Xử lý số tín hiệu Chương 6: Các hàm truyền Các dạng mô tả tương đương lọc số Đáp ứng xung h(n) Phương trình sai phân I/O Phương trình chập vào/ra Hàm truyền H(z) PP thiết kế lọc Các tiêu chuẩn thiết kế Đáp ứng tần số H(ω) Thực sơ đồ khối Xử lý khối Sơ đồ cực/zero Xử lý mẫu Các hàm truyền + z −1 H ( z) = − 0.8 z −1 Ví dụ: xét hàm truyền sau:  Từ H(z) suy được: Đáp ứng xung h(n) Phương trình sai phân I/O thỏa h(n) Phương trình chập I/O Thực sơ đồ khối Sơ đồ cực/ zero Đáp ứng tần số H(ω) Các hàm truyền Các dạng tương đương tốn học hàm truyền dẫn đến phương trình sai phân I/O khác sơ đồ khối khác thuật toán xử lý mẫu tương ứng + z −1 Ví dụ: Với hàm truyền H ( z ) = − 0.8 z −1 Có thể viết dạng: a Dạng  b Dạng + z −1 7.5 H ( z) = = −2.5 + −1 − 0.8 z − 0.8 z −1 + z −1 H ( z) = = (5 + z −1 )W ( z ) − 0.8 z −1 Đáp ứng hình sine A Đáp ứng trạng thái ổn định - Tín hiệu vào: sine phức, tần số ω0, dài vô hạn x ( n ) = e jω n Ngõ xác định cách: (1) Chập miền thời gian - +∞ y (n) = ∑ h(m) x(n − m) = H (ω0 )e jω0 n −∞ (2) Phương pháp miền tần số Phổ tín hiệu vào: X(ω) = 2πδ(ω - ω0) + (các phiên bản) Đáp ứng hình sine Phổ tín hiệu ra: (phiên thứ nhất) Y(ω) = H(ω)X(ω) = 2πH(ω0)δ(ω - ω0) DTFT ngược: y ( n) = 2π π Y (ω )e jωn dω = H (ω0 )e jω0 n ∫ −π Tổng quát: H(ω) số phức H ( ω0 ) = H ( ω0 ) e e jω n  → H ( ω0 ) e H j arg H ( ω0 ) jω0 n + j arg H ( ω0 ) Đáp ứng hình sine  Tín hiệu vào gồm tín hiệu sine tần số ω1 ω2 kết hợp tuyến tính & lọc tuyến tính: A1e jω1n + A2 e jω n  → A1 H ( ω1 ) e H j (ω1n + arg H (ω1 )) + A2 H ( ω2 ) e  j (ω n + arg H (ω )) Tín hiệu vào tổng quát: phân tích Fourier thành thành phần sine tính ngõ Đáp ứng hình sine  Độ trễ pha (Phase Delay): arg H ( ω ) d (ω ) = − => arg H ( ω ) = −ω.d ( ω ) ω  Độ trễ nhóm (Group Delay): d d g (ω ) = − arg H ( ω) dω => e j ωn  → H ( ω ) e H jω ( n − d ( ω ) ) Đáp ứng hình sine  Bộ lọc có pha tuyến tính: d(ω)=D (constant)  pha arg H ω = −ωD tuyến tính theo ω  Các thành phần tần số có độ trễ D nhau: ( ) e j ωn  → H ( ω ) e H jω ( n − D ) Đáp ứng hình sine B  Đáp ứng q độ Tín hiệu vào: sine, bắt đầu t=0 x ( n) = e jω0 n u ( n)  → X ( z ) = z > e jω = với ROC:  Z − e jω0 z −1 Giả sử lọc có hàm truyền H(z): H ( z) = N ( z) − p2 z −1 − pM z −1 (1 − p z )( −1 ) ( ) Đáp ứng hình sine  Đáp ứng unit step: tín hiệu vào x(n) = u(n) jω n u (n) với ω0 = (z = 1) Trường hợp đặc biệt e y (n) = H ( ) + B p + B2 p + + BM p , n ≥ n 1 n n M y ( n ) n→∞ → H ( )   H(0) coi đáp ứng DC lọc Độ lợi DC: H ( 0) = H ( z ) ∞ z =1 = ∑ h( n) n =0 Đáp ứng hình sine  Đáp ứng unit step thay đổi: tín hiệu vào x(n) = (-1)nu(n) jω n u (n) với ω0 = π (z = -1) Trường hợp đặc biệt e y ( n) = H ( π ) e jπn + B p + B2 p + + BM p , n ≥ n 1 y ( n )  → H ( π )( − 1)  n →∞ n n Độ lợi AC: H (π ) = H ( z ) ∞ = ∑ (−1) n h(n) z = −1 n =0 n M Đáp ứng hình sine Ví dụ Xác định đáp ứng q độ đầy đủ lọc nhân với tín hiệu vào dạng sine phức, tần số ω0, cho + z −1 H ( z) = − 0.8 z −1 Xác định đáp ứng DC AC lọc Tính số thời gian hiệu neff để đạt đến ε = 1% Đáp ứng hình sine  - Bộ lọc ổn định dự trữ (marginally stable): có cực nằm vịng trịn đơn vị Xét lọc H(z) có cực vịng trịn đơn vị lọc có cực liên hợp: p =e * p1 = e jθ1 Bộ − jθ1 - Giả sử cực khác nằm vòng tròn đơn vị - Đáp ứng độ n y (n) = H ( ω0 ) e jω0 n + B1e jθ1n + B1*e − jθ1n + B2 p2 + y (n) n→∞ → H ( ω0 ) e jω0 n + B1e jθ1n + B1*e − jθ1n   Đáp ứng hình sine  Nếu ω0 = ±θ1 ổn định Ví dụ: tạo cộng hưởng ngõ không ω0 = θ1 ⇒ e jθ1 =e jω = p1 N ( z) Y ( z) = (1 − p1 z −1 ) (1 − p2 z −1 ) (1 − pM z −1 ) B1 B1' B2 = + + + −1 −1 −1 − p1 z (1 − p1 z ) − p2 z  Z −1 →(n + 1)a nu (n) Biết: (1 − az −1 ) n ⇒ y (n) = B1e jθ1n + B1' (n + 1)e jθ1n + B2 p2 + Thiết kế cực – zero Các lọc bậc Ví dụ: Thiết kế lọc bậc có hàm truyền dạng G (1 + bz −1 ) H ( z) = − az −1 với 0< a,b ∆ω = ω2 - ω1 Thiết kế cực – zero - Chứng minh được: ∆ω ≈ 2(1 − R ) p nằm gần đường tròn (xem sách)  dùng xác định giá trị R dựa băng thơng ∆ω cho trước Ví dụ: thiết kế lọc cộng hưởng cực, đỉnh f0 = 500Hz độ rộng ∆ω = 32kHz, tốc độ lấy mẫu fs = 10kHz Thiết kế cực – zero - Phương pháp chung: đặt cặp zero gần cực theo * a1 = r.e jω0 a1 = r.e − jω0 hướng cực, với - ≤ r ≤1 Hàm truyền: (1 − r.e H ( z) = (1 − R.e với jω )( )( ) ) z −1 − r.e − jω0 z −1 + b1 z −1 + b2 z −2 = jω0 −1 − jω0 −1 z − R.e z + a1 z −1 + a2 z − a1 = −2 R cos ω0 , a2 = R b1 = −2r cos ω0 , b2 = r Thiết kế cực – zero |H(ω)|2 rR (cut) ω0 π ω