Tổ 19 đ2 đề học SINH GIỎI NGHỆ AN

Xác định số phần tử của S.. Gọi M là trung điểm của đoạn AB và G là trọng tâm tam giác ACD.. b Gọi  là góc giữa hai đường thẳng AB và SC.. Xác định số phần tử của S.. Gọi A là biến cố s

GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP 11 NGHỆ

AN

NĂM HỌC 2018-2019

MÔN TOÁN TIME:150 PHÚT

ĐỀ BÀI Câu 1.a) Giải phương trình cos 2x7 cosx 3(sin 2x 7sin ) 8x 

,

x y R









Câu 2: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau được chọn từ các chữ

số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Xác định số phần tử của S Lấy ngẫu nhiên một số từ S , tính xác

suất để số được chọn là số chia hết cho 11 và tổng 4 chữ số của nó cũng chia hết cho 11

Câu 3 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có AB2BC Gọi M là

trung điểm của đoạn AB và G là trọng tâm tam giác ACD Viết phương trình đường thẳng

AD Biết rằng M1;2 và

5

;0 3

G  

 

Câu 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân (AB//CD) nội tiếp đường tròn tâm O

và SBA SCA  90

Gọi M là trung điểm cạnh SA

a) Chứng minh rằng: MOABCD

b) Gọi  là góc giữa hai đường thẳng AB và SC Chứng minh rằng cos

BC SA



Câu 5

a) Cho dãy số  u n

, biết u  , 1 12

2 1



   với n 1 Tìm lim2 2 1

n u

n 

b) Cho ba số thực , b,ca thoả mãn a3b3c3 3abc32 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P a b c a b b c  c a

-Hết -HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1.a) Giải phương trình cos 2x7 cosx 3(sin 2x 7sin ) 8x 

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thanh Tâm; Fb: Tâm Nguyễn

Phương trình: cos 2x7 cosx 3(sin 2x 7sin ) 8x 

cos 2x 3 sin 2x 7( 3 sinx cos ) 8x

cos 2 sin 2 7( sin cos ) 4

cos cos 2 sin sin 2 7(cos sin sin cos ) 4

cos(2 ) 7sin( ) 4

2

1 2sin ( ) 7sin( ) 4 0

2 2sin ( ) 7sin( ) 3 0

1 sin( )

sin( ) 3( )

6

x









 



sin( ) sin

2

2







 

2 2 2 3

x k















tambc3vl@gmail.com

,

x y R









Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thanh Tâm; Fb: Tâm Nguyễn

x y R









Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 2 Mã đ X ề

Điều kiện 2x2 y 2 0

(1) x 1 y  x1  1 y  1 0

 

1 1

y x

  



 









Ta có

(*) x1  1 y  1 x1  y x 1 x1  y  y0

nên phương trình (*) vô nghiệm

Thế yx1 vào phương trình (2)ta được phương trình

3 4 2 1 2 1 0 (3)

        

Đặt a 2x2 x 1 0 , phương trình (3) trở thành

   2

2

x a







+

2

2

x

x x



  



+

2

2

x





Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm

S             

vuthithao99@gmail.com.

Câu 2: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau được chọn từ các chữ

số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Xác định số phần tử của S Lấy ngẫu nhiên một số từ S , tính xác

suất để số được chọn là số chia hết cho 11 và tổng 4 chữ số của nó cũng chia hết cho 11

Lời giải

Tác giả : Vũ Thị Thảo Facebook: Vũ Thảo

Số phần tử của S là: A 94 3024( số ).

Số phần tử của không gian mẫu là n    3024

Gọi A là biến cố số được chọn là số chia ՙՙ hết cho 11 và tổng 4 chữ số của nó cũng chia hết

Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau là : abcd , a0,a b c d   

Theo giả thiết ta có : a c   b d  11

  và a c   b d   suy ra 11 a c  và11

b d  11

Trong các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có các bộ số gồm hai chữ số mà tổng chia hết cho 11 là

2; 9 ; 3; 8 ; 4; 7 ; 5; 6      

Chọn cặp số a c, 

có 4 khả năng, mỗi khả năng có 2 cách

Khi đó, chọn cặp số b d, còn 3 khả năng, mỗi khả năng có 2 cách.

Vậy n A   4.2.3.2 48 (số)

Xác suất cần tìm là

   

 

3024 63

n A

P A

n



Câu 3 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có AB2BC Gọi M là

trung điểm của đoạn AB và G là trọng tâm tam giác ACD Viết phương trình đường thẳng

AD Biết rằng M1;2 và

5

;0 3

G  

 

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Minh ; Fb: Minh Nguyễn

Gọi H là hình chiếu của G lên AB và K là trung điểm của CD

Đặt BC3a0, suy ra AB6 ,a GH 2 ,a HM a.

MG MH HG   a  a

Giả sử A x y ; . Khi đó

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 4 Mã đ X ề

 2  2

2 2

2 2

2 2 8 3

AM

AG

x y















 



0 8 5

1, 0

,

x y y y









 

 













Nếu A  1;0thì đường thẳng AD qua A và vuông góc với AM nên có phương trình là

1 0

x y  

Nếu

19 8

;

5 5

A 

  thì đường thẳng AD qua A và vuông góc với AM nên có phương trình là 7x y  25 0.

Câu 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân (AB//CD) nội tiếp đường tròn tâm O

và SBA SCA  90

Gọi M là trung điểm cạnh SA

a) Chứng minh rằng: MOABCD

b) Gọi  là góc giữa hai đường thẳng AB và SC Chứng minh rằng cos

BC SA



Lời giải

Tác giả: Chu Viết Tấn ; Fb: Chu Viết Tấn

C D

S

O

H

a), Gọi O’ là hình chiếu vuông góc của M trên (ABCD) Do các tam giác SBA và SCA lần

lượt vuông tại B và C nên ta có MA MB MC   O A O B O C'  '  '  O' hayO

MO ABCD

b) Cách 1: Ký hiệu ( )a b,

là góc giữa hai đường thẳng a b,

Gọi SC AB,   SC CD,  SCD SAD

Mặt cầu đường kính SA ngoại tiếp khối chóp S ABC nên cũng ngoại tiếp khối chóp

S ABCD do đó SDA  90

Gọi R r, lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp SAD SCD, Ta có:

2 sin 2 sin

SD r SCD R SAD Do rR nên sinSCD sinSAD  SCD SAD 

 cos cosSAD AD BC

Cách 2: ( Đáp án chính)

M

C D

S

O I

Vì AB CD nên góc giữa hai đường thẳng / / AB SC là góc giữa CD và SC

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 6 Mã đ X ề

suy ra

2 cos cosSCD  1 sin SCD

(*)

Gọi I hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng SCD ta có MD MC 12SA nên

tam giác SAD vuông tại D .

Mặt khác MS MD MC suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SCD Khi đó

sin

2 2

SCD

( Vì tam giác MID vuông tại I )

Từ (*) suy ra:

2

Vậy ta có đpcm

tranquyen259@gmail.com

Câu 5 (4 điểm).

a) Cho dãy số  u n , biết u 1 12,

2 1



   với n 1 Tìm lim2 2 1

n u

n 

b) Cho ba số thực , b,ca thoả mãn a3b3c3 3abc32 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P a b c a b b c  c a

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Trần Quyền; Fb: Nguyễn Trần Quyền

a) (2 điểm) Ta có:

     

   

 

         

 

   

               

                 

2

1

1

1

2 2

*

n

n n n







  



1 1

n n

u v

n n



, từ  *

ta có 1

1 2

v   v

nên  v n

là cấp số nhân có công bội

1 2

q 

, 1

1 2

v 

suy ra

     

  2 

u

n n



Khi đó

   

n

n

Ta có

   

6

n n n

n

Do đó ta có bất đẳng thức sau

   

   

       

n

Vì

   

     

2 2



nên

   

2 2

2 2n 1

n





hơn nữa

2 2

lim

n



1 lim

n u

n  

1 lim

n u

n   .

b) (2 điểm) Ta có

a b c  abc  a b c a  b c  ab bc ca  

Đặt t a b c   , từ  *

suy ra t a b c   0

2

2

3

Ta chứng minh

 2  2    2

a b  b c  c a   a b  b c  c a 

Thật vậy, vì vai trò , ,a b c bình đẳng nên không giảm tổng quát giả sử rằng a b c  , khi đó

      2 

a b  b c  c a  a b  b c  a c  a c

Ta có

   

a b b c a b b c

a b b c

Điều trên luôn đúng với a b c  Vì vậy

2

 

Ta có

2

128 2 3

P

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 8 Mã đ X ề

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là

128 2

3 . Đạt được khi

,

a  b c  

và các hoán vị của , ,a b c