Chuyên đề quĩ tích Điểm, đường

Chứng minh rằng: Đờng thẳng HC luôn đi qua một điểm cố định khi C di chuyển trên đoạn thẳng AB... Chứng minh đờng tròn đ-ờng kính OI luôn đi qua một điểm cố định khác O và đđ-ờng thẳng M

Trong thời đại hiện nay, trớc sự phát triển không ngừng của mọi mặt xã hội con ngời cần có những nhìn nhận đúng đắn về sự phát triển của thế giới, có cái nhìn theo nhiều chiều trớc một vấn đề Chính vì vậy học sinh cần phải đợc trang bị những kiến thức phù hợp,

Một trong những quan điểm dạy học hiện nay là phát huy tối đa khả năng t duy

độc lập sáng tạo của học sinh, dạy cho học sinh cách học, cách t duy Bài toán “Đ-ờng qua điểm cố định” phần nào đáp ứng đợc yêu cầu trên

Trong các đề thi học sinh giỏi, thi vào trờng chuyên, lớp chọn thờng có những bài toán liên quan đến tìm điểm cố định, chứng minh đờng đi qua điểm cố định Thực tế cho thấy đây là bài toán khó, học sinh thờng khó khăn khi gặp phải bài toán dạng này

Bài toán “Đờng đi qua điểm cố định” đòi hỏi HS phải có kĩ năng nhất định cộng với sự đầu t suy nghĩ, tìm tòi nhng đặc biệt phải có phơng pháp làm bài

Tìm hiểu nội dung bài toán

Dự đoán điểm cố định Tìm tòi hớng giải Trình bày lời giải

Tìm hiểu bài toán:

• Yếu tố cố định.( điểm, đờng … )

• Yếu tố chuyển động.( điểm, đờng … )

• Yếu tố không đổi.( độ dài đoạn, độ lớn góc … )

• Quan hệ không đổi ( Song song, vuông góc, thẳng hàng … )

Khâu tìm hiểu nội dung bài toán là rất quan trọng Nó định hớng cho các thao tác tiếp theo Trong khâu này đòi hỏi học sinh phải có trình độ phân tích bài toán, khả năng phán đoán tốt Tuỳ thuộc vào khả năng của từng đối tợng học sinh mà giáo viên có thể đa ra hệ thống câu hỏi dẫn dắt thích hợp nhằm giúp học sinh tìm hiểu

tốt nội dung bài toán Cần xác định rõ yếu tố cố định, không đổi, các quan hệ không đổi và các yếu tố thay đổi, tìm mối quan hệ giữa các yếu tố đó

Dự đoán điểm cố định:

Dựa vào những vị trí đặc biệt của yếu tố chuyển động để dự đoán điểm cố định Thông thờng ta tìm một hoặc hai vị trí đặc biệt cộng thêm với các đặc điểm bất biến khác nh tính chất đối xứng, song song, thẳng hàng … để dự đoán điểm cố

định

Tìm tòi h ớng giải

Từ việc dự đoán điểm cố định tìm mối quan hệ giữa điểm đó với các yếu tố chuyển

động, yếu tố cố định và yếu tố không đổi Thông thờng để chứng tỏ một điểm là cố

định ta chỉ ra điểm đó thuộc hai đờng cố định, thuộc một đờng cố định và thoả mãn một điều kiện (thuộc một tia và cách gốc một đoạn không đổi, thuộc một đ-ờng tròn và là mút của một cung không đổi ) thông thđ-ờng lời giải của một bài toán thờng đợc cắt bỏ những suy nghĩ bên trong nó chính vì vậy ta thờng có cảm giác lời giải có cái gì đó thiếu tự nhiên, không có tính thuyết phục chính vì vậy khi trình bày ta cố gắng làm cho lời giải mang tính tự nhiên hơn, có giá trị về việc rèn luyện t duy cho học sinh

một vài ví dụ:

Bài 1: Cho ba điểm A, C, B thẳng hành theo thứ tự đó Vẽ tia Cx vuông góc với

AB.Trên tia Cx lấy hai điểm D, E sao cho = = 3

CD

CA CB

CE

Đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADC cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác BEC tại H khác C Chứng minh rằng:

Đờng thẳng HC luôn đi qua một điểm cố định khi C di chuyển trên đoạn thẳng

AB

Tìm hiểu đề bài:

* Yếu tố cố định: Đoạn AB

* Yếu tố không đổi:

+ Góc BEC = 300, Góc ADB = 600 do đó

sđ cung BC, cung CA không đổi

+ B, D, H thẳng hàng; E, H, A thẳng hàng

Dự đoán điểm cố định:

khi C trùng B thì (d) tạo với BA một góc

600 => điểm cố định thuộc tia By tạo với

tia BA một góc 600

khi C trùng A thì (d) tạo với AB một góc

300 => điểm cố định thuộc tia Az tạo với

tia AB một góc 300

By và Az cắt nhau tại M thì M là điểm cố

định? Nhận thấy M nhìn AB cố định dới 900 => M thuộc đờng tròn đờng kính AB

Tìm h ớng chứng minh:

M thuộc đờng tròn đờng kính AB cố định do đó cần chứng minh sđ cung AM không đổi thật vậy:

sđ cung AM = 2sđGóc MCA=2sđGóc CHA =2sđGóc CDA = 1200

Lời giải:

Ta có = = 3

CD

CA tgD => Góc D=600

có Góc CHA = Góc CDA = 600

G/s đờng tròn đờng kính AB cắt CH tại M

ta có Góc MHA= 600 => sđ cung MA không đổi

lại có đờng tròn đờng kính AB cố định vậy:

M cố định do đó CH luôn qua M cố định

m

h D

E

Bài 2: Cho đờng tròn (O) và đờng thẳng (d) nằm ngoài đờng tròn I là điểm di

động trên (d) Đờng tròn đờng kính OI cắt (O) tại M, N Chứng minh đờng tròn đ-ờng kính OI luôn đi qua một điểm cố định khác O và đđ-ờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

H

ớng dẫn:

do tính chất đối xứng nên

điểm cố định nằm trên trục

đối xứng hay đờng thẳng qua

O và vuông góc với (d)

Giải:

Kẻ OH vuông góc với (d) cắt

MN tại E

ta có H cố định và H thuộc

đ-ờng tròn đđ-ờng kính OI vậy đđ-ờng tròn đđ-ờng kính OI luôn đi qua K cố định

Xét tam giác OEF và tam giác OIH có góc O chung, góc OFE = góc OHI = 900

Nên tam giác OEF đồng dạng với tam giác OIH do đó: OF/ OE = OH/ OI => OE

OH = OF OI

Lại có góc IMO = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn đờng kính OI )

Xét tam giác vuông OMI có đờng cao ứng với cạnh huyền MF nên:

OF OI = OM2

Do đó:

2

OM OE

OH

= = hằng số vây E cố định do đó MN đi qua E cố định

Bài 3: Cho đờng tròn (O; R) và dây AB cố định C là một điểm chuyển động trên

đờng tròn và M là trung điểm của AC Chứng minh rằng đờng thẳng kẻ từ M vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định

d E

F

H N

M

O

I

Vẽ đờng kính BD => D

cố định

Giả sử đờng thẳng qua

M và vuông góc với BC

cắt AD tại I

Dễ thấy góc BCD = 900

hay MI // CD

Xét tam giác ACD có

MC = MA; MI // CD =>

I là trung điểm của DA

cố định hay đờng thẳng

qua M vuông góc với

BC đi qua I cố định

Bài 4: Cho tam giác ABC và hai điểm M, N thứ tự chuyển động trên hai tia BA,

CA sao cho BM= CN Chứng minh rằng

đ-ờng trung trực của MN luôn đi qua một

điểm cố định

H

ớng dẫn :

Khi M ≡ B thì N ≡ C khi đó đờng trung trực

của MN là trung trực của BC Vậy điểm cố

định nằm trên đờng trung trực của BC

Giải: Giả sử trung trực của BC cắt trung

trực của MN tại I

I

d

M O

A B

C

N I

C B

A M

D

A

O

Dễ thấy tam giác IMB = tam giác INC (c-c-c) vậy góc MBI = góc NCI

Xét tứ giác ABCI có góc MBI = góc NCI vậy tứ giác ABCI nội tiếp hay I thuộc đ-ờng tròn Ngoại tiếp tam giác ABC cố định, mà Trung trực của BC cố định Vậy I cố

định hay trung trực của MN đi qua I cố định

Bài 5: Cho đờng tròn (O; R) và dây cung AB = R 3 Điểm P khác A và B Gọi (C; R1) là đờng tròn đi qua P tiếp xúc với đờng tròn (O; R) tại A.Gọi (D; R2) là đ-ờng tròn đi qua P tiếp xúc với đđ-ờng tròn (O; R) tại B Các đđ-ờng tròn (C; R1) và (D;

R2) cắt nhau tại M khác P Chứng minh rằng khi P di động trên AB thì đờng thẳng

PM luôn đi qua một điểm cố định

Tìm hiểu đề bài:

* Yếu tố cố định: (O; R), dây AB

* Yếu tố không đổi: DPCO là hình bình

hành Sđ cung BP của (D), sđ cung AP của

(C), Góc BMA không đổi

Dự đoán

Khi P ≡ A thì PM là tiếp tuyến của (O; R)

=> điểm cố định nằm trên tiếp tuyến của

(O; R) tại A

Khi P ≡ B thì PM là tiếp tuyến của (O;

R)=> điểm cố định nằm trên tiếp tuyến của (O; R) tại B

Do tính chất đối xứng của hình => Điểm cố định nằm trên đờng thẳng qua O và vuông góc với AB

=> Điểm cố định nằm trên đờng tròn ngoại tiếp tam giác OAB

Lời giải:

Vẽ đờng tròn ngoại tiếp tam giác OAB cắt PM tại I

vì AB = R 3 => sđ cung AB của (O) bằng 1200

tam giác BDP cân do đó góc OBA = góc DPB

tam giác OAB cân do đó góc OBA = góc OAB => góc BDP = góc BOA => sđcung BP của (D) = sđ cung BA của (O) = 1200

tơng tự sđ cung PA của (C) = 1200

ta có góc BMP =

2

1

sđ cung BP của (D) = 600

ta có góc AMP =

2

1

sđ cung AP của (C) = 600

Vậy góc BMA = góc BMP + góc AMP = 1200 = góc BOA

xét tứ giác BMOA có góc BMA = góc BOA do đó tứ giác BMOA nội tiếp hay M thuộc đờng tròn ngoại tiếp tam giác BOA

Vậy

2

1

sđ cung IA = góc IMA = góc PMA =

2

1

sđ cung PA của (C) = 1200 Vậy I thuộc đờng tròn ngoại tiếp tam giác AOB và sđ cung IA = 1200 => I cố định hay

MP đi qua I cố định

Bài 6: Cho đoạn AB cố định, M di động trên AB Trên cùng một nửa mặt phẳng

bờ AB vẽ hai hình vuông MADE và MBHG Hai đờng tròn ngoại tiếp hai hình vuông cắt nhau tại N Chứng minh đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên AB

H

ớng dẫn:

Tơng tự bài 1

Giải:

Giả sử MN cắt đờng tròn đờng kính AB tại I

Ta có Góc ANM = Góc ADM = 450( góc nội tiếp

cùng chắn cung AM của đờng tròn ngoại tiếp

hình vuông AMDE)

I

N

H G

M

D E

Ta có Góc BNM = Góc BGM = 450( góc nội tiếp cùng chắn cung BM của đờng tròn ngoại tiếp hình vuông MBGH)

=> gócANB = Góc ANM + Góc BNM = 900 => N thuộc đờng tròn đờng đờng kính

AB vậy sđ cung AI = 2sđGóc ANI

=2sđGóc ANM = 900

Vậy I thuộc đờng tròn đờng kính AB và số đo cung AI bằng 900=> I cố định hay

MN đi qua I cố định

Bài 7: Cho hình vuông ABCD có tâm O Vẽ đờng thẳng (d) quay quanh O cắt AD,

BC thứ tự tại E, F Từ E, F lần lợt vẽ các đờng thẳng song song với BD, CA chúng cắt nhau tại I Qua I vẽ đờng thẳng (m) vuông góc với EF Chứng minh rằng (m) luôn đi qua một điểm cố định khi (d) quay quanh O

H

ớng dẫn:

Khi E ≡A thì HI qua A và vuông

góc với AC

khi E ≡ D thì HI qua B và vuông

góc với BD

do tính chất đối xứng của hình vẽ

nên điểm cố định nằm trên đờng

trung trức của AB

dự đoán: điểm cố định K nằm

trên đờng tròn đờng kính AB

Giải:

Dễ thấy I thuộc AB

Có góc IHE + góc IAE = 1800

nên tứ giác IHEA nội tiếp

=> góc IHA = góc IEA = 450

k

H

I

F

O

D C

E

Có góc IHF + góc IBF = 1800 nên tứ giác IHFB nọi tiếp

=> góc BHI = góc BFI = 450

Vẽ đờng tròn đờng kính AB Ta có góc BHA = góc IHA + góc BHI = 900 nên H thuộc đờng tròn đờng kính AB

Giả sử HI cắt đờng tròn đờng kính AB tại K ta có:

Sđ cung KA = 2 sđ góc KHA = 2 sđ góc IHA = 900

Do K thuộc đờng tròn đờng kính AB và sđ cung KH = 900 nên K cố định hay HI đi qua K cố định

Bài 8: Cho góc vuông xOy Trên Ox, Oy thứ tự có hai điểm A, B chuyển động sao

cho OA+ OB = a ( a là độ dài cho trớc) Gọi G là trọng tâm tam giác OAB và (d) là

đờng thẳng qua G vuông góc với AB Chứng minh rằng (d) luôn đi qua một điểm

cố định

Gợi ý:

Khi B ≡ D thì (d) là đờng thẳng

vung góc với OD và O cách (d) một

khoảng

3

1

a

khi OB = OA =

2

1 a thì (d) là phân giác của góc xOy

do tính chất đối xứng dự đoán điểm

cố định thuộc tia phân giác của góc

xOy

Giải:

Trên Ox, Oy thứ tự lấy 2 điểm C, D

sao cho OC = OD = a

Phân giác của góc xOy cắt CD tại

N, cắt (d) tại I

rễ thấy tam giác NAO = tam giác NBD do đó NF vuông góc với AB

n C

I G f A

B

Xét tam giác ONF có GI // NF => a

3

1 ON 3

2 OI 3

2 ON

OI OF

Vậy I cố định hay (d) đi qua điểm cố định I

Bài 9: Cho góc vuông xOy Trên Ox lấy điểm A cố định Trên Oy lấy điểm B di

động Đờng tròn nội tiếp tam giác ABO tiếp xúc với AB, OB thứ tự tại M, N Chứng minh rằng đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

g ợi ý:

Tam giác BNM cân do đó khi B ≡ O thì góc B→900 nên góc MNB →450 do đó

điểm cố định nằm trên phân giác của góc xOy

khi B → vô cùng xa thì bán kính của (I) →

2

1 OA khi đó MN là đờng thẳng song

song với Ox và cách Ox một khoảng

2

1

OA

Giải:

Giả sử tia phân giác Om của góc

xOy cắt MN tại F

ta có tam giác BMN cân do đó:

B 2

1 90

ONM = ° + ∠

∠

2

1 90 AIO = ° + ∠

∠

Vậy: ∠ ONM= ∠ AIO

Dễ thấy tam giác AIO và tam

giác FNO đồng dạng

Vậy:

2

OA OF 2

1 ION cos

OI

ON

OA

OF

=

=>

=

∠

=

Vậy F cố định hay MN đi qua F cố định

y

x

m

F M

N

I

O A

B

Bài 10: Cho đoạn thẳng AB và một điểm M bất kì trên đoạn thẳng ấy Từ M vẽ tia

Mx vuông góc với AB Trên Mx lấy hai điểm C; D sao cho MC= MA; MD = MB

Đờng tròn tâm O[1] qua 3 điểm A, M, C và đờng tròn tâm O[2] qua 3 điểm B, M,

D cắt nhau tại điểm thứ hai N Chuứng minh rằng đờng thẳng MN luôn đi qua một

điểm cố định khi M đi chuyển trên AB

(Tơng tự bài 6)

Bài 11: Cho ba điểm A, B, C thẳng hành theo thứ tự đó vẽ đờng tròn (O) thay đổi

đi qua A và B Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB vẽ đờng kính PQ cắt AB tại D.Tia CP cắt đờng tròn tại điểm thứ hai I

Chứng minh rằng khi đờng tròn (O) thay đổi thì QI luôn đi qua một điểm cố định

Giải:

Giả sử QI cắt AB tại H

ta có tam giác CIH và tam

giác CDP đồng dạng

CP

CD CH

CI

CH.CD

CI.CP =

lại có CI.CP = CB.CA

Vậy CH.CD=CB.CA

=> CH =CB CD.CA= hằng

số => H cố định hay đờng thẳngQI luôn đi qua H cố định

h

i p

q d

Bài 12: Cho đờng tròn (O; R) có

dây cung CD Trên tia đối của

tia DC lấy M bất kì Qua M kẻ

các tiếp tuyến MA, MB với (O;

R) Chứng minh rằng khi M thay

đổi thì AB luôn đi qua một điểm

cố định

Gợi ý: khi M→vô cùng xa thì

AB trở thành đờng kính vậy

điểm cố định nằm trên đờng thẳng qua O và vuông góc với CD

Giải: Kẻ đờng thẳng qua O và vuông góc với CD cắt đờng thẳng AB tại K ta có:

OH.OK = OI.OM = OB2 = hằng số mà OH không đổi do đó OK không đổi hay AB

đi qua K cố định

Bài 13: Cho đờng tròn tâm O và dây AB, M là điểm chuyển động trên đờng tròn,

từ M kẻ MH vuông góc với AB (H thuộcAB), gọi E, F lần lợt là hình chiếu vuông góc của H trên MA, MB Chứng

minh rằng đờng thẳng qua M và

vuông góc với EF luôn đi qua một

điểm cố định khi M thay đổi trên

đờng tròn

Giải:

Giả sử đờng thẳng qua M và vuong

góc với EF cắt đờng tròn O tại I

Ta có: Tứ giác MEHF nội tiếp do

đó góc AMH = góc EMH = góc

EFH

E

h

o

B A

m

i h

k a o

lại có góc EFH = góc IMB (cạnh tơng ứng vuông góc)

ta có

2

1

sđ cung IB = sđ góc IMB

2

1

sđ cung MB = sđ góc MAB

lại có góc IMB + góc MAB = góc AMH + góc MAH = 900 do đó sđ cung IM =

1800 hay MI là đờng kính của đờng tròn (O) vậy MI đi qua điểm cố định O

Bài 14: Cho đờng tròn (O) và dây cung BC cố định Gọi A là điểm di động trên

cung lớn BC của đờng tròn (O), ( A khác B và C) Tia phân giác của góc ACB cắt

đờng tròn (O) tại điểm D khác C, lấy I thuộc đoạn CD sao cho DI = DB Chứng minh rằng đờng thẳng AI luôn đi qua một điểm cố định

Giải:

giả sử AI cắt đờng tròn (O) tại G

cung DB => AD = DB mà DB = DI

đó góc DAI = góc DIA lại có: góc

DAI =

2

1

sđ cung DG góc DIA =

2

1 (sđ cung AD + sđ cung CG)

Vậy sđ cung DG = sđ cung AD + sđ cung CG

hay sđ cung DB + sđ cung BG = sđ cung AD + sđ cung CG mà sđ cung DB = sđ cung AD vậy sđ cung BG = sđ cung CG hay G là điểm chính giữa của cung nhỏ

BC của đờng tròn (O) Vậy AI đi qua điểm chính giữa của cung BC cố định

Bài 15: Cho đờng tròn (O) có hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau I bất

kì trên đoạn CD trên AD, AC lấy hai điểm M, N sao cho I là trung điểm của MN

G i

D

o

B C

A

Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua 1 điểm cố định khác A

Giải:

Tam giác

AMN vuông

tại A => IA

là trung tuyến ứng với cạnh huyền => IA = IM = IN lại có IA = IB nên tứ giác AMBN nội tiếp hay đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua B cố định

Bài 16: Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C theo thứ tự đó Một đờng tròn (O) thay

đổi nhng luôn đi qua B và C Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN đến đờng tròn (O)

Đờng thẳng MN cắt hai đoạn AO, AC lần lợt tại H và K Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác OHK luôn đi qua hai điểm cố định

giải:

Qua O Kẻ đờng thẳng

vuông góc với BC tại I ta có

I là trung điểm của BC nên

I cố định

m

n

b

a

k h

m

n

I

o

E

o2 o1

C B

A

D

lại có tứ giác OHKI nội tiếp ( góc OHK = góc OIK = 900) => góc IOH = góc HKA

hay tam giác AOI đồng dạng với tam giác AKH => AK.AI AO.AH

AI

AO AH

có tam giác ONA vuông, đờng cao NH =>AO.AH = AN 2

ta có AN2 =AB.AC

vậy:

AI

AB.AC AK

AB.AC AK.AI = ⇒ = = hằng số => K cố định

Vậy đờng tròn ngoại tiếp tam giác OHK đi qua hai điểm cố định I, K

Bài 17: Cho tam giác ABC và điểm D tuỳ ý trên BC Vẽ đờng tròn (O1) qua D tiếp xúc với AB tại B và đờng tròn (O2) qua D tiếp xúc với AC tại C, hai đờng tròn (O1)

và (O2) cát nhau tại E khác D Chứng minh khi D di động trên BC thì đờng thẳng

DE luôn đi qua một điểm cố định

Giải:

Giả sử DE cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác

ABC tại F

ta có: góc BED = góc ABC ( góc nội tiếp và

góc tạo bới tia tiếp tuyến và dây cung cùng

chắn cung BD của (O1))

Tơng tự góc CED = góc ACB

mà gócABC + gócACB + góc BAC =1800

nên gócBEC + góc BAC = 1800

do đó tứ giác ABEC nội tiếp hay E thuộc

đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Vậy sđ cung BF = 2 sđ góc BEF = 2sđ

gócBED =2sđ góc ABC = hsố mà đờng tròn

ngoại tiếp tam giác ABC cố định nên F cố

định hay đờng thẳng DE đi qua F cố định