Khoảng cách và phân loại các dạng trong đề thi

Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SAC theo a.. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng SBC.. Hình chiếu vuông

CHỦ ĐỀ: KHOẢNG CÁCH

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

① Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a là MH , với H là hình

chiếu của M trên đường thẳng a

Kí hiệu: d M a , MH

② Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  là MH , với H là hình

chiếu của M trên mặt phẳng  

Kí hiệu: d M ,  MH

③ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một

điểm bất kì thuộc đường này đến đường kia

d a b d M b MH Ma

④ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng   song song với nhau là

khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đường a đến mặt phẳng   :

d a  d M  MH Ma

⑤ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất

kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

d   d a  d   AH a  Aa

⑥ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

- Đường thẳng c cắt hai đường thẳng ,a b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy gọi là

đường vuông góc chung của ,a b IJ gọi là đoạn vuông góc chung của ,a b

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

II KỸ NĂNG CƠ BẢN

1 Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng

a Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d cho trước

Các bước thực hiện:

Bước 1 Trong mặt phẳng M d,  hạ MHd với Hd

Bước 2 Thực hiện việc xác định độ dài MH dựa trên hệ thức lượng trong tam giác, tứ giác, đường

tròn, …

 Chú ý:

 Nếu tồn tại đường thẳng a qua A và song song với d thì: d M d , d A d , AK Ad

 Nếu MA d I , thì:  

, ,

d A d  AI

a

b

c

J

b J

I







M

H a

K

d

A

K

d

M

M



M

H a



M

H

a b



M

H a



A

B



a

b Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng 

Các bước thực hiện:

Bước 1 Tìm hình chiếu H của O lên  

1 Tìm mặt phẳng   qua O và vuông góc với  

2 Tìm       

3 Trong mặt phẳng   , kẻ OH  tại H

 H là hình chiếu vuông góc của O lên  

Bước 2 Khi đó OH là khoảng cách từ O đến  

 Chú ý:

 Chọn mặt phẳng  sao cho dễ tìm giao tuyến với 

 Nếu đã có đường thẳng d   thì kẻ Ox/ /d cắt  tại H

 Nếu OA//  thì: d O ,  d A ,  

 Nếu OA cắt   tại I thì:    

 

O,, 

AI

d A



 

2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

 Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau ,a b

 Trường hợp a  b:

B1: Dựng mặt phẳng   chứa a và vuông góc với b tại B

B2: Trong   dựng BA  a tại A

 AB là đoạn vuông góc chung

 Trường hợp a và b không vuông góc với nhau

Cách 1: (Hình a)

- B1: Dựng mp   chứa a và song song với b

- B2: Lấy điểm M tùy ý trên b dựng MM () tại M

- B3: Từ M dựng b// b cắt a tại A

- B4: Từ A dựng AB MM//  cắt b tại B

 AB là đoạn vuông góc chung

Cách 2: (Hình b)

- B1: Dựng mặt phẳng   a tại O,   cắt b tại I

- B2: Dựng hình chiếu vuông góc b của b lên  

- B3: Trong mp  , vẽ OH  b tại H

- B4: Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B

- B5: Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A

 AB là đoạn vuông góc chung

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ,a b

Cách 1 Dùng đường vuông góc chung:

- Tìm đoạn vuông góc chung AB của , a b Suy ra d a b , AB

Cách 2 Dựng mặt phẳng  chứa a và song song với b Khi đó: d a b , d b ,  

Cách 3 Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa a và b Khi đó: d a b , d     ,  







O

H

 H

 H

K

 H O A

K I

b

a B

A



(Hình a)

A



M' a

b

b'

(Hình b)



b'

A

O

B

VẤN ĐỀ 1: KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG

I BÀI TẬP TỰ LUẬN

1 Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC vuông cân tại B, SAABC,ABa SA, a

a) CMR: SAB  SBC

b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC)

c) Tính khoảng cách từ C đến (SAB)

d) Tính khoảng cách từ B đến (SAC)

e) Gọi O là trung điểm AC Tính khoảng cách từ O đến (SBC)

2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, SA(ABCD) và SAa 3 Tính khoảng cách từ:

a)C đến (SAB) b)B đến (SAC) c)A đến (SBC)

d)A đến (SBD) e)O đến (SAB) f)O đến (SBC)

g) Gọi M là trung điểm SC G là trọng tâm ABC

3 Cho tứ diện ABCD có 3 góc vuông tại A, ABa, AC2a và AD3a Tính khoảng cách từ A đến (BCD )

II MỘT SỐ BÀI TẬP TRONG CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC

Câu 1 D-2011 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng

(SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = 2a 3 và góc SBC = 30° Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a

Câu 2 D-2012 Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C =

a Tính thể tích của khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a

Câu 3 D-2013 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc

BAD = 120°, M là trung điểm của cạnh BC và góc SMA = 45° Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)

Câu 4 B-2011 Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3 Hình

chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 60° Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a

Câu 5 B-2013 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)

Câu 6 B-2014 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của A’ trên

mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB; góc giữa đường thẳng A’C và mặt đáy là 60° Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’)

Câu 7 A- 2013 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, góc ABC = 30° SBC là tam giác đều

cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách

từ điểm C đến mặt phẳng (SAB)

Câu 8 A-2014 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD = 3a/2, hình chiếu vuông

góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD)

III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 1: KHỐI CHÓP ĐỀU

Câu 1 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a Góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 0

60

Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:

A

2

a

4

a

4

a

2a

Câu 2 Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc, ABa AC, a 2 và diện tích tam giác

SBC bằng 2 33

6

a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:

A 330

33

11

33

33

a

CHỦ ĐỀ 2: KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI MẶT ĐÁY

Câu 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ABCD vuông tại A và B Biết AD2a,

ABBC SAa Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, gọi M là trung điểm của AD Tính khoảng cách h từ M đến mặt phẳng SCD

6

a

3

a

6

a

3

a

h

Câu 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, góc 0

120

BAD Các mặt phẳng

SAB và SAD cùng vuông góc với mặt đáy Gọi M là trung điểm SD, thể tích khối chóp S.ABCD là 3 3

3

a Hãy tính khoảng cách h từ M tới mặt phẳng SBC theo a

A. 228

38

a

19

a

5

a

19

a

Câu 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, 0

120

BAD Hai mặt phẳng

SAB và SCD cùng vuông góc với mặt đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng

ABCD là 0

45 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tính khoảng cách h từ G đến mặt phẳng

SCD theo a

14

a

7

a

21

a

7

a

h

CHỦ ĐỀ 3: KHỐI CHÓP CÓ MẶT BÊN VUÔNG GÓC MẶT ĐÁY

Câu 6 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt

phẳng SCD

A 21

7

4

7

h a

Câu 7 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , 3

2

a

SD , hình chiếu vuông góc của S trên ABCD là trung điểm cạnh AB Tính theo a khoảng cách h từ A đến mặt phẳng

SBD

3

a

3

a

3

a

3

a

h

CHỦ ĐỀ 4: LĂNG TRỤ ĐỨNG -HÌNH HỘP CHỮ NHẬT- HÌNH LẬP PHƯƠNG

Câu 8 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có mặt đáy ABC là tam giác vuông tại B có

ABa ACa A B  a Gọi M là trung điểm của AC Khoảng cách từ M đến (A BC ) là:

A. 3

4

a

2

a

4a

Câu 9 Cho hình lập phương ABCD A B C D     có diện tích tam giác B AB bằng 2

2a hãy tính khoảng cách giữa điểm B và mặt phẳng (C BD )

A 2a 3 B.2 3

3

a

3

a

3

a

CHỦ ĐỀ 5: LĂNG TRỤ XIÊN

Cho hình lăng trụ ABC A B C    có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB2a Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H của cạnh AB Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 0

60 Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACC A  theo a là:

A. 39

5 a

Câu 10 Cho hình lăng trụ ABC A B C    có mặt đáy đáy ABC là tam giác vuông tại A, ABa AC, 2a

Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H của cạnh BC Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 0

30 Tính khoảng cách từ điểm C đến ABB A  là:

A.3 5

3 a

Câu 11 Cho lăng trụ ABCD A B C D     có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O có ABa BC, 2a Gọi

,

H M lần lượt là trung điểm của OA AA,  Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng

ABCD trùng với điểm H Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 0

60 Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng CDD C :

A.2 29

7 a

CHỦ ĐỀ TỔNG HỢP

Câu 12 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, đỉnh Scách đều các điểm , ,A B C

Biết AC2 ,a BCa, góc giữa đường thẳng SB và mp ABC  bằng 0

60 Tính khoảng cách từ

trung điểm M của SCđến mp SAB  theo a

A. 39

13

a

13

a

26

a

26

a

Câu 13 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với ABa AD, 2a, cạnh bên SA

vuông góc với mặt phẳng đáy và cạnh bên SC tạo với đáy một góc 0

60 Gọi M N, là trung điểm các cạnh bên SA và SB Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng DMN

A. 31

2 5

60

31

31

a

VẤN ĐỀ 2: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

I BÀI TẬP TỰ LUẬN

1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA(ABCD) và

2

SA a.Dựng đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng sau đây và suy ra khoảng cách giữa chúng:

2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có ABa, AD2a, SA(ABCD),

2

SA a Dựng đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng sau đây và suy ra khoảng cách giữa chúng:

3 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a và SO(ABCD), SO2a

a) Tính khoảng cách giữa SO và CD

b) Tính khoảng cách giữa O và (SBC), khoảng cách giữa A và (SBD)

4 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi I và J là trung điểm của AB và CD

a) Chứng minh ABCD

b) Chứng minh IJ là đoạn vuông góc chung của AB và CD, suy ra khoảng cách giữa AB và CD

5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a và SA(ABCD), SAa 3 Tính:

a) ( ,(d A SBD , ( , ()) d A SBC ))

b) Tính khoảng cách từ O đến các mặt của hình chóp

c) Gọi M là trung điểm của SD Tính ( ,( d SB ACM)), ( ,( d O BCM))

6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh A và SASBSCSDa

a) Chứng minh SO(ABCD) Tinh khoảng cách từ O đến (ABCD)

b) Gọi I, J là trung điểm của AD và BC Chứng minh ( SIJ)(SBC)

c) Tính khoảng cách giữa AD và SB

7 Cho lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC2 ,a ABa 3, AA =a

a) Tính dAA , BCC D   

b) Tính d A A BC ,   

c) Tính d A ,ABC 

8 Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh a

a) CMR: BDD B   ACD

b) Tính d ACD , BA C  

c) Tính d BC CD ,  ,d BB AC, 

9 Cho lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a Biết AA =a 2

a) Gọi M là trung điểm AC CMR: BB M   BA C 

b) Tính d M ,BA C 

II MỘT SỐ BÀI TẬP TRONG CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC

Câu 1 D-2014 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A; mặt bên

SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với đáy Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC

Câu 2 2015 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ACBD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc

với mặt phẳmg (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ACBD) bằng 450

Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng

SB, AC

Câu 3 A-2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M, N lần

lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD; H là giao điểm của CN với DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3 Tính thể tích khối chóp S.CDNM

và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a

Câu 4 A-2011 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC =

2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60° Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a

Câu 5 A-A1- 2012 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông

góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60° Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a