De thi hoc sinh goi toan nam 2008 - 209

PQ Suy ra: nhỏ nhất khi PQ nhỏ nhất.

Hớng dẫn chấm Toán thi HSG 9 Năm học 2008 – 2009

1

4đ

Câu2

3đ

a

2,5đ

b

1,5đ

a

1đ

Đk:

4

x x

 − ≠ ⇔ ≠

 − ≠  ≠



Ta có:

3 2

x x

x

= +   − + = +   − − 

=

−

Vậy P = 3

2

x−

P = 1⇔ 1 = 3

2

x− ⇔ x− = ⇔2 3 x = ⇔ =5 x 25

Vậy với x= 25 thì P = 1

Với m = 1 hệ phơng trình đã cho:

2

2

m x my m

mx y m





1

x y

x y

− =



 − = −



Giải ra ta đợc x = 0; y = 1

0,5đ

0,5đ

1đ

0,5đ

1đ 0,5đ

0,5đ 0,5đ

b

2

2

m x my m

mx y m







Từ (2) suy ra y = -m2 + mx+2 thay vào (1) Ta đợc:

(m+1)x + m(-m2+mx+2) = 2m – 1

⇔(m2+m+1)x = m3 – 1

mà m2+m+1 = (m+ 1

2)2 +3

4>0 với mọi m

Hệ có nghiệm duy nhất là

1 2

x m

y m

= −



 = − +



0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

Ta cã: P = x.y = (m-1).(2- m) = - m2+2m +m -2 = -(m2 – 3m +9

4) +1

4

2

3 1 1

m

= − − ÷ + ≤

DÊu b»ng x©y ra khi vµ chØ khi : m - 3 0 3

2 = ⇔ =m 2

VËy gÝa trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc p lµ: Max P = 1

4

3 2

m

⇔ =

0,25® 0,25® 0,25® 0,25®

C©u 3

3®

Ta cã:

VËy

( )

NÕu x = 0 suy ra y = 0 suy ra S = 0 NÕu x ≠0 suy ra y ≠ 0 Tõ (*) suy ra

2 2

2009

2009 2009

2009 2009 2009

0

0

xy y

y

x y x y

S x y

xy x y

+ = − > ⇒ <

+

+





< ⇒ − ≠ 

0,5®

0,5®

0,5®

0,5®

0,5®

0,5®

C©u 4

0 hoac a = b = c 0

a b c b c a c a b

a b c b c a c a b

a b c b c a c a b

a b c

+ − = + − = + −

Với a+b+c = 0 th×

b c a a b b c c a P

c a b

a b c

= + ÷ + ÷ + ÷=

− − −

1®

1®

Với a = b = c ≠ 0 thì

1 b 1 c 1 c 1 1 1 1 1 1 8

P

= + ữ  + ữ  + ữ= + + + =

1đ

Câu 5

5đ

a

1đ

H O B

A M

N

M1

N1 P

Q

Ta có M N Nã 1 1 =M BAã 1 (Góc có cạnh tơng ứng vuông góc)

Mà M BA BMNã 1 =ã ⇒M N Nã 1 1 =ãBMN 1đ

b

2đ

đặt AM1 = a1; BM1 = a; AN1 = b1; BN1 = b

Ta có: 1 1

; 2

a b

PQ= + VM BN vuông tại B;

BA M N⊥

1 1 hay a 1 1 4

Gọi H là trực tâm của VBPQ thi H AB ∈

Xét VPAHvà VBAQ có

HAP BAQ= = v ãHPA QBA= ã (Cùng phụ với ãAQB)

2

1 1

hay AH : : 2

2 2 4

2

b a

AH PA

AQ BA

Vậy trực tâm H của VBAQ là trung điểm của OA

0,5đ

0,5đ

0,5đ 0,5đ

c

2đ Ta có: S SBPQBPQ = 1/2 AB.PQ = R PQ Suy ra: nhỏ nhất khi PQ nhỏ nhất

Suy ra M1N1 nhỏ nhất (Vì 2.PQ = M1N1)

2 2

a b

PQ= + ⇒ PQ a= +b mà a

1.b1 = 4R2 không đổi

⇒ 2PQ = a1+b1 nhỏ nhất khi a1 = b1 = 2R.

⇒ PQ = 2R khi và chỉ khi M1N1 = 4R = 2AB

⇒ AB = 1/2M1N1 và AM1 = AN1 ⇒ Tam giác BM1N1 cân

tai O

BMN BNM BN M BM N MN M N

MN AB

Vậy Min SPQR = 2R2 khi MN vuông góc với AB tại O

0,5đ

0,5đ

0,5đ 0,5đ

C©u 6

x y x y y x y x

y x x y y x y x x xy yx y

y x xy y x y x

=

2

1

0 x 1; y 1

y x xy

Vi

1 x + 1 y ≥ 1 xy

0,5®

0,5®

0,5® 0,5®