Đối với những bài toán đó, phải cố gắng hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, tìm tòi lời giải.. Đây là những cơ hội rất tốt để trang bị dần cho học sinh một số tri thức, phương pháp, phương
Trang 1I Lý do chọn đề tài
Học toán là một cách tư duy sáng tạo về toán, đồng thời là một vấn đề trừu tượng và khá khó đối với học sinh, nhưng đó lại là điều rất cần thiết cho mỗi học sinh trong quá trình học toán ở trường THCS
Trong môn toán ở trường THCS có rất nhiều bài toán chưa hoặc không có thuật toán để giải Đối với những bài toán đó, phải cố gắng hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, tìm tòi lời giải Nhiệm vụ khó khăn này đòi hỏi phải có nhiều thời gianvà kinh nghiệm sư phạm, phải có lần tận tâm và phương pháp đúng đắn Đây là những cơ hội rất tốt để trang bị dần cho học sinh một số tri thức, phương pháp, phương pháp giải toán nhằm rèn luyện và phát triển ở các
em năm lực tư duy Biết đề ra cho học sinh đúng lúc, đúng chỗ những câu hỏi gợi mở sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tượng học sinh
Để giải các bài toán, ngoài việc nắm vững các kiến thức còn cần phải có phương pháp suy nghĩ khoa học cùng với những kinh nghiệm cá nhân tích lũy được qua quá trình học tập, rèn luyện
Mỗi bài toán trong thực tế cũng như những bài toán, bài tập trong học tập ta phải tìm một cách tiếp cận, một cách giải, nhiều khi phải trải qua nhiều cách thử giải ta mới chọn được một cách giải thích hợp nhất hoặc là kết hợp nhiều cách giải cho 1 bài tập Nhưng không ai cũng biết được hết cách giải các bài toán trong toán học, ngoài ra biết rồi còn phải áp dụng chúng như thế nào lai là một vấn đề khó Nhằm cung cấp các cách giải cho các dạng toán
Trang 2tỡm cửùc trũ cuỷa bieồu thửực ủaùi soỏ toõi tieỏn haứnh nghieõn cửựu ủeà taứi "Tỡm giaự trũ lụựn nhaỏt, giaự trũ nhoỷ nhaỏt cuỷa bieồu thửực ủaùi soỏ".
Các bài toán về cực trị đại số ở cấp 2 có ý nghĩa rất quan trọng đối với học sinh ở bậc học này Để giải các bài toán cực trị đại số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số ngời làm toán phải sử dụng các phép biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số , phải biến đổi và sử dụng khá nhiều các dạng hằng đẳng thức từ các dạng đơn giản đến các dạng phức tạp Bởi thế, có thể nói các bài toán cực trị đại số ở cấp 2 tạo ra khả năng giúp học sinh có điều kiện rèn luyện kỹ năng biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số
II Noọi dung ủeà taứi
1 "Phửụng phaựp chung" khi tỡm giaự trũ lụựn nhaỏt, giaự trũ nhoỷ nhaỏt cuỷa
bieồu thửực ủaùi soỏ :
Neỏu vụựi moùi giaự trũ cuỷa bieỏn thuoọc moọt khoaỷng xaực ủũnh naứo ủoự maứ giaự trũ cuỷa A≥ ≤ ( k) vaứ toàn taùi giaự trũ bieỏn ủeồ A = k thỡ k goùi laứ GTNN (GTLN) cuỷa bieồu thửực A ửựng vụựi giaự trũ cuỷa bieỏn thuoọc khoaỷng xaực ủũnh treõn
ẹeồ tỡm GTNN cuỷa bieồu thửực A ta caàn :
- Chửựng minh raống A k≥ vụựi k laứ haống soỏ
- Chổ ra trửụứng hụùp daỏu "=" coự theồ xaỷy ra
ẹeồ tỡm GTLN cuỷa bieồu thửực A ta caàn :
- Chửựng minh raống A k≤ vụựi k laứ haống soỏ
Trang 3- Chỉ ra trường hợp dấu "=" có thể xảy ra.
Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = (x – 1)2 + (x – 3)2
Giải :
Chú ý : ( )2
1 0(1)
x− ≥ ; ( )2
3 0(2)
x− ≥ Nhưng không thể kết luận được giá trị nhỏ nhất của A bằng 0 vì không đồng thời xảy ra dấu đẳng thức ở (1) và (2)
Ta có : A = (x – 1)2 + (x – 3)2
= x2 – 2x + 1 + x2 – 6x + 9 = 2x2 – 8x + 10
= 2(x2 – 4x + 5)
= 2(x – 2)2 + 2
Vì ( )2
x− ≥ nên 2.( )2
x− ≥ Suy ra A≥ 2
Do đó : A = 2 khi x – 2 = 0 ⇔ =x 2
Vậy : Min A = 2 khi x = 2
2 Các dạng bài tập tìm GTNN, GTLN thường gặp:
D¹ng 1 : Tìm GTNN, GTLN của tam thức bậc hai dạng ax 2 + bx + c ( a≠ 0)
VÝ dơ 1: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa A= 3x2 - 30x +88
Gi¶i:
§KX§: ∀x ∈R
A = 3x2 - 30x + 88
Trang 4A = 3(x2 - 10x) + 88
A = 3(x2 - 10x +25) - 75 + 88
A = 3(x- 5)2 +13
⇒ min A= 13⇔x= 2
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của B = - 7x2 +12x -3
Giải:
ĐKXĐ: ∀x ∈R
B = -7(x2 -12
7 x) -3
B = -7(x2 - 12
7 x +36
49) + 36
7 -3
B = -7(x -6
7 )2 + 15
7 ≤ 15
7
⇒ max B = 15
7 ⇔x-6
7= 0 ⇔x = 6
7
Nhận xét : Qua hai ví dụ trên, muốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai dạng ax2 +bx + c (a≠0), ta làm nh sau:
+ Bớc 1: Tìm ĐKXĐ
+ Bớc 2: Nhóm các hạng tử chứa ẩn
+ Bớc 3: Đặt hệ số a làm nhân tử chung
+ Bớc 4: Thêm bớt vào trong ngoặc để bài toán trở thành bình phơng một nhị thức và một hạng tử tự do
+ Bớc 5: Dựa vào "phơng pháp chung" kết luận GTNN, GTLN
* Tổng quát : Cho tam thức bậc hai : P = ax2 + bx + c (a≠ 0)
Giải :
P = ax2 + bx + c = a(x2 + b ax) + c = a(x + 2b a)2 + c -
2
4
b a
Trang 5Đặt k = c - 2
4
b a
Do (x + 2b a)2 ≥ 0 nên :
- Nếu a ≥ 0 thì a(x + 2b a)2 ≥ 0 ⇒ P ≥ k
Do đó Min P = k khi x + 2b a = 0 ⇔x =
-2
b a
- Nếu a ≤ 0 thì a(x + 2b a)2 ≤ 0 ⇒ P ≤ k
Do đó Max P = k khi x + 2b a = 0 ⇔x =
-2
b a
Dạng 2: Đặt ẩn phụ để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
đại số.
Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x(x - 3)(x - 4)(x - 7)
Giải:
ĐKXĐ : ∀x∈ R
Ta có : A = x(x - 3)(x - 4)(x - 7) = (x2 – 7x)(x2 – 7x + 12)
Đặt t = x2 – 7x + 6 Nên : x2 – 7x = t – 6 và x2 – 7x + 12 = t + 6
Do đó : A = (t – 6)(t + 6) = t2 – 36 ≥ - 36 Vây Min A = - 36 Khi t = 0 ⇔ x2 – 7x + 6 = 0
⇔ x = 1 hoặc x = 6
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất
Trang 6B = 2x - x− 3
Giải:
ĐKXĐ: x – 3 ≥ 0 ⇔x≥3
Đặt t = x− 3 (t ≥0)
Ta có : t2 = x – 3 ⇔ x = t2 + 3
Do đó B = 2(t2 + 3) - t
B = 2t2 – t + 6
B = 2(t2 - 1
2t + 1
16)+47
8
B = 2(t - 1
4)2 +47
8 ≥ 47
8
Vậy max B= 47
8 ⇔t - 1
4 = 0⇔ t =1
4 ⇔ t2 = 1
16
Do đó : x – 3 = 1
16 ⇔ x = 49
16 (Thoả mãn)
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của C = y4 - 6y2 - 7
Giải:
Đặt y2 = x ≥0
Vậy C = x2 - 6x - 7
= (x2 - 6x +9) - 9 - 7
= (x -3)2 - 16 ≥ - 16
Vậy min C = -16 Khi x - 3 = 0⇔x = 3(Thoả mãn)
Do đó y2 = 3 ⇔y = ± 3
Tổng quát : Muốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các dạng đa thức
đặt biệt ta có thể đặt ẩn phụ bằng cách thực hiện các bớc sau :
+ Bớc 1: Tìm điều kiện xác định
Trang 7+ Bớc 2: Tìm mối liên hệ đặt ẩn phụ và đặc biệt chú ý điều kiện của ẩn phụ + Bớc 3: Đa về dạng tam thức bậc hai ax2 +bx + c (a≠0) rồi tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức
+ Bớc 4: Kết luận (chú ý các điều kiện xảy ra dấu "=")
Dạng 3 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số có dấu
giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (3x – 1)2 - 4 3x− 1 + 5
Giải:
Đặt 3x− 1 = y (y≥0) thì A = (3x – 1)2 - 4 3x− 1 + 5 = y2 – 4y + 5
= (y – 2)2 + 1 ≥ 1 Vậy Min A = 1 Khi y = 2 (Thỏa điều kiện)
Do đó : 3x− 1 = 2 ⇔ x = 1 hoặc x = 1
3
−
Ví dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x− + − 2 x 3
Giải :
* Xét khoảng x < 2 Thì B = 2 – x + 3 – x = 5 – 2x
Do x < 2 nên - 2x > - 4 Do đó : 5 - 2x > 5 – 4
Vậy B > 1 (1)
* Xét đoạn 2 ≤ ≤x 3 Thì B = x - 2 + 3 – x = 1 (2)
* Xét khoảng x > 3 Thì B = x – 2 + x – 3 = 2x – 5
Do x > 3 nên 2x > 6 Do đó : 2x – 5 > 6 – 5
Vậy B > 1 (3)
So sánh (1), (2), (3) ta đợc Min B = 1 khi 2 ≤ ≤x 3
Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x− 2y+ + − 1 x 2y
Giải :
Trang 8Ta có : C = x− 2y+ + − 1 x 2y
= x− 2y+ + 1 2y x− ≥ x− 2y+ + 1 2y x− = 1
Do đó : Min C =1 Khi (x- 2y + 1)(2y – x) ≥ 0 ⇔ 2y− ≤ ≤ 1 x 2y
Nhận xét : Qua các ví dụ trên, để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số có dấu giá trị tuyệt đối ta có thể làm nh sau :
- Khử dấu giá trị tuyệt đối hoặc sử dụng các tính chất của dấu gia trị tuyệt
đối
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số dựa vào
"Phửụng phaựp chung".
Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của đa thức bậc cao dạng
P = ax4 + bx3 + cx2 + dx + c (a.c > 0)
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của
B = - x4 + 4x3 - 5x2 + 4x - 4
Giải:
B = - x4 + 4x3 - 5x2 + 4x - 4
= - x2 (x2 - 4x + 4) + 4x2 - 5x2 + 4x - 4
= - x2 (x - 2)2 - (c2 - 4x + 4)
= - x2 (x - 2)2 - (x - 2)2≤ o ∀ x Vậy max B = 0 ⇔ x (x - 2) = 0 ⇔ x = 2
x - 2 = 0
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của
A = x4 + 2x3 + 2x2 + 2x - 8
Giải:
A = x4 + 2x3 + 2x2 + 2x - 8
= x2 (x2 + 2x + 1) - x2 + 2x2 + 2x + 1 - 9
Trang 9= x2 (x + 1)2 - (x + 1)2 - 9 ≥ - 9 ∀ x Vậy min A = -9 khi và chỉ khi x (x + 1) = 0 ⇔ x = - 1
x + 1 = 0 Nhận xét:
Muốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của đa thức bậc cao dạng:
P = ax4 + bx3 + cx2 + dx + c (a.c > 0) ta làm nh sau:
Bớc 1: Biến đổi
P = ax4 + bx3 + cx2 + dx + c = [f(x)]2 [g(x)]2 + [h(x)]2 + m (a c > 0) ta biến
đổi nh sau:
P = ax2 (x2 + a b x) + cx2 + dc + e
= ax2 (x2 +
a
b
2 )2 +
a
b ac
4
4 − 2 x2 + dx + e
= ax2 (x + 2b a )2 + kx2 + dx + e
Ta đặt
a
b ac
4
4 − 2 = k (với a k > 0)
= ax2 (x2 +
a
b
2 )2 + k (x2 +
k
d
2
2
x + 22
4k
d
) -
k
d
4
2
+ e
= ax2 (x2 +
a
b
2 )2 + k (x +
k
d
2 )2 +
k
d ke
4
4 − 2
Bớc 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P
Bớc 3: Kết luận (Chú ý điều kiện xảy ra dấu "=")
Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức có tử là hằng số,
mẫu số là tam thức bậc hai
Ví dụ 1:
Tìm giá trị lớn nhất của A = 2
9 5 6
2
x
−
Trang 10Giải: Xét mẫu
- 6x + 5 + 9x2 = (3x - 1)2 + 4 ≥ 4 > 0 ∀ x
⇒ ( 3 1 ) 2
1
−
⇒ A = 6 5 9 2
2
x
⇒ max A = 12 ⇔ x = 13
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của
B = 4x−6x2 −6
Giải: Ta có - x2 + 4x - 6 = - (x2 - 4x) - 6
= - (x - 2)2 - 2 ≤ - 2 < 0
⇒ −(x−12)2 −2 ≥ −12
⇒ −(x−62)2 −2 ≥ −62
⇒ 4x−6x2 −2 ≥ - 3
Vậy min B = - 3 khi x = 2
Chú ý: Với hai số cùng dấu a và b (a, b # 0)
a ≤ b ⇒ a1 ≥ b1
a ≥ b ⇒ a1 ≤ b1
Giải ví dụ trên là ta đã sử dụng tính chất này
(3x - 1)2 + 4 ≥ 4 > 0
⇒ (3x−11)2 +4 ≤ 14
Trang 11ở ví dụ dạng này nhiều khi học sinh hay mắc phải sai lầm khi lập luận khẳng định "A có tử số không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất"
Sai vì: cha đợc ra nhận xét tử và mẫu là các số dơng
Ta lấy ví dụ:
Xét biểu thức B =
4
1
2 −
x nên lập luận nh trên B có tử không đổi nên B lớn nhất khi x2 - 4 đạt min (bằng - 4) ⇔ x = 0
Tức là giá trị lớn nhất của B =
4
1 ⇔ x = 0 Kết quả này không đúng, -
4 1
không phải là giá trị lớn nhất của B (chẳng hạn x = - 3 ⇒ B = 51 > - 14 )
Nhận xét:
Muốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức có tử là hằng số, mẫu số
là tam thức bậc hai ta làm nh sau:
Bớc 1: Xét mẫu thức, biến đổi mẫu thức trở về dạng bình phơng một nhị thức và một hạng tử tự do
Bớc 2: Dựa vào bất đẳng thức
a b > 0 Nếu a ≥ b ⇒ a1 ≤ b1
Nếu a ≤ b ⇒ a1 ≥ b1
Bớc 3: Kết luận
Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một số phân thức dạng khác.
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị lớn nhất của:
1 3
1
x
−
−
Giải:
* Tìm giá trị lớn nhất
Trang 12§KX§ x≤ 1
Ta cã 1 x− 2 ≤ 1
⇒ 3 - 1 x− 2 ≥ 2 > 0
1
x
−
VËy max C =
2
1
⇔ x = 0
* T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt
Ta cã 0 ≤ 1 x− 2 ≤ 1
⇒ 2 ≤ 3 - 1 x− 2 ≤ 3
1
x
−
VËy min C =
3
1 víi x = ± 1
VÝ dô 2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña:
B =
1
4 3
2 +
−
x x
Gi¶i
§KX§: ∀ x
Ta cã B =
1
4 3
2 +
−
x
x
1
4 4
2
2
− +
+
−
x
x x
=
) 1 (
) 2 (
2
2
+
−
x
x
- 1 ≥ - 1 ∀ x VËy min B = - 1 ⇔ x = 2
1
4 3
2 +
−
x
x
= 4 -
1
1 4
2
2
+
+
−
x
x x
= 4 -
1
) 1 2 (
2
2
+
+
x x
≤ 4 ∀ x
Trang 13Vậy max B = 4 ⇔ x = 21
Dạng 7: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức biết quan hệ
giữa các biến.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của
A = x3 + y3 + xy biết x + y = 1 Giải: Ta có
A = x3 + y3 + xy
= (x + y) (x2 - xy + y2) + xy
= x2 - xy + y2 + xy (do x + y = 1)
= x2 + y2
Mà x + y = 1 ⇒ x = 1 - y
⇒ x2 = (1 - y)2 = 1 - 2y + y2, thay vào biểu thức A
Ta đợc A = (1 - 2y + y2) + y2
= 2y2 - 2y+ 1
= 2 (y -
2
1 )2 + 2
1
≥ 12 Vậy min A =
2
1 ⇔ y =
2
1
⇔ x =
2 1
Ví dụ 2: Cho a + 2b = 1
Tìm giá trị lớn nhất của tích a b ?
Giải:
Có a + 2b = 1 ⇒ a = 1 - 2b
Trang 14Do đó P = ab = (1 - 2b) b
= - 2b2 + b = - 2 (b2 - 2
4
1
b + 16
1 ) + 8 1
= - 2 (b -
4
1 )2 + 8
1
≤ 8 1
Vậy max P =
8
1 ⇔ b =
4
1 ; a =
2 1
Nhận xét: Phơng pháp giải dạng này là:
Bớc 1: Nhận dạng bài toán, biểu thị ẩn số này theo ẩn số kia rồi thế vào biểu thức cần tính
Bớc 2: Sử dụng phơng pháp biến đổi tam thức bậc hai
Bớc 3: Kết luận
3 Kết quả giảng dạy
Qua quá trình giảng dạy tôi thấy: Sau khi đợc học cách tìm cực trị của biểu thức đại số dạng tam thức bậc hai, đa số các em học sinh đã biết vận dụng các
ph-ơng pháp để giải các bài tập, các em đã cảm thấy vững tin hơn, không còn cảm giác lúng túng, e ngại khi đứng trớc một bài tập tìm cực trị có dạng của biểu thức
đại số tam thức bậc hai khó nữa Các em đã đợc học và làm một hệ thống bài tập từ
đơn giản đến phức tạp Đó chính là một cách để tạo nên tính linh hoạt phát triển trí tuệ cho các em, để các em say mê hứng thú trong học tập
4 Điều kiện áp dụng
* Dành cho học sinh có lực học từ trung bình khá trở lên
* Dành cho chơng trình bồi dỡng học sinh khá, giỏi
* Với học sinh giỏi cần có những bài tập khó để phát huy tính sáng tạo của học sinh
Trang 15* Tuỳ theo đối tợng học sinh mà giáo viên đa ra từng dạng bài tập nhiều hay ít
5 Bài học kinh nghiệm
Dạy học vừa là Khoa học, vừa là nghệ thuật Ngời dạy không chỉ là thầy của những con tim đầy nhiệt huyết mà còn là thầy của những bộ óc trí tuệ khao khát khoa học Vì vậy để nâng cao hiệu quả giảng dạy, ngời dạy phải:
* Nghiên cứu kỹ sách giáo khoa, chuẩn bị tốt chơng trình giảng dạy đổi mới phơng pháp nghiên cứu và giảng dạy
* Hệ thống bài tập phải đợc chọn lọc, sắp xếp theo một trình tự, có logíc: từ
dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp và qua mỗi hệ thống bài tập giáo viên phải khái quát hoá cách giải dạng bài tập đó
* Dạy theo chuyên đề
* Cần tạo ra không khí sôi nổi, tích cực làm việc, ngời dạy phải chú ý tới mức độ tiếp thu và kỹ năng trình bày của từng học sinh
Trang 16Trên đây là một vài kinh nghiệm, ý kiến của riêng tôi trong việc hớng dẫn học sinh tìm cực trị của biểu thức đại số dạng tam thức bậc hai nhằm cho học sinh nắm chắc kiến thức và vận dụng linh hoạt vào bài tập liên quan cũng nh các bài toán khác
Song không thể tránh những thiếu xót, nên tôi rất mong đợc sự đóng góp của các đồng nghiệp để tôi rút kinh nghiệm và tiếp tục nghiên cứu tốt hơn