Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Huyền Trang ; Fb: Nguyen Trang.
Trang 1Câu 1 [2D4-1.6-4] ( Hội các trường chuyên 2019 lần 3) Có bao nhiêu số phức z a bi = + ( a b , ∈ Z )
thỏa mãn
z i z i z i z i + + − = + + − và z ≤ 10
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Huyền Trang ; Fb: Nguyen Trang.
Chọn A
Cách 1:
Áp dụng bất đẳng thức mô đun số phức ta có:
3 z + + − ≥ i z i 3 z + i + − = z i 3 z i +
3 z − + + ≥ i z i 3 z − i + + = z i 3 z − i
z i z i z i z i
⇒ + + − ≥ + + − .
Dấu " " = khi
( )
3
z i k z i k
⇔
+) Nếu
7 3
k = thì ( ) ( ) 1 , 2 vô lý.
+) Khi
0 7 3
k k
>
≠
- Ta có
( )
28 6 3 1
7 3
k
k
− −
28
3
3
k k
−
Suy ra
4 6
b b
≤ −
>
Trang 2- Ta có
( ) 2 4 14
7 3
k
k
+
− + với 4 14 7 ( )
3
k
k
+
Suy ra
4
6
b
b
< −
≥
Do đó z i z i z i z i + + − = + + − ⇔ = 3 4 6 z bi, với b ≥ 6 hoặc b ≤ − 4
Mà z ≤ 10 6 10 10 4
b b
− ≤ ≤ −
⇒ ≤ ≤
Vì b ∈ ⇒ ∈ − − − − − − − Z b { 10; 9; 8; 7; 6; 5; 4;6;7;8;9;10 } .
Vậy có 12 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán
Cách 2: Lưu Thêm
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z
+) Đặt z i z i z i z i + + − = + + − = 3 4 6 2 , m m ( > 0 ) .
Ta có
z i z i m
z i z i m
+ + − =
+ + − =
( ) ( )
MF MF m
+ =
⇔ + =
−
−
Trang 3+) Ta có
1 2
1 2
5
m
*) Với m = 5
+) Tập hợp các điểm M thỏa mãn ( ) 1 là elip ( ) K với hai tiêu điểm là E E1, 2 và độ dài trục lớn bằng 10
+) Tập hợp các điểm M thỏa mãn ( ) 2 là đoạn F F1 2.
+) Ta có ( ) K và đoạn F F1 2 có có hai điểm chung ⇒ có 2 số phức thỏa mãn
*) Với m > 5
+) Tập hợp các điểm M thỏa mãn ( ) 1 là elip ( ) K với 2 tiêu điểm E E1, 2
+) Tập hợp các điểm M thỏa mãn ( ) 2 là elip ( ) T với 2 tiêu điểm F F1, 2
+) ( ) T và ( ) K có độ dài trục lớn bằng 2m, tâm I ( ) 0;1 và có 2 điểm chung là M1( 0;1 + m ) ,
2 0;1
M − m Do đó số phức z thỏa mãn đề có dạng z = + ( 1 m i ) hoặc z = − ( 1 m i )
+) Do z a bi = + có ,ab ∈ ¢ nên m ∈ ¢
+)
10
5
z
m
≤
>
5
m
m m
m
+ ≤
>
+) Nếu m ∈ { 6;7;8;9 } thì mỗi giá trị của mcó 2 số phức thỏa mãn z ≤ 10
+) Nếu m = 10 thì điểm M1( ) 0;11 bị loại, điểm M2( ) 0; 9 − được chọn
⇒ Có 1 số phức thỏa mãn
+) Nếu m = 11 thì điểm M1( ) 0;12 bị loại, điểm M2( 0; 10 − ) được chọn
⇒ Có 1 số phức thỏa mãn
Vậy có tất cả 2 4.2 2 12 + + = số phức thỏa mãn đề