Tài liệu Chuyên đề quỹ tích điểm và bài tập ứng dụng pptx

I.Kiến thức cơ bản: Với các bài toán quỹ tích ta cần nhớ rằng: 1.. * Với kR điểm M thuộc nữa đường thẳng qua A song song với BC ngược hướngBC... MAk MCMB MAk BC M thuộc đường

Chủ đề 4: Quỹ tích điểm

I.Kiến thức cơ bản:

Với các bài toán quỹ tích ta cần nhớ rằng:

1 Nếu MA  MB , với A, B cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB

2 MC k AB , với A, B, C cho trước thì M đường tròn tâm C, bán kính bằng k.AB

3 Nếu MAk BC, với A, B, C, cho trước thì:

*Với kR điểm M thuộc đường thẳng qua A song song với BC

* Với kR +

điểm M thuộc nữa đường thẳng qua A song song với

BC theo hướngBC

* Với kR

điểm M thuộc nữa đường thẳng qua A song song với

BC ngược hướngBC

II Bài tập minh hoạ:

Bài1: Cho ABC, tìm tập hợp những điểm M thoã mãn:

2

MA MB MC  MBMC

    

b MA 3MB 2MC  2MA MB MC    (2)

Giải:

a.Gọi I là điểm thoã mãn hệ thức

IA IB IC

   

I là trọng tâmABC

Ta được :

3

MA MB MC MI

   

(3) Mặt khác nếu gọi E là trung điểm BC, ta được:

2

MBMC ME

  

(4) Thay (3), (4) vào (1) ta được:

MI  ME 

 

M thuộc đường trung trực của đoạn IE

b Gọi K là điểm thoã mãn hệ thức :

KA KB KC

  

=0 

tồn tại duy nhất điểm K

Ta được:MA 3MB 2MC=2MK

Mặt khác: 2MA MB MC    MA MB MA MC       BA CA   2AE (6) Thay (5), (6) vào (2), ta được:

MK  AE M thuộc đường tròn tâm K, bán kính AE

Bài 2: Cho ABC, tìm tập hợp những điểm M thoã mãn:

a.MA k MB k MC   0 (1)

b.MA k MB k MC   0 (2)

Giải:

a Ta biến đổi (1) về dạng:

( )

MAk MCMB MAk BC

M thuộc đường thẳng qua A song song với BC

b Ta biến đổi (2) về dạng:MA MB k MA MC   (  )  0

Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB và AC, ta được:

(3)  2ME 2k MF  0 MEk MF

M thuộc đường trung bình EF của ABC

Bài 3:( ĐHMĐC-99):Cho ABC, M là một điểm tuỳ ý trong mặt phẳng a.CMR vecto v 3MA 5MB 2MC không đổi

b.Tìm tập hợp những điểm M thoã mãn:3MA 2MB 2MC  MB MC 

Giải:

a.Ta có: v 3MA 5MB 2MC  3(MA MB  ) 2(   MCMB)  3BA 2BC

b.(Bạn đọc tự giải)

Chủ đề 5: Chứng minh hai điểm trùng nhau I.Kiến thức cơ bản:

Muốn chứng minh hai điểm A và B trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai hướng:

Hướng 1:chứng minh AB 0

Hướng 2: chứng minhOAOB với O là điểm tuỳ ý

II Bài tập minh hoạ:

Bài1: Cho ABC Lấy các điểm MBC, NAC, PAB sao cho:

  AMBNCP 0

Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm

Giải:Gọi G, J theo thứ tự là trọng tâm các tam giác ABC, MNP, ta có:

            

        

Bài 2: Cho tứ giác lồi ABCD.Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB,

BC, CD, DA Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm

Giải: Gọi G, J theo thứ tự là trọng tâm các tam giác ANP, CMQ và O là một

điểm tuỳ ý Ta có:

OA ON   OP OG   OC OM OQ OJ (1)

Mặt:OA ON   OP 1( ) 1( ) 1( )

           (2)

           (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra: OGOJ

Vậy G, J trùng nhau

Chủ đề 6: Chứng minh ba điểm thẳng hàng I.Kiến thức cơ bản:

Mu ốn ch ứng minh 3 đi ểm th ẳng h àng ta c ần ch ứng minh:

0

MA MB MC

NA NB NC

   

   

,

ABk AC k

 (1)

Để nhận được (1), ta lựa chọn một trong hai hướng:

Hướng 1: Sử dụng các quy tắc biến đổi vectơ đã biết

Hướng 2:Xác định vectơ AB



vàAC

thông qua một số tổ hợp trung gian

II Bài tập minh hoạ:

Bài1: Cho ABC, lấy các điểm I,J thoã mãn:

2 ,(1)

IA IB

JA JC



 

 

  

Chứng minh Ị đi qua trọng tâm của ABC

Giải:

Viết lại (1) dưới dạng: IA 2IB 0 (3)

Biến đổi (2) về dạng:3(IA IJ  ) 2(  IC IJ   0 3IA 2IC 5IJ (4)

Trừ theo vế (4) cho (3) ta được:

2(IA IB   IC)  5IJ  6IG 5IJ I, J, G thẳng hàng

Bài 2: Cho ABC Đường tròn nội ti ếp ABC tiếp xúc với AB, AC theo thứ

tự tại M, N Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AC, BC Tìm điểm P thuộc EF sao cho M, N, P thẳng hàng

Hướng dẫn:

Gọi P là giao điểm của EF và đường phân giác trong góc B Ta đi chứng minh M, N, P thẳng hàng

Bài 3: Cho ABC Lấy các điểm M, N, P sao cho:

MA MB MC

NA NB NC

   

   

Chứng minh rằng M, N, G thẳng hàng, với G là trọng tâm tam giác ABC (Bạn đọc tự giải)