ĐỀ tài cơ học CHẤT điểm

Do đó, học sinh chuyên Lý, học sinh ở đội tuyển học sinh giỏi Vật lý cần nắm vững kiếnthức và vận dụng giải tốt các bài tập về cơ học chất điểm, để có thể đáp ứng tốt cho các kỳ thihọc s

CHUYÊN ĐỀ DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2019

ĐỀ TÀI: CƠ HỌC CHẤT ĐIỂM

PHẦN I: MỞ ĐẦU

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Cơ học chất điểm là một trong những chuyên ngành của Vật lý học Cơ học chất điểmnghiên cứu chuyển động của chất điểm mà phương pháp nghiên cứu nó là toán học giải tíchchặt chẽ như: Giải tích, đại số cao cấp, hình giải tích, phương trình vi phân, tích phân,phương trình toán – lý…

Trong nhiều năm, các bài toán về cơ học chất điểm xuất hiện thường xuyên trong đề thihọc sinh giỏi Olympic Vật lý các nước và quốc tế Trong các đề thi học sinh giỏi cấp thành phố,cấp tỉnh, cấp quốc gia và quốc tế luôn xuất hiện nhiều bài toán liên quan đến phần cơ học chấtđiểm Do đó, học sinh chuyên Lý, học sinh ở đội tuyển học sinh giỏi Vật lý cần nắm vững kiếnthức và vận dụng giải tốt các bài tập về cơ học chất điểm, để có thể đáp ứng tốt cho các kỳ thihọc sinh giỏi đồng thời cũng là cơ sở để các em nghiên cứu các vấn đề khác trong chương trìnhnhư cơ học Vật rắn, dao động cơ Để nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi, giúp học sinh

dự các kỳ thi học sinh giỏi Vật lý vận dụng linh hoạt vào bài toán lạ, khó, qua kinh nghiệm bồidưỡng học sinh giỏi nhiều khóa, chúng tôi chọn đề tài: “ Cơ học chất điểm”

Trong phần “Cơ học chất điểm”, gồm những nội dung cơ bản sau:

- Động học chất điểm: Nghiên cứu những đặc trưng của chuyển động và những dạngchuyển động khác nhau

- Động lực học chất điểm: Nghiên cứu mối liên hệ của chuyển động với sự tương tácgiữa các vật

- Các định luật bảo toàn: Nghiên cứu giải lớp bài toán bằng cách vận dụng các định luậtbảo toàn

II MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI

Đề tài này nhằm mục đích hệ thống kiến thức, giúp học sinh lớp 10 chuyên Vật lý và họcsinh các đội tuyển học sinh giỏi Vật lý nắm vững các kiến thức cơ bản để giải bài tập một cách

dể hiểu, từ thấp đến cao, giúp học sinh có kỹ năng giải quyết tốt các bài tập, hiểu được ý nghĩavật lý của từng bài đã giải, rèn luyện thói quen làm việc độc lập, sáng tạo, phát triển khả năng tưduy, chuẩn bị cho các kì thi học sinh giỏi Đồng thời có kiến thức nền tảng để sau này có cơhội tìm hiểu sâu hơn về các chuyên ngành liên quan đến cơ học chất điểm

Chuyên đề được chia làm hai phần:

Phần 1: Cơ sở lý thuyết của cơ học chất điểm

Phần 2: Phân chia dạng bài tập và một số bài tập minh họa và vận dụng

PHẦN II : NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI

Vì chuyển động xảy ra trong không gian và theo thời gian nên để mô tả chuyển động trước

tiên phải tìm cách định vị vật trong không gian Muốn vật ta phải đưa thêm vào hệ quy chiếu một hệ toạ độ Trong Vật lý người ta sử dụng nhiều hệ toạ độ khác nhau Ở đây, sẽ giới

thiệu hai hệ toạ độ hay dùng đó là hệ toạ độ Đề-các (Descartes) và hệ toạ cầu

a Hệ tọa độ Descartes

Hệ toạ độ Descartes gồm 3 trục Ox, Oy, Oz tương ứng vuông góc với

nhau từng đôi một, chúng tạo thành một tam diện thuận Điểm O gọi

là gốc toạ độ Vị trí của một điểm M bất kỳ được hoàn toàn xác định

bởi bán kính vectơ r, hay bởi tập hợp của 3 số (x,y,z) trong đó r là

hình chiếu của điểm mút M của vectơ lên các trục Ox, Oy, Oz tương

ứng, được gọi là 3 toạ độ của điểm M trong hệ toạ độ Descartes

b Hệ tọa độ cầu

Trong hệ toạ độ cầu, vị trí của một điểm M bất kỳ được xác định bởi 3 toạ độ r, θ, φ Trong đó, r

là độ dài bán kính vectơ, θ là góc giữa trục Oz và r, còn φ là góc trục Ox và tia hình chiếu của ttrong mặt phẳng xOy Biết ba toạ độ cầu của điểm M, ta có thể tính được toạ độ Descartes củađiểm M theo công thức sau:

sin cossin sincos

Trong hệ toạ độ cầu: 0 ≤ θ ≤ 1800 và 0 ≤ φ ≤ 3600 Các đường tròn ứng với cùng một giá trị của

e gọi là Các đường vĩ tuyến, còn các đường tròn ứng với cùng một giá trị của φ gọi là các đường kinh tuyến Hệ toạ độ cầu rất thuận tiện khi định vị các địa điểm trên quả đất.

2.5 Các phương trình của chuyển động thẳng nhanh dần đều

a= hằng số; v = v0+a.t;

Nếu a cùng dấu với v: Chuyển động nhanh dần đều

Nếu a khác dấu với v: Chuyển động chậm dần đều

4.2 Gia tốc hướng tâm:

M

2

2 0

0

2

1

at t v x

4.4 Chu kì và tần số

- Chu kì:



2

5 Chuyển động tròn không đều, gia tốc góc, gia tốc hướng tâm và gia tốc tiếp tuyến.

5.1 Gia tốc góc: Khi vật chuyển động tròn không đều thì tốc độ góc không còn là hằng số

mà biến thiên theo thời gian Khi ấy gia tốc góc kí hiệu 

5.2 Gia tốc hướng tâm và gia tốc tiếp tuyến:

- Trong chuyển động tròn không đều, véctơ vận tốc của chất điểm không chỉ thay đổi vềhướng mà còn thay đổi về độ lớn, khi ấy véctơ gia tốc không hướng vào tâm mà làm vớivectơ vận tốc góc  900 Ta phân tích véctơ a thành hai thành phần

- Thành phần gia tốc pháp tuyến an vuông góc với v Thành phần này chính là gia tốc hướngtâm Nó đặc trưng cho sự biến thiên nhanh hay chậm về hướng của v

r r

v a





Trong đó  là gia tốc góc của chuyển động tròn không đều có đơn vị là rad/s2

Tổng aat an gọi là gia tốc toàn phần của chất điểm chuyển động tròn không đều

6 Tính tương đối của chuyển động, công thức cộng vận tốc

6.1 Tính tương đối của chuyển động: Thể hiện ở chỗ vị trí, hình dạng quỹ đạo và vận tốc

của vật trong các HQC khác nhau thì khác nhau

Gọi vận tốc của vật đối với HQC đứng yên là vận tốc tuyệt đối v13, vận tốc của vật đốivới HQC chuyển động là vận tốc tương đối v12, vận tốc của HQC chuyển động đối với HQCđứng yên là vận tốc kéo theo v23 ta có:

II ĐỘNG LỰC HỌC

II.1 Các định luật Newton.

II.1.1 Định luật I Newtơn.

Khi một chất điểm cô lập (không chịu một tác động nào từ bên ngoài), nếu đang đứngyên nó sẽ tiếp tục đứng yên, nếu đang chuyển động thì chuyển động của nó là thẳng đều

Định luật quán tính: Một chất điểm cô lập bảo toàn trạng thái chuyển động của nó

II.1.2 Định luật II Newtơn.

a.Chuyển động của một chất điểm chịu tác dụng của các lực có tổng hợp F 0 làmột chuyển động có gia tốc

b.Gia tốc chuyển động của chất điểm tỉ lệ với tổng hợp lực tác dụng F và tỉ lệ nghịchvới khối lượng của chất điểm ấy:

m

F k a

k    

1 (2.1)Phương trình Newton: F ma (2.2)

+ Với định luật Newton I: F  a  v const

II.1.3 Định luật III Newtơn.

Khi chất điểm A tác dụng lên chất điểm B một lực 

F thì chất điểm B cũng tác dụnglên chất điểm A một lực 

F và 

'

F bằng không nhưng tác dụng của chúngkhông khử nhau vì điểm đặt của chúng khác nhau

Tổng các nội lực của một hệ chất điểm cô lập (hệ kín) bằng không

 Phương trình cơ bản của cơ học chất điểm: 



F a

m

 Hệ quy chiếu quán tính: Nghiệm đúng phương trình  

F a m

 Lực tác dụng lên chất điểm trong chuyển động cong

23 12

v  

n t

n t

F F F

a m a m a m

a a a

Lực tiếp tuyến

dt

dv m

F t 

Lực pháp tuyến

R

v m

+Lực ma sát lăn: Xuất hiện khi một vật lăn trên mặt một vật khác Lực ma sát lăn cũng

tỉ lệ với áp lực lên mặt đỡ, nhưng hệ số ma sát lăn nhỏ hơn hệ số ma sát trượt nhiều

+Lực ma sát nghỉ: Xuất hiện khi một vật đứng yên mặt một vật khác và có xu hướngchuyển động Lực ma sát nghỉ có độ lớn bằng độ lớn của ngoại lực tác dụng vào vật chùngnào vật còn chưa chuyển động Lực ma sát nghỉ có giá trị cực đại, giá trị này còn lớn hơn cảlực ma sát trượt

+Lực ma sát nhớt: Xuất hiện ở mặt hai lớp chất lưu chuyển động tương đối so vớinhau

III CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN

III.1 Hệ vật, nội lực và ngoại lực

1 Đối tượng xét chuyển động trong nhiều trường hợp không phải là một vật mà là một hệ vậtbao gồm từ hai hay nhiều vật tác dụng lẫn nhau Khi đã xác định được hệ vật thì lực mà cácvật trong hệ tác dụng lên nhau gọi là nội lực còn lực mà các vật ở ngoài hệ tác dụng lên cácvật trong hệ gọi là ngoại lực

2 Hệ được gọi là cô lập khi không có ngoại lực tác dụng lên hệ hoặc các ngoại lực này cânbằng nhau

3 Hệ được gọi là kín khi không có vật chất đi vào hoặc đi ra khỏi hệ

Khi nghiên cứu các hệ cô lập và kín người ta đã phát hiện ra rằng có những đại lượng vật lýđặc trưng cho trạng thái của hệ được bảo toàn nghĩa là chúng có trị số không đổi theo thờigian

Các định luật bảo toàn có vai trò rất quan trọng vì chúng có lĩnh vực áp dụng rất rộng rãi.Ngoài ra còn cho một phương pháp nghiên cứu mới gọi là phương pháp các định luật bảotoàn

III 2 Động lượng, định luật bào toàn động lượng.

III 2 1 Động lượng của một vật

v m





III 2 2 Định lý biến thiên động lượng: pF t

Độ biến thiên động lượng của một vật trong khoảng thời gian tbằng xung lượng của tổngcác lực tác dụng lên vật trong khoảng thời gian đó

III 2 3 Định luật II Niutơn dạng tổng quát:

dt

p d F

p12   1  2 

Tổng véctơ của hệ cô lập và kín là một đại lượng bảo toàn

III 3.Động năng, thế năng, định luật bảo toàn cơ năng.

III 3.1 Động năng, định lý biến thiên động năng

b Định lý biến thiên động năng: W đ AF r

Độ biến thiên động năng của một vật bằng công toàn phần của các lực tác dụng lên vật

III 3.2 Thế năng và lực thế

III 3.2 1 Lực thế

- Một lực được gọi là lực thế nếu công mà nó thực hiện trên một vật không phụ thuộc vàohình dạng đường đi của vật mà chỉ phụ thuộc vào vị trí đầu và cuối của đường đi Nói cáchkhác công mà lực thế thực hiện trên một đường kín bằng không

- Trọng lực, lực hấp dẫn, lực đàn hồi, lực tĩnh điện là lực thế

- Lực ma sát không phải là lực thế vì công của nó tác dụng vào một vật chuyển động theođường kín thì khác không

III 3.2 2 Thế năng.

Thế năng là một dạng năng lượng gắn với lực thế Khi một hệ vật tương tác với nhau bằnglực thế thì hệ vật dự trữ một thế năng Khác với động năng, thế năng có nhiều loại ứng vớicác lực thế khác nhau.

III 3.2 3 Thế năng trọng trường

- Trái đất và một vật tương tác với nhau bằng trọng lực nên hệ “trái đất-vật” dự trữ thế năngtrọng trường có công thức

Wt = mgzTrong đó m là khối lượng của vật, z là độ cao của vật so với mặt đất ( mặt đất được chọn làmmốc thế năng)

III 3.2 4 Thế năng đàn hồi

- Khi một lò xo bị biến dạng các phần tử của lò xo tương tác với nhau bằng lực đàn hồi Khimột lò xo tương tác với một vật khác gắn ở đầu tự do của nó thì thế năng của lò xo cũng làthế năng đàn hồi của hệ vật-lò xo

Công thức ( ) 2

2

1

l K

Ta có nhận xét thê năng đàn hồi của lò xo luôn có giá trị dương dù lò xo bị nén hay bị dãn vàthế năng của nó bằng không khi không bị biến dạng

III.3.3 Cơ năng Định luật bảo toàn cơ năng

III.3.3 1 Cơ năng:

Những nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm cho thấy lực thế thực hiện công làm tăng độngnăng lên bao nhiêu thì đồng thời cũng làm giảm thế năng của hệ đi bấy nhiêu Nói cách kháclực thế thực hiện công không làm thay đổi tổng động năng và thế năng tức là cơ năng của hệ

vì vậy lực thế còn được gọi là lực bảo toàn.W=Wđ + Wt

III.3.3 2 Định luật bảo toàn cơ năng

Nếu chỉ có lực thế tác dụng giữa các vật trong một hệ cô lập và kín thì động năng của các vậttrong hệ có thế chuyển thành thế năng của hệ và ngược lại nhưng cơ năng của hệ thì được bảotoàn W=Wđ + Wt = const hay W đ   W t

III.3.3 3.Thế năng và vị trí cân bằng (VTCB)

Giả sử một vật chịu tác dụng của lực thế và đứng cân bằng ở vị trí x0 Khi dịch chuyển vật rakhỏi VTCB sang vị trí lân cận xx0  x sẽ xuất hiện hợp lực F khác không

- Nếu hợp lực F có xu hướng kéo vật trở về VTCB thì khi dịch chuyển vật từ VTCB ra vị trílân cận công của lực F là công âm, công này làm tăng thế năng của vật Suy ra Wt ( x0) có giátrị cực tiểu so với các điểm lân cận

- Ngược lại, Nếu hợp lực F có xu hướng kéo vật rời xa VTCB khi dịch chuyển từ vị trí lâncận về VTCB x0, thì công của lực F làm tăng thế năng của vật Suy ra Wt ( x0) có giá trị cựcđại so với các điểm lân cận

Tóm lại thế năng của vật tại VTCB có giá trị cực tiểu (VTCB bền) hoặc cực đại ( VTCBkhông bền) Nói cách khác tại VTCB ta có: ( )0

dx x

dW t

III.4 Cơ năng và lực ma sát trượt

- Nếu có lực ma sát trượt tác dụng vào các vật trong hệ thì cơ năng của hệ không được bảotoàn mà giảm đi Phần cơ năng giảm đi chủ yếu chuyển thành nhiệt năng

- Định luật bảo toàn năng lượng trong trường hợp này được viết như sau:

ms

A W

W1  2  với A ms F ms S

IV Các định lý về động lượng, mômen động lượng.

IV.1 Động lượng và các định lý về động lượng.

Giả sử một chất điểm khối lượng m chịu tác dụng của một lực F

(hay nhiều lực) Theođịnh luật II Newton, ta có:

dt F v m d F dt

v m d F dt

v d m F a

Đặt Km v: gọi là véc tơ động lượng

Động lượng là đại lượng véc tơ được xác định bằng tích số giữa khối lượng và véc tơvận tốc: Km v (2.5)

Thay (2.5) vào (2.4) ta có F

dt

K d

*Định lý 2: Độ biến thiên động lượng của một chất điểm trong một khoảng thời gian nào đó

có giá trị bằng xung lượng của lực tác dụng lên chất điểm trong khoảng thời gian đó

Nếu F  const thì

t

K F

*ý nghĩa của động lượng và xung lượng của lực.

- Ý nghĩa của động lượng: Khi khảo sát về mặt động lực học chất điểm ta không thểchỉ xét vận tốc mà phải đề cập đến khối lượng Nghĩa là vận tốc không đặc trưng cho chuyểnđộng về phương diện động lực học Do đó mà động lượng mới đặc trưng cho chuyển động vềphương diện động lực học Khi hai vật va chạm đàn hồi với nhau thì kết quả va chạm đượcthể hiện bằng động lượng của các vật Vậy động lượng đặc trưng cho khả năng truyền chuyểnđộng

- Ý nghĩa của xung lượng: Về mặt động lực học thì kết quả tác dụng của lực khôngnhững phụ thuộc cường độ lực tác dụng mà còn phụ thuộc thời gian tác dụng của lực Nếucùng một lực tác dụng nhưng thời gian tác dụng khác nhau thì kết quả tác dụng sẽ khác nhau

IV.2.Mô men động lượng, định lý về mô men động lượng.

IV.2.1.Khái niệm mômen lực và mômen động lượng đối với một điểm.

+Mômen lực:

Gọi r là véc tơ nối gốc O với điểm đặt của lực F

, khi đó mô men lực F đối với điểm

O là: M   r F

(2.9)+Mô men động lượng:    

IV.2.2.Định lý về mômen động lượng.

Giả sử gốc O đứng yên, lấy vi phân hai vế biểu thức (2.13) theo thời gian ta nhậnđược:

dt  



, còn d K F

*Định lí 1: Đạo hàm của mô men động lượng của chất điểm theo thời

gian bằng mô men của ngoại lực tác dụng lên chất điểm đó

*Định lí 2: Độ biến thiên mô men động lượng của chất điểm trong một

khoảng thòi gian nào đó bằng xung lượng của mô men lực tác dụng lên

chất điểm trong khoảng thời gian đó

V Phương pháp các định luật bảo toàn

Phương pháp các định luật bảo toàn là phương pháp vận dụng các định luật bảo toàn chonhững hệ cơ học để giải các bài toán cơ học Nó gồm những nội dung chính sau:

V.1 Chọn hệ vật cho phù hợp với bài toán và xác định xem hệ có thỏa mãn điều kiện áp dụng các định luật bảo toàn hay không

a Điều kiện để áp dụng định luật bảo toàn động lượng là

- Hệ phải cho là kín và cô lập

- Nếu hệ không cô lập nhưng tổng đại số các hình chiếu của các ngoại lực theo một hướng màtriệt tiêu thì áp dụng định luật bảo toàn động lượng theo hướng đó

- Nếu trong quá trình tương tác, va chạm, các nội lực xuất hiện lớn hơn rất nhiều so với ngoạilực thì có thể bỏ qua ngoại lực và hệ cô lập

b Điều kiện để áp dụng định luật bảo toàn cơ năng là

- Hệ kín và cô lập

- Các nội lực trong hệ phải là lực thế

- Nếu nội lực là lực ma sát trượt thì cơ năng của hệ giảm đi ( trong khi đó thì động lượng toànphần của hệ vẫn bảo toàn ) khi ấy cần áp dụng định luật bảo toàn năng lượng

V.2 Xác định trạng thái ban đầu và trạng thái cuối của hệ Áp dụng hai định luật bảo toàn động lượng và cơ năng cho hai trạng thái này.

- Phải chỉ rõ HQC quán tính khi tính động lượng và động năng của các vật.

- Phải chỉ rõ mốc thế năng khi tính thế năng của hệ

VI Nguyên lý tương đối Galilê

VI 1 Phép biến đổi Galilê.

VI.1.1.Không gian và thời gian trong cơ học cổ điển

Ta xét hai hệ quy chiếu O và O’ gắn với hai hệ trục toạ độ Oxyz và O’x’y’z’ hệ Ođứng yên, hệ O’ trượt dọc trục Ox đối với hệ O sao cho O x' '  Ox O y, ' '  Oy O z, ' '  Oz

Ta gắn vào mỗi hệ một đồng hồ để chỉ thời gian Ta xét một chất điểm chuyển động trong hệ

O, tại thời điểm t nó có toạ độ x,y,z Các toạ độ không gian và thời gian tương ứng của chấtđiểm trong hệ O’ là x’,y’,z’ và t’

*Quan điểm của Newton:

-Thời gian có tính tuyệt đối, không phụ thuộc hệ quy chiếu : t’ = t (2.14)

-Vị trí không gian có tính tương đối, phụ thuộc hệ quy chiếu Do đó : chuyển động cótính tương đối, phụ thuộc hệ quy chiếu

x x OO y  y z z (2.18)-Khỏng cách giữa hai điểm của không gian có tính chất tuyệt đối không phụ thuộc hệquy chiếu

*.Phép biến đổi Galileo.

Ta xét chuyển động của chất điểm trong hệ O Coi rằng

thời điểm ban đầu O và O’ trùng nhau O’ chuyển động thẳng đều

dọc theo trục Ox với vận tốc V Khi đó: OO'Vt

Vị trí của chất điểm đối với hai hệ O và O' xác định bởi vectơ bán kính r  OM và'

dr dt

dR dt

dr dt

đó và vận tốc theo

Lấy đạo hàm theo thời gian của (2.18), ta được:

dV dt

dv dt

dV dt

dv dt

đó và gia tốc theo

VII.1 Nguyên lý tương đối Galilê.

Mọi hệ qui chiếu chuyển động thẳng đều với hệ quy chiếu quán tính cũng là hệ quychiếu quán tính

Nguyên lý: Các phương trình cơ học trong mọi hệ quy chiếu quán tính có dạng nhưnhau

Các hiện tượng (định luật) cơ học xảy ra giống nhau trong các hệ quy chiếu quán tính

VII.2 Hệ quy chiếu không quán tính - lực quán tính

Khi hệ O’ chuyển động có gia tốc so với hệ O (A 0) Khi đó nhân hai vế của (2.24)với khối lượng m của chất điểm ta có:

tác dụng Lực này được gọi là lực quán tính và luôn có chiều ngược chiều của véc

tơ gia tốc A của hệ O’ đối với hệ O Hệ O’ lúc này được gọi là hệ quy chiếu không quán tính

B MỘT SÔ BÀI TẬP VẬN DỤNG

LOẠI 1: BÀI TẬP VỀ ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM

Dạng 1: Bài tập về con đường ngắn nhất

Bài 1: Trên một mặt cầu bán kính R, vòng tròn lớn( vòng tròn bán kính R) là con đường ngắn

nhất giưa hai điểm λ là vi độ, φ là kinh độ Hay xác định chiều dài con đường ngắn nhất giưaPari(λ1= 48052’; φ1= 2020’) và Tokyo(λ2= 35042’; φ2= 139030’) Biết bán kính trái đất:6,37.106m( Trái đất không tuyệt đối là hình cầu)

Hướng dẫn giải

d = Rα với cosα= e e r1 r2 Khi sử dụng hệ tọa độ cầu ta được: cosα= sinθ1 sinθ2.cos(φ2- φ1)+cosθ1 cosθ2 với θ1=900- λ1; θ2=900- λ2 do đó α=87020’ và d= 9,7.103km

Bài 2: Một xe buýt và một xe đạp chạy trên cùng một đường thẳng và cùng chiều với tốc độ

không đổi, lần lượt là 63 km/h và 33 km/h Khoảng cách từ xe tải đến xe buýt luôn luôn bằngkhoảng cách từ xe tải đến xe đạp Tìm vận tốc của xe tải đối với xe buýt

Bài 3: Một chiếc ôtô xuất phát từ điểm A trên đường cái, ô tô này cần

đến điểm D (trên đồng cỏ) trong t,hời gian ngắn nhất Biết

l CD

d

AC ;  Vận tốc ô tô chạy trên đường cái (v1)lớn hơn vận tốc ô tô

trên đồng cỏ (v2) n lần Hỏi ô tô phải rời đường cái tại một điểm B cách C một đoạn x là baonhiêu?

Hướng dẫn giải

Thời gian ô tô chạy trên đường cái từ A đến B:

1 1

v

x d

t  

Thời gian ô tô chạy trên đồng cỏ từ B đến D:

2

2 2 2

v

l x

1

2 2

v

l x

Đặt:  

1

2 2

v

l x n x d x

f       

1

1'

v x

2 2

2 2

x l v

l x nx

1

v

n l d

Bài 4: Có hai vật m1 và m2 chuyển động thẳng đều với vận tốc lần

lượt là v1 và v2 Vật m2 xuất phát từ B Tìm khoảng cách ngắn

nhất giữa chúng trong quá trình chuyển động và thời gian đạt được

khoảng cách đó? Biết khoảng cách ban đầu giữa chúng là lvà góc

giữa hai đường thẳng là 

Hướng dẫn giải

Giả sử sau thời gian t khoảng cách giữa hai vật là ngắn nhất Khoảng cách đó sẽ là:

cos'

.'2''B2 BB2 A B BB A

= 2

2 1 2

2 2 2

1

2 1

2 1

cos2

)cos(

v v

v v

v v l t

1

2 1

2

cos2

sin

v v

v v

lv





Bài 5: Có hai tàu A và B cách nhau một khoảng a đồng thời tàu A và B chuyển động với vận

tốc không đổi lần lượt là v và u v  u Tàu B chuyển động trên một đường thẳng (đườngthẳng này vuông góc với đoạn thẳng nối các vị trí ban đầu của hai tàu, còn tàu A luôn hướng

về tầu B Hỏi sau bao lâu tàu A đuổi kịp tàu B ?

Hướng dẫn giải:

Ta gắn hệ trục 0xy trùng với mặt phẳng nước và trục 0x cùng phương chiều với chuyển độngcủa tàu B , còn tàu A nằm trên phần dương của trục 0y ở vị trí ban đầu có toạ độ là 0,a.Tàu A chuyển động với vận tốc v luôn hướng về phía tàu B với vận tốc gồm hai thành phần:

cos

v dt

dy v

v dt

dx v

y x

Lấy vế chia vế hai phương trình trên và ta rút ra:

dy dt

dt

d y



x ut

dy dt

Thay dt từ (5) vào (4): hay

Vậy sau thời gian tàu A sẽ đuổi kịp tầu B

Bài 6: ( Đề thi HSG Quốc gia năm 2017-2018):

“Running man” là câu chuyện về một cổ động viên tên là Tiến

chạy đuổi theo một chiếc xe buýt của đội bóng mà anh yêu

thích Cho a và b là hai con đường thẳng song song và ngăn

cách nhau bởi một thảm cỏ Tiến ban đầu ở điểm A, bến xe

buýt ở điểm M, các điểm C và H được chọn sao cho ACMH là

hình chữ nhật có chiều rộng d và chiều dài l = d (Hình 1)

1 Biết độ lớn vận tốc mà Tiến khi chạy trên các đường là v1 còn khi chạy trên thảm cỏ là v2

= v1/n với n = 2 và v1 không đổi

a) Tiến cần phải chạy theo quỹ đạo có dạng gồm các đoạn thẳng như thế nào để thời

gian đến bến M là ngắn nhất?

b) Khi quan sát thấy xe buýt bắt đầu rời bến M hướng về C với vận tốc không đổi và

có độ lớn V = 2v2 thì Tiến quyết định chạy theo đường thẳng qua thảm cỏ để gặp xe buýt Từđiểm A, Tiến cần chạy theo hướng nào để gặp được xe buýt?

A

C

H

MN

da

b

L

l

Hình 1



sin

d dy

y v

u 



sin

d y

dy v

dy v

a

y v







2tan1

2tan2sin

u

a

y a

tan2

y a

y v

a

u v

v

u v

u t

a

y d a

y a

y v

a dt

u v

a t

1

11

12

2 2

u v av



2 Xe buýt chuyển động từ bến M hướng về C với vận tốc không đổi có độ lớn V = 36 km/h.Tại thời điểm xe buýt đi qua điểm N với (xem hình vẽ) thì Tiến bắt đầu dichuyển từ điểm A với vận tốc ban đầu bằng không Tiến chọn cách chạy sao cho véc-tơ vậntốc của mình luôn hướng về xe buýt, còn độ lớn vận tốc luôn tăng để đảm bảo mình luôn tiếnlại gần xe buýt với tốc độ không đổi Tiến có đuổi kịp xe buýt không? Vì sao?

b) Gọi N là vị trí Tiến gặp xe buýt và đặt

Thời gian chuyển động của Tiến và xe buýt là như nhau nên

=>

Dạng 2 : Bài tập về chuyển động chuyển động ném

Bài 7: Một chiếc côngtenơ đặt sao cho mặt trên nằm ngang được cần cẩu cẩu lên thẳng

đứng lên cao với gia tốc a = 0,5m/s2 Bốn giây sau khi rời mặt đất người ngồi trên mặtcôngtenơ ném một hòn đá với vận tốc v0 = 5,4m/s theo phương làm với mặt phẳng ngangcôngtenơ góc  300

a Tính thời gian từ lúc ném đá đến lúc nó rơi xuống mặt đất Biết côngtenơ cao h = 6(m)

b Tính khoảng cách từ nơi đá chạm đất đến vị trí ban đầu của

tấm bê tông (coi như một điểm) Lấy g = 10m/s2

Hướng dẫn giải:

a Sau 4s độ cao của người đứng trên mật côngtenơ là:

2 10( )

4562

2 2

m t

a

H      Vận tốc của người lúc đó:

s

m t

b Khoảng cách từ nơi đá rơi đến vị trí ban đầu của côngtenơ:

Bài 8: Người ta đặt một súng cối dưới một căn hầm có độ sâu h Hỏi phải đặt súng cách vách

hầm một khoảng l bao nhiêu so với phương ngang để

10

2

gt t v

y   

)/(65,6

v y  0sin 

t v

x 0cos sin 2

2 0

gt t v

y   

cos

0

v

v x 

gt v

v y  0sin 

) / ( 7 , 4 2

4 , 5 2 sin 0

v

)/(7,486.04,5cos

Để tầm xa x là lớn nhất thì tại A vận tốc của vật phải hợp với mặt ngang một góc 450 có

sin

)2(cos

2 0

0

h

gt t v

l t v

h y

l x

2 0 0

0

2 0

2 0

2

12

12

12

12

1

v

gh v

gh v

gh v

v v g

v

gh v

1()2

1

0 2 0

2 0

2 0

gh v

gh v

g

0 2 0

Vậy phải đặt súng cách vách hầm một khoảng:

thì tầm xa của đạn trên mặt đất là lớn nhất và tầm xa này bằng

.

Bài 9: Ở mép của một chiếc bàn chiều cao h, có một quả cầu đồng

chất bán kính R = 1(cm)

Đẩy cho tâm 0 của quả cầu lệch khỏi đường thẳng đứng đi qua A,

quả cầu rơi xuống đất vận tốc ban đầu bằng 0 Tính thời gian rơi và

)2

14

1

0

4 0

2 2 2

0

v

gh v

h g g

14

1

0

4 0

2 2 2

0

v

gh v

h g g

v



cos 0

1 cos

v g

t v

v x  y      

g

v v

gh

1.2

0 2 0

tầm xa của quả cầu(g = 10m/s2).

Hướng dẫn giải:

Ban đầu quả cầu xoay quanh trục quay tức thời A Lúc bắt đầu rơi khỏi bàn vận tốc của nó

là v, phản lực N bằng 0, lực làm cho quả cầu quay tròn quanh A là trọng lực pcos:

cos 9 cos

2

2

R v R

v m

.cos

gt t v y

t v x

33

5410

10

.33

5410

10

2

1

loai g

gh gR

gR t

g

gh gR

gR t

g

gh gR

gR

.33

5410



) (R  h

32



gR v



gR v

32



y

O

v0α

2

v x

g

gh gR

gR

3 3

54 10



S .

Bài 10: Hai vật được ném đồng thời từ một điểm trên mặt đất với

vận tốc có độ lớn như nhau, cùng bằng v0 Vật 1 được ném

nghiêng góc α so với phương ngang, vật 2 được ném lên theo

phương thẳng đứng Bỏ qua sức cản của không khí Hỏi góc α

bằng bao nhiêu để khoảng cách giữa hai vật là cực đại? Tính

khoảng cách cực đại đó

Hướng dẫn giải

Chọn hệ quy chiếu gắn với đất, hệ trục tọa độ như hình vẽ, gốc thời

gian tại thời điểm ném Phương trình chuyển động của hai vật:

Bài 11( Olimpic Czech): Từ độ cao h so với mặt đất, người ta ném một quả bóng nhỏ lên

mái nhà theo phương làm với phương ngang một góc , còn mái nhà nghiêng một góc  sovới phương ngang Quả bóng chạm mái nhà tại điểm P cách chỗ ném một khoảng d theo

4 2

3 3

v d

x

phương ngang và ở độ cao H Quả bóng va chạm đàn hồi với mái nhà, nảy lên và sau đó rơixuống đất Xác định:

1)Vận tốc ban đầu v0 của quả bóng

2)Góc  mà vận tốc của quả bóng tạo với phương ngang và độ lớn vận tốc v1 của quả bóngtrước khi chạm

3)Vị trí quả bóng rơi xuống đất

Ý 1) đầu tiên hãy giải tổng quát, sau đó áp dụng bằng số với trường hợp H=3.5m, h=1.5 m,d=5.0 m, =600, =300 Các ý 2),3) chỉ cần giải cho trường hợp cụ thể Lực cản của khôngkhí không đáng kể Va chạm

của quả bóng coi là hoàn toàn

0

1tan

1

0

1,165cos

3)Chọn gốc tọa độ tại điểm va chạm của quả bóng với mái nhà, trục x hướng sang trái, trục y

hướng lên Tọa độ của quả bóng kể từ khi va chạm:

x= v1tcosδ,

Khi bóng rơi tới đất , tọa độ của nó là y=-H Thay vào trên ta có

Thời gian của quả bóng từ lúc va chạm với mái nhà đến lúc rơi xuống đất t=1,61 s

Khoảng cách từ chỗ ném đến chỗ bóng rơi: d’=d-v1tcosδ=2,9 m

Dạng 3: Bài tập về chuyển động tròn

Bài 12: Hai vòng tròn bán kính R, một vòng đứng yên, vòng còn lại chuyển động tịnh tiến

sát vòng kia với vận tốc Tính vận tốc của điểm cắt C giữa hai vòng tròn khi khoảng cách

giữa hai tâm :

Hướng dẫn giải

Chọn gốc thời gian t = 0 lúc 2 vòng tròn bắt đầu tiếp xúc

ngoài

Tại một thời điểm nào đó sau gốc thời gian thì ta có phương

trình chuyển động của điểm C :

0 1

2 1 cos

1 sin

2 2 0

R d R R

R AC y

d t v R AD D x

1 sin

2

y v t   gt

2 1

2 d R y

4 2 4

2 2 ' 2 2 ' 2 1

d R v d d R dd v

v d v

Cy Cx

2 2 0

2 0 2

4 2

.

dv v

v v



Bài 13: Một chất điểm chuyển động chạm dần trên bán kính R sao cho tại mỗi điểm gia tốc

tiép tuyến và gia tốc pháp tuyến luôn có độ lớn bằng nhau Tại thời điểm ban đầu t=o, vận tốccủa chất điểm đó là v0

Hãy xác định:

a Vận tốc của chất điểm theo thời gian và theo quãng đường đi được

b Gia tốc toàn phần theo vận tốc và quãng đường đi được

Hướng dẫn giải:

a.Theo đề bài ta có:

R

v dt

dv a

2

1 1

0

 v 

t R v

Gia tốc toàn phần theo vận tốc: a  2

2

R v

Gia tốc toàn phần theo quãng đường đi được: a  2

2 2 0

quay đều với vận tốc góc  Từ điểm A trên bánh xe bắn ra một

giọt nước và nó rơi chạm đất tại điểm B, ngay dưới tâm của bánh xe.Xác định vị trí điểm A và thời gian rơi của giọt nước

Hướng dẫn giải

Để giọt nước rơi chạm đất tại B thì nó phải bắn ra từ điểm A

thuộc nửa dưới và bên trái của bánh xe

Gọi  AOB, chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ, ta có

phương trình toạ độ của giọt nước:

2

.cos

1 sin

Thời gian rơi:

Bài 15: (Olimpic Estonia)

Hai vòng kim loại giống nhau có bán kính R nằm cạnh nhau

và tiếp xúc với nhau tại các điểm A và B sao cho mặt phẳng

chứa các vòng luôn song song Góc từ tâm nhìn cung AB,

tại thời điểm đang xét bằng α Vòng ở dưới đứng yên, vòng

ở trên quay với vận tốc góc ω quanh trục đi qua điểm A và

vuông góc với các mặt phẳng chứa các vòng Tìm vận tốc

điểm tiếp xúc B tại thời điểm này

Hướng dẫn giải:

Xét trong hệ quy chiếu quay với vận tốc góc ω/2; hai vòng sẽ quay ngược

chiều nhau theo hướng lại gần nhau với cùng vận tốc góc ω/2 Do đó giao

điểm sẽ không quay mà chỉ chuyển động xuyên tâm đi xuống Như

vậy khi chuyển về hệ quy chiếu phòng thí nghiệm, dây cung AB sẽ

quay với vận tốc góc ω/2 Ta có , mà trong tam giác

cân OAB có

, suy ra Vậy bán kính OB sẽ quay với vận tốc

góc ω, từ đó tìm được vận tốc của giao điểm B là ωR

B

A

αωB

ω O’



2

d OAB dt

Dạng 4: Bài tập về quỹ đạo xicloit

Bài 16: Một bánh xe bán kính r và tâm C lăn không trượt trên trục OX trong khi vẫn ở trong

mặt phẳng (OZX) M là một điểm gắn với bánh xe và ở trên đường chu vi Ở thời điểm t=0,

M trùng với gốc O Vận tốc của C là không đổi và bằng v

Xác định tại thời điểm t:

a)Vị trí của M

b)Véc tơ vận tốc vMcủa điểm M

c)Véc tơ gia tốc aM của điểm M

Dạng 1: Bài tập về chuyển động của vật trên mặt phẳng nghiêng

Bài 17: Một kiện hàng hình hộp đồng chất (có khối tâm ở tâm hình hộp) được thả trượt trên

mặt phẳng nghiêng nhờ hai bánh nhỏ A và B Chiều cao của hình hộp gấp n lần chiều dài( h=nl) Mặt phẳng nghiêng một góc , hệ số ma sát giữa gối A và B là



a Hãy tính lực ma sát tại mỗi bánh

b Với giá trị nào của n để kiện hàng vẩn trượt mà không bị lật

Hướng dẫn giải:

a Xét các lực tác dụng vào kiện hàng: P,NA,NB,FmsA,FmsB

Theo định luật II Newton:

22

h F

h F

l N

F F N

Cuối cùng:

)2(cos

mgh N

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được:

cos (1 )

2

1

n mg

1

)1(cos2

1

n mg

N F

n mg

N F

B msB

A msA

cossin

2 min

Để tìm  ta giải phương trình: sin  cos = 2 1

Vậy:  arctan

Bài 19: Một xe chở nước có chiều cao H Mặt nước trong xe cách đáy một đoạn h đột nhiên

xe chuyển động với gia tốc a không đổi Xác định gia tốc a để khi xe chuyển động nướckhông trào ra ngoài

Hướng dẫn giải

Xét một phần tử chất lỏng có khối lượng m nằm trên mặt thoáng

Khi hình dạng chất lỏng ở giới hạn như hình vẽ thì chất lỏng không

2 H h

g  thì nước không bị trào ra ngoài

Dạng 2: Bài tập về chuyển động của vật trên nêm

Bài 20 Một vật nhỏ khối lượng m được phóng trên mặt

nghiêng nhẵn của nêm có cùng khối lượng (trong quá

trình chuyển động vật luôn tiếp xúc với mặt nghiêng của

nêm) Nêm đặt trên một mặt bàn nằm ngang không ma

sát Vận tốc ban đầu của vật bằng v0 và lập một góc 450

với cạnh của nêm Biết góc nhị diện của nêm cũng bằng

450 (hình vẽ), gia tốc rơi tự do làg.

a Tìm phản lực do nêm tác dụng lên vật.

b Sau bao lâu vật quay trở lại độ cao ban đầu.

c Vận tốc của vật tại điểm cao nhất của quỹ đạo.

Giả thiết chuyển động tịnh tiến của nêm chỉ được phép theo hướng vuông góc với cạnh củanó

Hướng dẫn giải

a Kí hiệu N N, / là lực tương tác giữa vật và

nêm, a 1 và a 2 lần lượt là gia tốc của vật so với

nêm và gia tốc của nêm

b Phản lực N không phụ thuộc vào vị trí và vận tốc của vật Trong hệ quy chiếu gắn với

nêm, vật chuyển động như vật bị ném xiên trong trọng trường hiệu dụng g/  a1 Do vậy,thời gian vật trở lại độ cao ban đầu:

Bài 21: Một vật nhỏ có khối lượng m đặt trên đỉnh một nêm tam giác nhẳn, thả cho m chuyển

động trên mặt nêm Biết nêm có khối lượng M và chuyển động không ma sát trên mặt phẳngngang

a Xác định gia tốc của m và M đối với mặt đất

b Cho chiều dài mặt nêm là L Tính vận tốc của M ngay sau khi m trượt xuống chân M

Hướng dẫn giải

a Chọn hệ quy chiếu gắn với mặt đất

như hình vẽ

Gọi gia tốc của m và M lần lượt là a1 và a2

Phương trình chuyển động của m:

P1 N1 m1a1

Chiếu lên 0x: N1sin ma1x (1)

0y: P1 N1cos ma1y (2)

Phương trình chuyển động của M:

P2 N2 N1'M a2

Chiếu lên ox:  N1sin Ma2 (3)

Mặt khác theo công thức cộng gia tốc: a1 a12a2 (4) (a12 là gia tốc của m đối với M)

M

m a

g m

M

M m a

g m

M

M a

g m

M

mM N

y x

2

2 1

2 1

2 1

sin

cossinsinsinsin

cossinsincos

(*)

Gia tốc của m đối với M:

sin

1 12

y

a

m M

m M

sin2

m M L a

L t







Vận tốc của M lúc đó:

m M m M

gL m



Bài 22: Một viên bi có khối lượng (m) được thả rơi từ

điểm M tới đập vào điểm A của mặt nêm AB nghiêng

góc  300, nêm được đặt cố định trên mặt phẳng nằm

ngang như hình vẽ

Cho biết khoảng cách MA=h (Bỏ qua sức cản của

không khí và coi va chạm giữa viên bi và mặt nêm là

hoàn toàn đàn hồi)

a) Xác định thời gian rơi và vận tốc của viên bi ngay trước khi va chạm vào mặt nêm lần thứnhất

b) So sánh khoảng cách giữa các điểm va chạm kế tiếp AA1, A1A2, A2A3 của viên bi với mặtnêm

g



- Vận tốc của bi ngay trước khi va chạm: v0  2hg

b) Ngay sau va chạm tại A:v0x v0sin ; v0y v c0 os ; g x gsin ; g y gcos

Ta được phương trình c/đ của vật là:

 ; thay t1 vào (2)  x A1AA18 sinh  (*)+ Ngay trước khi va chạm vào A1 vận tốc của bi có các thành phần là:

1x 0sin sin 1 3 sin0

A 3

A 2

A 1 A M A

v2x v v1x; 2y v1y (vì va chạm hoàn toàn đàn hồi)

+ Chọn gốc tọa độ tại A1, tương tự trên ta được:

- Sau thời gian t2 hòn bi lại tới va chạm vào mặt nêm AB tại A2

+ Thời gian chuyển động t2 là: 0

2

2v t g

 , thay t2 vào (4) =>A A1 2 16 sinh  (**)

Tương tự => Thời gian chuyển động t3 là: 0

2

2v t g

 , A A2 3 24 sinh  (***)Vậy : AA1:A1A2:A2A3 =1:2:3

Bài 23: Một nêm có khối lượng M, góc nghiêng hai mặt =450 và = 300 đặt trên mặt sànnằm ngang như hình vẽ Hai vật nhỏ có khối lượng m1=1kg và m2=2kg bắt đầu trượt từ đỉnhnêm xuống theo mặt nêm Hệ số ma sát trượt giữa hai vật và nêm đều bằng µ=0,2 Lấyg=9,8m/s2

1 Trong quá trình hai vật trượt thì nêm nằm yên trên mặt sàn

a) Tính tỉ số thời gian trượt của 2 vật trên nêm

b) Khi hai vật chưa chạm sàn thì lực ma sát do mặt sàn tác dụng lên nêm bằng bao nhiêu?

2 Bỏ m2 đi, cho nêm trượt theo phương ngang với gia tốc a0 trên mặt sàn Tính a0 để m1 trượthết mặt phẳng nghiêng với thời gian gấp đôi so với khi m1 trượt trên nêm đứng yên

Bài 23: Olimpíc Bungaria

Trên một mặt phẳng nhẵn người ta

đặt một chiếc nêm hình lăng trụ khối

lượng M, các mặt bên tạo thành các mặt

nhẵn nghiêng với các góc so với phương

ngang như hình vẽ Từ điểm cao nhất của

nêm người ta thả không vận tốc đầu hai

quyển sổ nhỏ khối lượng m1 và m2

b.Tìm biểu thức gia tốc a0 của nêm với các giá trị bất kì của các góc nêm Tương tự tìmbiểu thức a1 và a2 của các quyển sổ trong chuyển động dọc theo mặt nêm.

d.Cần bao nhiêu để quyển sổ thứ 2 (bên phải) đến được mặt phẳng ngang nếu quãngđường cần vượt qua là d= 50cm

Hướng dẫn giải

a Khi quyển sổ đứng yên thì áp lực

tác dụng lên hai mặt nêm có giá trị N1 =

m1gcos  1 và N2 = m2gcos  2 có hướng

như hình

Tổng các lực theo phương ngang phải

bằng 0 từ đây điều kiện cân bằng là

2 2 2

1 1

1gcos  sin  m gcos  sin 

2

1 2

2

1 1 2

1

2 sin

2 sin sin

cos

sin cos

b Khi các góc của lăng trụ có thể nhận giá trị bất kì không thể xác định được hướngchuyển động của nêm Giả sử gia tốc của nó hướng sang trái Nếu nêm chuyển động sangphải thì a0<0 mà cách giải toán không thay đổi Chọn hệ quy chiếu gắn với nêm

Phương trình chuyển động của hai quyển sổ theo phương dọc theo mặt nêm:

1 0 1 1 1

1

1a m gsin  m a cos 

2 0 2 2 2

1 m gcos  m a sin 

2 0 2 2 2

2 m gcos  m a sin 

Định luật II Niutơn cho chuyển động theo phương ngang của nêm

1 1 2 2

0 N sin  N sin 

Từ ba phương trình trên giải ra được

2 2 2

2 1 1

1 1 1 2 2

2

0

sinsin

cossincos

M

m m



g m

m M

m m

M

2 2

2 1 1

2 1 2 2 1 1

1

sinsin

)cos(

sinsin

2 1 1

2 1 2 2 1 2

2

sinsin

)cos(

sinsin

M

m m

, giữa M và sàn là Tìm độ lớn của lực nằm ngang:

a Đặt lên m để m trượt trên M

b Đặt lên M để M trượt khỏi m

N N

ma F

1 2

1 1

M

F F a g M m P P N N

N

Ma F

2 2

1 2 1

2 2

)(

F ( 1 2)(  )

Với điều kiện: a1 0 F 1mg

2 1

2at

1