Tuyển tập 20 đề thi và 13 đề hổ trợ thi vào cấp 3

b Chứng minh rằng 5 điểm O, A, B, C, K cùng nằm trên một đường tròn,xác định vị trí tâm đường tròn qua 5 điểm đó.. Chứng minh tứ giác AMKS nội tiếp,xác định vị trí tâm đường tròn AMKS và

ĐỀ SỐ 1

Câu 1: Cho biểu thức

x x x x

1 x :

x x

c) Xác định toạ độ giao điểm của (P) và (d)

Câu 3: Cho phương trình : x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0

a) Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với mọi m b) Tìm giá tri của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu ?

c) Chứng minh biểu thức : M = x1.(1 - x2) + x2.(1 - x1) không phụ thuộc m ?d) Tìm một hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 không phụ thuộc m ?

Câu 4: Một nhóm thợ đặt kế hoạch sản xuất 1200 sản phẩm Trong 12 ngày đầu họ

làm đúng kế hoạch đặt ra Những ngày còn lại họ đã làm vượt mức mỗi ngày vượt

20 sản phẩm, nên đã hoàn thành sớm hơn kế hoạch 2 ngày Hỏi theo kế hoạch mỗingày họ làm được bao nhiêu sản phẩm ?

Câu 5: Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng xy cách tâm O một khoảng OK = a

(O < a < R) Từ điểm A thuộc xy (OA > R), vẽ hai tiếp tuyến AB và AC đến đườngtròn (B và C là hai tiếp điểm, O và B nằm cùng một phía đối với xy)

a) Chứng minh rằng đường thẳng xy cắt (O) tại hai điểm D và E

b) Chứng minh rằng 5 điểm O, A, B, C, K cùng nằm trên một đường tròn,xác định vị trí tâm đường tròn qua 5 điểm đó

c) BC cắt OA, OK theo thứ tự tại M, S Chứng minh tứ giác AMKS nội tiếp,xác định vị trí tâm đường tròn (AMKS) và chứng minh OM.OA = OK.OS

d) Chứng minh BC quay quanh một điểm cố định và M di động trên mộtđường tròn cố định khi A thay đổi trên xy

e) Xác định rõ vị trí tương đối của SD, SE đối với đường tròn (O) Tính theo

Câu 1: Cho biểu thức

x 1

x x 1 x x

1 1

x x

1 A

Câu 2: Cho phương trình : x2 - 2(m - 1).x + m - 3 = 0

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm x1 ; x2 với mọi m ?

1

2 2

x

x x

x





Câu 3: Cho 2 hàm số y = x2 và y = x + m (m là tham số)

a) Tìm m để đồ thị (P) của y = x2 và (d) của y = x + m cắt nhau tại hai điểmphân biệt A và B

b) Tìm phương trình đường thẳng (D) sao cho: (d) vuông góc (D) và (D)tiếp xúc (P)

c) Lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm theo toạ độ của hai điểm

đó

d) Ap dụng: Tìm m sao cho khoảng cách giữa hai điểm phân biệt A và B

trong câu a là 3 3

Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp trong đường tròn có AI là đường kính.

Trên đoạn AB lấy điểm M (M khác A, M khác B) Trên tia đối của tia CA lấy điểm

N sao cho CN = BM

a) Chứng minh: IN = IM

b) Chứng minh tứ giác AMIN nội tiếp được trong một đường tròn

c) MN cắt BC tại K, chứng minh KM = KN

ĐỀ SỐ 3

Câu 1:

1 Cho phương trình : x2 - (2m + 1).x + m2 + 2 = 0

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mãn điềukiện:

3x1x2 - 5.(x1 + x2) + 7 = 0

2 Giải phương trình : (x2 - x + 1)2 - 10.( x2 - x + 1) + 9 = 0

Câu 2: Một ca nô chạy xuôi dòng 72km sau đó chạy ngược dòng 28km thì mất 6h.

Nếu ca nô chạy xuôi dòng 42km; ngược dòng 42km thì cũng mất 6h Tính vận tốccanô khi nước yên lặng và vận tốc của dòng nước ?

Câu 3: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O; các tiếp tuyến của

đường tròn tại B và C cắt nhau tại D Đường thẳng qua D song song với AB cắtđường tròn (O) tại E và F; cắt AC tại I

a) Chứng minh 4 điểm O; I; C; D nằm trên một đường tròn

b) Chứng minh rằng: IE = IF

c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ABDI là hình bình hành

Câu 4: Giải và biện luận hệ phương trình sau

1 m y 2 mx

1 1

x x

x 1

x x

2 x

Câu 1: Thu gọn các biểu thức :

2 3

2 3 2 3

2 3 M

x x

1 x x

x x

13 y x

a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục toạ độ khi m = 1

b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính ở câu a?

c) Tìm m để đường thẳng (d) tiếp xúc với (P)

Câu 4: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A -> B cách nhau 300km Ô tô thứ nhất

mỗi giờ chạy nhanh hơn ô tô thứ hai là 10km nên đến B sớm hơn 1h Tính vận tốcmỗi xe

Câu 5 Cho nữa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nữa đường tròn

(AC > CB) Kẻ CH vuông góc với AB tại H Đường tròn tâm K đường kính CH cắtAC; BC lần lượt tại D; E và cắt nữa đường tròn (O) tại F (F khác C)

a) Chứng minh CH = DE

ĐỀ SỐ 5

Câu 1: Thu gọn các biểu thức :

a

1 3

1 1 3

1 A

1 x 2 2 x

3 x 6 x 5 x

9 x 2 C

3 Tìm các giá trị của x để C có giá trị nguyên ?

Câu 2: Giải các phương trình bậc hai : x2 + (m - 1).x + 1 - 2m = 0 (với m là thamsố)

a) Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m ?

b) Tìm giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm cùng dương ?

Câu 3: Giải các phương trình sau :

a) x2 - 2.| 3 - x| = 2x + 3

b)

3 x x

1 2

x x

1 1

x x

1

2 2

a) Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ -16

b) Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số và cách đều 2 trục toạ độ

c) Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ gấp 4 lần hoành độ

Câu 5 : Cho tam giác ABC vuông tại A, nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M là trung

điểm của cạnh AC Đường tròn tâm I đường kính MC cắt đường tròn tâm O tại Dcắt BC tại N

a) Chứng minh tứ giác ABNM nội tiếp

b) Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng

c) Gọi E là giao điểm của OI và AB, R là bán kính của đường tròn tâm O; r

Câu 1: Cho biểu thức 

a 2 1

a

1 : 1 a

a 1 P

a) Rút gọn P

b) Tìm a sao cho P > 1

c) Tính P khi a19 8 3

Câu 2: Cho phương trình : x2 - 2(m + 1).x + m - 4 = 0 (1)

a) Giải phương trình khi m = 2

b) Chứng minh phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m

c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu ?

d) Chứng minh : Biểu thức A = x1.(1 - x2) + x2.(1 - x1) không phụ thuộc m ?

Câu 3: Cho hàm số : y = x 2

2

1

 (P)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên

b) Lập phương trình đường thẳng (d) qua A(-2; -2) và tiếp xúc với (P)

Câu 4: Cho tam giác nhọn PBC Gọi A là chân đường cao kẻ từ D xuống BC;

đường tròn đường kính BC cắt PB, PC lần lượt tại M và N Nối N với A cắt đườngtròn đường kính BC ở điểm thứ hai là E

a) Chứng minh : 4 điểm A, B, N, P cùng nằm trên 1 đường tròn Xác địnhtâm và bán kính của đường tròn đó

b) Chứng minh EM vuông góc BC

c) Gọi F là điểm đối xứng của N qua BC Chứng minh : AM.AF = AN.AE

Câu 5: Cho a, b, c là các số thực không âm.

Chứng minh : a  b  c  ab  ac  bc

ĐỀ SỐ 7

Câu 1: Cho biểu thức

3 x

3 x 1 x

x 2 3

x 2 x

19 x 26 x x P

b) Tính giá trị của P khi x7 4 3

Câu 2: Tìm 2 số x, y thoã mãn hệ phương trình :

25 y

x 2 2

Câu 3: Một xe ô tô chạy từ A đến B với vận tốc dự định là 60km/h Sau khi đi được

nữa quảng đường AB với vận tốc đó Xe tăng thêm vận tốc mỗi giờ 5km Do đó đãđến B sớm hơn dự định 30 phút so với dự định Tính quảng đường AB ?

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A Trên AC lấy điểm M (M  A, M  C), vẽ

đường tròn đường kính MC Gọi T là giao điểm thứ hai của BC với đường tròn BMkéo dài cắt đường tròn tại điểm thứ hai ở D, AD cắt đường tròn tại điểm thứ hai là S.Chứng minh :

a) Tứ giác ABTM nội tiếp

b) Khi M chuyển động trên AC thì góc ADM có số đo không đổi

c) BA // ST

Câu 5:

1 Cho x, y > 0 Chứng minh rằng :

y x

4 y

1 x

Câu 1: Cho biểu thức 

3 x x

2

2 : 4

x

4 x x x 4 x 2

x x

2

x 2 P

y  lấy hai điểm A và B Biết xA = -2; xB = 8

a) Viết phương trình đường thẳng AB

b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm khác phía với trục Oy

(d) : y = 2x - 3m

Câu 3: Cho phương trình bậc hai : x2 - 4x + m + 1 = 0

a) Xác định m để phương trình có nghiệm

b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoã mãn x12 + x22 = 10

Câu 4: Cho hình thang ABCD (AB > CD; AB // CD) nội tiếp trong đường tròn (O).

Các tiếp tuyến của đường tròn tại A và D cắt nhau tại E Gọi I là giao điểm của 2đường chéo AC và BD

a) Chứng minh : Tứ giác AEDI nội tiếp

b) Chứng minh : AB // EI

c) Đường thẳng EI cắt cạnh bên AD và BC tại R và S Chứng minh :

* I là trung điểm của RS

*

RS

2 CD

1 AB

1 c

b

1 b

2 x 3 1 : 1 x 9

x 8 1 x 3

1 1

x 3

1 x P

Câu 2: Cho phương trình : x2 - (m + 1)x + m = 0 (1)

a) Chứng minh phương trình (1) có nghiệm m

b) Giả sử phương trình (1) có nghiệm x1, x2 Tính x12 + x22 theo m

c) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 sao cho x12 + x22 = 5

Câu 3: Một ca nô xuôi dòng từ A đến B mất 4h, ngược dòng từ B về A mất 5h Tính

khoảng cách giữa hai bến A và B Biết vận tốc dòng nước là 2km/h

Câu 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R; Trên OA lấy điểm I bất kì, kẻ

đường thẳng d vuông góc AB tại I cắt (O) tại M, N Trên IM lấy điểm E (E  M, I).Nối AE cắt (O) tại K, BK cắt (d) tại D

a) Chứng minh : IE.ID = MI2

b) Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua I Chứng minh tứ giác B’AED nộitiếp

c) Chứng minh AE.AK + BI.BA = 4R2

d) Xác định vị trí điểm I để diện tích tam giác MIO lớn nhất

Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

B = a3 + b3 + ab biết a + b = 1

Câu 1: Cho biểu thức 

m y mx 2

a) Giải hệ phương trình khi m = 1

b) Tìm các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm nguyên, tìm nghiệmnguyên đó

Câu 3: Cho phương trình : (m + 2)x2 - 2(m - 1)x + 3 - m = 0 (1)

a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoã mãn :

x12 + x22 = x1 + x2.b) Lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m

Câu 4: Cho nữa đường tròn (O) đường kính BC Một điểm A di động trên nữa

đường tròn Kẻ AH vuông góc BC tại H, đường tròn (I) đường kính AH cắt đườngtròn (O) tại điểm thứ hai là G, cắt AB ở D, cắt AC ở E

a) Chứng minh ADHE là hình chữ nhật

b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp

c) Các tiếp tuyến tại D và E của đường tròn (I) cắt BC tại M, N Chứng minh

M là trung điểm của BH; N là trung điểm của CH

d) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác DEMN lớn nhất

Câu 5: Giải phương trình : x2 2x 2 x2 x x 1

2 x x

3

2 x 2 x

3 x : 1 x

x 1

P

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của x để P < 0

c) Tìm các giá trị nguyên của x sao cho P nhận các giá trị nguyên

Câu 2: Trong mặt phẳng toạ độ xOy cho parabol (P) và đường thẳng (d) có phương

trình : (P) : y = x2 ; (d) : y = 2(a - 1)x + 5 - 2a (a là thừa số)

a) Với a = 2, tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d)

b) Chứng minh : Với mọi giá trị của a thì (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phânbiệt

c) Gọi hoành độ giao điểm của (P) và (d) là x1, x2 Tìm a để x12 + x22 = 6

Câu 3: Cho phương trình : x2 - 2(m - 1)x - 3 - m = 0 (1)

a) Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m

b) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoã mãn x12 + x22  10

Câu 4: Cho tam giác ABC, M là điểm tuỳ ý trên BC Vẽ đường tròn (O1) qua điểm

M tiếp xúc với AB tại B, đường tròn (O2) qua M tiếp xúc với AC tại C Đường tròn(O1) cắt đường tròn (O2) tại N (N  M)

a) Chứng minh N thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

b) AN cắt BC tại I; qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt NC ở E.Chứng minh ME là tiếp tuyến của đường tròn (O1)

c) Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định khi M chuyển động trênBC

d) Chứng minh nếu tam giác ABC cân tại A thì AM.AN không đổi

Câu 5: Cho hai số x; y có x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 1 B

5 5 4 9

7 7 8 23

Câu 2: Cho biểu thức

x 3

3 x 2 x 1

2 x 3 3 x 2 x

11 x 15 A

Câu 3: Một đoàn xe cẩu chở 180 tấn hàng từ cảng trở về kho Khi sắp bắt đầu chở

thì 1 xe bị hỏng nên mỗi xe phải chở thêm 1 tấn và cả đoàn chở vượt định mức 10tấn Hỏi đoàn xe lúc đầu có mấy chiếc ?

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH Vẽ đường tròn (O) đường

kính HA cắt AB, AC lần lượt tại E và F Biết AB = 8cm; AC = 6cm Chứng minh :

a) E, O, F thẳng hàng

b) Tứ giác BEFC nội tiếp

c) Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E và F cắt BC thứ tự tại M và N.Chứng minh : M, N thứ tự là trung điểm của HB, HC

d) Tính diện tích hình tròn (O) SEFNM ?

Câu 5: Cho x > 0, y > 0 Chứng minh rằng :

y x

4 y

1 x

1







Đề gốc câu 3: Theo kế hoạch, một đội xe cần chuyên chở 120 tấn hàng Đến

ngày làm việc có 2 xe bị hỏng nên các xe còn lại, mỗi xe phải chở thêm 16 tấn để

x 1 1 x

1 x : x 1

x 1

x

x 1

x

1 x P

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P khi

2

3 2

x  

c) So sánh P với

2

1.d) Tìm x để (P2 - P + 1)min ?

Câu 2: Cho phương trình bậc hai : x2 - 2(m - 1)x + m2 - 3m + 4 = 0

a) Tìm m để phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2

b) Lập hệ thức x1, x2 không phụ thuộc vào m

c) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là : X1 = x1 - 1 ; X2 = x2 - 1

Câu 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) : x 2

c) Chứng tỏ (d) luôn đi qua một điểm cố định A  (P)

Câu 4: Cho hình chữ nhật ABCD; I là một điểm tuỳ ý trên cạnh AB Qua I kẻ IN

vuông góc CD; IM vuông góc AC

a) Chứng minh : Tứ giác BMNC nội tiếp

b) Chứng minh : MA.MN = MB.MI

c) Cho AB = 5cm; BC = 2,5cm Xác định vị trí điểm I trên cạnh AB để AN

là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC

Câu 1: Cho biểu thức

x 3

1 x 2 2 x

3 x 6 x 5 x

9 x 2 P

Câu 3: Cho phương trình bậc hai : x2 - 2(m - 1)x - m = 0

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m

b) Lập phương trình có ẩn số y (m  0) có hai nghiệm y1, y2 thoã mãn:

2 1 1

x

1 x

1 2 2

x

1 x

y  

Câu 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O); phân giác  cắt BC tại D,

cắt đường tròn (O) tại điểm E Gọi K, M lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC

a) Chứng minh tứ giác AMDK nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh tam giác AKM cân

c) Đặt góc BAC =  Chứng minh MK = AD Sin

d) So sánh SAKEM và SABC

2 x 1

x 1

x

1 : 1 x

1 x 1 x

1 x P

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị của P khi

2

3 4 7

Câu 2: Cho phương trình bậc hai : x2 - 4x - (m2 + 3m) = 0

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m

a) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B

b) Tìm phương trình đường thẳng (d1) vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P).c) Trên (P) lấy hai điểm M, N lần lượt có hoành độ là -2; 1 Viết phươngtrình đường thẳng MN

d) Xác định hàm số Y = ax + b, biết đồ thị (D) của nó song song với MN vàchỉ cắt (P) tại 1 điểm

Câu 4: Cho nữa đường tròn (O) đường kính BC Điểm A trên nữa đường tròn (A 

B, A  C) Kẻ AH vuông góc với BC Trên cùng nữa mặt phẳng có bờ là BC chứađiểm A, kẻ hai nữa đường tròn (O1) và (O2) có đường kính HB, HC chúng lần lượtcắt AB, AC ở E và F Chứng minh :

Câu 1: Cho biểu thức 4 x 12

2

1 3 x 27 x 9

a) Rút gọn B

b) Tìm giá trị x sao cho B = 7

Câu 2: Cho hàm số y = ax + b Tìm a và b biết đồ thị của hàm số qua A(2; -1) và

cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng

2

3

2 a 2 a

1 a : a

1 1 a

1 A

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của A khi

4

1 a

Câu 4: Cho phương trình bậc hai : x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0 (1)

a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có 2 nghiệm với mọi m

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1) Tìm m để :

3(x1 + x2) = 5x1x2

Câu 5: Cho tam giác ABC có Â = 600 ; góc B và góc C nhọn Vẽ các đường cao

BD, CE của tam giác ABC Gọi H là giao điểm của BD và CE Chứng minh :

a) Tứ giác ADHE nội tiếp được trong một đường tròn

b) Tam giác AED đồng dạng với tam giác ACB

c) Tính tỉ số

BC EDd) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh OA  DE

ĐỀ SỐ 17

Câu 1:

a) Rút gọn các biểu thức sau:

20 45

n n m

n m B

2 2

1 x : 1 x

1 1 x

1 C

Câu 2: Cho Parabol (P) : y = ax2 (a  0) và điểm A(2; 8)

a) Tìm a biết (P) đi qua A

b) Tìm a biết Parabol (P) cắt đường thẳng (d) : y = x + 1

Câu 3: Một tổ học sinh được phân công chuyển 105 bó sách về thư viện của trường.

Đến lúc lao động có hai học sinh bị ốm nên không tham gia Vì vậy mỗi học sinhphải chuyển thêm 6 bó mới hết số sách Hỏi lúc đầu có bao nhiêu học sinh, biết sốsách có trong các bó là như nhau

Câu 4: Với x,y không âm, tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

5 , 2009 x

2 y xy 2 x

Câu 5: Cho nữa đường tròn tâm (O) đường kính AB; điểm M thuộc cung AB (M 

A, M  B) Trên nữa mặt phẳng có bờ AB chứa điểm M Kẻ các tiếp tuyến Ax, Bycủa nữa đường tròn (O); điểm C  OA Đường thẳng qua M vuông góc với MC cắt

Ax, By lần lượt tại D, E; AM cắt CD tại P; BM cắt CE tại Q

a) Chứng minh các tứ giác ADMC; BEMC nội tiếp

b) Chứng minh : DAM + EBM = 900 và DC  EC

c) Chứng minh : PQ // AB

d) Tìm vị trí điểm C để tứ giác APQC là hình bình hành