MỘT SỐ BÀI TẬP PHÂN TÍCH MẠCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ LAPLACE Câu 2.1: (2.5 điểm) Tác động lên mạch điện Hình 2 là nguồn dòng điện bậc thang: 2(A), t 0 i(t) 0, t 0 Biết: 4 C L R 10 ( ); L 0,1(mH); C 0,01( F); u (0) 0(V); i (0) 0(A). Hãy xác định và vẽ (định tính) đồ thị của điện áp u(t) và dòng điện i (t) L . i(t)R C L u(t) i (t) L Hình 2 Cho quan hệ ảnhgốc Laplace của một số hàm như sau:
Trang 1MỘT SỐ BÀI TẬP PHÂN TÍCH MẠCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ LAPLACE
Câu 2.1: (2.5 điểm)
Tác động lên mạch điện Hình 2 là nguồn dòng điện
bậc thang:
2(A), t 0
i(t)
0, t 0
Biết:
4
R 10 ( ); L 0,1(mH); C 0,01( F);
u (0) 0(V); i (0) 0(A)
Hãy xác định và vẽ (định tính) đồ thị của điện áp
u(t)và dòng điện i (t) L
R
L
i (t)
Hình 2
Cho quan hệ ảnh-gốc Laplace của một số hàm như sau:
với 1 20 2
Đáp án: (Thí sinh có thể sử dụng bất kỳ phương pháp nào)
a) Tính u(t):
Sử dụng phương pháp toán tử Laplace:
L
2
2
8
2
P.G.L 1 P LC P P.
C LC
P 10 P 10 P P 10 P 10
2.10
P 2.5.10 P 10
P 10 P 10 P 2.5.10 P 10 có nghiệm phức, với
Trang 23 6 2 2 6
5.10 ; 10 (rad / s); 10 (rad / s)
Tra bảng ta nhận được:
3
u(t)2.10 e sin(10 t) (V)
Vẽ đồ thị u(t)
b) Tính i (t)L :
12
I (P)
Từ đây tính được: A1 2; A2 2; A3 2.10 4
Tra bảng ta nhận được:
3
3
L
i (t) 2 2.e cos(10 t) 5.10 sin(10 t) 2.10 sin(10 t)
2 2.e cos(10 t) (A)
Vẽ đồ thị i (t)L
Câu 2.2: (2.5 điểm)
Cho mạch điện Hình 2 Biết:
R1 R2 R 2(M );
C 1( F); E 100(V) , e 100e 2t(V)
Khi khóa K ở vị trí “0” mạch đã ở trạng thái xác
lập Tại thời điểm t 0 khóa K chuyển từ vị
trí “0” sang “1”, hãy xác định điện áp trên điện
dung C tại các thời điểm t10,1(S) và
2
t 0,2(S)
E
C R2
e
“0”
“1”
K
+
-R1
Hình 2
Cho quan hệ ảnh – gốc Laplace của một số hàm như sau:
t 2
Đáp án:
Xác định đkbđ của mạch: u (0)C 50(V)
Mạch tương đương:
Trang 3C R2
R1
E(P)
50 P
Phương trình điện thế điểm nút:
C
C
50
U (P) G1 G2 PC E(P).G1 PC E(P).G1 50.C
P
50.C
PC
G1 G2
(P 1)(P 2) (P 1)(
P 2) P 1 P 2
Giải: A1=100; A2=-50
C
u (t) 100.e 50.e
Tại t=0,1(S):
C t 0,1(S)
u (t) 100.e 50.e 49,5(V)
Tại t=0,2(S):
C t 0,2(S)
u (t) 100.e 50.e 48,4(V)
Trang 4Câu 2.3: (2.5 điểm)
Cho mạch điện Hình 2
Biết: R 100( ); L 100(mH); C 1000( F);
E 100 (V); u (0)C 0(V); i (0)L 0(A)
Biết rằng K đóng tại thời điểm t 0 , hãy xác
định điện áp trên điện dung C
L
C R
E
+
K
Hình 2
LỜI GIẢI:
Theo giả thiết ta thấy mạch có điều kiện ban đầu 0 Sau khi K đóng ta có nguồn tác động dạng toán tử: E(P) 100
P
Vẽ được sơ đồ toán tử tương đương của mạch
Lưu ý: Thí sinh có thể sử dụng bất kì phương pháp nào
Phương pháp điện thế điểm nút:
Đặt (P) U(P) U (P)C ta có phương trình sau:
U(P) G Y Yc E(P).Y
Từ trên ta có:
L
E(P).Y E(P) / (LC)
U(P)
G 1
G Y Yc
C LC
Từ trên ta có:
6
10 U(P)
P(P 10P 10 )
P 10P 10 có nghiệm phức
Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta có:
6
10 A1 A2.P A3 U(P)
P(P 10P 10 ) P P 10P 10
Tính toán các hệ số: A1 100; A2 100; A3 1000.
6
0
U(P)
P(P 10P 10 ) P P 2.5.P 100 P 2.5.P 100
5; 100(rad / s).
Trang 5Theo đề bài ta có:
1 100 5 100(rad / s)
Từ đây ta nhận được:
C
u(t) u (t) 100 100.e cos(100t) 0, 05sin(100t) 10.e sin(100t)
Câu 2.4: (2.5 điểm)
Cho mạch điện Hình 2
Biết: R 200( ); L0,1(mH);C0,01( F);
i (0)0(A); u (0)0(V)
Tác động lên mạch là nguồn điện áp e(t) có dạng
sau:
6
0, t 0;
e(t) 200.cos(10 t) (V), 0 t 20 (mS)
0, t 20 (mS)
Hãy xác định dòng điện và điện áp trên điện dung
C
L R
C
e(t)
Hình 2
Cho quan hệ ảnh – gốc Laplace của một số hàm như sau:
LỜI GIẢI:
1 Giai đoạn 1: 0 t 20 (mS) :
Mạch có điều kiện ban đầu 0 Sơ đồ toán tử tương đương:
E(P)
L
C R
200P
E(P)
P 10
Trang 6
2
2
E(P).Zc E(P) E(P)
U (P)
Z Zc R Yc.Z Yc.R 1 P LC P.CR 1
E(P) / (LC) 10 200.P 2.10 P
R 1 P 10 P 2.10 P 10 P 10 P 10
L LC
14
2.10 P A1.P A2 A3.P A4
U (P)
P 10
A1 0; A3 0; A2 10 ; A4 10
Tra bảng:
6
C
u (t) 100.sin(10 t) 10 t.e , (t 0)
i (t) C.u (t) cos(10 t) e 10 t.e , (t 0)
2 Giai đoạn 2: 3
t 20 10 (S) Xác định điều kiện ban đầu của mạch:
Nhận thấy i (t)L i (t)C
t 20 10 ta có:
C t 20 .10 L t 20 .10
u (t) 0;i (t) 1(A)
Sơ đồ toán tử tương đương:
L.1=L
L
C R
2
U (P)
R 1 P 2.10 P 10 P 10
L LC
Tra bảng:
u (t ') 10 t '.e , i (t ') C.u (t ') e (1 10 t '); t ' t 20 10
Trang 7Câu 2.5: (2.5 điểm)
Cho mạch điện Hình 2 với nguồn điện áp tác động:
3
0, 0
sin(10 )( ), 0
t
e
(0) 0( ); (0) 0( )
u V i A
Hãy xác định điện áp trên điện cảm L
R
e
Hình 2 Cho quan hệ ảnh - gốc Laplace của một số hàm như sau ( t0):
A
2
t
1
sin( );
2
t
ĐÁP ÁN:
Gọi U(P) là điện áp dạng toán tử trên L và C, ta có:
1
PL
Với ( ) 2103 6
10
E P
P
10
3
10 ( )
( 10 )( 10 )
P
U P
Do các đa thức 2 6
10
10
P P đều có nghiệm phức nên ta có:
3
3
10
U P
Theo phương pháp hệ số bất định tính được A=C=0; B=1; D= - 1
( ) sin(10 ) t sin( )( )
u t t e t V , với 3
10 ( d / )ra s
Trang 8Câu 2.6: (2.5 điểm)
Cho mạch điện Hình 2
R 10 ( );
L0,1(mH);C0,01( F);
i (0)0(A); u (0)0(V)
Tác động lên mạch là nguồn dòng điện i có
dạng sau:
6
0, 0;
4 os(10 ) ( ), 0 10 ( )
0, 10 ( )
t
Hãy xác định và vẽ (định tính) điện ápu
trên các phần tử của mạch
i
Hình 2 Cho quan hệ ảnh – gốc Laplace của một số hàm như sau:
ĐÁP ÁN:
a) Khi 0 t 10 ( ms): Theo giả thiết mạch có điều kiện ban đầu 0
Sử dụng phương pháp toán tử:
( ) ( ) ( )
Với ( ) 24 12
10
P
I P
P
Thay số ta nhận được:
4 10 ( )
( 10 )( 10 10 )
P
U P
Phân tích U(P):
( )
( 10 )( 10 10 ) 10 10 10
U P
1 4.10 ; 3 4.10 ; 2 0; 4 0.
Trang 95 5 5 5
( )
10 10 10 10 2.5.10 (10 )
U P
1 0 10 25.10 10 (rad / )s
2
2
2
6
5.10 ( ) 4.10 os(10 ) 4.10 os(10 ) sin(10 )
10 4.10 (1 ) os(10 )( )
t
t
b) Khi t 10 ( ms):
Xác định điều kiện ban đầu của mạch:
+) Xác định dòng điện qua điện cảm tại 10 ( ms):
1
( )d
L
i u t t
L
, do u(t) có luật hàm số cosin nên i Lcó luật hàm sin, vì vậy tại t 10 ( s) m
thì i L t 10 2 0( )A ( sin(k ) 0)
+) Xác định điện áp trên điện dung tại 10 ( ms):
Thay vào biểu thức của u(t) ta có 2
5
10 4.10 ( )
t
u V
Sơ đồ toán tử tương đương:
5
4.10
P
Phương trình điện thế điểm nút:
5
2
( ) 1/ 4.10
4.10 4.10 4.10 4.10
( )
U P
Tra bảng:
6
5.10 ( ) 4.10 os(10 ) sin(10 ) 4.10 os(10 )( ); 10
10
Đồ thị u(t): Là dao động hình sin có tần số 6
10 ( d / )ra s
, biên độ tăng dần từ 0 đến
5
4.10 ( )V , sau đó giảm dần về 0
Trang 10Câu 2.7: (2.5 đ)
Cho mạch điện Hình 2 Biết rằng tác
động e là nguồn điện áp:
3
0, t 0
e
cos(10 t), t 0
Cho
R0 R 1(k ), L 1(mH), C 1000( F).
i (0) 0(A), u (0) 0(V)
Hãy xác định dòng điện qua các nhánh
của mạch?
R
e
Hình 2
Cho quan hệ ảnh-gốc Laplace của một số hàm như sau:
t 2
A ; Acos( t) ; e sin( t)
2 2
4
Đáp án:
Gọi u là điện áp trên R,L,C song song, ta có phương trình toán tử:
1 U(P) G PC E(P).G
PL
P E(P)
P 10
Thay số ta có:
3
P P 10
Tương đương với:
6
U(P) 1 P
P P 10
U(P)
U(P)
(P 10 )(P P 10 ) K(P)Q(P)
Q(P) P 2P 10 P P , với 3
2, 10
nhận thấy Q(P) có nghiệm phức, tương tự K(P) cũng có nghiệm phức
Vậy U(P) được phân tích như sau:
2
U(P)
(P 10 )(P P 10 ) P 10 P P 10
Tính được: A=1, C=-1 , B=D=0
Tra bảng ta nhận được:
u(t) cos(10 t) e cos( t) 0,5.10 sin( t) (V) , với 3
10 (rad / s)
Trang 11Câu 2.8: (2.5 điểm)
Mạch điện vẽ ở Hình 2 có R1(k);
1( );
C F L=10(mH);
10( ); C(0) 0( ); L(0) 0( )
Tại thời điểm t=0 khóa K đóng lại, hãy xác
định điện áp u(t) dòng điện i(t)?
( )
i t
L
C
R E
+
K
( )
u t
Hình 2 Cho quan hệ ảnh - gốc Laplace của một số hàm như sau ( t0):
2
t
1
sin 2
t
Đáp án:
Sơ đồ tương đương toán tử của mạch:
L
C
R
E(P)
+
K
( )
U P
( )
I P
Với E P( ) 10
P
Ta có phương trình điện thế điểm nút:
1 ( ) ( )
G PC U P PC E P
PL
( )
PC E P P LC E P P E P
U P
P LC PLG P PG C LC
G PC
PL
Thay số:
10 ( )
P
U P
P P có nghiệm phức
Trang 12 2
( )
U P
1 10 25.10 10 (rad / )s
( ) 10 t os(10 ) 0,05sin(10 ) 10 t os(10 )( )
Tính i(t):
( )
P P
E P U P P P P P P P
I P
Tra bảng:
( ) 10 t os(10 ) 0,05sin(10 ) 0,1 tsin(10 )( )
Câu 2.9:
Cho mạch điện Hình 2 Biết rằng tác
động e là nguồn điện áp 1 chiều
e E 1(V);
R0 R 1(k ), L 1(mH), C 1000( F).
i (0) 0(A), u (0) 0(V).
Tại thời điểm t=0 khóa K đóng lại, hãy
xác định dòng điện qua các nhánh của
mạch?
R0
K
R e
Hình 2
Cho quan hệ ảnh-gốc Laplace của một số hàm như sau:
t 1
Đáp án:
Gọi u là điện áp trên R,L,C song song, ta có phương trình toán tử:
1 U(P) G0 G PC E(P).G0
PL
Thay số ta có:
Trang 13U(P) 10 10 P.10 10
Tương đương với:
6
10 1 U(P) 2 P
P 2P 10 1 U(P)
U(P)
P 2P 10 N(P)
0
N(P) P 2P 10 P 2 P , với 3
0
1, 10
nhận thấy N(P) có nghiệm phức
Tra bảng ta nhận được:
u(t) 10 e sin( t) e sin( t)(mV) , với 3
10 (rad / s)
R
u(t)
i (t) 10 e sin(10 t)(mA)
R
C
du(t)
i (t) C 10 e 10 cos(10 t) e sin(10 t)
dt
e cos(10 t) 10 e sin(10 t)(mA)
R 0
E u(t)
i (t) 10 1 e sin(10 t) (mA)
R
; i (t)L i (t) i (t) i (t)R 0 C R