RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI

Dạng 2: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rút gọn rồi quy đồng:... 2 Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A có giá trị là số nguyên.. b Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thứ

CÁC DẠNG BÀI CƠ BẢN

Dạng 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi rút gọn:

Ví dụ: Rút gọn P =

















































1

1 2 2 : 1 1

x

x x x

x

x x x x

x x

Giải:

Với x ¿ 0 và x  1

Ta có P =

2

:



=

1





=

2( 1)



=

.



Vậy P =

1 1

x x



 với x ¿ 0 và x  1

BÀI TẬP:

1) Rút gọn P =



    , với x ¿ 0 và x  1

2) Rút gọn biểu thức:

2

1 - a a 1 - a

1 - a

1 - a

    với a ≥ 0 và a ≠ 1

3) Rút gọn: B =

a + a a - a

1 + 1 +

a + 1 1- a

    với a ≥ 0, a ≠ 1

hay B =

    với 0  x 1 4) Cho biểu thức: M =

x2−√x x+√x+1−

x2+√x x−√x+1+x+1 Rút gọn biểu thức M với x 0 

5) Cho biểu thức: P =

a a - 1 a a + 1 a +2

- :

a - 2

a - a a + a

  với a > 0, a  1, a  2

a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên 6) Cho biểu thức A =

:

a - 1

a 1 a - a



  với a > 0, a  1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm các giá trị của a để A < 0

7) Cho biểu thức: P =

x2+√x x−√x+1+1−

2x+√x

√x với x > 0.

a) Rút gọi biểu thức P b) Tìm x để P = 0

Dạng 2: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rút gọn rồi quy đồng:

Ví dụ: Cho biểu thức A =

:

a - 1

a 1 a - a



  với a > 0, a  1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm các giá trị của a để A < 0

Giải:

a) Với a > 0, a  1

ta có A =

:

a 1 ( 1) ( a +1)( a - 1)

a

a a



=

:

a



=

1 1

a a

 



Vậy A = a 1 với a > 0, a  1

b) Ta có A = a 1 với a > 0, a  1

Để A < 0 thì a 1< 0  a 1 a1 mà a > 0; a  1 0< a <1

Vậy để A < 0 thì 0< a <1

BÀI TẬP:

1) Rút gọn: A=

x x

x

x x

x x





























1

1 1

1

với x0,x1

2) Rút gọn biểu thức:

:

P

với x0;x4;x1











































1 x

x x 1 1 x

x x 1

với x 0 và x 1

a Rút gọn biểu thức M b Tìm giá trị của x để M = - 2005

a b b a b

a

ab 4 ) b a









( a , b > 0)

a Rút gọn biểu thức M b Tìm a , b để M = 2 2006

5) : Cho biểu thức: P =

a a - 1 a a + 1 a +2

- :

a - 2

a - a a + a

  với a > 0, a  1, a  2

a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên

Dạng 3: Phân tích mẫu thành nhân tử rồi quy đồng:

Ví dụ1: Cho biểu thức

1

:

y Q

a) Rút gọn biểu thức Q

b) Tính giá trị của Q khi y  3 2 2

Giải:

a) Với y0; y1

1

:

y



=  2

:

=

 12

.

y





Vậy Q =

1

y y



với y0; y1 b) Ta có Q =

1

y y



với y0; y1 Với y  3 2 2 1 2 2 2     1 22

thỏa mãn điều kiệny0; y1 thay vào Q ta được

Q =

2

2

1 2 1 2 1 1 ( 2 2)( 2 1)

2 1

2 1

1 2







Vậy Q =  2 khi y  3 2 2

Ví dụ 2: Đôi khi ta phải đổi dấu một hạng tử

4 n 4 2 n

1 n 2 n

3 n

















( với n  0 ; n 4)

Giải:

Với n  0 ; n 4 ta có

4

n



=    

2

n n

n







Vậy P =

4

2

n  với n  0 ; n4

BÀI TẬP:



























a

3 1 3

1 3

1

với a0 và a 9

2) Rút gọn biểu thức: A =

2

x

x với x > 0 và x 9

3) Rút gọn biểu thức:

3



y xy

P

y x

x y x y với x0;y0 và x y

4) Rút gọn biểu thức

      

5) Rút gọn biểu thức

x A



    với x0;x1

6) Rút gọn biểu thức:

: 9



P

x

x x x x với x0,x9,x25

Bài 7: Cho biểu thức P =

:



a) Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức P

b) Tim x để P =

3

2

Bài 8: Cho biểu thức A =

: 1

x



  với x > 0 và x 1 1) Rút gọn biểu thức A

2) Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A có giá trị là số nguyên

Bài 9: Cho biểu thức: P =

a) Rút gọn P b) So sánh giá trị của P với số

1

3

Bài 10: Rút gọn P = 2 2

1





x

x

2 2 2

1









x x

x

với x0 và x 1

Bài 11: Cho biểu thức

1

A

x

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.

Bài 12: Cho biểu thức:

1

P

x



   với x ≥ 0 và x ≠ 1 a.Rút gọn biểu thức P b.Tìm x để P đạt giá trị nguyên

Bài 13: Cho biểu thức

x x



a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để

9 2

P 

Bài 14: Cho biểu thức: M=(a−1√a+

1

√a−1): √a+1

a) Tìm điều kiện của a để M có nghĩa và rút gọn M b) So sánh M với 1

Bài 15: Cho biểu thức sau: M=

( √x +1)2−( √x−1)2

x√x +√x +

8

x2−1 ( x> 0 ; x≠1)

a) Rút gọn biểu thức M b) Tìm tất cả các giá trị của x để M ¿ 0

Bài 16: Cho biểu thức A=√a+1

√a−1−

√a−1

√a+1 (với a∈R, a≥0, a≠1 )

1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị biểu thức A tại a = 2.

Bài 17: Cho biểu thức P =

:

x - x x 1 x - 2 x 1



a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm các giá trị của x để P >

1

2

Bài 18: Cho biểu thức P =

x + 1 2 x 2 + 5 x + +

4 - x

x - 2 x + 2 với x ≥ 0, x ≠ 4

1) Rút gọn P 2) Tìm x để P = 2

Bài 19: Cho biểu thức A =

:

1

x

x

1) Rút gọn biểu thức A

2) Tính giá trị của A khi x 2 2 3 

CHÚ Ý KHI RÚT GON

TH1: Mẫu là một tích của các mẫu.

Ví dụ: Rút gọn biểu thức : A = với a > 0 và a 9.

1) Rút gọn biểu thức: P = (x 0; x 1).

TH2: Một mẫu là tích của hai mẫu còn lại:

a) Mẫu có dạng hằng đẳng thức chủ yếu là: A 2 - B 2

Ví dụ : Rút gọn:

:

B

với x 0,x 25.

Chú ý đôi khi ta phải đổi dấu

Ví dụ: Cho biÓu thøc P =

4−n ( víi n ¿ 0 ; n ¿4 )

a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi n = 9

b) Mẫu không có dạng hằng đẳng thức:

Ví dụ: Cho biểu thức A =

x



    với x0;x4 a) Rút gọn A b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =x  6 4 2

Chú ý đôi lúc trong biểu thức có cả hai trường hợp:

Ví dụ: Rút gọn biểu thức: A =

2

x

x với x > 0 và x  9

Bài tập : 1) Rút gọn:

9

  (với a0 và a 9).

b)

3



P

y x

x y x y với x 0;y 0 và x y .

1

2 x 2 2 x 2 x 1

c) Rút gọn biểu thức

    với x0,x1

d) Rút gọn biểu thức:

9



P

x

x x x x với x 0,x 9,x 25.

e) Rút gọn biểu thức A =

x





f) Rút gọn biểu thức 3 1 . 2

  với x 0 và x 4.

g) Rút gọn biểu thức:

Bài 2: Cho biểu thức P =

:



a) Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức P b) Tìm x để P =

3

2 Bài 3: Cho biểu thức:

:

2

A

b a



khác nhau.

a) Rút gọn biểu thức:

2

A

b a

 



 .b) Tính giá trị của A khi a  7 4 3 và b  7 4 3.