Chinh phục hệ thức viet

Ví dụ 1: Nhẩm nghiệm các phương trình sau: a Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai đơn giản; b Tính nghiệm còn lại của phương trình khi đã biết một nghiệm của nó; c Tính hệ thức giữa các

Tính tổng S và tích P rồi suy ra hai nghiệm x1 , x2

Lưu ý: Trong cách 1 và cách 2, ta nên lấy a cộng với c trước, rồi so sánh tổng

(a+c) này với b:

+ Nếu tổng (a+c) trái dấu với b thì dùng cách 1(cách cộng với b);

+Nếu tổng (a+c) cùng dấu với b thì dùng cách 2(cách trừ đi b)

Ví dụ 1: Nhẩm nghiệm các phương trình sau:

a) Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai đơn giản;

b) Tính nghiệm còn lại của phương trình khi đã biết một nghiệm của nó;

c) Tính hệ thức giữa các nghiệm mà không cần tính nghiệm của pt; d) Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của nó;

e) Tìm điều kiện của tham số để thỏa mãn dấu của nghiệm v v

Vì a và c trái dấu nên pt có hai nghiệm trái dấu Theo Viet ta có:

Ta thấy: a + c = 1 + ( 2 - 1) = 2 còn b = - 2 Do đó a + c + b = 0

x1 = 1 ; x2 = c

a = 2 - 1

1 = 2 - 1 b) x2 + 3 x + ( 3 - 1) = 0

ta thấy a + c = 1 + ( 3 - 1) = 3 còn b = 3 Do đó a + c – b = 0

x1 = -1 ; x2 = -c

a = - ( 3 - 1)

1 = 1 - 3 c) x2 – (3 + 7)x + 3 7 = 0

Theo Viét ta có : S = x1 + x2 = - b

a = - (3 7 )

1 = 3 + 7

x1 = 5 và x2 = -2

Dạng 2 : KHÔNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC

ĐỐI XỨNG GIỮA HAI NGHIỆM X 1 VÀ X 2

Bước 1 : Kiểm tra xem phương trình có nghiệm hay không (Pt có nghiệm

khi ∆ 0 hoặc ∆’ 0 hoặc a và c trái dấu)

Bước 2 : Áp dụng hệ thức Viét để tính tổng S và tích P của hai nghiệm Bước 3 : Biến đổi biểu thức đề bài đã cho để xuất hiện S và P

Bước 4 : Thay các giá trị của S và P vào để tính giá trị biểu thức

Một số đẳng thức thường sử dụng:

1/ x12 + x22 = S2 – 2P ; 2/ (x1 – x2 )2 = S2 – 4P ; 3/ x13 + x23 = S3 – 3SP

Biến đổi vế trái :

5) x 13 + x 23 = S 3 – 3SP ;

vế trái = x13 + x23 = (x1 + x2)(x12 – x1x2 + x22 )

= (x1 + x2)[(x12 + x22 ) – x1x2)]

= S [ ( S2 – 2P ) – P ] = S [S2 – 3P ] = S3 – 3SP (đpcm)

Ví dụ 2 (Bài 1 trang 90-SGK lớp 9): Không giải phương trình, hãy tính tổng

và tích các nghiệm của phương trình:

Ví dụ 3: Cho phuong trình 2x2 + 7x + 3 = 0 có x1, x2 là 2 nghiệm (với x1 >

x2 ) Không giải phuong trình, hãy tính giá trị của các biểu thức sau :

7 =

Bước 1: Dùng Viét tính S (hoặc P);

Bước 2: Thay giá trị của nghiệm đã biết vào đẳng thức S (hoặc P) ở trên để tìm nghiệm còn lại

Ví dụ 1: Cho phương trình 2x2 + 5x – 3 = 0 có một nghiệm bằng 1

2 Tính nghiệm còn lại

Giải

Cách 1: Theo Viét ta có: S = x1 + x2 = b

a = - 5

2

Dạng 4 : TÌM THAM SỐ ĐỂ THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VỀ MỐI LIÊN

HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Bước 1: Tính (hoặc ')

Bước 2 : Đặt điều kiện cho 0 ( hoặc ’ 0 ) để phương trình có nghiệm

Bước 3: Dùng Viét để tính tổng S và tích P của 2 nghiệm

Bước 4 : * Nếu đẳng thức đề cho là bậc nhất (x1 và x2 đều có mũ là 1) thì kết hợp đẳng thức này với tổng S để được hệ pt Giải hệ pt tìm x1, x2 Sau

đó thay x1, x2 vừa tính vào P để tìm tham số

* Nếu đẳng thức đề cho là bậc 2 trở lên thì biến đổi đẳng thức đó xuất hiện

S và P Sau đó thay S và P vào để tìm tham số

Bước 5: Đối chiếu giá trị tham số vừa tìm với điều kiện và trả lời

9

*Nếu bỏ bước 2 ( bước đặt điều kiện để pt có nghiệm) thì sau khi tìm được tham

số phải thay giá trị tham số vào (hoặc ') Nếu giá trị nào của tham số làm cho < 0 (hoặc ’ < 0 ) thì loại bỏ giá trị đó của tham số

Ví du 1: ( Bài 6 Tr 96-SGK): cho phương trình x2 + 3x + m = 0, x1, x2 là hai nghiệm của phương trình Không giải phương trình, tìm giá trị của m để: a) x1 – x2 = 6 ; b) x12 + x22 = 34 ; c) x12 – x22 = 30 ;

Giải hệ này ta tìm được x1 = -2 và x2 = -1

11 (-2).(-1) = m

Dạng 5 : TÌM THAM SỐ KHI BIẾT MỘT NGHIỆM,

* Sau khi xong bước 1, có thể thay giá trị của tham số vào phương trình, rồi giải

phương trình để tìm nghiệm còn lại Tuy nhiên, cách này không đẹp

Ví dụ : Với giá trị nào của m thì phương trình x2 – 2(1 + 3m)x – 6m = 0 (*)

có nghiệm là -2? Tính nghiệm còn lại

Trả lời: Vậy với m = - 4

3 thì Pt(*) đã cho có 2 nghiệm x1 = -2 và x2 = - 4

1/ Nếu P < 0 thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu:

a) Nếu P < 0 và S > 0 thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu

và nghiệm dương lớn hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm

âm

b) Nếu P < 0 và S < 0 thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu

và nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm

âm

2) Nếu P > 0 thì phương trình có 2 nghiệm cùng dấu:

a) Nếu P > 0 và S > 0 thì hai nghiệm đều dương

b) Nếu P > 0 và S < 0 thì 2 nghiệm đều âm

Cần nhớ: Vì P = c nên nếu a và c cùng dấu thì

BẢNG XÉT DẤU CÁC NGHIỆM

SỐ

Dạng 6 : KHÔNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, XÉT DẤU CÁC NGHIỆM SỐ

CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax 2 + bx + c = 0

Bước 1 : Kiểm tra xem phương trình có nghiệm hay không (Pt có nghiệm

khi

0 hoặc ’ 0 hoặc a và c trái dấu)

Bước 2 : Dùng Viét để tính tổng S và tích P của hai nghiệm (trong trường hợp có nghiệm)

Bước 3 : Dựa vào dấu của S và P) để xét dấu 2 nghiệm số ( theo bảng xét dấu)

Ví dụ: Không giải phương trình, xét dấu các nghiệm của phương trình:

a) 2x2 – 7x + 3 = 0 ; b) 3x2 + 7x + 1 = 0 ; c) 5x2 + 3x + 1 = 0 d) 9x2 + 6x + 1 = 0 ; e) 5x2 – 3x 7 0

Giải a) 2x 2 – 7x + 3 = 0

= ( -7)2 – 4 2.3 = 49 – 24 = 25 > 0 Pt có 2 nghiệm phân biệt

Bước 1 : + Nếu cho hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó

là nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0

+ Nếu cho biết hiệu (hoặc tổng các bình phương) của hai số và tích của chúng thì biến đổi hiệu (hoặc tổng các bình phương) đó xuất hiện tổng, tích rồi áp dụng định lý Viét đảo để lập phương trình x2 – Sx + P = 0

Bước 2: Giải phương trình x2 – Sx + P = 0 để tìm nghiệm;

Bước 3 : Trả lời

Bước 1: Tính (rút) một ẩn từ tích rồi thế vào tổng (hoặc rút từ tổng rồi thay

vào tích) để được phương trình bậc hai một ẩn

Bước 2: Giải pt bậc hai một ẩn này để tìm 2 nghiệm

Bước 3: lần lượt thay 2 nghiệm vừa tìm vào pt rút (hoặc vào một trong hai

phương trình đề cho) để tìm giá trị ẩn kia

Cách 1: Theo Viét đảo thì hai số x và y là nghiệm của phương trình:

X2- 11X + 28 = 0 Giải pt này ta tìm được 2 nghiệm là 7 và 4

Giải pt này ta tìm được x1 = 7 và x2 = 4

+ Thay x1 = 7 vào pt: y = 11 – x ta tìm được y1 = 4;

+ Thay x2 = 4 vào pt y = 11 – x ta tìm được y2 = 7;

Vậy x = 7 ; y = 4 hoặc x = 4 ; y = 7

b) x – y = 5, xy = 66

Cách 1:

x – y = 5 (x – y)2 = 52 (x+ y)2 – 4.66 = 25

17

x2- 2xy + y2 = 25 (x + y)2 – 264 = 25

x2 + 2xy + y2 – 4xy = 25 (x + y)2 = 289

(x+ y)2 – 4xy = 25 x + y = 17

* Nếu x + y = 17 và xy = 66 thì theo Viét đảo, x và y là hai nghiệm của pt:

X2 – 17X + 66 = 0 Giải pt này ta tìm được X1 = 11 và X2 = 6

* Nếu x + y = -17 và xy = 66 thì theo Viét đảo, x và y là 2 nghiệm của pt:

X2 + 17X + 66 = 0 Giải pt này ta tìm được X1 = - 6 và X2 = - 11

Giải pt này ta tìm được x1= 11 và x2 = - 6

+ Thay x1 = 11 vào pt (*) : y = x - 5 ta tìm được y1 = 6;

+ Thay x2 = - 6 vào pt(*) : y = x – 5 ta tìm được y2 = -11

+ Nếu x + y = 7 và xy = 12 thì theo Viét đảo, x và y là 2 nghiệm của pt:

X2 – 7X + 12 = 0 Giải pt này ta tìm được X1 = 4 và X2 = 3;

X2 + 7X + 12 Giải pt này ta tìm được X1 = - 4 và X2 = - 3

Vậy hai số x, y cần tìm là: 4 và 3 hoặc - 4 và -3

Ví dụ 2: Tìm hai cạnh của hình chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện tích

bằng 28 m2

Giải

Gọi u và v là hai cạnh của hình chữ nhật (u > 0, v > 0), ta có :

S = u + v = 11

19

P = u.v = 28

Theo Viét đảo thì u và v là 2 nghiệm của phương trình :

x2 – 11x + 28 = 0

Giải pt này ta tìm được x1 = 4 = u và x2 = 7 = v

Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là 4m và 7m

Dạng 8 : TÌM THAM SỐ ĐỂ THỎA MÃN DẤU CÁC NGHIỆM SỐ

CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax 2 + bx + c = 0

Bước 1: Tính (hoặc ’)

Bước 2: Dùng Viét để tính tổng S và tích P của 2 nghiệm

Bước 3 :

* Phương trình cĩ 2 nghiệm trái dấu P < 0;

* Phương trình cĩ 2 nghiệm trái dấu và nghiệm dương lớn hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm S 0P 0

* Phương trình cĩ 2 nghiệm trái dấu và nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm S 0P 0

* Phương trình cĩ hai nghiệm cùng dấu 0 (hoặc ' 0)

a) Cĩ 2 nghiệm dương phân biệt; c) Cĩ 2 nghiệm âm phân biệt;

b) Cĩ 2 nghiệm dương bằng nhau; d) Cĩ 2 nghiệm trái dấu;

Giải

4 thì Pt có 2 nghịêm dương phân biệt

b) Pt có 2 nghiệm dương bằng nhau P 00

Vậy không có giá trị nào của m làm cho pt có 2 nghiệm âm

d) Pt có 2 nghiệm trái dấu P < 0 m – 1 < 0 m < 1

Vậy với m < 1 thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu

Dạng 9 : LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI KHI BIẾT 2 NGHIỆM x 1 , x 2

CỦA NÓ Cách 1:

Bước 1: Tính tổng 2 nghiệm S = x1 + x2 và tích 2 nghiệm P = x1.x2

21 hay x2 – ( 2 + 2) x + 2 2 = 0

Cách 2: x1 = 2 và x2 = 2 là hai nghiệm của pt :

Dạng 10 : KHÔNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HÃY LẬP PHƯƠNG

TRÌNH KHÁC CÓ NGHIỆM LÀ NGHỊCH ĐẢO CỦA CÁC NGHIỆM

CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐÃ CHO

Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho ax2 + bx + c = 0

Theo Viét đảo thì

Ví dụ: Cho phương trình 2x2 – 7x + 6 = 0 (1) Không giải phương trình (1),

hãy lập phương trình có nghiệm là số nghịch đảo của các nghiệm của pt(1)

Vậy pt (2) cần lập có các nghiệm là nghịch đảo của các nghiệm của pt(1)

23

Dạng 11 : TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA CÁC NGHIỆM

KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO THAM SỐ

Bước 1: Dùng Viét để tính tổng S và tích P của hai nghiệm

Bước 2: Rút (tính) tham số từ S rồi thay vào P ( hoặc có thể rút tham số từ

P rồi thay vào S) để khử tham số, ta được hệ thức cần tìm

Ví dụ : Cho phương trình (m -1)x2 – 2(m – 4)x + m – 5 = 0

Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 mà không phụ thuộc vào m

Giải Khi phương trình có nghiệm, theo Viét ta có:

2S – 3P = 1 hay 2(x1 + x2) – 3x1x2 = 1

Dạng 12 : KHÔNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, LẬP PHƯƠNG TRÌNH ẨN KHÁC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN NGHIỆM CỦA

PHƯƠNG TRÌNH ĐÃ CHO

Bước 1 : Dùng Viét để tính tổng S và tích P của 2 nghiệm của pt đã cho ;

Bước 2 : Biến đổi các đẳng thức (điều kiện) để xuất hiện S, P ;

Bước 3 : Thay S, P vào để tính tổng và tích 2 nghiệm phương trình cần lập;

Bước 4 : Dùng Viét đảo để lập phương trình

Ví dụ : Cho phương trình x2 – 4x + m –3 = 0 (*) có hai nghiệm x1, x2 Không giải pt(*), hãy lập pt ẩn y có 2 nghiệm y1, y2 sao cho :