De thi hoc sinh gioi Qung Binh lop 12 qua cac nam

Chứng minh rằng, điểm H luôn luôn nằm trên một cung tròn cố định khi M, N di động theo quy luật trên... Câu 4 2,5 điểm : Cho tam giác đều ABC cạnh a , các nửa đờng thẳng Bx và Cy lần lợt

Trang 1

sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12

Năm học : 2003 - 2004

Đề chính thức Môn : toán (vòng 1)

Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (2,5 điểm) : Giải phơng trình :

log3(2 x + 5) = log2x

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = xy + yz + 2zx

*

2 n 1 n

2

u u

; 3

1

Tìm limn→∞u n ?

ngoài hình chữ nhật đó một nửa đờng tròn đờng kính AB Gọi M là một điểm tuỳ ý trên nửa đờng tròn vừa dựng (M không trùng với A và M cũng không trùng với B) Các đờng thẳng MD, MC cắt AB tại N, L Chứng minh rằng :

AL2 + BN2 = AB2

Họ và tên :

Số BD :

Trang 2

Năm học : 2003 - 2004

Câu 1 (2,5 điểm) : Tính tổng :

∑

= + + +

=2003 1

1 n

1 1 S

Câu 2 (2,5 điểm) : Cho p là số nguyên tố và a, b là các số nguyên dơng thoả mãn :

1p =a1+b1

Tìm tất cả các giá trị của p để a hoặc b là những số chính phơng ?

Câu 3 (2,5 điểm) : Không dùng máy tính và bảng số, chứng minh bất đẳng thức :

7

π 3cos 14

π 2sin 14

π sin

1 − >

Câu 4 (2,5 điểm) : Trong không gian cho hai tia ax, By vuông góc với nhau và nhận

AB = a làm đờng vuông góc chung Trên ax, By lần lợt lấy các điểm M, N di động sao

cho AM + BN = MN (điểm M không trùng với điểm A và điểm N không trùng với điểm B) Gọi I là trung điểm của AB và H là hình chiếu vuông góc của I trên MN Chứng minh rằng, điểm H luôn luôn nằm trên một cung tròn cố định khi M, N di động theo quy luật trên

Họ và tên :

Số BD:

Trang 3

Đề dự bị Môn : toán (vòng 1)

2 + 6 =

Câu 2 (2,5 điểm) : Chứng minh bất đẳng thức :

2 n , N n

; 1 3n

1 2n

1 2n 6

5 4

3 2

+

<

−

ì

Câu 3 (2,5 điểm) : Cho dãy số (un) có công thức tổng quát nh sau :

4

2 2 n

n

1) (n 3.2

2.1

u = + +  + +

Tính giới hạn : L=limn→∞u n ?

cho đoạn MN có độ dài không đổi d.

a/ Chứng minh rằng tổng AM2 + BN2 là một số không đổi và góc giữa AB và MN cũng không đổi

b/ Dựng đờng vuông góc chung IJ của AB và MN Chứng minh rằng độ dài của IJ

tỷ lệ với tích AN.BM

Họ và tên :

Số BD :

Trang 4

Năm học : 2003 - 2004

thức : P = a2 + b2 +c2

x

1

x + = ∀ ≠

Tính tổng : 13 13

x

1 x

S = +

n

5 2

5

a + +  + . Chứng minh rằng nếu s chia hết cho 30 thì p cũng chia hết cho 30

Câu 4 (2,5 điểm) : Cho tam giác đều ABC cạnh a , các nửa đờng thẳng Bx và Cy lần lợt

vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại B, C và ở về cùng một phía đối với mặt phẳng ấy Trên Bx và Cy lấy BM = u , CN = v Gọi P là trung điểm của MN.

a/ Tìm hệ thức liên hệ giữa u và v để tam giác AMN vuông tại M.

b/ Chứng minh rằng khi M, N biến thiên sao cho CN = 2BM thì mặt phẳng (AMN) luôn luôn cắt mặt phẳng (ABC) theo một đờng thẳng cố định Xác định đờng vuông góc chung của giao tuyến cố định này với đờng thẳng Cy

Họ và tên :

Số BD :

Trang 5

sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12

Năm học : 2004 - 2005

đề chính thức Môn : Toán - vòng 1

Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 ( 2,5 điểm ): Cho phơng trình : cos2x - (2m + 1)cosx + m + 1 = 0 (1)

Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm x 











∈

2

3π

; 2

π

?

Câu 2 ( 2,5 điểm ) : Trong không gian cho tam diện vuông Sxyz Trên các tia Sx,

Sy, Sz lần lợt lấy các điểm A, B, C không trùng với S Gọi H là hình chiếu vuông

góc của S trên mặt phẳng (ABC) và (O; R) là đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Chứng minh rằng, điểm H là trực tâm của tam giác ABC và ta có hệ thức :

OH 2 + 2.SH 2 = R 2

Câu 3 ( 2,5 điểm ) :

Cho a, b, c là các số thực không nhỏ hơn 2 Chứng minh bất đẳng thức :

b) (a

2 a) (c

2 c)

Câu 4 ( 2,5 điểm ) : Tìm tất cả các cặp số hữu tỷ ( x ; y ) thoả mãn :

3 y 3

x 3 3

Năm học : 2004 - 2005

đề chính thức Môn : Toán - vòng 2

Họ và

tên :

Số báo

Trang 6

Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 ( 2,0 điểm ) : Giải hệ phơng trình :









= +

+

= +

+

6 y x

2 3 2 y xy x

2 2

Câu 2 ( 2,0 điểm ) : Tính giới hạn :

os3x cosxcos2xc 1

lim

→

Câu 3 ( 2,0 điểm ): Giải bất phơng trình :

(26 + 15 3)x + 2(7 + 4 3)x − 2(2 − 3)x < 1

Câu 4 ( 2,0 điểm ) :

Cho 2005 số thực không âm u 1 , u 2 , , u 2005 thoả mãn các điều kiện :

a) u 1 = u 2005 = 2005

2 1 n 2 n 1

u + = − − + − , với n ∈ N và 2 ≤ n ≤ 2004 Hãy xác định u 2003 ?

Câu 5 ( 2,0 điểm ) : Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn Gọi P là một điểm nằm trên nửa mặt phẳng không chứa A với bờ là đờng thẳng BC

Chứng minh rằng, nếu PB 2 + AC 2 = PC 2 + AB 2 thì AP ⊥ BC

Họ và

tên :

Số báo

Trang 7

Năm học : 2004 - 2005

Môn : TOáN -vòng 1

đề dự bị

Câu 2 (2,5 điểm): Chứng minh bất đẳng thức :

( ) 



 +

>

3 x

2 (1 2 ) log 3 2 log

Câu 3 (2,5 điểm): Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số :

f(x, y) = cosx + cosy - cos(x + y)

Câu 4 (2,5 điểm): Trong tất cả các tứ giác lồi ABCD có chu vi bằng 1 (đơn vị độ dài),

tìm tứ giác sao cho biểu thức :

4 2

4

AB DA

DA DA

CD

CA CD

BC

BC BC

AB

AB P

+

+ +

=

đạt giá trị nhỏ nhất

Năm học : 2004 - 2005

Họ và tên :

Số BD :

Trang 8

Môn : TOáN -vòng 2

đề dự bị

Câu 1 (2,5 điểm): Giải phơng trình :

2 5 3 5 3

Câu 2 (2,5 điểm): Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số :

x) x)(6 (3 x

6 x 3 ) x

1 x a) 2 =

3 n , N n

; u 1 1 2

1 u

n 1

1) Chứng minh rằng tồn tại nlim u n

∞

→ và tìm giới hạn đó ? 2) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất số A sao cho n n n

A

u lim

L = →∞ là một số khác 0

Câu 4 (2,5 điểm): Cho hai đờng thẳng vuông góc x và y nhận AB làm đờng vuông

góc chung Các điểm C, D lần lợt di chuyển trên x, y sao cho CD có độ dài không đổi

bằng k

a) Chứng minh : Tổng AC2 + BD2 có độ dài không đổi và góc giữa AB và CD không đổi

b) Tìm quỹ tích trung điểm M của CD khi C, D lần lợt di chuyển trên x và y

Họ và tên :

Số BD :

Trang 9

Năm học : 2005 - 2006

Bài 1 (2,5 điểm) : Giải phơng trình :

1 x 2x

2 2x

2 6

2









+ + +

Bài 2 (2,5 điểm) : Cho a, b, c là 3 số thực thoả mãn các điều kiện :

a2 + b2 + c2 = 2 v à ab + bc + ca = 1

Chứng minh rằng: ∈  − 

3

4

; 3

4 ,

,b c a

Bài 3 (2,5 điểm) : Tính giới hạn:

đẳng thức:

a+b−c + b+c−a + c+a−b ≤ a + b + c

Họ và tên :

Số BD :

Trang 10

Năm học : 2005 - 2006

Bài 1 (2,5 điểm) : Cho x và y là các số thực liên hệ với nhau bởi hệ thức:

36x2 + 16y2 – 9 = 0 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = y – 2x + 5

Bài 2 (2,5 điểm) : Giải phơng trình:

29 10

2 5

2 − x+ + x + x+ =

x









∈ +

=

∗

u

n

2005

1

2 1 1











+ + +

+

∞ +

2 2

1

lim

n

u u

u



Bài 4 (2,5 điểm) : Cho tam giác ABC có 3 góc đều nhọn nội tiếp trong đờng tròn (O).

Các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại A và C cắt tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại B tơng ứng ở các điểm M, N Kẻ đờng cao BP của tam giác ABC (điểm P nằm trên AC) Chứng minh rằng đờng thẳng BP là phân giác của góc MPN

Họ và tên :

Số BD:

Trang 11

Năm học : 2005 - 2006

2 + 6 =

Câu 2 (2,5 điểm) : Chứng minh bất đẳng thức :

2 n , N n

; 1 3n

1 2n

1 2n 6

5 4

3 2

+

<

−

ì

4

2 2 n

n

1) (n 3.2

2.1

u = + +  + +

Tính giới hạn : L=limn→∞u n ?

cho đoạn MN có độ dài không đổi d.

a/ Chứng minh rằng tổng AM2 + BN2 là một số không đổi và góc giữa AB và MN cũng không đổi

b/ Dựng đờng vuông góc chung IJ của AB và MN Chứng minh rằng độ dài của IJ

tỷ lệ với tích AN.BM

Năm học : 2005 - 2006

Họ và tên :

Số BD :

Trang 12

thức : P = a2 + b2 +c2

x

1

x + = ∀ ≠

Tính tổng : 13 13

x

1 x

S = +

n

5 2

5

a + +  + . Chứng minh rằng nếu s chia hết cho 30 thì p cũng chia hết cho 30

Câu 4 (2,5 điểm) : Cho tam giác đều ABC cạnh a , các nửa đờng thẳng Bx và Cy lần lợt

vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại B, C và ở về cùng một phía đối với mặt phẳng ấy Trên Bx và Cy lấy BM = u , CN = v Gọi P là trung điểm của MN.

a/ Tìm hệ thức liên hệ giữa u và v để tam giác AMN vuông tại M.

b/ Chứng minh rằng khi M, N biến thiên sao cho CN = 2BM thì mặt phẳng (AMN) luôn luôn cắt mặt phẳng (ABC) theo một đờng thẳng cố định Xác định đờng vuông góc chung của giao tuyến cố định này với đờng thẳng Cy

Họ và tên :

Số BD :

Trang 13

Năm học : 2006 - 2007

Bài 1 (2,5 điểm) : Giải phơng trình sau:

x

1 x 2 1 x

x

= +

− +

1, 2, , n) chỉ nhận một trong hai giá trị là 1 hoặc (- 1) và thoả mãn điều kiện:

x1x2 + x2x3 + + xn-1 xn + xnx1 = 0

Chứng minh rằng n là bội số của 4

Bài 3 (2,5 điểm) : Cho các số thực dơng a, b, c Chứng minh bất đẳng thức:

a b c

a

c c

b b

a 2 2 2

+ +

≥ + +









≥

∈ +

=

− + u u n; N, n 2 u

1 u u

1 n n 1 n

2 1

Tìm nlim u n

∞ +

Họ và tên :

Số BD :

Trang 14

Năm học : 2006 - 2007

2

B tg , 2

A

tự đó lập thành một cấp số cộng thì cosA, cosB, cosC theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng

hằng số thực Biết rằng f(1) = 10 ; f(2) = 20 ; f(3) = 30

Hãy tính giá trị:

22

10

) 8 ( ) 12 (

P = f + f − +

nhất của biểu thức P = a2 + b2 + c2

Bài 4 (2,5 điểm) : Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đờng tròn tâm O Gọi P là một

điểm bất kỳ nằm trên cung nhỏ BC (cung không chứa điểm A)

Chứng minh rằng: PA = PB + PC

Họ và tên :

Số BD:

Trang 15

Năm học : 2007 - 2008

Bài 1 (2,5 điểm) : Giải phơng trình:

2a2 + a = 3b2 + b Chứng minh rằng số 2a + 2b + 1 là số chính phơng

Bài 3 (2,5 điểm): Cho các số thực dơng a, b, c thoả mãn điều kiện:

ab + bc + ca = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a + b b + c c + a

1

n -1

u = 2008

1 2007

u = (u + ) ; n N, n 2.







hết

Số BD:Họ và tên:Số BD:

Trang 16

Năm học : 2007 - 2008

Bài 1 (2,5 điểm) : Tính tổng:

S 1 12 12 1 12 12 1 1 2 1 2

Bài 2 (2,5 điểm) : Tìm giá trị của a để hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất:

2

2 2

3x - a y + 1 = 1

1

y + y + 1











i) f(x + y) ≤ f(x) + f(y) ; với ∀x, y∈R

ii)

x 0

(x)

x

f

→ = ; với ∀x∈R

Chứng minh rằng hàm số f (x) có đạo hàm trên R và tìm hàm số đó.

ngoài hình chữ nhật đó một nửa đờng tròn đờng kính AB Gọi M là một điểm tuỳ ý trên nửa đờng tròn vừa dựng (M không trùng với A và M cũng không trùng với B) Các đờng thẳng MD, MC cắt AB lần lợt tại N, L

Chứng minh rằng : AL2 + BN2 = AB2

hết

Số BD:Họ và tên:Số BD:

Tiêu đề	Đề Thi Học Sinh Giỏi Quảng Bình Lớp 12 Qua Các Năm
Trường học	Sở GD-ĐT Quảng Bình
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	Đề Thi
Năm xuất bản	2003 - 2004
Thành phố	Quảng Bình

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	208,5 KB