Chủ đề : giới hạn của hàm số I/ Kiến thức cơ bản.. a.Giới hạn hữu hạn.. 2.Giới hạn hàm số tại vô cực.. 2.Một số định lý về giới hạn.. Giới hạn một bên... Một vài quy tắc tìm giới hạn vô
Trang 1Chủ đề : giới hạn của hàm số
I/ Kiến thức cơ bản.
a.Giới hạn hữu hạn.
Giả sử (a;b)là một khoảng chứa điểm x0 và f là một hàm số xác định trên khoảng (a;b) \ x0.
Khi đó
0 0
x xlim f(x ) L
n dãy số (x )
∀ trong tập hợp (a;b) \ x0 mà lim xn = x0,ta đều có n
lim f(x ) L =
b.Giới hạn vô cực
x xlim f(x)0 hay lim f(x) ( x x 0 )
→ = +∞ → = −∞ nếu ∀ dãy xn∈(a;b) \ x0mà lim xn = x0, ta đều có n
lim f(x ) = +∞ ( hay lim f(x )n = −∞ )
2.Giới hạn hàm số tại vô cực.
+/ Giả sử ta có hàm số f xác định trên (a; +∞ ) Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần đến +∞ nếu với mọi dãy (x )n trong khoảng (a; +∞ ) mà lim xn = +∞,ta đều có
n
lim f(x ) L =
Ta viết xlim f(x) L
→+∞ = .
+/ Tương tự ta có lim f(x) , lim f(x) , lim f(x) L,
lim f(x) , lim f(x)
2.Một số định lý về giới hạn
Định lý 1: Giả sử
0
xlim f(x) L và lim g(x) Mx x
0
x xlim f(x) g(x) L M.
→ + = + b/ [ ]
0
x xlim f(x) g(x) L M.
x xlim f(x).g(x) L.M đặc biệt lim cf(x)x x cL.
0
x x
f(x) L
g(x) M
→
Định lý 2: Giả sử
0 0
x xlim f(x ) L
→ = , khi đó:
a/
0
x xlim f(x) L
→ = b/
0
3 3
0
x xlim f(x ) L
c/ Nếu f(x) 0 x J \ {x } ≥ ∀ ∈ 0 ,trong đó J là một khoảng nào đó chứa điểm x0 thì
0 0
x x
L 0 và lim f(x ) L
→
4 Giới hạn một bên
+/ Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (x ;b)0 .Ta nói hàm số f có giới hạn bên phải là L
khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0),nếu với mỗi dãy (x )n trong khoảng (x ;b)0 mà lim xn = x0,ta
đều có lim f(x ) Ln = Ta viết
0
x xlim f(x) L
+
+/ Định nghĩa tơng tự cho
0
x xlim f(x) L
−
Trang 2+/ Hàm số có giới hạn tại x0 và
0
x xlim f(x) L
→ = tồn tại
0
x xlim f(x)+
→ ,
0
x xlim f(x)−
x xlim f(x) limx x L
→ = → = .
5. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực
+/ Nếu
0
x xlim f(x)
→ = +∞ thì
0
x x
1
f(x)
+/ Quy tắc 1
Nếu
x xlim f(x) và lim g(x) L 0x x
0
x xlim f(x).g(x)
→ cho bởi bảng sau:
0
x xlim f(x)
0
x xlim f(x).g(x)
→
Quy tắc 2:
0
x xlim f(x) L 0
→ = ≠ và
0
x xlim g(x) 0 và g(x) 0 hoặc g(x) 0
0
x J \ {x } ∈ , trong
đó J là mộy khoảng nào đó chứa điểm x0,thì
0
x x
f(x) lim g(x)
→ cho bởi bảng sau:
Dấu của L Dấu của f(x)
0
x x
f(x) lim g(x)
→
6 Một số dạng vô định
Dạng 0
0:
Cách khử :
+/ Phân tích tử và mẫu thành tích để giải ớc nhân tử chung
+/ Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến số dới dấu căn thì có thể nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp
Dạng ∞
∞ :
+/ Chia cả tử và mẫu cho xk,với k là số mũ cao nhất của biến số x.(Hay phân tích tử và mẫu thành tích chứa nhân tử xn rồi giản ớc)
+/ Nếu u(x) và v(x) có chứa biến x trong dấu căn, thì đa xk ra ngoài (k là bậc cao nhất của x trong căn) trớc khi chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của x
Dạng ∞ − ∞và dạng 0.∞:
Trang 3+/ Nhân và chia với biểu thức liên hợp,nếu có biểu thức chứa biến x dới dấu căn hoặc quy
đồng mẫu để đa về cùng một phân thức
II Kĩ năng cơ bản.
Vận dụng linh hoạt các định lý về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm giới hạn vô cực để giải các bài toán về giới hạn hàm số
III Một số ví dụ:
A.Ví dụ tự luận:
Ví dụ 1: áp dụng định nghĩa tính
2
x 2
3x x 1 lim
x 1
→
− +
− .
Giải :
+/ Hàm số f(x) 3x2 x 1
x 1
− +
=
− xác định trên Ă \ 1 { } +/ Giả sử ( ) xn là dãy số tùy ý mà xn → 2
Khi đó
n n n
n
+/ Vậy 2
x 2
3x x 1
x 1
Ví dụ 2: áp dụng định nghĩa tính
2 2
x 1
lim
→
+ −
− − .
Giải :
+/ Hàm số
2 2
x 2x 3 f(x)
2x x 1
+ −
=
− − xác định trên { }1
\ 1, 2
+/ Giả sử ( ) xn là dãy số tùy ý mà xn → 1
Khi đó
2
n n
+/ Vậy
2 2
x 1
x 2x 3 4 lim
3 2x x 1
→
Ví dụ 3: Tính
1/ 2
x 5
x 5 lim
+
→
−
− 2/x 5 2
x 5 lim
−
→
−
− . Giải :
1/ Ta có :
2
(x 5)(x 5) x 5 10
x 25
2/ Ta có :
2
Trang 4x 5 lim
x 25
→
−
− .
Ví dụ 3: Cho hàm số
2
7x 4x 3 khi x 1 f(x)
4x 2 khi x 1
Tính lim f(x)x 1
Giải :
+/ Ta có hàm số f(x) xác định trên tập Ă
+/ lim f(x) lim(7xx 1 x 1 2 4x 3) 6
+/ x 1lim f(x) lim(4x 2) 6− x 1−
+/ Do x 1lim f(x) lim f(x) 6x 1
x 1
lim f(x) 6
Ví dụ 4: Tính
1/ 3 2
x
1 lim
3x x 2
→−∞ − + 2/
3 2 x
lim
→−∞
+ + + − 3/
2 2 x
→+∞
−
Giải :
1/ Ta có 3 2 3
3
1
1 2
x x
Vì lim 0 ; lim 3 3
x
3
2
2 2
3 1
3 1
x x
x x
+
−
2 2
7 1
1 x
x
+
7 1
Vì lim x ; lim 2 2, lim 3 2
1
x
Ví dụ 5: Tính
1/ 2
x 0
(x 3) 27
lim
x
→
+ − 2/ 3
x 2
3 x 1 lim
x 2
→
− −
−
2/ 2
x 1
9 5x 2 lim
→
− −
− 4/
3 2 2
x 1
lim
→
− − +
Trang 5Gi¶i :
1/ Ta cã
2
(x 3) 27 x 9x 27x
2/ Ta cã
→ →
9 (x 1)(x 1)( 9 5x 2) (x 1)( 9 5x 2)
3
2
3 / Ta cã
4/ Ta cã
− − + = − − − + − ÷
MÆt kh¸c
2
8
12
VËy 3 2
2
x 1
lim
8 12 24
x 1
→
− − + = − − = −
VÝ dô 6: TÝnh
2 2
3 / lim x x x 4 / lim x x 1 x
Gi¶i:
+
2
1 1
5
Trang 6→+∞ →+∞ →+∞
→+∞
+ +
+ + + − +
2 2
x
2
2
x = lim = 4
2
2
2 1
1
x x
2
2
2 2
2 1
1
x x
B Ví dụ trắc nghiệm.
Chọn phơng án đúng cho mỗi ví dụ sau:
Ví dụ 7:
x 1
2x 1 lim
x 2
→
− + bằng:
A.0 B.1
3 C.
1
2 D.2
Ví dụ 8 : 2
x 0
x 3x 1 lim
x 1
→
+ bằng:
A.1 B.0 C.−1 D.−3
Ví dụ 9: 2
x 0
1 1 lim
x x
→
−
bằng:
A.2 B.4 C.+∞ D.−∞
Ví dụ 10:
x 2
x 3 lim
x 1
→
−
− bằng:
A.−1 B −2 C.1 D.2
Ví dụ 11:
Cho hàm số
2
x 2x khi x 1 f(x)
3x khi x<1
=
Khi đó lim f(x)x 1
→ bằng
A.1 B.2 C.không tồn tại D.3
Ví dụ 12:
2
x 1
x 1 lim
x 2
→
−
− bằng:
A.2 B.0 C.1 D.− 1
Trang 7Ví dụ 13:
3 2
x 1
x 3x 4 lim
x 1
→
− bằng:
A.1 B.1,5 C.3 D.3,5
Ví dụ 14:
3 2
x 1
x 3x 2 lim
x 2x 3
→
+ − bằng:
A +∞ B.− 3 C.1 D.0
Ví dụ 15: 2
x
2 x 3 lim
x x 5
→−∞
+ + + bằng:
A.−∞ B +∞ C.1 D.2
Đáp án:
VD7 VD8 VD9 VD10 VD11 VD12 VD13 VD14 VD15
II.Bài tập
A.Bài tập tự luận
Bài1: Dùng định nghĩa tính giới hạn
2
x 3
x 5 1/ lim
x 4
→
+
−
2
x 2
x 3x 2
2 / lim
x 2
→
HD:
+/ Xem lại ví dụ 1
+/ Đ/S: 1/ 8
5 2/ 1
Bài 2 : Tính
HD :
1/ Để ý: x2 − 3x 2 + = x2 − 3x 2 x>1 + ∀
( ) ( )
− +
2 2
x 3x 2 2/ Để ý: x2 + − = − − + ∀ ∈ x 6 x2 x 6 x (-3;2)
+ −
2 2
Bài 3: Tìm a để hàm số
2
x 7x 2a 4 khi x>2 f(x)
3ax 4 khi x 2
− + −
Có giới hạn khi x dần đến 2
HD:
2
+/ Ta có lim f(x) lim x 7x 2a 4 2a 14
lim f(x) lim 3ax 4 6a 4
Trang 8+/ Phải có
9 lim f(x) lim f(x) 2a 14 6a 4 a
2
+/ Vậy với 9
a 2
= − thì hàm số có giới hạn khi x dần đến 2 Và lim f(x)x 2 23
→ = − .
Bài 4: Tính
3 2
1/ lim 2/ lim
3 / lim 4/ lim
−
HD : Xem lại cách làm ở ví dụ 5
Đ/S: 1/ 4
15
− 2/ 4
3
−
3/ Lu ý để cho gọn ta biến đổi
3x2+ + + x 1 3 x3− = 1 3x2+ + x 1 1 +3x 1 −
Nên giới hạn cần tính bằng:
2
3 (x 1) x 1 1 4/ Để rút gọn ta biến đổi:
2
Nh vậy giới hạn cần tính bằng
2
− −
Bài 5:Tính
3
x
HD:
1/ Biến đổi giới hạn cần tính bằng
1 1 0
= − =
2/ +/ Tơng tự câu 1, thêm bớt 2 ở tử
+/ Đáp số 1
6.
3/ +/ Nhân liên hợp cả tử và mẫu
+/ Đáp số: 1
Trang 94/ +/ Biến đổi: x 2x 1 1 x 12 x 12
+ − − = − + −
+/ Từ đó tính đợc giới hạn đã cho bằng 1
2 .
Bài 6 :Tính
2
2
2
3 3
3
x 1
+ + + −
− +
HD: Xem lại cách làm ở ví dụ 6
Đ/S: 1/ 5 2/ − 1
3/ − 1 4/ 0
5/ − 1 6/ 1
2
7/ 1 8/ 2
Bài 7: Tính giới hạn sau theo a
2
2
x a
x a
(x 3x 2) x a
1/ lim
x 5x 4
x 2(a 1)x 2a 1 x a
2 / lim
x 5x 4x
+
→
→ +
HD:
1/ Ta có
2
2
(x 3x 2) x a (x 2)(x a)
x 4
x 5x 4
−
+/ Trờng hợp 1: a 4=
I x 4lim (x 2) 2.
+
→
+/ Trờng hợp 2: a 4 ≠
⇒ = I 0.
+/ Vậy 2 khi a=4
I
0 khi a 4
2/ Ta có: a 0>
+
x 2(a 1)x 2a 1 x a (x 1)(x 2a 1)(x a)(x a)
x(x 1)(x 4)
x 5x 4x
Trang 10+/ Trêng hîp 1: a 1= I x 1lim(x 1)(x 3)(x 4) 0
x(x 4)
+
→
+/ Trêng hîp 2: a 4 =
x 4
(x 1)(x 9)(x 4) 10
I lim
→
−
+/ Trêng hîp 3: a 1
a 4
≠
≠
⇒ = I 0.
VËy
10
=
B.Bµi tËp tr¾c nghiÖm.
Bài 1) Giới hạn 2
1
1 lim
1
x
x x
→
−
− bằng :
2 Bài 2) Giới hạn 3 2
1
lim
1
x
x
→
+ −
− bằng :
Bài 3) Giới hạn 3
1
2 2 1 5 3 lim
1
x
x
→
− bằng :
A) 19
12
12
−
Bài 4) Giới hạn 32
1
lim
x
→
− + + − bằng :
A) 3
2 Bài 5) Giới hạn 2 2
2
4 lim
x
x
→
−
− + bằng :
A)
8
Bài 6) Giới hạn
3 1
1 lim
3 1 2
x
x x
→
− + − bằng :
A) 9
3 Bài 7) Giới hạn lim3 1 2
6 3
x
x x
→
+ − + − bằng :
2
Trang 11Bài 8) Giới hạn 2
1
3 2 lim
2
x
x
→
+ − + − bằng :
A) 1
4
12 Bài 9) Giới hạn 3
1
2 2 7 1 lim
1
x
x
→
− bằng :
A)
13
12
6 Bài 10) Giới hạn 3
2
4 2 lim
2
x
x
→
− bằng :
Bài 11) Giới hạn lim2 2
2 2
x
x x
→
− + − bằng :
Bài 12) Giới hạn 3
2
8 lim
2
x
x x
→−
+ + bằng :
Bài 13) Giới hạn
1
4 5 3 1 5 lim
1
x
x
→
A) 13
12
−
Bài 14) Giới hạn 22
2
lim
2
x
→
+ −
− − bằng :
Bài 15) Giới hạn 23
0
1 2 1 3 lim
x
x
→
+ − + bằng :
A) +∞ B) 1
2 Bài 16) Giới hạn 3 2
2
lim
2
x
→
− − bằng :
A) 1
12 C) 0 D) 1
6 §¸p ¸n:
B i 1à B i 2à B i 3à B i 4à B i 5à B i 6à B i 7à B i 8à
B i 9à B i 10à B i 11à B i 12à B i 13à B i 14à B i 15à B i 16à
