tỷ lệ cho quan

hệ này là C1 = V+/A+ = V−/A− và C2 = I+/A+ = I−/A− và có thể được xác định từ haiđiều kiện còn lại đối với năng lượng và trở kháng

Dòng năng lượng (công suất) của sóng tới được cho bởi

C1

Vì vậy với một mode dẫn sóng đã cho, (4.10) và (4.12) có thể được giải cho các hằng số C1 và

C2cùng các điện áp và dòng điện tương đương Các mode bậc cao hơn có thể được xét với cáchthức tương tự, vì vậy trường tổng trong một ống dẫn sóng có thể được biểu diễn dưới dạng sau:

C1ne

−jβ n z+ V

− n

C2ne

−jβ n z + I

− n

Tìm điện áp và dòng điện tương đương cho mode T E10trong ống dẫn sóng hình chữ nhật.Lời giải:

Các thành phần trường ngang và dòng công suất của mode dẫn sóng chữ nhật và mô hìnhđường truyền tương đương của mode này có thể được viết như sau:

Các thành phần trường của ống dẫn sóng Mô hình đường truyền

Bây giờ chúng ta tìm các hằng số C1 và C2 liên hệ giữa điện áp và dòng điện tương đương

V+ và I+với biên độ trường A Cân bằng công suất tới ta được

V+

I+ = C1

C2 = ZT EGiải cho C1, C2 cho

C1 =

rab2

C2 = 1

ZT E

rab2hoàn toàn làm cho sự tương đương giữa đường truyền với mode T E10

4.1.2 Khái niệm về trở kháng

Chúng ta đã sử dụng ý tưởng về trở kháng trong một vài ứng dụng khác nhau, vì vây sẽ là hữuích nếu tại đây chúng ta thảo luận về khái niệm trở kháng dưới dạng tổng quát hơn Thuật ngữtrở kháng được đưa ra đầu tiên bởi Oliver Heaviside vào thế kỷ thứ 19 nhằm mô tả tỷ số phứcV/I trong các mạch AC gồm các điện trở, điện cảm và các điện dung; khái niệm trở kháng nhanhchóng trở nên không thể thiếu được trong phân tích các mạch AC Sau đó nó được áp dụng chocác đường truyền dưới dạng các mạch tập trung tương đương và trở kháng nối tiếp cùng dẫnnạp song song phân bố của đường dây Vào những năm 1930, Schelkunoff nhận ra rằng kháiniệm trở kháng cần được xem như đặc trưng của trường cũng như của môi trường Khái niệm trởkháng khi đó hình thành một kết nối quan trọng giữa lý thuyết trường và lý thuyết mạch hay lýthuyết đường truyền

Sau đây chúng ta sẽ tổng kết một số loại trở kháng được sử dụng cho tới nay và ký hiệu củachúng:

• η =pµ/ = trở kháng thuần của môi trường Trở kháng này chỉ phụ thuộc vào các tham

số vật liệu của môi trường nhưng bằng trở kháng sóng của sóng phẳng

• Zw = Et/Ht = 1/Yw= trở kháng sóng Trở kháng này là đặc trưng cho một loại sóng nhấtđịnh Các sóng TEM, TE và TM có các trở kháng sóng khác nhau (ZT EM, ZT M, ZT E),chúng có thể phụ thuộc vào loại đường truyền hay ống dẫn sóng, vật liệu và tần số hoạtđộng

• Z0 = 1/Y0 = pL/C=trở kháng đặc tính Trở kháng đặc tính là tỷ số giữa điện áp vàdòng điện đối với sóng chạy Do điện áp và dòng điện được xác định duy nhất cho cácsóng TEM nên trở kháng đặc tính của một sóng TEM là duy nhất Tuy nhiên, các sóng

TE và TM không có điện áp và dòng điện xác định duy nhất vì vậy trở kháng đặc tính đốivới các sóng như vậy có thể được xác định theo nhiều cách khác nhau

Ví dụ 4.1 Xét một ống dẫn sóng chữ nhật có a=3.485 cm và b=1.580 cm (ống dẫn băng C),

chứa không khí với z<0 và chứa chất điện môi (r = 2.56) với z>0 như chỉ ra trong Hình 4.1 Nếu tần số hoạt động là 4.5 GHz sử dụng mô hình đường truyền tương đương để tính hệ số phản

xạ của sóng tới T E10 mặt giao tiếp từ z < 0.

Hình 4.1: Dạng hình học của ống dấn sóng một phần chứa chất điện môi và đường truyền

tương đương của nó

2

= 120.89m−1

Bạn đọc có thể xác minh rằng mode T E10 là mode truyền lan duy nhất trong cả hai vùngcủa ống dẫn sóng Bây giờ chúng ta có thể thiết lập đường truyền tương đương cho mode T E10trong mỗi ống dẫn sóng và xem bài toán khi phản xạ của sóng điện áp tới tại tiếp giáp giữa haiđường truyền dài vô hạn

Với việc tham khảo ví dụ và Bảng , trở kháng đặc tính của hai đường là

Z0a = k0η0

βa =

(94.25)(377)27.50 = 1292.1Ω

Hệ số phản xạ nhìn vào vùng có chứa điện môi khi đó là

Γ = Z0d− Z0d

Với kết quả này, các biểu thức cho các sóng tới, phản xạ và sóng truyền có thể được viết dướidạng trường, hoặc dưới dạng điện áp và dòng điện tương đương

4.2 Những đặc điểm trở kháng của các mạng một cửa

Trong phần này chúng ta sẽ thảo luận một số đặc điểm cơ bản của trở kháng điểm nguồn đốivới các mạng một cửa Trước hết xét mạng một cửa bất kỳ trên Hình Công suất phức được đưatới mạng này được cho bởi

Hình 4.2: Mạng một cửa bất kỳ

P = 12I

S

¯

E × ¯H∗.d¯s = P`+ 2jω(Wm− We) (4.15)trong đó P` là thực và đại diện cho công suất trung bình được tiêu thụ bởi mạng còn Wm và Weđại diện cho năng lượng từ trường và điện trường tương ứng Lưu ý rằng véc tơ pháp tuyến đơn

vị trong Hình hướng vào bên trong khối

Nếu ta xác định các trường mode ngang thực ¯evà ¯hqua mặt phẳng cực của mạng sao cho

¯

Et(x, y, z) = V (z)¯e(x, y)e−jβz (4.16a)

¯

Ht(x, y, z) = I(z)¯h(x, y)e−jβz (4.16b)với sự chuẩn hóa sao cho

Z

S

¯

e × ¯h.d¯s = 1khi đó (4.15) có thể được biểu diễn dưới dạng điện áp và dòng điện

P = 12Z

một mode truyền lan nào (Khái niệm cổng được đưa ra bởi H.A Wheeler vào những năm 1950

để thay thế cho cụm từ cồng kềnh ít có tính mô tả "hai cực") Nếu một trong các cổng vật lýcủa mạch là một ống dẫn sóng hỗ trợ nhiều hơn một mode lan truyền thì các cổng điện bổ sung

có thể được thêm vào để bao hàm các mode đó Tại một điểm nhất định trên cổng thứ n, một

mặt phẳng kết cuối tn được định nghĩa cùng với các điện áp và dòng điện tương đương cho cácsóng tới (V+

n , I+

n) và sóng phản xạ (Vn−, In−) Các mặt phẳng kết cuối quan trọng trong việc tạo

ra một tham chiếu cho pha của điện áp và dòng điện Bây giờ tại mặt phẳng kết cuối thứ n tổng

điện áp và dòng điện được cho bởi

V k =0 khi k 6= j

(4.25)

biểu thức này phát biểu rằng Yij có thể được xác định bằng cách đưa điện áp Vj vào cổng , làmngắn mạch tất cả các cổng còn lại (để Vk = 0khik 6= j) và đo dòng điện ngắn mạch tại cổng ı.Nhìn chung, mỗi phần tử Zij hoặc Yij có thể là số phức Đối với một mạng N cổng, các matrận trở kháng và dẫn nạp có kích thước N × N , vì thế có 2N2 đại lượng độc lập hay mức độ

tự do đối với một mạng N cổng bất kỳ Tuy nhiên, trong thực tế, nhiều mạng hoặc là tương hỗhoặc là không tổn hao hoặc cả hai Nếu mạng là tương hỗ (không chứa đựng bất kỳ một môitrường không tương hỗ nào chẳng hạn như Ferit hay Plasma, hay các phần tử tích cực), chúng ta

sẽ chỉ ra rằng các ma trận trở kháng và dẫn nạp là đối xứng, tức là Zij = Zji, và Yij = Yji Nếumạch là không tổn thất ta có thể chỉ ra rằng các phần tử Zij hay Yij là thuần ảo Một trong cáctrường hợp đặc biệt này có tác dụng làm giảm số đại lượng độc lập hay mức độ tự do mà mộtmạng N cổng có thể có

Cũng giống như ma trận trở kháng hay ma trận dẫn nạp cho một mạng N cổng, ma trận tán

xạ cho ta một mô tả đầy đủ về một mạng khi được nhìn từ N cổng của nó Trong khi các ma trậntrở kháng và dẫn nạp liên hệ các điện áp và dòng điện tổng tại các cổng, ma trận tán xạ liên hệcác sóng điện áp tới trên các cổng với các sóng điện áp phản xạ từ các cổng đó Đối với một sốphần tử hay mạch điện, các ma trận tán xạ có thể được đo trực tiếp bằng máy phân tích mạng.Một khi các tham số tán xạ của mạng được xác định, khi cần thiết ta có thể chuyển đổi sang cáctham số ma trận khác

Xét mạng N cổng trên Hình 4.3, ở đó V+

n là biên độ sóng điện áp tới cổng n, và Vn− là biên

độ của sóng điện áp phản xạ từ cổng n Ma trận tán xạ hay ma trận [S] được định nghĩa theomối quan hệ giữa các sóng điện áp tới và sóng điện áp phản xạ như sau

Vk+=0 khi k 6= j

(4.27)

Từ (4.27) ta có thể nói rằng Sij được xác định bằng việc đưa vào cổng  một sóng tới có điện áp

Vj+ và đo biên độ sóng phản xạ Vi− ra khỏi cổng ı Các sóng tới trên tất cả các cổng trừ cổngthứ  được gán bằng không, nghĩa là tất cả các cổng đó cần được kết cuối bởi các tải phối hợp

để tránh phản xạ Vì vậy, Siilà hệ số phản xạ nhìn vào cổng ı khi tất cả các cổng khác được kếtcuối bằng tải phối hợp, còn Sij là hệ số truyền từ cổng  tới cổng ı khi tất cả các cổng khác đượckết cuối bằng tải phối hợp

Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra ma trận [S] có thể được xác định như thế nào từ ma trận [Z](hoặc[Y]) và ngược lại Trước tiên, chúng ta phải giả thiết rằng các trở kháng đặc tính Z0n củatất cả các cổng là như nhau (Sự hạn chế này sẽ được loại bỏ khi ta thảo luận về các tham sốtán xạ tổng quát) Khi đó, để thuận tiện chúng ta có thể cho Z0n= 1 Từ (4.20) điện áp và dòng

điện tổng tại cổng thứ n có thể được viết thành

S11= z11− 1

z11+ 1Phù hợp với kết quả hệ số phản xạ nhìn vào một tải với trở kháng vào chuẩn hóa của z11

Để tìm [Z] theo [S], viết lại (4.31) thành [Z][S]+[U][S]=[Z]-[U] và giải cho [Z] ta được

[Z] = ([U ] − [S])−1([U ] + [S]) (4.32)

Các mạch tương hỗ và mạch không tổn hao

Như đã thảo luận trong phần trước, các ma trận trở kháng và dẫn nạp đối xứng đối với các mạchtương hỗ, và thuần ảo đối với các mạch không tổn hao Tương tự, các ma trận tán xạ cho cácloại mạch này có các đặc tính đặc biệt Chúng ta sẽ chỉ ra rằng ma trận [S] của một mạch tương

hỗ là đối xứng và rằng ma trận [S] của một mạch không tổn hao là ma trận đơn vị

Bằng cách cộng (4.20a) với (4.20b) ta có

Vn+ = 1

2(Vn+ In)hay

[S]T = {([Z] + [U ])−1}T([Z] − [U ])T

Do [U] là ma trận đường chéo nên [U ]T = [U ] và nếu mạch là tương hỗ, [Z] là đối xứng nên[Z]T = [Z] Khi đó biểu thức trên trở thành

[S]T = ([Z] + [U ])−1([Z] − [U ])biểu thức này tương đương với (4.31) Ta đã chứng minh rằng

đối với các mạch tương hỗ

Nếu mạch là không tổn hao khi đó không có công suất thực được đưa đến mạch Vì vậy, nếutrở kháng đặc tính của tất cả các cổng là như nhau và giả thiết là đơn vị thì công suất trung bìnhđược đưa đến mạch là

Do các số hạng −[V+]T[V−]T + [V−]T[V+]∗ có dạng A − A∗ và vì vậy là thuần ảo Trongcác số hạng còn lại của (4.37), 1/2[V+]T[V+]∗ đại diện cho tổng công suất tới, trong khi1/2[V−]T[V−]∗ đại diện cho tổng công suất phản xạ Do đó với một mối nối không tổn thấtchúng ta có kết quả trực giác rằng công suất tới và công suất phản xạ bằng nhau:

Một ma trận thỏa mãn điều kiện (4.42) được gọi là một ma trận unitary.

Phương trình ma trận của (4.42) có thể được viết lại dưới dạng tổng sau

Diễn giải ý nghĩa:

• (4.44) phát biểu: phép nhân vô hướng giữa một hàng (hay một hàng) bất kỳ của ma trận[S] (do tính chất đối xứng nên vector cột và vector hàng là giống nhau) với liên hợp phứccủa chính nó sẽ cho kết quả là 1

• (4.45) phát biểu: phép nhân vô hướng giữa một cột (hay một hàng) bất kỳ của ma trận [S]với liên hợp phức của một cột (hay một hàng) khác sẽ cho kết quả là 0 (trực giao)

Ví dụ 4.2 Một mạng hai cổng được đo và nhận được ma trận tán xạ sau

[S] =

0.1∠0 0.8∠9000.8∠900 0.2∠0



Từ số liệu này hãy xác định xem mạch có phải là tương hỗ hay không tổn hao hay không Nếu cổng hai bị ngắn mạch thì suy hao xen tại cổng 1 sẽ là bao nhiêu?

Phương trình ma trận (4. 42) viết lại dạng tổng sau

Diễn giải ý nghĩa:

• (4. 44) phát biểu: phép nhân vô hướng... đương với (4. 31) Ta chứng minh

đối với mạch tương hỗ

Nếu mạch không tổn hao khơng có cơng suất thực đưa đến mạch Vì vậy, nếutrở kháng đặc tính tất cổng giả thiết đơn vị cơng suất... z11

Để tìm [Z] theo [S], viết lại (4. 31) thành [Z][S]+[U][S]=[Z ]-[ U] giải cho [Z] ta

[Z] = ([U ] − [S])−1([U ] + [S]) (4. 32)