CHUYÊN đề CHUYỂN ĐỘNG của các HÀNH TINH l09

Khi mới hình thành thì đối tượng nghiên cứu của thiên văn học chủ yếu là khảo sát sự chuyển động của các hành tinh trong hệ Mặt Trời với phương phápquan sát trực quan là chủ yếu.. Sau nà

CHUYÊN ĐỀ: CHUYỂN ĐỘNG CỦA CÁC HÀNH TINH

A LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

- Xuất phát từ nhu cầu thực tiễn của đời sống mà ngành thiên văn học ra đời

từ rất sớm Khi mới hình thành thì đối tượng nghiên cứu của thiên văn học chủ yếu

là khảo sát sự chuyển động của các hành tinh trong hệ Mặt Trời với phương phápquan sát trực quan là chủ yếu Sau này khi Johannes Kepler phát hiện ra ba địnhluật Kepler và Isacc Newton đưa ra định luật luật vạn vật hấp dẫn thì con ngườimới khảo sát một cách chính xác và có hệ thống sự chuyển động của các hành tinh,các thiên thể trong hệ Mặt Trời và sự chuyển động của các vệ tinh quanh hành tinh

- Trong chương trình phổ thông phần kiến thức về Thiên văn học mới chỉ

được dành một thời lượng rất ít, phần kiến thức được trình bày chủ yếu là kiếnthức lí thuyết Để giúp người học thông hiểu kiến thức Thiên văn học thì bên cạnhgiờ học lí thuyết phải luôn song song với các giờ bài tập Qua việc tìm hiểu, phântích, giải bài tập sẽ giúp cho người học tự mình rút ra được những điều bổ ích, sửachữa được những nhận thức còn lệch lạc về một khía cạnh nào đó khi tiếp thu kiếnthức lý thuyết và giúp hiểu sâu hơn những kiến thức này

- Gần đây trong kì thi HSG Quốc Gia hoặc chọn đội tuyển OLYMPIC Quốc

tế hay đề cập đến các bài toán chuyển động của các hành tinh chính vì những lý dotrên nên chúng tôi viết chuyên đề “ Chuyển động của các hành tinh “ thứ nhất là đểtham gia hội thảo và thứ hai là dùng làm tài liệu giảng dạy

B MỤC TIÊU CỦA ĐỂ TÀI

- Thông qua đề tài chỉ ra được những dạng toán của chuyên đề chuyển động cáchành tinh

- Đề tài đưa ra nội dung kiến thức giúp giáo viên và học sinh có cái nhìn tổngquan hơn

- Xây dựng được một lượng kiến thức tổng quát và đầy đủ nhất để cung cấp chongười học

- Qua đề tài này góp phần phát huy tối đa năng lực người dạy và người học

- Sau khi giáo viên và học sinh đọc xong đề tài có thể làm được những bài toántương tự và khó của chuyên đề

C NỘI DUNG ĐỀ TÀI

xO

φy

xy

P(r, φ)≡P(x, y)

r

1O

φy

+) tròn e = 0

+) elip 0<e<1 +) parabol e =1 +) hypebol e>1

2 Tọa độ cực

a Định nghĩa

Hệ toạ độ là phương tiện giúp ta xác định vị trí một điểm trong mặt phẳngcũng như trong không gian ba chiều Hệ toạ độ thường dùng nhất là hệ toạ độDescartes, trong hệ này vị trí của một điểm được xác định thông qua bộ ba tọa độ(x, y, z)

Các bài toán về chuyển động của một vật, ta đều có thể sử dụng hệ toạ độDescartes để xác định vị trí của vật Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, đặc biệt làcác bài toán chuyển động của các hành tinh và chuyển động của các vật có quỹ đạophức tạp thì việc sử dụng hệ toạ độ Descartes là rất cồng kềnh và khó tính toántrong khi đó việc giải các bài toán này trong hệ toạ độ cực lại đơn giản hơn rấtnhiều

Với hệ toạ độ cực vị trí của một điểm trong mặt phẳng được xác định thôngqua hai thông số (r, φ) trong đó r là khoảng cách từ gốc O tới vị trí của vật, φ làgóc hợp bởi véc tơ r và trục gốc, giá trị của φ trong đoạn [0; 2π] Sở dĩ ta có thể sửdụng hệ toạ độ cực với hai thông số để xác định vị trí một hành tinh của hệ MặtTrời trong quá trình chuyển động trong không gian là vì các hành tinh chuyển độngquanh Mặt Trời dưới tác dụng của lực hấp dẫn, đây là trường lực thế xuyên tâmnên mômen động lượng của các hành tinh bảo toàn do đó các hành tinh trong hệ

Oφ

r



Trời sẽchuyểnđộngtrêncùngmột mặt phẳng Chính vì vậy ta chỉ cần một hệ trục toạ độ với hai thông số là cóthể xác định được vị trí của hành tinh trong không gian

Từ hình vẽ ta thấy mối qua hệ giữa toạ độ Descartes và toạ độ cực:



khi đó vận tốc củavật được viết v v i v j x y và gia tốc a a i a j x y Để xác định vận tốc và gia tốccủa vật trong hệ toạ độ cực theo hai toạ độ r và φ ta cũng phải xác định hai véc tơ đơn

Suy ra véc tơ đơn vị: r cos i sin j   

Tương tự đối với véc tơ đơn vị  ta có:

1 e.cos



CvO

Cc

MT

rφ

y

xap



và

 d dt

dấu trừ cho biết véc tơ F luôn ngược hướng với véc tơ r

2.Ba định luật kepler

* Định luật I Kepler (Định luật về quỹ đạo): Các hành tinh trong hệ Mặt Trời

chuyển động trên quỹ đạo là đường elip nhận Mặt Trời là một trong hai tiêu điểm

Elip

+ Khoảng cách hai tiêu điểm là c với: 2c = F1F2

thì quỹ đạo chuyển động là đường hypebol

Áp dụng kết quả trên cho chuyển động của vệ tinh nhân tạo quanh Trái Đất tathấy

+ Để vệ tinh nhân tạo trở thành một vệ tinh của Trái Đất thì vệ tinh phải cóvận tốc ban đầu băng vận tốc vũ trụ cấp I: v 0  VI 7 91km s , /

+ Để vệ tinh nhân tạo thoát khỏi Trái Đất và trở thành vệ tinh của Mặt Trờithì vận tốc ban đâu của vệ tinh phải đạt vận tốc parabol đối với Trái Đất (vận tốc

vũ trụ cấp II):v 0  VII  VI 2 =11,2 km/s

+ Vận tốc ban đầu cần thiết để vệ tinh phóng từ mặt đất có thể thoát khỏi hệMặt Trời phụ thuộc rõ rệt vào chiều chuyển động của vệ tinh khi vượt ra khỏi cầutác dụng của Trái Đất Nó nằm trong giới hạn: 11 6km s , /  v 0  72 8km s , /

Vận tốc bé nhất bằng 11,6km/s được gọi là vận tốc vũ trụ cấp III

* Định luật II Kepler (Định luật về diện tích): Đường nối một hành tinh với Mặt

Trời quét những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau

* Định luật III Kepler (Định luật về chu kỳ chuyển động): Bình phương chu kỳ

quay T (quanh Mặt Trời) của bất kỳ hành tinh nào cũng tỉ lệ với lập phương bán trụclớn a của quỹ đạo nó

Thực tế khối lượng Mặt Trời rất lớn so với khối lượng hành tinh (M>>m)nên trong trường hợp khối lượng hành tinh rất lớn so với khối lượng vệ tinh thì gầnđúng ta có:

3 3 1

3 3 1

T a M

Với mốc thế năng ở vô cùng

Chú ý: Công của lực thế bằng độ giảm thế năng: A F r  .  Wt

4.Định luật bảo toàn cơ năng

Định luật bảo toàn cơ năng: Chuyển động của hạt dưới tác dụng của lựcxuyên tâm tuân theo ĐLBT cơ năng:

-Nếu hạt chuyển động dưới tác dụng của lực hấp dẫn thì ĐLBT cơ năngđược viết:

-Nếu W<0 thì quỹ đạo của vật là đường tròn hoặc elip

-Nếu W=0 thì quỹ đạo của vật là đường Parabol

-Nếu W>0 thị quỹ đạo của vật là đường Hypebol

5 Định luật bảo toàn mô men động lượng:

a) Mô men động lượng: Mô men động lượng của một hạt đối với một tâm O:

L r  p r mv   về độ lớn : L= rmvsin rmv

b) Mối liên hệ giữa mô men động lượng và mô men lực: F

dL M

dt







c) Định luật BT mô mem động lượng:

Vì mô men của lực xuyên tâm đối với tâm O luôn bằng 0 nên:

Vệ tinh nhân tạo đầu tiên của Trái Đất có viễn điểm ở độ cao hA = 327 km

và cận điểm ở độ cao hP = 180 km Biết bán kính Trái đất là R = 6370 km

1 Xác định các đặc trưng hình học của vệ tinh

2 Biết gia tốc trọng trường trên bề mặt Trái đất là g = 9,8 m/s2 Xác định chu kìquay của vệ tinh

1 Do vệ tinh Trái đất chuyển động theo quỹ đạo elip

Khoảng cách từ viễn điểm tới tâm Trái Đất rA = R + hA = a+c = 6697 km

Khoảng cách từ cận điểm tới tâm Trái Đất rP = R + hP = a –c = 6550 km

a

vì e << 1 nên có thể coi quỹ đạo là hình tròn

Thông số quỹ đạo

(1) với M là khối lượng vật nằm ở tiêuđiểm của quỹ đạo elip

* Áp dụng: Quỹ đạo vệ tinh nhân tạo Cosmos 380 có chu kì quay quanh Trái Đất

là T = 102,2 phút Khoảng cách cực đại và cực tiểu so tâm Trái Đất là 7926 km và

6588 km Xác định khối lượng Trái Đất

Áp dụng công thức (2) ta có khối lượng Trái đất là

2 3

24 2

P P n

P





, trong đó Po làtrọng lượng của nhà du hành vũ trụ trên mặt đất, P là trọng lượng của nhà du hành

vũ trụ khi ở trên tên lửa đang bay

Một tên lửa cùng với nhà du hành vũ trụ rời khỏi bề mặt Trái Đất và chuyển độngthẳng đứng lên trên Biết trong suốt thời gian chuyển động, nhà du hành luôn phảichịu mức quá tải n=2 Sau khi tên lửa đạt vận tốc bằng vận tốc vũ trụ cấp I, người

ta ngắt động cơ Hỏi tên lửa có thoát ra khỏi giới hạn Trái Đất không hay lại rơixuống đất?

Bài 5:

Mức quá tải n là đại lượng được xác định bằng:

o o

P P n

P





, trong đó Po làtrọng lượng của nhà du hành vũ trụ trên mặt đất, P là trọng lượng của nhà du hành

vũ trụ khi ở trên tên lửa đang bay

Một tên lửa cùng với nhà du hành vũ trụ rời khỏi bề mặt Trái Đất và chuyển độngthẳng đứng lên trên Biết trong suốt thời gian chuyển động, nhà du hành luôn phảichịu mức quá tải n=3 Sau khi tên lửa đạt đạt độ cao bằng bán kính Trái Đất, người

ta ngắt động cơ Hỏi tên lửa có thoát ra khỏi giới hạn Trái Đất không hay lại rơixuống đất?

mgRf

Xác định chu kì quay của các ngôi sao sau đây

1 Ngôi sao đôi gồm hai sao có khối lượng M1 và M2 cách nhau khoảng L

2 Ngôi sao ba là hệ 3 ngôi sao có khối lượng M1 = M2 = M3 =M luôn tạo

thành tam giác đều cạnh L

R=1,7.106m ,gia tốc rơi tợ do trên Mặt Trăng g=1,67m/

s2

Giải

Vật m được bắn ra khỏi con tàu phải chuyển động trên

quỹ đạo elíp tiếp xúc với Mặt Trăng tại B Vật m tại A có

vận tốc v1 đối với tâmMặt Trăng sau khi đến B có vận tốc

v2 cũng đối với tâm Mặt Trăng Gọi khối lượng của Mặt

Trăng là M ,thì gia tốc rơi tự do trên Mặt Trăng sẽ là: g=GMR

Sử dụng định luật bảo toàn cơ năng: wA=wB

) 1 ( gR v

v G

mv G

2 2

1 R 2 mM 2

Con tàu vũ trụ có khối lượng mt chuyển động tròn đều trên quỹ đạo (o,2R):

gR 0

R

2

2 0 t

.Vậy phải nén vật về phía sau với vận tốc :

  219m/sgR

Xác định cơ năng toàn phần của vệ tinh

vB

Xác định vận tốc của vệ tinh tại vị trí cách tâm Trái Đất một khoảng l

Xác định chu kì quay của vệ tinh

Xác định khối lượng của Trái Đất nếu sử dụng các số liệu thu được từ vệtinh nhân tạo Côxmot 380: T=102,2phút;h=6588km;H=7926km

Mm h

Mm 2

B 2

1 H mM 2

A 2

1 h

mM

v

v G

w

G w mv

G mv

A.h t v H t

Từ đógiải ra:

hHT

2 4 ) m M ( G

2 4 3 a

là khối lượng Mặt Trời MT = 1,99.1030kg Giả sử rằng ngôi sao trông thấy và bạnđồng hành của nó (vì tối nên không trông thấy) đều ở trên quỹ đạo tròn Hãy xácđịnh khối lượng phỏng chừng m2 của ngôi sao không trông thấy (vật tối)

Giải

Khối tâm của hệ sao đôi nằm trên đường nối tâm của chúng

Gọi O là khối tâm của hệ, r1, r2 lần lượt là khoảng cách m1, m2 đến tâm O

Đặt r = r1 + r2

Lực hấp dẫn của vật tối lên ngôi sao trông thấy:

1 2 2

Thay số và giải ta được: m29Mʘ.

Vì m29MT nên đây có thể là một lỗ đen (vì sao neutron chỉ có khối lượng nhỏhơn khoảng 3MT)

Bài 11:

Một nhà du hành vũ trụ thích đùa đã đặt một quả bóng gỗ khối lượng m =7,2kg vào một quỹ đạo tròn quanh Trái Đất ở độ cao h = 350km Hỏi:

a) Động năng của quả bóng gỗ là bao nhiêu?

b) Thế năng của quả bóng gỗ là bao nhiêu?

c) Cơ năng của quả bóng gỗ là bao nhiêu?

Giải

a) Chọn hệ quy chiếu gắn với tâm Trái Đất, gốc thế năng ở tâm Trái Đất.Bán kính quỹ đạo của quả bóng:

r = R + h = 6370 + 350 = 6,72.103km = 6,72.106 m (trong đó R là bán kínhTrái Đất)

Lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên quả bóng: 2

(2)

Từ (1) và (2) ta có:

2

2 2

c) Cơ năng của quả bóng

Vì quả bóng chuyển động trên quỹ đạo tròn nên ta có: W = Wt + Wđ = - 214 (MJ)

R

rT

Bài 12:

Hai tàu vũ trụ nhỏ, mỗi tàu có khối lượng m = 2000kg, bay theo quỹ đạotròn trên Trái Đất (Hình 10), ở độ cao h = 400km Tgor (người chỉ huy một trongnhững con tàu vũ trụ) bay tới một điểm cố định trên quỹ đạo 90s trước Sally(người chỉ huy tàu kia) Hỏi:

a) Chu kỳ và tốc độ của hai con tàu trên quỹ đạo tròn là bao nhiêu?

b) Tại điểm cố định (giả sử điểm P trên Hình 10) Sally muốn vượt Igor bèncho phụt khí về phía trước để giảm tốc độ của cô 1% Sau đó, Sally đi theo quỹ đạoelip (đường vẽ nét đứt) Tính tốc độ, động năng và thế năng con tàu của cô ngay saukhi phụt khí?

c) Trên quỹ đạo mới hình elip, cơ năng toàn phần, bán trục lớn và tốc độ trênquỹ đạo của Sally là bao nhiêu?

Giải

a) Bán kính quỹ đạo tròn của chúng:

r = R + h = 6370 + 400 = 6770km = 6,77.106 m (trong đó R là bán kính TráiĐất)

Từ định luật 3 Kepler ta suy ra:

1 Năng lượng toàn phần E của hành tinh.

2 Mômen động lượng L của hành tinh so tâm Mặt trời

3 Thông số quỹ đạo p và tâm sai e của hành tinh,

Từ (2) rút ra r và thế vào (1) ta có phương trình : 2mEr2 2GMm r L2  2 0

Phương trình có 2 nghiệm chính là rmax và rmin.

Khi khối lượng của hành tinh nhỏ không đáng kể thì mặt trời có thể coi là đứngyên và ta có thể viết

 là khối lượng quy chuẩn (rút gọn) Ta viết

biểu thức này dưới dạng:

1 Tìm v1 ở quỹ đạo tròn thấp và và v1’ là vận tốc mới tên lửa bắt đầu hoạtđộng Biết vận tốc v1 và v1’ là cùng hướng

2 Vệ tinh đến B thì có vận tốc v2’ bằng bao nhiêu? Tính vận tốc v2 trên quỹ

đọ đạo tròn cao

Giải

Chuyển động vệ tinh gồm ba giai đoạn:

+ Chuyển động tròn ở quỹ đạo tròn thấp R1

+ Chuyển động theo nửa quỹ đạo elip từ A đến B

+ Chuyển động tròn ở quỹ đạo tròn cao R2

1 Khi vệ tinh chuyển động theo quỹ đạo tròn bán kính R1:

1 Do Trái Đất chuyển động theo quỹ đạo tròn với bán kính rt chuy n ểm thì điểm thì ộng theo quỹ đạo tròn bán kính Rng theo qu ỹ đạo tròn bán kính R điểm thì ại O : o tròn v i bán kính rới bán trục lớn a 0: 0 0

GM v

Vậy quỹ đạo sao chổi là parabol vì cơ năng E = 0

V n t c v t i m t v trí b t kì : ận điểm thì ối tâm của hệ hai ngôi sao tại O : ại O : ộng theo quỹ đạo tròn bán kính R ị trí ném là cận điểm thì ất chuyển động theo quỹ đạo tròn với bán kính r

0 0 0

b) Cho e = 0,2; a = 10.000km, RĐ = 6370km Tính khoảng cách gần nhất và

xa nhất từ vệ tinh đến trái đất

Giải

a) Giả sử trái đất ở điểm F1 của quỹ đạo elip của vệ tinh nhân tạo

=> Bán kính vectơ của vệ tinh:

Tại cận điểm: rc = a(1- e)

Tại viễn điểm: rv = a(1 + e)

=> Vận tốc dài của vệ tinh ở cận điểm

Theo định luật 3 kepler: T

Người ta muốn phóng một vệ tinh nhân tạo theo phương án sau:i ta mu n phóng m t v tinh nhân t o theo phối tâm của hệ hai ngôi sao tại O : ộng theo quỹ đạo tròn bán kính R ệ hai ngôi sao tại O : ại O : ương tự khi vệ tinh chuyển động theo quỹ đạo tròn bán kính Rng án sau:

1 Từ mặt đất cung cấp cho vệ tinh vận tốc v0 theo phương thẳng đứng

2 Khi vệ tinh lên đến độ cao h có vận tốc bằng 0, người ta cung cho nó vậntốc v1 theo phương ngang ( v1 v0) để vệ tinh chuyển động theo quỹ đạo elip cótâm sai e và thông số p được xác định trước Bỏ qua sức cản của không khí

Hãy tính các vận tốc v0 và v1 Cho biết bán kính của Trái Đất là R0 và gia tốctrọng trường là g0 (g0 = GM/R02)

Hướng dẫn:Vì chuyển động trong trường trọng lực xuyên tâm, áp dụng định luật

bảo toàn mômen xung lượng và cơ năng.

Giải

Cách 1:

a) Chọn gốc thế năng tại tâm Trái Đất

Vì chuyển động trong trường trọng lực xuyên tâm ta áp dụng định luật bảotoàn mômen xung lượng và cơ năng

Tại mặt đất vệ tinh có cơ năng là:

2 0

mv

E = - mg R +

2

Tại độ cao h vệ tinh có cơ năng là: E = - mg r (r = R + h) 2 h 0

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta có:

2 0

b) Khi vệ tinh lên đến độ cao h

Do quỹ đạo là elip, mà vận tốc được cung cấp v1 có hướng vuông góc với v0

nên điểm cung cấp chỉ có thể tại hai đỉnh của elip (cận điểm, viễn điểm)

* Điểm lên quỹ đạo là cực cận

Theo định luật bảo toàn cơ năng ta có:

2 2

c 1

0

mv mv

* Điểm lên quỹ đạo là cực cận

Theo định luật bảo toàn cơ năng ta có:

2 2

1 0

mv mv

2 0 0 v

Người ta chụp ảnh Mặt trăng đồng thời cùng một phía, từ Trái Đất và từ một

vệ tinh của Mặt Trăng Quỹ đạo của vệ tinh là đường tròn Đường kính ảnh MặtTrăng trên bức ảnh chụp từ Trái Đất là a1 = 4,5mm, còn trên bức ảnh chụp từ vệtinh là a2 = 250mm Hãy tìm chu kỳ quay của của vệ tinh Mặt Trăng, biết hai bứcảnh đều chụp bằng các vật kính giống nhau có tiêu cự f=50cm và gia tốc rơi tự dotrên Mặt Trăng nhỏ hơn trên Trái Đất n = 6 lần, khoảng cách từ Trái Đất đến MặtTrăng là L = 380.000km

Giải

Tính chu kỳ quay của vệ tinh Mặt trăng

Gọi R là bán kính quỹ đạo của vệ tinh Mặt Trăng ta có:

4π

T