Chuyên đề hình học 9

1. HÖ thøc l­îng trong tam gi¸c vu«ng a) Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ ®­êng cao trong tam gi¸c vu«ng Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®­êng cao AH ta cã b2 = a. b’ c2 = a. c’ b2 + c2 = a2 h2 = b’. c’ a. h = b. c

Buổi 3: HèNH HỌC

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

I HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUễNG

-*** -1 Hệ thức lợng trong tam giác vuông

a) Một số hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH ta có

- Các tỉ số lợng giác của góc nhọn  đợc định nghĩa nh sau:sin =

c� nh � � i c� nh huy� ncos =

- Với hai góc  và  phụ nhau ta có

0 0 3 tg30 cotg60

3

  cotg30 0  tg60 0  3c) Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnhhuyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề Mỗi cạnhgóc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân tang góc đối hoặcnhân với côtang góc kề

d) Một số công thức tính diện tích tam giác

S =

a.h

a.b.sinC b.c.sinA c.a.sinB

S = p p a p b p c         (p là nửa chu vi của tam giác)

II GểC VÀ ĐƯỜNG TRềN

Đờng tròn:

1,Định nghĩa:

Tập hợp các điểm cách điểm 0 cho trớc một khoảng cách R >

0 không đổi gọi là đờng tròn tâm 0 bán kính R Kí hiệu : ( 0 ;R)

2, Vị trí t ơng đối:

* Của một điểm với một đờng tròn :

xét (0 ; R ) và điểm M bất kì

Vị trí tơng đối Hệ thức

* Vị trớ của một đờng thẳng với một đờng tròn :

xét ( O; R) và đờng thẳng a bất kì (với d là khoảng cách từ tâm

* Của hai đờng tròn :

xét ( O;R) và (O’; R’) ( với d = O O’ )

Hai đờng tròn tiếp xúc

b, Tính chất :

+ Tính chất 1 : Nếu một đờng thẳng là một tiếp tuyến của một

đờng tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm + Tính chất 2 : Nếu hai tiếp tuyến của một đờng tròn cắt nhautại một điểm thì giao điểm này cách đều hai tiếp điểm và tia

kẻ từ giao điểm đó qua tâm đờng tròn là tia phân giác của góctạo bởi hai tiếp tuyến

4 Quan hệ giữa đ ờng kính và dây cung :

* Định lí 1 : Trong một đờng tròn đờng kính đi qua điểmchính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung đó

và ngợc lại

* Định lí 2 : Trong một đờng tròn, đờng kính đi qua trung điểmcủa một dây cung (không phải là đờng kính) thì chia hai cungcăng dây ấy thành hai cung bằng nhau và ngợc lại

5 Quan hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm :

* Định lí 1 : Trong một đờng tròn hai dây cung bằng nhau khi vàchỉ khi chúng cách đều tâm

* Định lí 2 : Trong hai dây cung không bằng nhau của một đờngtròn, dây cung lớn hơn khi và chỉ khi nó gần tâm hơn

Góc trong đờng tròn:

1, Các loại góc trong đ ờng tròn:

- Góc ở tâm

- Góc nội tiếp

- Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đờng tròn

- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

* Định lý: Trong một đờng tròn:

- Các góc nội tiếp bằng nhau chắc các cung bằng nhau

- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

- Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau

- Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 900 có số đo bằng nửa số đocủa góc ở tâm cùng chắn một cung

- Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông và ngợc lại, gócvuông nội tiếp thì chắn nửa đờng tròn

- Góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến cùng chắn một cungthì bằng nhau

2, Mối quan hệ giữa cung và dây cung:

* Định lí 1: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn:

a, Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau

b, Đảo lại, hai dây bằng nhau trơng hai cung bằng nhau

* Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn:

* Cách 3: chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh đốidiện dới cùng một góc

* Cách 4: Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thểxác định đợc) Điểm đó là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác

III

CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau

 Cách chứng minh: - Chứng minh hai góc cùng bằng góc thứ ba

- Chứng minh hai góc bằng với hai góc bằngnhau khác

- Hai góc bằng tổng hoặc hiệu của hai góctheo thứ tự đôi một bằng nhau

- Hai góc cùng phụ (hoặc cùng bù) với góc thứba

- Hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù có các cạnh

đôi một song song hoặc vuông góc

- Hai góc so le trong, so le ngoài hoặc đồngvị

Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

 Cách chứng minh: - Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng

- Hai cạnh bên của hình thang cân

- Hai dây trơng ứng hai cung bằng nhautrong một đờng tròn hoặc hai đờng bằngnhau Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau

Dạng 3: Chứng minh hai đờng thẳng song song

 Cách chứng minh: - Chứng minh hai đờng thẳng cùng songsong với đờng thẳng thứ ba

- Chứng minh hai đờng thẳng cùng vuônggóc với đờng thẳng thứ ba

- Chứng minh chúng cùng tạo với một cát tuyếnhai góc bằng nhau: ở vị trí so le trong; ở vịtrí so le ngoài; ở vị trí đồng vị

- Là hai dây chắn giữa chúng hai cung bằngnhau trong một đờng tròn

- Chúng là hai cạnh đối của một hình bìnhhành, chữ nhật, hình vuông,

Dạng 4: Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc

 Cách chứng minh: - Chúng cùng song song với hai đờngthẳng vuông góc khác.

- Chứng minh chúng là chân đờng cao trongmột tam giác

- Đờng kính đi qua trung điểm của dây vàdây không đi qua tâm

- Chúng là phân giác của hai góc kề bù nhau

- Tính chất 2 đờng chéo hình thoi, hìnhvuông

Dạng 5: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đờng thẳng đồngquy

 Cách chứng minh: - Dựa vào tổng hai góc kề bù có tổngbằng 1800

- Dựa vào hai góc đối đỉnh

- Dựa vào hai đờng thẳng đi qua một điểmcùng song song với đờng thẳng khác

- Dựa vào hai góc bằng nhau có 1 cạnh trùngnhau

- Chứng minh chúng là ba đờng cao, ba trungtuyến, ba trung trực, ba phân giác trong (hoặcmột phân giác trong và phân giác ngoài của haigóc kia)

- Vận dụng định lí đảo của định lí Talet.Dạng 6: Chứng minh hai tam giác bằng nhau

* Hai tam giác thờng: - Trờng hợp góc - cạnh - góc (g-c-g)

- Trờng hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c)

- Trờng hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c)

* Hai tam giác vuông: - Có một cạnh và một góc nhọnbằng nhau

- Có cạnh huyền bằng nhau và một cạnh gócvuông bằng nhau

- Cạnh góc vuông đôi một bằng nhauDạng 7: Chứng minh hai tam giác đồng dạng

* Hai tam giác thờng: - Có hai góc bằng nhau đôi một g)

(g Có một góc bằng nhau xen giữa hai cạnh t(g

Dạng 8: Chứng minh tứ giác nội tiếp

 Cách chứng minh: - Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800

- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góctrong của đỉnh đối diện

- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìncạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một góc 

- Dựa vào phơng tích của đờng tròn

1 Chứng minh:BEDC nội tiếp

2 Chứng minh:DEA ACB�  � .

3 Chứng minh: DE song song với tiếp tuyến tai A của đường tròn ngoại tiếp tam giác

4 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh: OA là phân giác của gócMAN�

5 Chứng tỏ: AM2=AE AB

Gợi ý:

1.C/m BEDC nội tiếp:

C/m: BEC BDE� � = 1v Hai điểm D và E

cùng nhìn đoạn thẳng BC một góc vuông

2.C/m: DEA ACB� �

Do BECD nội tiếp DMB DCB� � = 2v.Mà DEB AED� � = 2v AED ACB� �

3 Gọi tiếp tuyến tại A của (O) là đường thẳng xy (Hình 1)

xAB ACB�  � mà ACB AED� � (cmt)

xAB AED�  � hay xy // DE

4 C/m OA là phân giác của MAN�

Do xy//DE hay xy//MN mà OAxyOAMN OA là đường trung trực của

MN (Đường kính vuông góc với một dây) AMN cân ở A  AO là phân giác của �MAN

5 C/m :AM 2 =AE AB

Do AMN cân ở AAM=AN AM AN�  � MBA AMN� � (Góc nội tiếp

chắn hai cung bằng nhau); �MABchung

MAE :  BAM  MA2 = AE AB

Buổi 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ

A MỤC TIÊU: Học sinh nắm được

- Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: và Cách giải

- Một số dạng toán về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

B NỘI DUNG:

I: CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Dạng 1: Giải hệ phương trình có bản và đưa về dạng cơ bản

1.- Vận dụng quy tắc thế và quy tắc cộng đại số để giải các hệ phương trình sau:Giải hệ phương trình bằng phương

 Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax = b (1)

 Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ

i) Nếu a=0: (1) trở thành 0x = b

- Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm

- Nếu b0 thì hệ vô nghiệm

ii) Nếu a 0 thì (1) x = , Thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ phươngtrình có nghiệm duy nhất

Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình:

Từ (1) y = mx – 2m, thay vào (2) ta được:

4x – m(mx – 2m) = m + 6 (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3)

i) Nếu m2 – 4 0 hay m2 thì x =

Khi đó y = - Hệ có nghiệm duy nhất: (;-)

ii) Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx -2m = 2x – 4

Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x R

iii) Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4 Hệ vô nghiệm

Vậy: - Nếu m2 thì hệ có nghiệm duy nhất: (x,y) = (;-)

- Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x R

- Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm

Bài tập: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

DẠNG 4: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM

THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Phương pháp giải:

 Giải hệ phương trình theo tham số

 Viết x, y của hệ về dạng: n + với n, k nguyên

 Tìm m nguyên để f(m) là ước của k

Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:

HD Giải:

để hệ có nghiệm duy nhất thì m2 – 4 0 hay m

Vậy với m hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Thay x = 2 ; y = -1 vào hệ ta được hệ phương trình với ẩn m, n

b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là

HD: f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3 nên Biết nếu f(x) chia hếtcho ax + b thì f(-) = 0

Giải hệ phương trình ta được a = 2; b = 11

d) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + 4 Xác định các hệ số a và b biết rằng

Vậy khi m = -0,85 thì ba đường thẳng trên đồng quy

Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy

a) 2x – y = m ; x - y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – 1

- Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m 2

- Giải hệ phương trình theo m

- Thay x = ; y = vào hệ thức đã cho ta được:

2 + + = 3

=> 18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m2 – 12 3m2 – 26m + 23 = 0

m1 = 1 ; m2 = (cả hai giá trị của m đều thỏa mãn điều kiện)Vậy m = 1 ; m =

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1:

Cho hệ phương trình (m là tham số)

a) Giải hệ phương trình khi m =

b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m

c) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao chox> 0, y > 0

d) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương

Bài 2:

Cho hệ phương trình :

a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m

b) Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại mộtđiểm nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy

c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏnhất

Bài 3:

Cho hệ phương trình

a) Giải hệ phương trình khi m = 5

b) Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < 1

c) Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng

3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = 3 đồng quy

Bài 4:

Cho hệ phương trình:

a) Giải hệ phương trình khi m = 1

b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)

c) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm

Bài 5:

Cho hệ phương trình:

a) Giải hệ phương trình khi m = 3

b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)

c) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi md) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:

x - 3y = - 3

Bài 6:

Cho hệ phương trình:

a) Giải hệ phương trình khi

b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn

hệ thức

Bài 7:

Cho hệ phương trình

a) Giải hệ phương trình khi m = 5

b) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi mc) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6)

d) Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểmnằm trong góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy

e) Với trị nguyên nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = 7

Buổi 5: NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ : ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT TRONG GIẢI TOÁN

Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a0) (*)

b x



Như vậy ta thấy giữa hai nghiệm của phương trình (*) có liên quan chặt chẽ

với các hệ số a, b, c Đây chính là nội dung của Định lí VI-ÉT, sau đây ta tìm hiểu

một số ứng dụng của định lí này trong giải toán

I NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH :

1 Dạng đặc biệt:

Xét phương trình (*) ta thấy :

a) Nếu cho x = 1 thì ta có (*)  a.12 + b.1 + c = 0  a + b + c = 0

Như vây phương trình có một nghiệm x1  1 và nghiệm còn lại là 2

c x a



b) Nếu cho x = 1 thì ta có (*)  a.(1)2 + b(1) + c = 0  a  b + c = 0Như vậy phương trình có một nghiệm là x1   1 và nghiệm còn lại là 2

c x a

x  

Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm x1  1 và 2

11 3

Vídụ: a) Phương trình Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ

hai

b) Phương trình có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ

hai

c) Cho phương trình : , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11 Tìm q và

hai nghiệm của phương trình

d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : , biết phương trình

có 2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia

x x

x x

d) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1  2x2 và theo VI-ÉT ta

II LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1 Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x x1 ; 2

Ví dụ : Cho x1  3; x2  2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên

Theo hệ thức VI-ÉT ta có

1 2

1 2

5 6

2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai

nghiệm của một phương trình cho trước:

í dụ: Cho phương trình : có 2 nghiệm phân biệt Không giải

phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : và

có ẩn y thoả mãn và (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệmcủa phương trình đã cho)

3/ Cho phương trình bậc hai: có các nghiệm Hãy lập phương

trình bậc hai có các nghiệm sao cho :

III TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG

Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình :

*) Với a b 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :

1 2

*) Nếu a b  11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình :

1 2

IV TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM

Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức

1 Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( x1 x2) và x x1 2

Ví dụ 1 a) x12x22  (x12 2x x1 2 x22) 2  x x1 2  (x1 x2 )2 2x x1 2

2 Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm

a) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính

Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường

- Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số

- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 Từ đó đưa ra hệ thức

liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2

Ví dụ 1 : Cho phương trình : có 2 nghiệm Lập hệthức liên hệ giữa sao cho chúng không phụ thuộc vào m.

Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :

2

1 1

Ví dụ 2: Gọi là nghiệm của phương trình : Chứngminh rằng biểu thức không phụ thuộc giá trị của m.

Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :

2

1 1

1

m

x x

m m

m� Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào

m

Nhận xét:

- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm

- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tíchnghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụthuộc vào tham số

Tìm hệ thức liên hệ giữa và sao cho chúng không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn: Dễ thấy  (4m1)24.2(m 4) 16m233 0 do đó phương trình đã

cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2