Luận án tiến sĩ Khoa học giáo dục: Góp phần phát triển năng lực dạy học số học cho sinh viên ngành Giáo dục tiểu học ở trường đại học

Mục đích cơ bản của luận án này là xác định được những NL thành tố trong năng lực dạy học số học cần phát triển cho SV ngành Giáo dục tiểu học và đề xuất được những biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực dạy học số học cho SV ngành Giáo dục tiểu học ở các trường đại học, góp phần nâng cao chất lượng đào tạo GVTH.

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học:

1 TS Lê Tuấn Anh

2 PGS TS Trần Việt Cường

HÀ NỘI, 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tác giả xin cam đoan luận án “Góp phần phát triển năng lực dạy học số

học cho sinh viên ngành Giáo dục tiểu học ở trường đại học” là công trình

nghiên cứu của riêng tác giả Các kết quả nghiên cứu và các số liệu nêu trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác trước đó

Hà Nội, ngày tháng năm 2019

Tác giả luận án

Nguyễn Thị Trúc Minh

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 3

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 3

4 KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 4

5 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC 4

6 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 4

7 NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN 5

8 NHỮNG VẤN ĐỀ ĐƯA RA BẢO VỆ 5

9 CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN 6

Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN VỀ VIỆC PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC DẠY HỌC SỐ HỌC CHO SINH VIÊN NGÀNH GIÁO DỤC TIỂU HỌC Ở CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC 7

1.1 Tổng quan về vấn đề nghiên cứu 7

1.1.1 Những nghiên cứu ở nước ngoài 7

1.1.2 Những nghiên cứu trong nước 13

1.2 Nội dung số học ở Tiểu học 18

1.2.1 Khái quát về lịch sử hình thành và phát triển của số tự nhiên 18

1.2.2 Khái quát về lịch sử hình thành và phát triển của số hữu tỉ 20

1.2.3 Cấu trúc đại số của các tập hợp số 22

1.2.4 Đặc điểm của nội dung số học trong chương trình môn Toán ở Tiểu học 24

1.2.5 Mục tiêu dạy học số học ở Tiểu học 25

1.3 Đặc điểm dạy và học toán ở Tiểu học 26

1.3.1 Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học 26

1.3.2 Đặc điểm học tập toán của học sinh tiểu học 27

1.3.3 Đặc điểm dạy học toán ở Tiểu học 29

1.3.4 Năng lực toán học của học sinh tiểu học 29

1.4 Năng lực dạy học số học của sinh viên ngành Giáo dục tiểu học 31

1.4.1 Năng lực, năng lực sư phạm và năng lực dạy học 31

1.4.2 Năng lực dạy học số học của sinh viên ngành Giáo dục tiểu học 39

1.4.3 Tiêu chí đánh giá năng lực dạy học số học của sinh viên ngành Giáo dục tiểu học 54

1.5 Thực trạng năng lực dạy học số học của sinh viên ngành Giáo dục tiểu học ở các trường đại học hiện nay 58

1.5.1 Mục đích khảo sát 58

1.5.2 Đối tượng và thời gian khảo sát 58

1.5.3 Nội dung khảo sát 58

1.5.4 Kết quả khảo sát 58

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 66

Chương 2: NHỮNG BIỆN PHÁP SƯ PHẠM NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC DẠY HỌC SỐ HỌC CHO SINH VIÊN NGÀNH GIÁO DỤC TIỂU HỌC Ở CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC 68

2.1 Những định hướng xây dựng các biện pháp phát triển năng lực dạy học số học cho sinh viên ngành Giáo dục tiểu học 68

2.2 Những biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực dạy học số học cho sinh viên ngành Giáo dục tiểu học 69

2.2.1 Nhóm biện pháp: Phát triển năng lực hiểu biết về những vấn đề liên quan tới nội dung số học ở Tiểu học 69

2.2.1.1 Căn cứ đề xuất nhóm biện pháp 69

2.2.1.2 Mục đích của nhóm biện pháp 71

2.2.1.3 Biện pháp 1 Dạy học học phần Toán cao cấp theo hướng có liên hệ với nội dung số học trong sách giáo khoa môn Toán tiểu học 71

2.2.1.4 Biện pháp 2 Tổ chức dạy học học phần Toán cao cấp bằng hình thức seminar chú trọng liên hệ với nội dung số học ở Tiểu học 75

2.2.1.5 Biện pháp 3 Tổ chức cho sinh viên thực hiện các dự án học tập nhỏ về liên hệ giữa tri thức của Toán cao cấp với nội dung số học ở Tiểu học trong dạy học học phần Toán cao cấp 77

2.2.1.6 Kết luận nhóm biện pháp 82

2.2.2 Nhóm biện pháp: Tạo tiềm năng dạy học số học cho sinh viên 82

2.2.2.1 Căn cứ đề xuất nhóm biện pháp 82

2.2.2.2 Mục đích của nhóm biện pháp 84

2.2.2.3 Biện pháp 4: Rèn luyện kĩ năng dạy học tính toán cho sinh viên thông qua dạy học học phần Phương pháp dạy học Toán 85

2.2.2.4 Biện pháp 5 Tạo tiềm năng dạy học giải toán số học cho sinh viên thông qua học phần Giải toán tiểu học 88

2.2.2.5 Biện pháp 6 Tổ chức cho sinh viên thực hành xây dựng tình huống, câu hỏi, bài tập trong dạy học số học ở Tiểu học thông qua rèn luyện nghiệp vụ sư phạm 93

2.2.2.6 Kết luận nhóm biện pháp 101

2.2.3 Nhóm biện pháp: Tập dượt cho sinh viên vận dụng những tri thức phương pháp dạy học 102

2.2.3.1 Căn cứ đề xuất nhóm biện pháp 102

2.2.3.2 Mục đích của nhóm biện pháp 103

2.2.3.3 Biện pháp 7 Rèn luyện cho sinh viên thiết kế và tổ chức những hoạt động dạy học nội dung số học thông qua các học phần về Phương pháp dạy học Toán 103

2.2.3.4 Biện pháp 8 Rèn luyện cho sinh viên kỹ năng vận dụng phối hợp các phương pháp dạy học 111

2.2.3.5 Biện pháp 9 Tổ chức cho sinh viên trao đổi, seminar về các tình huống đánh giá thường xuyên trong dạy học số học ở tiểu học thông qua học phần Phương pháp dạy học Toán 118

2.3.3.5 Kết luận của nhóm biện pháp 120

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 121

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 123

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 123

3.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm 123

3.3 Công cụ đánh giá kết quả thực nghiệm 124

3.4 Thực nghiệm đợt 1 125

3.4.1 Tổ chức thực nghiệm 125

3.4.2 Kết quả thực nghiệm 127

3.4.3 Phân tích kết quả thực nghiệm 127

3.5 Thực nghiệm đợt 2 129

3.5.1 Tổ chức thực nghiệm 129

3.5.2 Kết quả thực nghiệm 130

3.5.3 Phân tích kết quả thực nghiệm 131

3.6 Thực nghiệm đợt 3 134

3.6.1 Tổ chức thực nghiệm 134

3.6.2 Kết quả thực nghiệm 135

3.6.3 Phân tích kết quả thực nghiệm 137

3.7 Nghiên cứu trường hợp 139

3.7.1 Đánh giá kết quả sau thực nghiệm đợt 1 140

3.7.2 Đánh giá kết quả sau thực nghiệm đợt 2 141

KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 143

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 145

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ 148

TÀI LIỆU THAM KHẢO 149 PHỤ LỤC

PPDH Phương pháp dạy học RLNV Rèn luyện nghiệp vụ RLNVSP Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1 Kết quả khảo sát việc phát triển NLDH môn Toán cho SV ngành GDTH 59

Bảng 3.1 Bảng thống kê kết quả học tập năm nhất của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng 125

Bảng 3.2 Kết quả điểm số của bài kiểm tra số 1 127

Bảng 3.3 Bảng phân tích kết quả bài kiểm tra số 1 127

Bảng 3.4 Kết quả điểm thi học phần PPDH Toán TH B 130

Bảng 3.5 Kết quả điểm thi học phần RLNVSPTX 2 130

Bảng 3.6 Bảng phân tích kết quả điểm thi học phần PPDH Toán TH B 131

Bảng 3.7 Bảng phân tích kết quả điểm thi RLNVSP thường xuyên 2 132

Bảng 3.8 Kết quả của bài kiểm tra số 2 135

Bảng 3.9 Kết quả điểm số của bài kiểm tra số 3 136

Bảng 3.10 Ý kiến SV về kết quả thực nghiệm nội dung thứ nhất 136

Bảng 3.11 Bảng phân tích kết quả bài kiểm tra số 2 137

Bảng 3.12 Bảng phân tích kết quả bài kiểm tra số 3 138

Bảng 3.13 Các SV được chọn nghiên cứu trường hợp 140

Bảng 3.14 Kết quả học tập của các SV nghiên cứu trường hợp 142

DANH MỤC HÌNH

Hình 1.1 Mô hình Michigan 9

Hình 1.2 Mô hình kiến thức DH toán 10

Hình 1.3 Mô hình NLDH của GV toán 11

Hình 3.1 Hình ảnh minh họa cho quá trình thực nghiệm đợt 2 130

Hình 3.2 Hình ảnh minh họa cho quá trình thực nghiệm đợt 3 135

DANH MỤC BIỂU ĐỒ

Biểu đồ 1.1 Kết quả đánh giá NL hiểu tâm sinh lí và tư duy toán học của

HSTH 61 Biểu đồ 1.2 Kết quả đánh giá NL hiểu biết những vấn đề liên quan tới nội

dung SH ở TH 62 Biểu đồ 1.3 Kết quả đánh giá NL vận dụng PP, phương tiện và hình thức tổ

chức DH SH 62 Biểu đồ 1.4 Kết quả đánh giá NL thiết kế và tổ chức thực hiện hoạt động DH

nội dung SH 63 Biểu đồ 1.5 Kết quả đánh giá NL dự kiến những khó khăn trong học tập nội

dung SH của HSTH và cách khắc phục 63 Biểu đồ 1.6 Kết quả đánh giá NL đánh giá quá trình và sử dụng kết quả đánh

giá vào DH nội dung SH 64

MỞ ĐẦU

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1 Nền giáo dục nước ta đang trong công cuộc đổi mới căn bản và toàn diện, chuyển nền giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền giáo dục phát triển cả về phẩm chất và năng lực (NL) của người học Để đáp ứng yêu cầu đổi mới, Đảng và Nhà nước ta đã có những chủ trương và chính sách cần thiết để đào tạo và bồi dưỡng đội ngũ giáo viên (GV) Tuy nhiên, việc nâng cao chất lượng đội ngũ GV bằng các biện pháp bồi dưỡng GV thôi chưa

đủ, mà phải nâng cao chất lượng quá trình đào tạo GV ở các trường đại học Điều này đã đặt ra nhiều thử thách cho các trường đại học đối với việc cải tiến nội dung, phương pháp dạy học (PPDH) trong chiến lược đào tạo nguồn nhân lực đáp ứng nhu cầu xã hội Trong đó, cải tiến nội dung và phương pháp rèn luyện tay nghề cho sinh viên (SV) sư phạm nhằm đào tạo ra một đội ngũ GV

có năng lực dạy học (NLDH) là nhiệm vụ trọng tâm và cấp thiết

Giáo dục tiểu học (GDTH) là bậc học nền tảng, hình thành những

cơ sở ban đầu về NL và nhân cách con người GDTH đạt chất lượng cao

là tiền đề quan trọng cho sự phát triển NL và nhân cách của học sinh (HS) trong những giai đoạn tiếp theo ở trường Trung học cơ sở và Trung học phổ thông để đáp ứng yêu cầu của xã hội ngày nay SV ngành GDTH được đào tạo để trở thành người GV dạy học (DH) ở bậc Tiểu học (TH),

đảm đương vai trò giáo dục định hướng cho “sự nghiệp trồng người”,

góp phần hình thành và phát triển nhân cách cũng như NL của HS giai đoạn đầu đời (từ 6 tuổi đến 10 tuổi) Vì vậy, việc đào tạo để họ trở thành người GV có NLDH là một nhiệm vụ quan trọng

1.2 Với yêu cầu đổi mới giáo dục phổ thông của nước ta hiện nay thì

GV nói chung, giáo viên tiểu học (GVTH) nói riêng đang gặp khó khăn, thử thách trước sự chuyển biến mục tiêu giáo dục, PPDH đang chuyển từ kiểu dạy

tập trung vào vai trò của GV và hoạt động dạy sang kiểu dạy tập trung vào vai trò của HS và hoạt động học

Đội ngũ GVTH mới ra trường chưa đáp ứng được các yêu cầu về DH: lựa chọn phương pháp, hình thức DH chưa phù hợp với nội dung bài dạy và trình độ HS; nhiều GV chưa có kĩ năng (KN) soạn kế hoạch bài học, chưa xác định chính xác mục tiêu của bài dạy; khả năng quản lý, điều hành lớp học không hiệu quả… NLDH môn Toán còn nhiều hạn chế, một số GV chưa nắm vững kiến thức cơ bản của môn Toán ở TH, thậm chí có một số GV không thành thạo trong thực hiện các phép tính phức tạp và giải các bài toán điển hình ở lớp 4 và lớp 5

1.3 Trong các môn học ở TH, môn Toán có vị trí rất quan trọng, nó chiếm phần lớn thời gian trong chương trình DH ở TH Các kiến thức, kĩ năng của môn Toán ở TH có nhiều ứng dụng trong đời sống, rất cần thiết cho người lao động và cho việc học các môn học khác ở TH và ở Trung học Môn Toán giúp HS nhận biết những mối quan hệ về số lượng và hình dạng không gian của thế giới thực, nhờ đó mà HS có phương pháp nhận thức một số mặt của thế giới xung quanh và biết cách hoạt động có hiệu quả trong đời sống Nó có khả năng giáo dục nhiều mặt: phát triển tư duy logic, rèn luyện phương pháp suy luận, phương pháp suy nghĩ, phương pháp giải quyết có vấn đề; góp phần vào việc hình thành và phát triển trí thông minh, tư duy độc lập, linh hoạt sáng tạo; giáo dục ý chí và những phẩm chất cần thiết, quan trọng của người lao động

Trong chương trình môn Toán ở TH, mạch kiến thức số học (SH) có vai trò chủ đạo, làm nền tảng cho việc DH các mạch kiến thức còn lại Nội dung mạch kiến thức SH bao gồm: số và các phép tính, một số yếu tố đại số, là nội dung trọng tâm của toàn bộ quá trình DH Toán ở bậc TH SH làm nền tảng cho việc DH đại lượng và phép đo đại lượng, cho việc tính độ lớn các đại lượng hình học (chu vi, diện tích, thể tích) và cho hoạt động thực hành giải quyết các vấn đề đơn giản trong cuộc sống (thông qua giải toán có lời văn) Mạch kiến

thức SH và các mạch kiến thức khác (giải toán có lời văn, yếu tố thống kê, yếu

tố hình học, đại lượng và đo đại lượng) được tích hợp, hỗ trợ lẫn nhau tạo thành môn học thống nhất trong chương trình GDTH

1.4 Qua tìm hiểu tài liệu, chúng tôi nhận thấy đã có một số công trình tập trung nghiên cứu về bồi dưỡng và phát triển NL nghề nghiệp cho GVTH [2], [66], [97], [117]… Tuy nhiên, các công trình này chỉ tập trung nghiên cứu bồi dưỡng và phát triển NLDH cho GVTH chứ chưa tập trung phát triển

NL này cho SV ngành GDTH trong quá trình đào tạo Ngoài ra, cũng đã có nhiều công trình nghiên cứu về việc rèn luyện KN nghề và phát triển NLDH Toán cho SV ở các trường Sư phạm [23], [44], [105]… Hầu hết các công trình này lại tập trung nghiên cứu phát triển NLDH cho SV ngành sư phạm Toán ở bậc Trung học cơ sở và Trung học phổ thông

Cho đến nay, theo những tài liệu mà chúng tôi được biết thì chưa có công trình nào nghiên cứu về vấn đề phát triển năng lực dạy học số học (NLDHSH) cho SV ngành GDTH Do đó, những kết quả nghiên cứu đã có vẫn chưa đủ để đáp ứng nhu cầu của xã hội, sự biến động về nội dung, chương trình giáo dục

Xuất phát từ những lý do trên, chúng tôi lựa chọn vấn đề: “Góp phần phát triển NLDHSH cho SV ngành GDTH ở trường đại học” làm đề tài

nghiên cứu

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Xác định được những NL thành tố trong NLDHSH cần phát triển cho

SV ngành GDTH và đề xuất được những biện pháp sư phạm nhằm phát triển NLDHSH cho SV ngành GDTH ở các trường đại học, góp phần nâng cao chất lượng đào tạo GVTH

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu lý luận về những vấn đề có liên quan đến phát triển NLDH môn Toán và NLDHSH cho SV ngành GDTH ở các trường đại học

- Nghiên cứu thực trạng việc phát triển NLDH môn Toán và NLDHSH cho SV ngành GDTH ở các trường đại học

- Đề xuất những biện pháp phát triển NLDHSH cho SV ngành GDTH trong quá trình đào tạo chính quy tại các trường đại học

- Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của những biện pháp đề xuất

4 KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

- Khách thể nghiên cứu: Lý luận và thực ti n về NLDHSH, quá trình rèn luyện các KNDH cho SV, quá trình đào tạo SV ngành GDTH ở các trường đại học

- Đối tượng nghiên cứu: Quá trình phát triển NLDHSH cho SV ngành GDTH ở các trường đại học

5 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu xác định được r những NL thành tố trong NLDHSH cần phát triển cho SV ngành GDTH và đề xuất, thực hiện các biện pháp phát triển những NL thành tố đó thì sẽ phát triển được NLDHSH cho SV ngành GDTH

ở trường đại học

6 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Để thực hiện được các nhiệm vụ nghiên cứu trên của đề tài, chúng tôi

sử dụng phối hợp các phương pháp nghiên cứu sau:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa…

các tài liệu lý luận về dạy nghề, NLDH và những vấn đề liên quan (Lý luận

DH môn Toán, Tâm lý học, Giáo dục học ) nhằm làm sáng tỏ cơ sở lý luận

- Phương pháp quan sát, điều tra: nhằm tìm hiểu thực trạng phát triển

NLDH môn Toán và NLDHSH cho SV ngành GDTH ở các trường đại học

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: nhằm đánh giá tính khả thi và

tính hiệu quả của các biện pháp đề xuất

- Phương pháp thống kê toán học: xử lí các số liệu điều tra thực trạng

và các số liệu thu được qua thực nghiệm sư phạm

- Phương pháp nghiên cứu trường hợp: Chọn một nhóm SV để theo

d i sự phát triển NLDHSH thông qua việc sử sụng các biện pháp sư phạm đã

đề xuất trong quá trình DH ngành GDTH ở trường đại học

7 NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN

- Về lí luận: Trên cơ sở những kết quả nghiên cứu của các tác giả trong

và ngoài nước, chúng tôi đã phân tích, làm sáng tỏ các khái niệm về NL, NLDH, cấu trúc của NLDH và đưa ra quan niệm của mình về cấu trúc NLDH, NLDH môn Toán của GVTH và NLDHSH của SV ngành GDTH Chúng tôi xây dựng cấu trúc NLDHSH của SV gồm sáu thành tố liên kết, đan xen và phụ thuộc lẫn nhau Mỗi NL thành tố được mô tả biểu hiện bằng

những tiêu chí và được đánh giá theo bốn mức độ

- Về thực ti n: Chúng tôi đã tìm hiểu và đánh giá thực trạng phát triển NLDH môn Toán cho SV về các phương diện liên quan tới NLDHSH của

SV, tiến hành khảo sát NLDHSH của SV năm thứ tư ngành GDTH ở 5 trường đại học trên toàn quốc Trên cơ sở lí luận và kết quả khảo sát, chúng tôi đã xây dựng được 03 nhóm biện pháp gồm 09 biện pháp cụ thể nhằm phát triển NLDHSH cho SV ngành GDTH Tính khả thi và tính hiệu quả của một số biện pháp đã được kiểm chứng qua quá trình thực nghiệm sư phạm

9 CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận án gồm 3 chương:

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực ti n về việc phát triển năng lực dạy học Số học cho sinh viên ngành Giáo dục tiểu học ở các trường đại học

Chương 2 Những biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực dạy học

Số học cho sinh viên ngành Giáo dục tiểu học ở các trường đại học

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN VỀ VIỆC PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC DẠY HỌC SỐ HỌC CHO SINH VIÊN NGÀNH GIÁO DỤC TIỂU

HỌC Ở CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC 1.1 Tổng quan về vấn đề nghiên cứu

1.1.1 Những nghiên cứu ở nước ngoài

Các vấn đề về KNDH và NLDH đã được các nhà nghiên cứu giáo dục trên thế giới quan tâm, nghiên cứu từ rất lâu

Bắt đầu từ những năm 20 của thế kỉ trước, ở Liên Xô và các nước Đông

Âu đã có nhiều công trình nghiên cứu về KNDH cho SV sư phạm, đến những năm 1960 vấn đề này đã được nghiên cứu một cách sâu sắc và trở thành một hệ thống lí luận vững chắc với nhiều công trình của các tác giả như: N.V.Kuzmina (1961) [20], O.A.Abdoullina (1963) [3], F.N.Gonobolin (1969) [32]… Các công trình này đã xác định năng lực sư phạm (NLSP) mà người GV cần có, nêu rõ từng loại KN sư phạm của người GV, nêu lên những NLSP mà SV cần rèn luyện

và cách rèn luyện chúng để trở thành một người GV Đến thập niên 70, những nhà nghiên cứu giáo dục ở Liên Xô và Đông Âu tiếp tục đi sâu nghiên cứu về tổ

chức lao động khoa học và tối ưu hóa quá trình DH Sự thành lập “Phòng

nghiên cứu đào tạo GV ở trường sư phạm” đã thúc đẩy nhiều công trình mới

xuất hiện, nổi bật là những công trình của các tác giả X.I.Kisegov [62], O.A.Abdoullina [5]…

Ở phương Tây và các nước khác như Canada, Úc… các nhà nghiên cứu giáo dục đặc biệt quan tâm tới việc tổ chức huấn luyện các KN thực hành giảng dạy cho SV Họ dựa trên cơ sở những thành tựu của tâm lí học hành vi

và tâm lí học chức năng để tổ chức rèn luyện cho SV các KN này với thời lượng giờ thực hành được phân bổ nhiều hơn so với lí thuyết Điển hình với

luận điểm của J Watson (1926), A Pojoux (1926), F Skinner (1963), công

trình The process of learning của J.B Biggs và R Telfer (1987) [130],

Beginning teaching của K Barry và L King (1993) [121]

Ở Mĩ, Từ đầu thập niên 30 của thế kỉ XX, các nhà quản lí và nghiên cứu giáo dục Mĩ bắt đầu nghiên cứu về chủ đề những NL nên có của người GV để thành công trong DH và giáo dục [132, tr.127] Vào thập niên 70, trường đại học quốc gia Ohio đã có những nghiên cứu trong việc xây dựng các mô đun đào tạo GV kĩ thuật – nghề nghiệp, kết quả đưa ra được 600 KN đào tạo GV

kĩ thuật – nghề nghiệp Tại trường đại học Stanford, dựa trên thực ti n nền giáo dục cơ bản của Mĩ, nhóm nghiên cứu Phiđenta Kapkar đã nêu lên năm

nhóm kĩ thuật của GV khi lên lớp trong báo cáo “Khoa học và nghệ thuật đào

tạo các thầy giáo” [116]

Năm 1995, O’Day cùng các cộng sự [138, tr 2] đã chỉ ra rằng NLSP sẽ

phát triển thông qua quá trình DH trên bốn lĩnh vực là “kiến thức, KN, khuynh

hướng và quan điểm cá nhân” Trong khi đó, McDiarmid và Clevenger-Bright

tập trung vào ba thành tố đặc trưng là “kiến thức, KN và khuynh hướng” [136,

tr 169] Cấu trúc NLSP của O’Day cùng các cộng sự so với của các nhà nghiên cứu khác xét về hình thức có phần khác nhau, nhưng xét về bản chất

thì như nhau Hai thành tố là “khuynh hướng” và “quan điểm cá nhân” trong

cấu trúc NLSP của O’Day và các cộng sự được hiểu một cách tổng quát bao

gồm “niềm tin, thái độ, giá trị và sự tận tâm của GV”

 Một số quan niệm về NLDH Toán của GV:

Shulman [143, tr 4] đã đưa ra nền tảng những kiến thức GV cần có để

thành công trong việc giảng dạy, gồm: “kiến thức nội dung, kiến thức phương

pháp chung, kiến thức chương trình, kiến thức PPDH môn học, kiến thức về người học, kiến thức về bối cảnh giáo dục, kiến thức về mục đích và giá trị của

giáo dục” Trong đó, “kiến thức PPDH môn học” là kiến thức thể hiện hiểu biết

của GV về cách thức DH các chủ đề trong môn học, kiến thức này để phân biệt hiểu biết của các chuyên gia cơ bản với các nhà sư phạm Điều đó có nghĩa là,

mô hình kiến thức của Shulman không dành riêng cho giảng dạy một môn học

Petrou và Goulding [139, tr 12] cho rằng dù ý tưởng của Shulman là đột phá và có ảnh hưởng lớn đến các nghiên cứu, tuy nhiên sự phân loại các lĩnh vực kiến thức do Shulman đưa ra dường như không phù hợp để áp dụng vào các nghiên cứu về kiến thức của GV và đào tạo GV

Ball [122, tr 395] cho rằng Shulman không đưa ra quan niệm chính xác

về thuật ngữ “kiến thức PPDH môn học”, không có sự khác biệt rõ ràng giữa các khái niệm “kiến thức nội dung” và “kiến thức PPDH môn học” Với đặc

thù của môn Toán, Ball cùng các cộng sự đã đưa ra mô hình kiến thức DH toán (mô hình Michigan, hình 1.1), để chỉ kiến thức mà GV toán cần biết để

DH toán Mô hình Michigan chú trọng đến các lĩnh vực kiến thức dành riêng cho việc DH toán và được minh họa bằng hình vẽ sau:

Hình 1.1 Mô hình Michigan [122, tr 403]

Trong mô hình trên, các lĩnh vực “kiến thức về toán và người học” và

“kiến thức về toán và việc dạy học” dành để mô tả riêng biệt cho việc DH toán

Ở trường đại học Cambridge, các nhà nghiên cứu đã đưa ra mô hình

“Bốn lĩnh vực tri thức” hay còn gọi là “mô hình Cambridge” [147, tr 200 -

Kiến thức về toán và chương trình

Kiến thức PPDH môn Toán Kiến thức về chủ đề môn Toán

Kiến thức toán đặc thù

202] Mô hình này đã được áp dụng để hỗ trợ phát triển giảng dạy cho giáo

sinh ở Anh và các nước khác, gồm có bốn lĩnh vực: Nền tảng, sự chuyển hóa,

sự kết nối và ngẫu nhiên Mô hình này đưa ra một sự phân loại r ràng về thể

hiện của GV với các tình huống DH trong các lớp học toán [139, tr 19], tuy nhiên mô hình chưa chú ý đến những thay đổi trong chương trình, chỉ tập trung vào việc đào tạo giáo sinh chứ ít liên quan đến các GV đứng lớp [144, tr 486] Stephens và Zhang [144, tr 483] nhận thấy rằng các nhà nghiên về giáo dục

toán không hay sử dụng thuật ngữ “năng lực sư phạm” bằng các thuật ngữ

“kiến thức PPDH môn học” (Shulman) và “kiến thức dạy học toán” (Ball)

Tích hợp bối cảnh vào mô hình Cambridge, Petrou và Goulding đã đưa

ra “Mô hình kiến thức DH toán” (hình 1.2) Họ đặt “kiến thức chương trình”

vào một vị trí nổi bật hơn so với mô hình của Shulman và mô hình Michigan,

với ngụ ý rằng “kiến thức chương trình” là trọng tâm trong việc tìm hiểu

những gì GV cần phải biết để dạy toán hiệu quả

Hình 1.2 Mô hình kiến thức DH toán [139, tr 21]

Mô hình của Shulman, mô hình Michigan, mô hình Cambridge, mô hình của Petrou và Goulding có vai trò quan trọng trong việc định hướng các nghiên cứu về đào tạo và phát triển NLDH cho GV toán Tuy nhiên, Stephens và Zhang cho rằng các mô hình này vẫn có một số hạn chế nhất định [144, tr 488]:

- Các mô hình Michigan, Cambridge và mô hình của Shulman chưa nhấn mạnh đến sự định hướng của các quy định về chương trình toán đối với việc DH;

Bối cảnh

Kiến thức chương trình (nền tảng, chuyển hóa)

- Trong khi việc tập trung vào các nội dung toán cụ thể có vai trò quan trọng đối với việc đổi mới chương trình thì các mô hình Michigan, Cambridge,

mô hình của Petrou và Goulding đều xem xét miền kiến thức DH toán một cách chung chung;

- Không d để định hình các nghiên cứu thực nghiệm trong cả bốn mô hình trên

Stephens và Zhang [144, tr 489] đã đề xuất “Mô hình NLDH của GV

toán” (Hình 1.3) nhằm khám phá mối liên hệ giữa những gì GV toán cần biết

và những cải cách của chương trình Họ dùng thuật ngữ “NLDH” để thay thế thuật ngữ “kiến thức DH toán” vì muốn nhấn mạnh đến cách GV sử dụng NL

đó khi thiết kế việc DH toán

Hình 1.3 Mô hình NLDH của GV toán [144, tr 489]

Nghiên cứu của Stephens và Zhang hướng đến khả năng DH toán của

GV, tuy nhiên chỉ dừng lại ở việc đánh giá NLDH của GV toán thông qua các sản phẩm thiết kế trên giấy về việc DH các chủ đề toán cụ thể, chưa xem xét đến khả năng DH của GV toán trên các lớp học thật sự Trên thực tế, việc

Tiêu chí A

Kiến thức toán

thiết kế kế hoạch bài học và việc DH thật sự bao giờ cũng có sự khác nhau nhất định, đòi hỏi đến khả năng giao tiếp, phản ánh và đánh giá của GV

Khi bàn đến chuẩn nghề nghiệp của GV toán, năm 2007, Ủy ban Quốc gia Giáo viên dạy môn Toán của Hoa Kỳ (National Council of Teachers of Mathematics được viết tắt là NCTM) [148, tr B-2] đã đưa ra 7 tiêu chuẩn cụ thể

của GV toán: “kiến thức toán và kiến thức phương pháp nói chung; kiến thức về

việc học toán của HS; hiểu biết về việc thiết kế các nhiệm vụ học tập; xây dựng môi trường học tập; định hướng quá trình giao tiếp toán học; phản ánh về việc học của HS; phản ánh về các thực hành DH” Chuẩn nghề nghiệp GV toán của

NCTM là một trong những yếu tố cần xem xét khi đề xuất mô hình NLDH của

GV toán chú trọng đến khả năng thiết kế, thực hành và phản ánh

Ở các nước Châu Á và Thái Bình Dương, vai trò và nhiệm vụ hình

thành KN sư phạm cũng đã được xác định ở hội thảo “Cách tân việc đào tạo

bồi dưỡng giáo viên của các nước châu Á và Thái Bình Dương” do APEID

thuộc UNESCO tổ chức tại Seoul, Hàn Quốc Các báo cáo của hội thảo đã xác định tầm quan trọng của việc hình thành tri thức và hình thành các KN sư

phạm cho SV trong quá trình đào tạo Các nhà khoa học đã khẳng định: “Tri

thức nghề nghiệp là sơ sở của nghệ thuật sư phạm nhưng chỉ thể hiện trong

- Trong quá trình đào tạo GV, để giúp SV đạt được những NLSP cần có

của người GV, các nhà nghiên cứu đều có chung quan điểm là lí thuyết phải gắn với thực hành Tuy nhiên, so với Liên Xô và các nước Đông Âu thì các nhà nghiên cứu ở phương Tây và Mĩ quan tâm đến vấn đề thực hành, luyện tập nhiều hơn

- Các nhà nghiên cứu về Giáo dục toán cũng có mục tiêu chung là nghiên cứu những gì người GV toán cần có để thực hiện thành công công việc của mình Họ lần lượt đưa ra cấu trúc NLDH của người GV toán dưới hình thức các mô hình kiến thức DH toán Mặc dù có phần khác nhau về hình thức,

sự mô tả, nhưng nhìn chung các mô hình đều nêu lên những tri thức cơ bản

mà người GV toán cần có là: các tri thức Toán, kiến thức PPDH, tri thức về

HS và việc học Toán của HS

Kết quả nghiên cứu của các công trình này là cơ sở dữ liệu quan trọng giúp chúng tôi định hướng để nghiên cứu và xây dựng cấu trúc NLDHSH cho

SV ngành GDTH

1.1.2 Những nghiên cứu trong nước

Trước năm 1975, nhằm cải thiện tình trạng thiếu GV nhiều hệ đào tạo

và bồi dưỡng GV ra đời, GVTH chủ yếu được đào tạo ở trình độ thấp, gồm nhiều hệ đào tạo hết sức đa dạng (9+3, 12+1…) Ở giai đoạn này, những nghiên cứu cơ bản về rèn nghề GV chưa có, tay nghề của người GV chỉ được

đề cập trong các giáo trình Tâm lý học và Giáo dục học được viết dựa trên các giáo trình của Liên Xô cũ

Kể từ sau 1975, trước những yêu cầu đổi mới nền giáo dục, vấn đề nâng cao chất lượng đào tạo GV bắt đầu được quan tâm nhiều hơn, nhiều công trình nghiên cứu về vấn đề này bắt đầu xuất hiện Năm 1979, trường Đại

học sư phạm Hà Nội đã xây dựng đề cương nghiên cứu đề tài: “Cải cách

công tác nghiệp vụ sư phạm cho SV trường đại học sư phạm Hà Nội” Năm

1982, cục Đào tạo - Bồi dưỡng GV của Bộ Giáo dục đã ban hành tài liệu:

“RLNVSP thường xuyên cho SV các trường sư phạm” [19], tài liệu có tính

chất chỉ đạo cho hoạt động RLNVSP, nhằm đưa hoạt động này trở thành một thành tố quan trọng của nội dung và chương trình đào tạo của các trường sư

phạm Tiếp theo đó, năm 1987, đề tài cấp Bộ “Vấn đề RLNVSP thường xuyên

cho SV” của tác giả Nguy n Quang Uẩn [112], đã vạch ra một số phương

hướng có tính chất lí luận chung cho hoạt động RLNVSP cho SV nói chung

Bước vào thập kỷ 90, những xu hướng nghiên cứu về NLDH và KNDH… đã trở thành vấn đề rất được quan tâm ở nước ta, cụ thể:

- Các luận văn của các tác giả Lê Thị Nhật [78] và Nghiêm Thị Phiến (1985) [84] đã khởi đầu cho những nghiên cứu về NLDH của GV Các luận văn này đã bước đầu khái quát NLDH của người GV nói chung và người GV Tâm lý - Giáo dục nói riêng

- Đề tài “Hệ đào tạo GV Phổ thông trung học theo hình thức tự học có

hướng dẫn, kết hợp với thực tập dài hạn tại trường phổ thông” (chỉ thị

34/CT–1987–Bộ giáo dục) do Nguy n Cảnh Toàn chủ trì đã biên soạn một số tài liệu hướng dẫn SV hệ đào tạo này được thực hành giảng dạy

- Đề tài cấp Nhà nước “Người thầy giáo theo yêu cầu của sự phát triển

giáo dục” (1987 – 1991) do trường Đại học Sư phạm Hà Nội 1 (nay là trường

Đại học Sư phạm Hà Nội) chủ trì, đã làm sáng tỏ một số vấn đề về nhân cách người thầy giáo, về mục tiêu đào tạo cụ thể của một số loại hình GV, về đặc điểm lao động sư phạm của người thầy giáo Đề tài đã góp phần đáng kể trong việc cải tiến công tác đào tạo và bồi dưỡng GV

Ở các trường đại học, việc nghiên cứu vấn đề phát triển NLDH và KNDH cho SV thể hiện qua các đề tài cấp Bộ của các tác giả Nguy n Hữu Dũng (1995) [27], Trịnh Thị Quý (2005) [85]… và các luận án của các tác

giả Nguy n Như An (1993) [1], Trần Anh Tuấn (1996) [108], Phan Thanh Long (2004) [69], Phan Quốc Lâm (2007) [68], Nguy n Thị Nhân (2015) [77] Các đề tài và luận án này đã trình bày một cách tương đối hệ thống các vấn đề lí luận liên quan, tìm hiểu thực trạng về vấn đề hình thành KN sư phạm và việc rèn luyện KNDH với đối tượng SV sư phạm, từ đó đề xuất và nghiệm thu những biện pháp và quy trình rèn luyện KNDH cho SV nhằm góp phần nâng cao chất lượng việc hình thành và phát triển KNDH phù hợp cho SV sư phạm

Về chuyên ngành Lý luận và PPDH bộ môn Toán, có một số luận án nghiên cứu về vấn đề phát triển một số KN và NLDH cho SV của các tác giả như: Nguy n Dương Hoàng (2008) [44], Phạm Văn Trạo (2009) [104], Nguy n Chiến Thắng (2012) [91], Trần Việt Cường (2012) [23], Đỗ Thị Trinh (2013) [105], Nguy n Thị Thanh Vân (2015) [114], Nguy n Minh Giang (2017) [29]… Ở các luận án này, các tác giả đã tập trung nghiên cứu lí luận và thực trạng về vấn đề phát triển KNDH, KN nghề nghiệp, NLSP và NLDH Toán cho SV ngành sư phạm Toán bậc Trung học phổ thông nhằm đưa ra các biện pháp phát triển KNDH và NLDH cho SV hệ đào tạo này thông qua cách thức tổ chức DH một học phần nào đó ở đại học, góp phần nâng cao chất lượng đào tạo GV Toán bậc Trung học phổ thông

Liên quan đến những vấn đề về phát triển KNDH, NLDH môn Toán cho SV ngành GDTH, có các luận án như:

- “Tăng cường mối liên hệ sư phạm giữa nội dung DH Lí thuyết tập hợp và logic, cấu trúc đại số với nội dung DH SH trong môn toán TH cho SV Khoa GDTH các trường đại học sư phạm” của Nguy n Thị Châu Giang

(2008) [31] Luận án đã đề xuất 2 giải pháp chủ yếu cho việc DH Lí thuyết tập hợp và logic, cấu trúc đại số trong trường đại học sư phạm nhằm tăng cường mối liên hệ sư phạm với việc DH SH ở TH

- “Rèn luyện KNDH Toán cho SV ngành GDTH ở các trường Cao

đẳng sư phạm” của Phạm Văn Cường (2009) [24] Luận án đã xây dựng

Chuẩn KNDH Toán cho SV ngành GDTH trình độ cao đẳng Từ đó, đề xuất 7 nhóm biện pháp (trong đó có 24 biện pháp cụ thể) rèn luyện KNDH Toán cho

SV ngành GDTH ở các trường Cao đẳng sư phạm Tuy nhiên, luận án chưa

đề xuất được các biện pháp để đánh giá kết quả việc rèn luyện KNDH Toán của SV ngành GDTH ở các trường CĐSP, cũng chưa có sự nghiên cứu toàn diện và sâu sắc hơn về KNDH Toán và rèn luyện KNDH Toán nhằm góp phần phát triển NLDH môn Toán cho SV ngành GDTH

- “Hình thành cho SV đại học sư phạm ngành GDTH KN thiết kế và tổ chức các tình huống DH Toán ở TH theo hướng tăng cường hoạt động tìm tòi, phát hiện kiến thức của HS lớp 3, 4, 5” của Phạm Thị Thanh Tú (2013)

[107] Tác giả đã đề xuất 3 biện pháp cơ bản giúp hình thành ở SV KN thiết

kế và tổ chức các tình huống DH theo hướng tăng cường hoạt động tìm tòi, phát hiện kiến thức ở HS lớp 3, 4, 5 cho SV ngành GDTH

- “Rèn luyện cho SV KN đánh giá quá trình trong DH môn Toán ở TH”

của Lê Thị Tuyết Trinh (2017) [106] Tác giả đã xác định 4 KN quan trọng để thực hiện hoạt động đánh giá quá trình trong DH môn Toán ở TH và đề xuất

04 biện pháp rèn luyện KN đánh giá quá trình trong DH môn Toán ở TH cho

SV ngành GDTH

Ngoài ra, còn có nhiều luận án tập trung nghiên cứu nhằm bồi dưỡng

và phát triển NLDH cho GVTH của các tác giả như: Nguy n Văn Tấn (2011) [97], Trương Thị Thu Yến (2012) [117], Hoàng Công Kiên (2013) [66], Lê Thị Lan Anh (2013) [2], Đỗ Hoàng Mai (2017) [73]… Các luận án này nghiên cứu bồi dưỡng và rèn luyện cho GVTH cách thức, quy trình vận dụng một PPDH mới vào DH ở TH nhằm nâng cao NLDH cho GVTH góp phần nâng cao chất lượng DH ở TH

Nghiên cứu về nội dung SH ở TH có luận văn và luận án như:

- Luận văn “Khái niệm số tự nhiên trong DH ở TH” của tác giả Dương

Hữu Tòng (2008) [102] Tác giả đã phân tích, tổng hợp một số nghiên cứu khoa học luận của số tự nhiên, đồng thời tác giả cũng nghiên cứu thể chế đào tạo GVTH để thấy được các cách tiếp cận số tự nhiên khác nhau trong giáo trình SH và các tiến trình hình thành số tự nhiên, nghĩa của số tự nhiên trong giáo trình Phương pháp giảng dạy Toán

- Luận án “DH chủ đề phân số ở trường TH thông qua hoạt động giải

các bài toán” của Dương Hữu Tòng (2014) [103] Luận án làm rõ những đặc

trưng khoa học luận của khái niệm phân số và trình bày việc tổ chức DH thông qua hoạt động giải toán: kịch bản, vai trò của GV, vai trò của HS, tiêu chí thiết kế bài toán, tiến trình DH thông qua hoạt động giải bài toán…

- Luận án “DH bốn phép tính với số tự nhiên trong môn toán ở TH theo

hướng phát triển NL” của tác giả Nguy n Thị Kiều Oanh (2016) [82] Tác giả

đã phân tích cấu trúc nội dung DH bốn phép tính với số tự nhiên trong các chương trình Toán bậc TH ở Việt Nam qua các thời kì và của một số nước hiện nay; làm rõ quan niệm về NL tính toán với một số biểu hiện cơ bản của

NL tính toán của HSTH và đã đề xuất 3 nhóm biện pháp góp phần thực hiện

DH bốn phép tính với số tự nhiên theo hướng phát triển NL tính toán

Mặc dù việc nghiên cứu các vấn đề liên quan tới KNDH và NLDH ở nước ta di n ra muộn hơn so với một số nước trên thế giới, nhưng các kết quả nghiên cứu ở trong nước cũng đã phản ánh được đa dạng vấn đề phát triển NLDH cho GV và SV sư phạm Các công trình nghiên cứu ở trong nước đã xác định cấu trúc NLDH của người GV và cấu trúc NLDH của SV, đề xuất được nhiều giải pháp nhằm phát triển NLDH cho GV và SV phù hợp với môi trường giáo dục ở Việt Nam Những kết quả này đã góp phần quan trọng trong việc cải tiến công tác đào tạo và bồi dưỡng GV ở nước ta

Tóm lại, vấn đề phát triển NLDH cho SV ngành sư phạm là một trong những vấn đề cơ bản trong việc đào tạo GV ở mỗi quốc gia Qua tìm hiểu tình hình nghiên cứu về phát triển NLDH cho SV từ các tác giả trong và ngoài nước, chúng tôi nhận thấy:

- Các công trình đã xác định cấu trúc NL, những KN cơ bản cần có của người GV, mối quan hệ giữa NL chuyên môn và NL nghiệp vụ, nêu lên những NLDH mà SV cần được phát triển để trở thành một người GV

- Vấn đề tổ chức và nội dung của công tác thực hành – thực tập sư phạm nói chung, công tác rèn luyện KN giảng dạy cho SV sư phạm nói riêng luôn được đổi mới nhằm nâng cao NLSP của người GV để đáp ứng nhu cầu phát triển của xã hội

- NLDH là một thành tố quan trọng của NLSP Trong khi NLSP được nghiên cứu, thảo luận khá cơ bản, chi tiết, thì một thành phần quan trọng của nó

là NLDH của người GV lại chưa được nghiên cứu một cách chi tiết và sâu sắc

- Ở nước ta, nhằm hội nhập với nền giáo dục của khu vực và trên thế giới, việc nghiên cứu về loại hình đào tạo GV theo hướng phát triển NLDH cũng đang từng bước được thực hiện Tuy nhiên, số lượng các công trình nghiên cứu về phát triển NLDH cho SV ngành GDTH chưa nhiều Vì vậy, chúng tôi tập trung nghiên cứu theo hướng: Tìm hiểu, nghiên cứu những vấn

đề có liên quan đến NL, NLDH, NLDH môn Toán, NLDHSH, quá trình phát triển NLDH môn Toán và NLDHSH cho SV ngành GDTH, từ đó đề xuất một

số biện pháp và cách thức thực hiện các biện pháp phát triển NLDHSH cho

SV ngành GDTH ở các trường đại học

1.2 Nội dung số học ở Tiểu học

1.2.1 Khái quát về lịch sử hình thành và phát triển của số tự nhiên

Trong lịch sử phát triển toán học của nhân loại, số tự nhiên được xem

là một thành tựu lâu đời nhất Khái niệm số tự nhiên trải qua một quá trình hoàn thiện lâu dài, từ những vật cụ thể chuyển qua con số và dần dần hình thành dãy số tự nhiên vô hạn Lịch sử hình thành và phát triển của số tự nhiên có thể chia làm 3 giai đoạn: từ thời nguyên thủy cho đến thời Cổ đại (xã hội nguyên thủy, thành tựu của toán học Ai Cập cổ đại, Babylon cổ đại

và Hy lạp cổ đại), từ thời Trung cổ đến ba phần tư đầu của thế kỉ XIX và cuối thế kỉ thứ XIX

- Từ thời nguyên thủy cho đến thời Cổ đại

+ Trong xã hội nguyên thủy: Trước khi ngôn ngữ ra đời, người nguyên thủy đã có sự phân biệt giữa ít và nhiều Dần dần người nguyên thủy biết đếm bằng cách so sánh kết hợp mỗi vật quan sát được với một dấu hiệu hoặc một cái gì đó quen thuộc đối với họ (sỏi, đá, que, những ngón tay…) Nghĩa là họ

đã biết thiết lập sự tương ứng 1 - 1 giữa các phần tử của 2 tập hợp để đếm số lượng đồ vật

+ Ai Cập và Babylon cổ đại: Người Babylon và người Ai Cập cổ đại

chỉ quan tâm đến cách dùng của số, chưa làm r ý nghĩa về sự tồn tại và không tìm cách định nghĩa số tự nhiên

+ Người Hy Lạp cổ đại: Các nhà toán học Hy Lạp cổ đại đã tìm cách trả lời cho câu hỏi “Số là gì?” Đóng góp nổi bật cho sự tìm hiểu vấn đề này

là các nhà toán học Pythagoras và Platon Pythagoras đã đưa ra dãy số tự nhiên 1, 2, 3… và phát hiện ra tính vô hạn của nó Platon tuy không đưa ra định nghĩa về số tự nhiên, nhưng ông phát hiện ra bản chất của số tự nhiên đó

là nó rất trừu tượng

Tóm lại, số tự nhiên xuất hiện do nhu cầu đếm đồ vật của con người,

xuất phát từ tình huống “So sánh sự nhiều hơn, ít hơn về số lượng của hai

nhóm đối tượng” Bước tiến quan trọng của toán học trong giai đoạn này là

phát hiện ra bản chất của dãy số tự nhiên: tính vô hạn, tính trừu tượng

- Từ thời Trung cổ đến ba phần tư đầu của thế kỉ XIX

Vào giữa thế kỉ thứ V SCN, các nhà toán học Ấn Độ đã phát minh ra chữ số “0” và coi nó như là một con số Họ đã biết nguyên tắc viết theo vị trí

và có những chữ số từ “1” đến “9” khác nhau Tuy nhiên, khái niệm về số tự nhiên vẫn chưa được định nghĩa

- Cuối thế kỉ thứ XIX

Đặc trưng của giai đoạn này là việc thống nhất khái niệm số Một số định nghĩa số tự nhiên được trình bày một cách r ràng, nổi bật có định nghĩa của các nhà Toán học như: Geoge Cantor (1845 – 1918), Dedekind (1831 – 1916), Giuseppe Peano (1858 – 1932), Frege (1848 – 1925) và Russell (1872 – 1969)

1.2.2 Khái quát về lịch sử hình thành và phát triển của số hữu tỉ

Lịch sử hình thành và phát triển của số hữu tỉ cũng được chia làm 3 giai đoạn: từ thời nguyên thủy cho đến thời cổ đại, thời kỳ trung cổ và thời

kỳ hiện đại

- Từ thời nguyên thủy cho đến thời cổ đại

Số hữu tỉ ra đời do nhu cầu thực tế (chẳng hạn như nhu cầu chia đều các con thú săn được sau một chuyến đi săn, nhu cầu đo lường )

+ Người Ai Cập cổ đại được ghi nhận là người đi đầu trong việc nghiên cứu phân số Phân số của người Ai Cập là những phân số có tử số bằng 1 (ngày nay gọi là phân số đơn vị) Người ta tin rằng mọi phân số không phải phân số đơn vị đều có thể biểu di n được thành tổng của các phân số đơn vị Trong toán học Ai Cập chỉ có phép tính cộng và trừ các phân số, không có phép tính nhân và chia các phân số

- Phân số của người La Mã cổ đại xuất hiện do nhu cầu đo lường Phân

số của người La Mã cổ đại được viết bằng từ ngữ chứ không dùng kí hiệu

toán học do đó khó khăn khi thực hiện tính toán trên phân số

- Người Hy Lạp bắt đầu sử dụng thang ngang (−) trong cách viết phân

số, tuy nhiên không giống với kí hiệu của toán học hiện đại họ đặt thanh ngang lên trên tử số Nhà toán học Diophantus đã kí hiệu phân số giống như ngày nay nhưng ông lại đảo ngược vị trí của tử số và mẫu số

- Thời Trung cổ

Ký hiệu phân số dần dần được hoàn thiện nhờ người Hindu, người

Ấn Độ, người Ả Rập, người Châu Âu (Fibonaci, 1170 – 1240; Leibnitz,

1646 – 1715…)

Trong tác phẩm “Liber Abaci” (năm 1202), Fibonacci đã trình bày các phương pháp chuyển đổi phân số không phải là phân số đơn vị sang phân số đơn vị

Descartes (1596 -1650) đã để lại một cách tiếp cận khác cho các loại

số qua việc xây dựng “đường thẳng thực” (còn gọi là tia số hay trục số)

Cách tiếp cận này của ông đồng thời mang đến một công cụ để so sánh hai phân số: biểu di n chúng lên trục số, số nào xa gốc tọa độ hơn thì lớn hơn và ngược lại

- Toán học hiện đại

+ Phân số a

b được nhà toán học Laplace (1749 – 1872) định nghĩa như

là phép chia của hai số tự nhiên a và b Ông khám phá ra mối quan hệ của số

tự nhiên và phân số: “nếu a

b là thương của hai số a và b thì nó có thể cho kết quả là một số tự nhiên, một số hữu tỉ hay một số vô tỉ”

+ Trong quá trình phát triển Lí thuyết tập hợp, Cantor (1845 - 1918) đã đưa ra định nghĩa số hữu tỉ Tập hợp các số nguyên đóng kín đối với phép cộng, trừ và nhân, nhưng nó không đóng kín đối với phép chia Để đạt được tính chất đóng kín đối với phép chia, Cantor mở rộng hệ thống các số nguyên

để xây dựng tập số hữu tỉ:

Cho tập hợp X   a, b : a, b  , b  0 Trên X, ông xây dựng quan hệ

tương đương    a, b c, d  a.d  b.c Tập thương X/ được xem như là hệ thống số mới (số hữu tỉ), kí hiệu

Như vậy, trong sự phát triển của xã hội loài người, hệ thống số nảy sinh

do nhu cầu thực ti n trong quá trình lao động sản xuất (đếm, đo đạc, tính toán…) Ở mỗi giai đoạn phát triển, con người nhận thức về số với trình độ khác nhau Càng về sau, con người nhận thức với trình độ càng cao, hệ thống

số càng được mở rộng và hoàn thiện hơn Ở giai đoạn toán học hiện đại, các nhà toán học đã xây dựng thành công định nghĩa các tập hợp số với các cấu trúc chặt chẽ

1.2.3 Cấu trúc đại số của các tập hợp số

Qua các thời kì lịch sử, Toán học không ngừng phát triển Một đặc điểm quan trọng của toán học hiện đại là sự phân tích sâu sắc và kết hợp các kết quả đã đạt được dưới những quan điểm tổng quát, nhằm tạo nên một hệ thống cơ sở chặt chẽ cho toán học Điều đó dẫn đến yêu cầu phải là sáng tỏ từng chi tiết cấu trúc của toán học

Nhiều nhà toán học hiện đại đã xem các cấu trúc là những công cụ toán học, những đối tượng toán học Họ đã xây dựng thành công định nghĩa của các tập hợp số với cấu trúc chặt chẽ Dưới góc nhìn đại số, các tập hợp số lần lượt có cấu trúc như sau:

+  a : a   0 0 a a

ii) Tập hợp số nguyên :

Tập hợp số nguyên cùng với các phép cộng và phép nhân lập thành vành giao hoán có đơn vị, không có ƣớc của không Nói cách khác vành số nguyên là một miền nguyên, nghĩa là các phép toán trên có các tính chất sau:

iii) Tập số hữu tỉ , tập số thực và tập số phức :

Các tập hợp số hữu tỉ , tập số thực và tập số phức đều có cấu trúc là một trường Tức là các tập hợp này cùng với phép cộng và phép nhân thỏa mãn tất cả các tính chất như trên tập số nguyên , đồng thời còn thỏa mãn tính chất:

a X,a 0 : a X : a a 1

       , trong đó X có thể là , hoặc Tóm lại, theo quan điểm đại số ta có thể tóm tắt sự mở rộng các tập hợp

kiến thức: SH, Đại lượng và đo đại lượng, Yếu tố hình học và Giải toán có lời

văn được xây dựng theo nguyên tắc đồng tâm, tích hợp giữa các mạch kiến

thức và giữa các môn học Trong đó, SH là nội dung trọng tâm, làm nền tảng cho việc DH các mạch kiến thức khác

(1) Nội dung SH được sắp xếp mở rộng và phát triển theo các vòng số, nâng cao dần qua từng giai đoạn, kiến thức ở lớp trước là tiền đề giúp HS học những kiến thức ở lớp sau

Cách thể hiện nội dung SH trong SGK Toán TH được chia làm 2 giai đoạn:

- Giai đoạn học tập cơ bản (lớp 1, lớp 2 và lớp 3): HS được chuẩn bị những kiến thức, KN cơ bản nhất về đếm, đọc, viết, so sánh sắp thứ tự các số tự nhiên và bốn phép tính về số tự nhiên (trong phạm vi 100000)

- Giai đoạn học tập sâu (lớp 4 và lớp 5): HS được hệ thống hóa và bổ

sung kiến thức về số tự nhiên; phân số và bốn phép tính với phân số; số thập phân và bốn phép tính với số thập phân

(2) Nội dung SH trong SGK được xây dựng kết hợp giữa tính lịch sử và tính khoa học Tính lịch sử thể hiện ở chỗ HS được học các tập hợp số theo con đường phát triển tự nhiên của lịch sử toán học loài người, chứ không theo con đường mở rộng các tập hợp số theo cấu trúc đại số mà các nhà toán học hiện đại xây dựng Tính khoa học thể hiện ở chỗ những kiến thức về số và phép tính được trình bày dưới quan điểm của toán học hiện đại, đó là quan điểm của lí thuyết tập hợp và cấu trúc đại số

(3) SH làm nền tảng cho việc DH các mạch kiến thức khác, nhưng đồng thời các mạch kiến thức đó cũng làm cơ sở cho việc DH SH

(4) SH ở TH gắn bó chặt chẽ với thực ti n, với sự phát triển NL toán học của HSTH (NL tư duy và lập luận toán học, NL mô hình hóa toán học…)

1.2.5 Mục tiêu dạy học số học ở Tiểu học

Theo Chương trình giáo dục phổ thông cấp TH hiện hành [7], DH SH ở

Theo Chương trình giáo dục phổ thông mới [10], SH ở TH có mục tiêu nhằm giúp HS đạt các mục tiêu chủ yếu sau:

a) Góp phần hình thành và phát triển NL toán học với yêu cầu cần đạt: thực hiện được các thao tác tư duy ở mức độ đơn giản; nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề đơn giản; lựa chọn được các phép toán và công thức số học để trình bày, di n đạt (nói hoặc viết) được các nội dung, ý tưởng, cách thức giải quyết vấn đề; sử dụng được ngôn ngữ toán học kết hợp với ngôn ngữ thông thường, động tác hình thể để biểu đạt các nội dung toán học ở những tình huống đơn giản

b) Có những kiến thức và KN toán học cơ bản ban đầu, thiết yếu về số

và phép tính: Số tự nhiên, phân số, số thập phân và các phép tính trên những tập hợp số đó

c) Cùng với các mạch kiến thức khác (Hình học và Đo lường, Thống kê

và Xác suất) góp phần hình thành và phát triển cho HS những phẩm chất và

NL Toán học

1.3 Đặc điểm dạy và học toán ở Tiểu học

1.3.1 Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học

Đặc điểm nhận thức của HSTH đã được nhóm tác giả P.T.H.Mai và N.T.L.Anh trình bày trong tài liệu [74, tr 112 – 120] Qua đó, có thể tóm tắt nhận thức của HSTH có các đặc điểm sau:

- Tri giác: nét đặc trưng trong tri giác của HSTH là tính không chủ định

và xúc cảm Tri giác của HSTH còn mang tính đại thể, ít đi vào chi tiết Tri giác của HSTH phát triển trong quá trình học tập theo hướng ngày càng có mục đích và phương hướng rõ ràng

- Trí nhớ vẫn mang tính hình ảnh, cụ thể, trực tiếp, tính không chủ định

vẫn chiếm ưu thế HSTH có khả năng ghi nhớ tốt, đặc biệt là ghi nhớ máy móc Trong khi đó, tái hiện những gì đã được ghi nhớ là một việc làm không

d đối với HSTH Trí nhớ chủ định, trí nhớ có ý nghĩa, trí nhớ từ ngữ - logic được xuất hiện và phát triển ở HSTH nhờ ảnh hưởng của quá trình học tập

- Tư duy chuyển dần từ tính trực quan, cụ thể sang tính trừu tượng,

khái quát

- Tưởng tượng còn tản mạn, ít có tổ chức, hình ảnh của tưởng tượng

còn đơn giản, hay thay đổi, chưa bền vững Tưởng tượng của HSTH được hình thành và phát triển trong các hoạt động, đặc biệt là hoạt động học tập

- Ngôn ngữ phát triển mạnh cả về ngữ âm, từ vựng và ngữ pháp

Ngôn ngữ viết được hình thành và phát triển mạnh KN đọc của HS dần được hoàn thiện

- Chú ý không chủ định được phát triển mạnh và chiếm ưu thế, chú ý có

chủ định còn yếu Sự phân phối chú ý của HSTH di n ra một cách khó khăn

Sự chú của HSTH ý phụ thuộc vào nhịp độ học tập và phát triển cao hơn trong quá trình học tập

1.3.2 Đặc điểm học tập toán của học sinh tiểu học

Dựa trên đặc điểm nhận thức của HSTH, đặc điểm sự phát triển tư duy toán học của HSTH [21, tr 11], đặc điểm của nội dung toán học ở TH và những vấn đề lí luận về PPDH môn Toán… Chúng tôi tóm tắt việc học tập toán của HSTH có một số đặc điểm sau:

- Tư duy đang trong giai đoạn “tư duy cụ thể” chưa hoàn chỉnh, hành

động trên đồ vật, sự kiện bên ngoài còn là chỗ dựa hay điểm xuất phát cho tư duy Do đó, HSTH học toán chủ yếu qua hành động trên đồ vật, sự việc cụ thể hoặc hình ảnh trực quan

- HSTH có khả năng nhận thức về cái bất biến và hình thành khái niệm bảo toàn, phân biệt được định tính với định lượng Đây là cơ sở ban đầu giúp

HS học khái niệm “số” ở TH Chẳng hạn, HS lớp 1 đã nhận thức được cái bất biến là sự tương ứng 1 – 1 không thay đổi khi thay đổi cách sắp xếp các phần

tử, từ đó hình thành khái niệm bảo toàn “số lượng” của các tập hợp đó

- Nhận thức về không gian của HSTH tiến bộ dần theo thời gian qua quá trình học tập HS ở các lớp đầu bậc TH không d dàng nhận biết các hình khi chúng được sắp xếp khác đi (nằm, đứng hoặc nghiêng), HS ở các lớp cuối bậc TH có thể phối hợp cách nhìn một hình từ nhiều phía khác nhau Do đó, HSTH chỉ có thể học các hình hình học đơn giản thông qua tương tác với các

đồ vật cụ thể

- HSTH bước đầu có khả năng phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa – khái quát hóa và những hình thức đơn giản của suy luận, phán đoán Tuy nhiên, sự phát triển của các khả năng này không đồng đều Chẳng hạn, khi giải toán có lời văn, các em thường bị ảnh hưởng bởi các từ “thêm, bớt…” tách chúng ra khỏi điều kiện chung của bài toán để lựa chọn phép tính tương ứng nên d mắc sai lầm

- Các khái niệm toán học được hình thành qua trừu tượng hóa, khái quát hóa nhưng không thể chỉ dựa vào tri giác bởi các khái niệm toán học còn

là kết quả của thao tác tư duy đặc thù Do đó, bên cạnh việc học qua trừu tượng hóa, khái quát hóa HSTH chủ yếu học các khái niệm toán học qua sự

mô tả của SGK hay GV

- HSTH thường phán đoán theo cảm nhận riêng nên suy luận thường mang tính tuyệt đối Thực tế, các em khó chấp nhận các giả thiết có tính chất giả định Các em khó nhận thức về quan hệ kéo theo trong suy di n Chẳng hạn, thay vì hiểu “vì 2 3 6nên 6 : 23” thì các em lại coi 2 mệnh

đề này không có liên quan gì nhau Do đó, các em học các tính chất, quy tắc… qua thực hành kiểm nghiệm bằng một số ví dụ cụ thể, chứ không chứng minh chặt chẽ, logic

- Các kiến thức, KN của HSTH được hình thành chủ yếu bằng thực hành, luyện tập và thường xuyên được ôn tập, củng cố, phát triển và vận dụng trong đời sống hằng ngày

1.3.3 Đặc điểm dạy học toán ở Tiểu học

- Trong DH toán ở TH, GV cần nắm vững sự phát triển có tính quy luật của tư duy HS, đánh giá đúng khả năng hiện có và khả năng tiềm ẩn của HS

- Trong DH Toán ở TH cần hạn chế sử dụng thuật ngữ, kí hiệu toán học Các kiến thức toán học trừu tượng như tập hợp, ánh xạ, quan hệ… được

trình bày “ẩn tàng” thông qua các hình ảnh trực quan và di n đạt theo ngôn

ngữ của trẻ chứ không sử dụng thuật ngữ hay kí hiệu toán học

- Các khái niệm toán học được dạy bằng mô tả chứ không định nghĩa, các tính chất toán học không được chứng minh một cách chặt chẽ, logic mà chỉ giải thích và minh họa cho HS bằng những ví dụ hay suy luận có lí Do

đó, trong DH Toán ở TH, GV phải mô tả một cách đúng đắn, phải dùng tất cả những công cụ, phương tiện (kể cả phương tiện hình thể) để có thể mô tả một cách tốt nhất

- Kiến thức, KN của HSTH được hình thành chủ yếu bằng thực hành, luyện tập và vận dụng trong đời sống hằng ngày Cho nên trong quá trình DH Toán ở TH, GV cần xây dựng mối liên hệ chặt chẽ giữa nội dung DH với thực

ti n cuộc sống của HS, tạo điều kiện cho HS vận dụng các kiến thức, KN đó trong đời sống hằng ngày

1.3.4 Năng lực toán học của học sinh tiểu học

Theo Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (Ban hành kèm theo