Góp phần phát triển năng lực dạy học số học cho sinh viên ngành giáo dục tiểu học ở trường đại học

Tổ chức cho sinh viên thực hiện các dự án học tập nhỏ về liên hệ giữa tri thức của Toán cao cấp với nội dung số học ở Tiểu học trong dạy học học phần Toán cao cấp.... tập trung vào vai t

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học:

1 TS Lê Tuấn Anh

2 PGS TS Trần Việt Cường

HÀ NỘI, 2019

Tác giả xin cam đoan luận án “Góp phần phát triển năng lực dạy học số

học cho sinh viên ngành Giáo dục tiểu học ở trường đại học” là công trình

nghiên cứu của riêng tác giả Các kết quả nghiên cứu và các số liệu nêu trongluận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ côngtrình nào khác trước đó

Hà Nội, ngày tháng năm 2019

Tác giả luận án

Nguyễn Thị Trúc Minh

MỞ ĐẦU 1

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 3

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 3

4 KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 4

5 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC 4

6 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 4

7 NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN 5

8 NHỮNG VẤN ĐỀ ĐƯA RA BẢO VỆ 5

9 CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN 6

Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN VỀ VIỆC PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC DẠY HỌC SỐ HỌC CHO SINH VIÊN NGÀNH GIÁO DỤC TIỂU HỌC Ở CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC 7

1.1 Tổng quan về vấn đề nghiên cứu 7

1.1.1 Những nghiên cứu ở nước ngoài 7

1.1.2 Những nghiên cứu trong nước 13

1.2 Nội dung số học ở Tiểu học 18

1.2.1 Khái quát về lịch sử hình thành và phát triển của số tự nhiên 18

1.2.2 Khái quát về lịch sử hình thành và phát triển của số hữu tỉ 20

1.2.3 Cấu trúc đại số của các tập hợp số 22

1.2.4 Đặc điểm của nội dung số học trong chương trình môn Toán ở Tiểu học 24 1.2.5 Mục tiêu dạy học số học ở Tiểu học 25

1.3 Đặc điểm dạy và học toán ở Tiểu học 26

1.3.1 Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học 26

1.3.2 Đặc điểm học tập toán của học sinh tiểu học 27

1.3.3 Đặc điểm dạy học toán ở Tiểu học 29

1.3.4 Năng lực toán học của học sinh tiểu học 29

1.4.2 Năng lực dạy học số học của sinh viên ngành Giáo dục tiểu học 39

1.4.3 Tiêu chí đánh giá năng lực dạy học số học của sinh viên ngành Giáo dục tiểu học 54

1.5 Thực trạng năng lực dạy học số học của sinh viên ngành Giáo dục tiểu học ở các trường đại học hiện nay 58

1.5.1 Mục đích khảo sát 58

1.5.2 Đối tượng và thời gian khảo sát 58

1.5.3 Nội dung khảo sát 58

1.5.4 Kết quả khảo sát 58

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 66

Chương 2: NHỮNG BIỆN PHÁP SƯ PHẠM NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC DẠY HỌC SỐ HỌC CHO SINH VIÊN NGÀNH GIÁO DỤC TIỂU HỌC Ở CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC 68

2.1 Những định hướng xây dựng các biện pháp phát triển năng lực dạy học số học cho sinh viên ngành Giáo dục tiểu học 68

2.2 Những biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực dạy học số học cho sinh viên ngành Giáo dục tiểu học 69

2.2.1 Nhóm biện pháp: Phát triển năng lực hiểu biết về những vấn đề liên quan tới nội dung số học ở Tiểu học 69

2.2.1.1 Căn cứ đề xuất nhóm biện pháp 69

2.2.1.2 Mục đích của nhóm biện pháp 71

2.2.1.3 Biện pháp 1 Dạy học học phần Toán cao cấp theo hướng có liên hệ với nội dung số học trong sách giáo khoa môn Toán tiểu học 71

2.2.1.4 Biện pháp 2 Tổ chức dạy học học phần Toán cao cấp bằng hình thức seminar chú trọng liên hệ với nội dung số học ở Tiểu học 75

2.2.1.5 Biện pháp 3 Tổ chức cho sinh viên thực hiện các dự án học tập nhỏ về liên hệ giữa tri thức của Toán cao cấp với nội dung số học ở Tiểu học trong dạy học học phần Toán cao cấp 77

2.2.1.6 Kết luận nhóm biện pháp 82

2.2.2.2 Mục đích của nhóm biện pháp 84

2.2.2.3 Biện pháp 4: Rèn luyện kĩ năng dạy học tính toán cho sinh viên thông qua dạy học học phần Phương pháp dạy học Toán 85

2.2.2.4 Biện pháp 5 Tạo tiềm năng dạy học giải toán số học cho sinh viên thông qua học phần Giải toán tiểu học 88

2.2.2.5 Biện pháp 6 Tổ chức cho sinh viên thực hành xây dựng tình huống, câu hỏi, bài tập trong dạy học số học ở Tiểu học thông qua rèn luyện nghiệp vụ sư phạm 93

2.2.2.6 Kết luận nhóm biện pháp 101

2.2.3 Nhóm biện pháp: Tập dượt cho sinh viên vận dụng những tri thức phương pháp dạy học 102

2.2.3.1 Căn cứ đề xuất nhóm biện pháp 102

2.2.3.2 Mục đích của nhóm biện pháp 103

2.2.3.3 Biện pháp 7 Rèn luyện cho sinh viên thiết kế và tổ chức những hoạt động dạy học nội dung số học thông qua các học phần về Phương pháp dạy học Toán 103

2.2.3.4 Biện pháp 8 Rèn luyện cho sinh viên kỹ năng vận dụng phối hợp các phương pháp dạy học 111

2.2.3.5 Biện pháp 9 Tổ chức cho sinh viên trao đổi, seminar về các tình huống đánh giá thường xuyên trong dạy học số học ở tiểu học thông qua học phần Phương pháp dạy học Toán 118

2.3.3.5 Kết luận của nhóm biện pháp 120

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 121

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 123

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 123

3.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm 123

3.3 Công cụ đánh giá kết quả thực nghiệm 124

3.4.2 Kết quả thực nghiệm 127

3.4.3 Phân tích kết quả thực nghiệm 127

3.5 Thực nghiệm đợt 2 129

3.5.1 Tổ chức thực nghiệm 129

3.5.2 Kết quả thực nghiệm 130

3.5.3 Phân tích kết quả thực nghiệm 131

3.6 Thực nghiệm đợt 3 134

3.6.1 Tổ chức thực nghiệm 134

3.6.2 Kết quả thực nghiệm 135

3.6.3 Phân tích kết quả thực nghiệm 137

3.7 Nghiên cứu trường hợp 139

3.7.1 Đánh giá kết quả sau thực nghiệm đợt 1 140

3.7.2 Đánh giá kết quả sau thực nghiệm đợt 2 141

KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 143

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 145

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ 148

TÀI LIỆU THAM KHẢO 149 PHỤ LỤC

Chữ viết tắt Viết đầy đủ

Giáo viên tiểu họcHọc sinh

Học sinh tiểu học

Kĩ năng

Kĩ năng dạy họcNăng lực

Năng lực dạy họcNăng lực dạy học số họcNăng lực sư phạm

Phương pháp dạy họcRèn luyện nghiệp vụRèn luyện nghiệp vụ sư phạmSách giáo khoa

Sinh viên

Số họcTiểu học

Bảng 1.1 Kết quả khảo sát việc phát triển NLDH môn Toán cho SV ngành GDTH

59

Bảng 3.1 Bảng thống kê kết quả học tập năm nhất của lớp thực nghiệm và

lớp đối chứng 125

Bảng 3.2 Kết quả điểm số của bài kiểm tra số 1 127

Bảng 3.3 Bảng phân tích kết quả bài kiểm tra số 1 127

Bảng 3.4 Kết quả điểm thi học phần PPDH Toán TH B 130

Bảng 3.5 Kết quả điểm thi học phần RLNVSPTX 2 130

Bảng 3.6 Bảng phân tích kết quả điểm thi học phần PPDH Toán TH B 131

Bảng 3.7 Bảng phân tích kết quả điểm thi RLNVSP thường xuyên 2 132

Bảng 3.8 Kết quả của bài kiểm tra số 2 135

Bảng 3.9 Kết quả điểm số của bài kiểm tra số 3 136

Bảng 3.10 Ý kiến SV về kết quả thực nghiệm nội dung thứ nhất 136

Bảng 3.11 Bảng phân tích kết quả bài kiểm tra số 2 137

Bảng 3.12 Bảng phân tích kết quả bài kiểm tra số 3 138

Bảng 3.13 Các SV được chọn nghiên cứu trường hợp 140

Bảng 3.14 Kết quả học tập của các SV nghiên cứu trường hợp 142

Hình 1.1 Mô hình Michigan 9

Hình 1.2 Mô hình kiến thức DH toán 10

Hình 1.3 Mô hình NLDH của GV toán 11

Hình 3.1 Hình ảnh minh họa cho quá trình thực nghiệm đợt 2 130

Hình 3.2 Hình ảnh minh họa cho quá trình thực nghiệm đợt 3 135

Biểu đồ 1.1 Kết quả đánh giá NL hiểu tâm sinh lí và tƣ duy toán học của

Biểu đồ 1.6 Kết quả đánh giá NL đánh giá quá trình và sử dụng kết quả đánh

giá vào DH nội dung SH 64

ra nhiều thử thách cho các trường đại học đối với việc cải tiến nội dung, phươngpháp dạy học (PPDH) trong chiến lược đào tạo nguồn nhân lực đáp ứng nhu cầu

xã hội Trong đó, cải tiến nội dung và phương pháp rèn luyện tay nghề cho sinhviên (SV) sư phạm nhằm đào tạo ra một đội ngũ GV có năng lực dạy học(NLDH) là nhiệm vụ trọng tâm và cấp thiết

Giáo dục tiểu học (GDTH) là bậc học nền tảng, hình thành những cơ sởban đầu về NL và nhân cách con người GDTH đạt chất lượng cao là tiền đềquan trọng cho sự phát triển NL và nhân cách của học sinh (HS) trong nhữnggiai đoạn tiếp theo ở trường Trung học cơ sở và Trung học phổ thông để đápứng yêu cầu của xã hội ngày nay SV ngành GDTH được đào tạo để trở thànhngười GV dạy học (DH) ở bậc Tiểu học (TH), đảm đương vai trò giáo dục

định hướng cho “sự nghiệp trồng người”, góp phần hình thành và phát triển

nhân cách cũng như NL của HS giai đoạn đầu đời (từ 6 tuổi đến 10 tuổi) Vìvậy, việc đào tạo để họ trở thành người GV có NLDH là một nhiệm vụ quantrọng

1.2 Với yêu cầu đổi mới giáo dục phổ thông của nước ta hiện nay thì GVnói chung, giáo viên tiểu học (GVTH) nói riêng đang gặp khó khăn, thử tháchtrước sự chuyển biến mục tiêu giáo dục, PPDH đang chuyển từ kiểu dạy

tập trung vào vai trò của GV và hoạt động dạy sang kiểu dạy tập trung vào vaitrò của HS và hoạt động học.

Đội ngũ GVTH mới ra trường chưa đáp ứng được các yêu cầu về DH: lựa chọn phương pháp, hình thức DH chưa phù hợp với nội dung bài dạy và trình độ HS; nhiều GV chưa có kĩ năng (KN) soạn kế hoạch bài học, chưa xác định chính xác mục tiêu của bài dạy; khả năng quản lý, điều hành lớp học không hiệu quả… NLDH môn Toán còn nhiều hạn chế, một số GV chưa nắm vững kiến thức cơ bản của môn Toán ở TH, thậm chí có một số GV không thành thạo trong thực hiện các phép tính phức tạp và giải các bài toán điển hình ở lớp 4 và lớp 5.

1.3 Trong các môn học ở TH, môn Toán có vị trí rất quan trọng, nó chiếmphần lớn thời gian trong chương trình DH ở TH Các kiến thức, kĩ năng của mônToán ở TH có nhiều ứng dụng trong đời sống, rất cần thiết cho người lao động

và cho việc học các môn học khác ở TH và ở Trung học Môn Toán giúp HSnhận biết những mối quan hệ về số lượng và hình dạng không gian của thế giớithực, nhờ đó mà HS có phương pháp nhận thức một số mặt của thế giới xungquanh và biết cách hoạt động có hiệu quả trong đời sống Nó có khả năng giáodục nhiều mặt: phát triển tư duy logic, rèn luyện phương pháp suy luận, phươngpháp suy nghĩ, phương pháp giải quyết có vấn đề; góp phần vào việc hình thành

và phát triển trí thông minh, tư duy độc lập, linh hoạt sáng tạo; giáo dục ý chí vànhững phẩm chất cần thiết, quan trọng của người lao động

Trong chương trình môn Toán ở TH, mạch kiến thức số học (SH) có vaitrò chủ đạo, làm nền tảng cho việc DH các mạch kiến thức còn lại Nội dungmạch kiến thức SH bao gồm: số và các phép tính, một số yếu tố đại số, là nộidung trọng tâm của toàn bộ quá trình DH Toán ở bậc TH SH làm nền tảng choviệc DH đại lượng và phép đo đại lượng, cho việc tính độ lớn các đại lượnghình học (chu vi, diện tích, thể tích) và cho hoạt động thực hành giải quyết cácvấn đề đơn giản trong cuộc sống (thông qua giải toán có lời văn) Mạch kiến

thức SH và các mạch kiến thức khác (giải toán có lời văn, yếu tố thống kê,yếu tố hình học, đại lượng và đo đại lượng) được tích hợp, hỗ trợ lẫn nhautạo thành môn học thống nhất trong chương trình GDTH.

1.4 Qua tìm hiểu tài liệu, chúng tôi nhận thấy đã có một số công trìnhtập trung nghiên cứu về bồi dưỡng và phát triển NL nghề nghiệp cho GVTH

[2], [66], [97], [117]… Tuy nhiên, các công trình này chỉ tập trung nghiên cứubồi dưỡng và phát triển NLDH cho GVTH chứ chưa tập trung phát triển NLnày cho SV ngành GDTH trong quá trình đào tạo Ngoài ra, cũng đã có nhiềucông trình nghiên cứu về việc rèn luyện KN nghề và phát triển NLDH Toáncho SV ở các trường Sư phạm [23], [44], [105]… Hầu hết các công trình nàylại tập trung nghiên cứu phát triển NLDH cho SV ngành sư phạm Toán ở bậcTrung học cơ sở và Trung học phổ thông

Cho đến nay, theo những tài liệu mà chúng tôi được biết thì chưa cócông trình nào nghiên cứu về vấn đề phát triển năng lực dạy học số học(NLDHSH) cho SV ngành GDTH Do đó, những kết quả nghiên cứu đã cóvẫn chưa đủ để đáp ứng nhu cầu của xã hội, sự biến động về nội dung,chương trình giáo dục

Xuất phát từ những lý do trên, chúng tôi lựa chọn vấn đề: “Góp phần

phát triển NLDHSH cho SV ngành GDTH ở trường đại học” làm đề tài

nghiên cứu

5888 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Xác định được những NL thành tố trong NLDHSH cần phát triển cho

SV ngành GDTH và đề xuất được những biện pháp sư phạm nhằm phát triểnNLDHSH cho SV ngành GDTH ở các trường đại học, góp phần nâng caochất lượng đào tạo GVTH

23NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

5888 Nghiên cứu lý luận về những vấn đề có liên quan đến phát triểnNLDH môn Toán và NLDHSH cho SV ngành GDTH ở các trường đại học

23 Nghiên cứu thực trạng việc phát triển NLDH môn Toán và NLDHSH cho SV ngành GDTH ở các trường đại học.

24 Đề xuất những biện pháp phát triển NLDHSH cho SV ngành GDTH trong quá trình đào tạo chính quy tại các trường đại học

25 Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quảcủa những biện pháp đề xuất

4 KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

26 Khách thể nghiên cứu: Lý luận và thực ti n về NLDHSH, quátrình rèn luyện các KNDH cho SV, quá trình đào tạo SV ngành GDTH ở cáctrường đại học

27 Đối tượng nghiên cứu: Quá trình phát triển NLDHSH cho SV ngành GDTH ở các trường đại học

5 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu xác định được r những NL thành tố trong NLDHSH cần phát triểncho SV ngành GDTH và đề xuất, thực hiện các biện pháp phát triển những

NL thành tố đó thì sẽ phát triển được NLDHSH cho SV ngành GDTH

24 trường đại học

23PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Để thực hiện được các nhiệm vụ nghiên cứu trên của đề tài, chúng tôi

sử dụng phối hợp các phương pháp nghiên cứu sau:

5888 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Phân tích, tổng hợp, hệ thống

hóa… các tài liệu lý luận về dạy nghề, NLDH và những vấn đề liên quan (Lý

luận DH môn Toán, Tâm lý học, Giáo dục học ) nhằm làm sáng tỏ cơ sở lýluận

5889 Phương pháp quan sát, điều tra: nhằm tìm hiểu thực trạng phát

triển NLDH môn Toán và NLDHSH cho SV ngành GDTH ở các trường đại

học

Љ2304 Phương pháp thống kê toán học: xử lí các số liệu điều tra thực

trạng và các số liệu thu được qua thực nghiệm sư phạm.

Љ2305 Phương pháp nghiên cứu trường hợp: Chọn một nhóm SV để theo

d i sự phát triển NLDHSH thông qua việc sử sụng các biện pháp sư phạm đã

đề xuất trong quá trình DH ngành GDTH ở trường đại học

7 NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN

và NLDHSH của SV ngành GDTH Chúng tôi xây dựng cấu trúc NLDHSHcủa SV gồm sáu thành tố liên kết, đan xen và phụ thuộc lẫn nhau Mỗi NLthành tố được mô tả biểu hiện bằng những tiêu chí và được đánh giá theo bốnmức độ

đại học trên toàn quốc Trên cơ sở lí luận và kết quả khảo sát, chúng tôi đã

xây dựng được 03 nhóm biện pháp gồm 09 biện pháp cụ thể nhằm phát triển

NLDHSH cho SV ngành GDTH Tính khả thi và tính hiệu quả của một số

biện pháp đã được kiểm chứng qua quá trình thực nghiệm sư phạm

Đề xuất được những biện pháp sư phạm có tính khả thi và hiệu quả

nhằm phát triển NLDHSH cho SV ngành GDTH ở các trường đại học

0 CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận án gồm 3 chương:

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực ti n về việc phát triển năng lực dạy học Số học cho sinh viên ngành Giáo dục tiểu học ở các trường đại học

Chương 2 Những biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực dạy học Số học cho sinh viên ngành Giáo dục tiểu học ở các trường đại học

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN VỀ VIỆC PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC DẠY HỌC SỐ HỌC CHO SINH VIÊN NGÀNH GIÁO DỤC TIỂU

HỌC Ở CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC 1.1 Tổng quan về vấn đề nghiên cứu

1.1.1 Những nghiên cứu ở nước ngoài

Các vấn đề về KNDH và NLDH đã được các nhà nghiên cứu giáo dụctrên thế giới quan tâm, nghiên cứu từ rất lâu

Bắt đầu từ những năm 20 của thế kỉ trước, ở Liên Xô và các nướcĐông Âu đã có nhiều công trình nghiên cứu về KNDH cho SV sư phạm, đếnnhững năm 1960 vấn đề này đã được nghiên cứu một cách sâu sắc và trởthành một hệ thống lí luận vững chắc với nhiều công trình của các tác giảnhư: N.V.Kuzmina (1961) [20], O.A.Abdoullina (1963) [3], F.N.Gonobolin(1969) [32]… Các công trình này đã xác định năng lực sư phạm (NLSP) màngười GV cần có, nêu rõ từng loại KN sư phạm của người GV, nêu lênnhững NLSP mà SV cần rèn luyện và cách rèn luyện chúng để trở thành mộtngười GV Đến thập niên 70, những nhà nghiên cứu giáo dục ở Liên Xô vàĐông Âu tiếp tục đi sâu nghiên cứu về tổ chức lao động khoa học và tối ưu

hóa quá trình DH Sự thành lập “Phòng nghiên cứu đào tạo GV ở trường sư

phạm” đã thúc đẩy nhiều công trình mới xuất hiện, nổi bật là những công

trình của các tác giả X.I.Kisegov [62], O.A.Abdoullina [5]…

0 phương Tây và các nước khác như Canada, Úc… các nhà nghiêncứu giáo dục đặc biệt quan tâm tới việc tổ chức huấn luyện các KN thực hànhgiảng dạy cho SV Họ dựa trên cơ sở những thành tựu của tâm lí học hành vi

và tâm lí học chức năng để tổ chức rèn luyện cho SV các KN này với thờilượng giờ thực hành được phân bổ nhiều hơn so với lí thuyết Điển hình với

luận điểm của J Watson (1926), A Pojoux (1926), F Skinner (1963), công

trình The process of learning của J.B Biggs và R Telfer (1987) [130],

Beginning teaching của K Barry và L King (1993) [121]

0 Mĩ, Từ đầu thập niên 30 của thế kỉ XX, các nhà quản lí và nghiên cứugiáo dục Mĩ bắt đầu nghiên cứu về chủ đề những NL nên có của người GV đểthành công trong DH và giáo dục [132, tr.127] Vào thập niên 70, trường đạihọc quốc gia Ohio đã có những nghiên cứu trong việc xây dựng các mô đunđào tạo GV kĩ thuật – nghề nghiệp, kết quả đưa ra được 600 KN đào tạo GV

kĩ thuật – nghề nghiệp Tại trường đại học Stanford, dựa trên thực ti n nềngiáo dục cơ bản của Mĩ, nhóm nghiên cứu Phiđenta Kapkar đã nêu lên năm

nhóm kĩ thuật của GV khi lên lớp trong báo cáo “Khoa học và nghệ thuật đào

tạo các thầy giáo” [116]

Năm 1995, O’Day cùng các cộng sự [138, tr 2] đã chỉ ra rằng NLSP sẽ

phát triển thông qua quá trình DH trên bốn lĩnh vực là “kiến thức, KN, khuynh

hướng và quan điểm cá nhân” Trong khi đó, McDiarmid và

Clevenger-Bright tập trung vào ba thành tố đặc trưng là “kiến thức, KN và khuynh

hướng” [136, tr 169] Cấu trúc NLSP của O’Day cùng các cộng sự so với củacác nhà nghiên cứu khác xét về hình thức có phần khác nhau, nhưng xét về

bản chất thì như nhau Hai thành tố là “khuynh hướng” và “quan điểm cá

nhân” trong cấu trúc NLSP của O’Day và các cộng sự được hiểu một cách

tổng quát bao gồm “niềm tin, thái độ, giá trị và sự tận tâm của GV”.

0 Một số quan niệm về NLDH Toán của GV:

Shulman [143, tr 4] đã đưa ra nền tảng những kiến thức GV cần có để

thành công trong việc giảng dạy, gồm: “kiến thức nội dung, kiến thức phương

pháp chung, kiến thức chương trình, kiến thức PPDH môn học, kiến thức về người học, kiến thức về bối cảnh giáo dục, kiến thức về mục đích và giá trị của

giáo dục” Trong đó, “kiến thức PPDH môn học” là kiến thức thể hiện hiểu biết

của GV về cách thức DH các chủ đề trong môn học, kiến thức này để phân biệthiểu biết của các chuyên gia cơ bản với các nhà sư phạm Điều đó có nghĩa là,

mô hình kiến thức của Shulman không dành riêng cho giảng dạy một môn học

Petrou và Goulding [139, tr 12] cho rằng dù ý tưởng của Shulman làđột phá và có ảnh hưởng lớn đến các nghiên cứu, tuy nhiên sự phân loại cáclĩnh vực kiến thức do Shulman đưa ra dường như không phù hợp để áp dụngvào các nghiên cứu về kiến thức của GV và đào tạo GV

Ball [122, tr 395] cho rằng Shulman không đưa ra quan niệm chính

xác về thuật ngữ “kiến thức PPDH môn học”, không có sự khác biệt rõ ràng giữa các khái niệm “kiến thức nội dung” và “kiến thức PPDH môn học” Với

đặc thù của môn Toán, Ball cùng các cộng sự đã đưa ra mô hình kiến thức

DH toán (mô hình Michigan, hình 1.1), để chỉ kiến thức mà GV toán cần biết

để DH toán Mô hình Michigan chú trọng đến các lĩnh vực kiến thức dànhriêng cho việc DH toán và được minh họa bằng hình vẽ sau:

Kiến thức về chủ đề môn Toán Kiến thức PPDH môn Toán

toán phổ biến Kiến thức toán và người học Kiến thức về

toán và chương Kiến thức mạch đặc thù Kiến thức về

trình chương trình toán

toán và việc DH

Hình 1.1 Mô hình Michigan [122, tr 403]

Trong mô hình trên, các lĩnh vực “kiến thức về toán và người học” và

“kiến thức về toán và việc dạy học” dành để mô tả riêng biệt cho việc DH toán.

0 trường đại học Cambridge, các nhà nghiên cứu đã đưa ra mô hình

“Bốn lĩnh vực tri thức” hay còn gọi là “mô hình Cambridge” [147, tr 200

-202] Mô hình này đã được áp dụng để hỗ trợ phát triển giảng dạy cho giáo sinh

ở Anh và các nước khác, gồm có bốn lĩnh vực: Nền tảng, sự chuyển hóa, sự kết

nối và ngẫu nhiên Mô hình này đưa ra một sự phân loại r ràng về thể hiện của

GV với các tình huống DH trong các lớp học toán [139, tr 19], tuy nhiên môhình chưa chú ý đến những thay đổi trong chương trình, chỉ tập trung vào việcđào tạo giáo sinh chứ ít liên quan đến các GV đứng lớp [144, tr 486] Stephens

và Zhang [144, tr 483] nhận thấy rằng các nhà nghiên về giáo dục toán không

hay sử dụng thuật ngữ “năng lực sư phạm” bằng các thuật ngữ “kiến thức

PPDH môn học” (Shulman) và “kiến thức dạy học toán” (Ball).

Tích hợp bối cảnh vào mô hình Cambridge, Petrou và Goulding đã đưa

ra “Mô hình kiến thức DH toán” (hình 1.2) Họ đặt “kiến thức chương trình”

vào một vị trí nổi bật hơn so với mô hình của Shulman và mô hình Michigan,

với ngụ ý rằng “kiến thức chương trình” là trọng tâm trong việc tìm hiểu

những gì GV cần phải biết để dạy toán hiệu quả

Kiến thức chương trình (nền tảng, chuyển hóa) Bối cảnh

Kiến thức chủ đề môn học Kiến thức phương pháp dạy học (kiến thức cơ bản, niềm tin) môn học (chuyển hóa, kết nối,

Hình 1.2 Mô hình kiến thức DH toán [139, tr 21]

Mô hình của Shulman, mô hình Michigan, mô hình Cambridge, mô hìnhcủa Petrou và Goulding có vai trò quan trọng trong việc định hướng các nghiêncứu về đào tạo và phát triển NLDH cho GV toán Tuy nhiên, Stephens và Zhangcho rằng các mô hình này vẫn có một số hạn chế nhất định [144, tr 488]:

0 Các mô hình Michigan, Cambridge và mô hình của Shulman chưanhấn mạnh đến sự định hướng của các quy định về chương trình toán đối vớiviệc DH;

0 Trong khi việc tập trung vào các nội dung toán cụ thể có vai trò quantrọng đối với việc đổi mới chương trình thì các mô hình Michigan, Cambridge,

mô hình của Petrou và Goulding đều xem xét miền kiến thức DH toán một cách chung chung;

0 Không d để định hình các nghiên cứu thực nghiệm trong cả bốn môhình trên

Stephens và Zhang [144, tr 489] đã đề xuất “Mô hình NLDH của GV

toán” (Hình 1.3) nhằm khám phá mối liên hệ giữa những gì GV toán cần biết

và những cải cách của chương trình Họ dùng thuật ngữ “NLDH” để thay thế thuật ngữ “kiến thức DH toán” vì muốn nhấn mạnh đến cách GV sử dụng NL

đó khi thiết kế việc DH toán

Thông hiểu mục tiêu Hiểu tư duy toán

chính thức

Hình 1.3 Mô hình NLDH của GV toán [144, tr 489]

Nghiên cứu của Stephens và Zhang hướng đến khả năng DH toán của

GV, tuy nhiên chỉ dừng lại ở việc đánh giá NLDH của GV toán thông qua cácsản phẩm thiết kế trên giấy về việc DH các chủ đề toán cụ thể, chưa xem xétđến khả năng DH của GV toán trên các lớp học thật sự Trên thực tế, việc

thiết kế kế hoạch bài học và việc DH thật sự bao giờ cũng có sự khác nhaunhất định, đòi hỏi đến khả năng giao tiếp, phản ánh và đánh giá của GV.

Khi bàn đến chuẩn nghề nghiệp của GV toán, năm 2007, Ủy ban Quốc giaGiáo viên dạy môn Toán của Hoa Kỳ (National Council of Teachers ofMathematics được viết tắt là NCTM) [148, tr B-2] đã đưa ra 7 tiêu chuẩn cụ thể

của GV toán: “kiến thức toán và kiến thức phương pháp nói chung; kiến thức về

việc học toán của HS; hiểu biết về việc thiết kế các nhiệm vụ học tập; xây dựng môi trường học tập; định hướng quá trình giao tiếp toán học; phản ánh về việc học của HS; phản ánh về các thực hành DH” Chuẩn nghề nghiệp GV toán của

NCTM là một trong những yếu tố cần xem xét khi đề xuất mô hình NLDH của

GV toán chú trọng đến khả năng thiết kế, thực hành và phản ánh

0 các nước Châu Á và Thái Bình Dương, vai trò và nhiệm vụ hình

thành KN sư phạm cũng đã được xác định ở hội thảo “Cách tân việc đào tạo

bồi dưỡng giáo viên của các nước châu Á và Thái Bình Dương” do APEID

thuộc UNESCO tổ chức tại Seoul, Hàn Quốc Các báo cáo của hội thảo đã xácđịnh tầm quan trọng của việc hình thành tri thức và hình thành các KN sư

phạm cho SV trong quá trình đào tạo Các nhà khoa học đã khẳng định: “Tri

thức nghề nghiệp là sơ sở của nghệ thuật sư phạm nhưng chỉ thể hiện trong

0 Trong quá trình đào tạo GV, để giúp SV đạt được những NLSP cần có

của người GV, các nhà nghiên cứu đều có chung quan điểm là lí thuyết phảigắn với thực hành Tuy nhiên, so với Liên Xô và các nước Đông Âu thì cácnhà nghiên cứu ở phương Tây và Mĩ quan tâm đến vấn đề thực hành, luyệntập nhiều hơn.

0 Các nhà nghiên cứu về Giáo dục toán cũng có mục tiêu chung lànghiên cứu những gì người GV toán cần có để thực hiện thành công côngviệc của mình Họ lần lượt đưa ra cấu trúc NLDH của người GV toán dướihình thức các mô hình kiến thức DH toán Mặc dù có phần khác nhau về hìnhthức, sự mô tả, nhưng nhìn chung các mô hình đều nêu lên những tri thức cơbản mà người GV toán cần có là: các tri thức Toán, kiến thức PPDH, tri thức

về HS và việc học Toán của HS

Kết quả nghiên cứu của các công trình này là cơ sở dữ liệu quan trọnggiúp chúng tôi định hướng để nghiên cứu và xây dựng cấu trúc NLDHSH cho

SV ngành GDTH

1.1.2 Những nghiên cứu trong nước

Trước năm 1975, nhằm cải thiện tình trạng thiếu GV nhiều hệ đào tạo

và bồi dưỡng GV ra đời, GVTH chủ yếu được đào tạo ở trình độ thấp, gồmnhiều hệ đào tạo hết sức đa dạng (9+3, 12+1…) Ở giai đoạn này, nhữngnghiên cứu cơ bản về rèn nghề GV chưa có, tay nghề của người GV chỉ được

đề cập trong các giáo trình Tâm lý học và Giáo dục học được viết dựa trêncác giáo trình của Liên Xô cũ

Kể từ sau 1975, trước những yêu cầu đổi mới nền giáo dục, vấn đềnâng cao chất lượng đào tạo GV bắt đầu được quan tâm nhiều hơn, nhiềucông trình nghiên cứu về vấn đề này bắt đầu xuất hiện Năm 1979, trường Đại

học sư phạm Hà Nội đã xây dựng đề cương nghiên cứu đề tài: “Cải cách

công tác nghiệp vụ sư phạm cho SV trường đại học sư phạm Hà Nội” Năm

1982, cục Đào tạo - Bồi dưỡng GV của Bộ Giáo dục đã ban hành tài liệu:

“RLNVSP thường xuyên cho SV các trường sư phạm” [19], tài liệu có tính

chất chỉ đạo cho hoạt động RLNVSP, nhằm đưa hoạt động này trở thành mộtthành tố quan trọng của nội dung và chương trình đào tạo của các trường sư

phạm Tiếp theo đó, năm 1987, đề tài cấp Bộ “Vấn đề RLNVSP thường xuyên

cho SV” của tác giả Nguy n Quang Uẩn [112], đã vạch ra một số phươnghướng có tính chất lí luận chung cho hoạt động RLNVSP cho SV nói chung

Bước vào thập kỷ 90, những xu hướng nghiên cứu về NLDH vàKNDH… đã trở thành vấn đề rất được quan tâm ở nước ta, cụ thể:

0 Các luận văn của các tác giả Lê Thị Nhật [78] và Nghiêm Thị Phiến(1985) [84] đã khởi đầu cho những nghiên cứu về NLDH của GV Các luậnvăn này đã bước đầu khái quát NLDH của người GV nói chung và người GVTâm lý - Giáo dục nói riêng

0Đề tài “Hệ đào tạo GV Phổ thông trung học theo hình thức tự học có

hướng dẫn, kết hợp với thực tập dài hạn tại trường phổ thông” (chỉ thị

34/CT–1987–Bộ giáo dục) do Nguy n Cảnh Toàn chủ trì đã biên soạn một số tài liệu hướng dẫn SV hệ đào tạo này được thực hành giảng dạy

0Đề tài cấp Nhà nước “Người thầy giáo theo yêu cầu của sự phát triển

giáo dục” (1987 – 1991) do trường Đại học Sư phạm Hà Nội 1 (nay là

trường Đại học Sư phạm Hà Nội) chủ trì, đã làm sáng tỏ một số vấn đề về

nhân cách người thầy giáo, về mục tiêu đào tạo cụ thể của một số loại hình

GV, về đặc điểm lao động sư phạm của người thầy giáo Đề tài đã góp phầnđáng kể trong việc cải tiến công tác đào tạo và bồi dưỡng GV

Ở các trường đại học, việc nghiên cứu vấn đề phát triển NLDH vàKNDH cho SV thể hiện qua các đề tài cấp Bộ của các tác giả Nguy n HữuDũng (1995) [27], Trịnh Thị Quý (2005) [85]… và các luận án của các tác

giả Nguy n Như An (1993) [1], Trần Anh Tuấn (1996) [108], Phan ThanhLong (2004) [69], Phan Quốc Lâm (2007) [68], Nguy n Thị Nhân (2015)

[77] Các đề tài và luận án này đã trình bày một cách tương đối hệ thống cácvấn đề lí luận liên quan, tìm hiểu thực trạng về vấn đề hình thành KN sưphạm và việc rèn luyện KNDH với đối tượng SV sư phạm, từ đó đề xuất vànghiệm thu những biện pháp và quy trình rèn luyện KNDH cho SV nhằm gópphần nâng cao chất lượng việc hình thành và phát triển KNDH phù hợp cho

SV sư phạm

Về chuyên ngành Lý luận và PPDH bộ môn Toán, có một số luận ánnghiên cứu về vấn đề phát triển một số KN và NLDH cho SV của các tác giảnhư: Nguy n Dương Hoàng (2008) [44], Phạm Văn Trạo (2009) [104], Nguy

n Chiến Thắng (2012) [91], Trần Việt Cường (2012) [23], Đỗ Thị Trinh(2013) [105], Nguy n Thị Thanh Vân (2015) [114], Nguy n Minh Giang(2017) [29]… Ở các luận án này, các tác giả đã tập trung nghiên cứu lí luận vàthực trạng về vấn đề phát triển KNDH, KN nghề nghiệp, NLSP và NLDHToán cho SV ngành sư phạm Toán bậc Trung học phổ thông nhằm đưa ra cácbiện pháp phát triển KNDH và NLDH cho SV hệ đào tạo này thông qua cáchthức tổ chức DH một học phần nào đó ở đại học, góp phần nâng cao chấtlượng đào tạo GV Toán bậc Trung học phổ thông

Liên quan đến những vấn đề về phát triển KNDH, NLDH môn Toáncho SV ngành GDTH, có các luận án như:

0 “Tăng cường mối liên hệ sư phạm giữa nội dung DH Lí thuyết tập hợp và logic, cấu trúc đại số với nội dung DH SH trong môn toán TH cho SV Khoa GDTH các trường đại học sư phạm” của Nguy n Thị Châu Giang

(2008) [31] Luận án đã đề xuất 2 giải pháp chủ yếu cho việc DH Lí thuyếttập hợp và logic, cấu trúc đại số trong trường đại học sư phạm nhằm tăngcường mối liên hệ sư phạm với việc DH SH ở TH

0 “Rèn luyện KNDH Toán cho SV ngành GDTH ở các trường Cao đẳng sư phạm” của Phạm Văn Cường (2009) [24] Luận án đã xây dựngChuẩn KNDH Toán cho SV ngành GDTH trình độ cao đẳng Từ đó, đề xuất 7nhóm biện pháp (trong đó có 24 biện pháp cụ thể) rèn luyện KNDH Toán cho

SV ngành GDTH ở các trường Cao đẳng sư phạm Tuy nhiên, luận án chưa

đề xuất được các biện pháp để đánh giá kết quả việc rèn luyện KNDH Toáncủa SV ngành GDTH ở các trường CĐSP, cũng chưa có sự nghiên cứu toàndiện và sâu sắc hơn về KNDH Toán và rèn luyện KNDH Toán nhằm gópphần phát triển NLDH môn Toán cho SV ngành GDTH

1“Hình thành cho SV đại học sư phạm ngành GDTH KN thiết kế và tổ chức các tình huống DH Toán ở TH theo hướng tăng cường hoạt động tìm tòi, phát hiện kiến thức của HS lớp 3, 4, 5” của Phạm Thị Thanh Tú (2013)

1 Tác giả đã đề xuất 3 biện pháp cơ bản giúp hình thành ở SV KN thiết

kế và tổ chức các tình huống DH theo hướng tăng cường hoạt động tìm tòi,phát hiện kiến thức ở HS lớp 3, 4, 5 cho SV ngành GDTH

0“Rèn luyện cho SV KN đánh giá quá trình trong DH môn Toán ở TH”

của Lê Thị Tuyết Trinh (2017) [106] Tác giả đã xác định 4 KN quan trọng đểthực hiện hoạt động đánh giá quá trình trong DH môn Toán ở TH và đề xuất

04 biện pháp rèn luyện KN đánh giá quá trình trong DH môn Toán ở TH cho

SV ngành GDTH

Ngoài ra, còn có nhiều luận án tập trung nghiên cứu nhằm bồi dưỡng

và phát triển NLDH cho GVTH của các tác giả như: Nguy n Văn Tấn (2011)

[97], Trương Thị Thu Yến (2012) [117], Hoàng Công Kiên (2013) [66], LêThị Lan Anh (2013) [2], Đỗ Hoàng Mai (2017) [73]… Các luận án nàynghiên cứu bồi dưỡng và rèn luyện cho GVTH cách thức, quy trình vận dụngmột PPDH mới vào DH ở TH nhằm nâng cao NLDH cho GVTH góp phầnnâng cao chất lượng DH ở TH

Nghiên cứu về nội dung SH ở TH có luận văn và luận án như:

0 Luận văn “Khái niệm số tự nhiên trong DH ở TH” của tác giả Dương

Hữu Tòng (2008) [102] Tác giả đã phân tích, tổng hợp một số nghiên cứukhoa học luận của số tự nhiên, đồng thời tác giả cũng nghiên cứu thể chế đàotạo GVTH để thấy được các cách tiếp cận số tự nhiên khác nhau trong giáotrình SH và các tiến trình hình thành số tự nhiên, nghĩa của số tự nhiên tronggiáo trình Phương pháp giảng dạy Toán

1Luận án “DH chủ đề phân số ở trường TH thông qua hoạt động giải các bài toán” của Dương Hữu Tòng (2014) [103] Luận án làm rõ những đặctrưng khoa học luận của khái niệm phân số và trình bày việc tổ chức DHthông qua hoạt động giải toán: kịch bản, vai trò của GV, vai trò của HS, tiêuchí thiết kế bài toán, tiến trình DH thông qua hoạt động giải bài toán…

2Luận án “DH bốn phép tính với số tự nhiên trong môn toán ở TH theo hướng phát triển NL” của tác giả Nguy n Thị Kiều Oanh (2016) [82] Tác giả

đã phân tích cấu trúc nội dung DH bốn phép tính với số tự nhiên trong cácchương trình Toán bậc TH ở Việt Nam qua các thời kì và của một số nướchiện nay; làm rõ quan niệm về NL tính toán với một số biểu hiện cơ bản của

NL tính toán của HSTH và đã đề xuất 3 nhóm biện pháp góp phần thực hiện

DH bốn phép tính với số tự nhiên theo hướng phát triển NL tính toán

Mặc dù việc nghiên cứu các vấn đề liên quan tới KNDH và NLDH ởnước ta di n ra muộn hơn so với một số nước trên thế giới, nhưng các kết quảnghiên cứu ở trong nước cũng đã phản ánh được đa dạng vấn đề phát triểnNLDH cho GV và SV sư phạm Các công trình nghiên cứu ở trong nước đãxác định cấu trúc NLDH của người GV và cấu trúc NLDH của SV, đề xuấtđược nhiều giải pháp nhằm phát triển NLDH cho GV và SV phù hợp với môitrường giáo dục ở Việt Nam Những kết quả này đã góp phần quan trọngtrong việc cải tiến công tác đào tạo và bồi dưỡng GV ở nước ta

Tóm lại, vấn đề phát triển NLDH cho SV ngành sư phạm là một trongnhững vấn đề cơ bản trong việc đào tạo GV ở mỗi quốc gia Qua tìm hiểu tìnhhình nghiên cứu về phát triển NLDH cho SV từ các tác giả trong và ngoàinước, chúng tôi nhận thấy:

0 Các công trình đã xác định cấu trúc NL, những KN cơ bản cần có củangười GV, mối quan hệ giữa NL chuyên môn và NL nghiệp vụ, nêu lênnhững NLDH mà SV cần được phát triển để trở thành một người GV

- Vấn đề tổ chức và nội dung của công tác thực hành – thực tập sưphạm nói chung, công tác rèn luyện KN giảng dạy cho SV sư phạm nói riêngluôn được đổi mới nhằm nâng cao NLSP của người GV để đáp ứng nhu cầuphát triển của xã hội

0 NLDH là một thành tố quan trọng của NLSP Trong khi NLSP đượcnghiên cứu, thảo luận khá cơ bản, chi tiết, thì một thành phần quan trọng của nó

là NLDH của người GV lại chưa được nghiên cứu một cách chi tiết và sâu sắc

1Ở nước ta, nhằm hội nhập với nền giáo dục của khu vực và trên thếgiới, việc nghiên cứu về loại hình đào tạo GV theo hướng phát triển NLDHcũng đang từng bước được thực hiện Tuy nhiên, số lượng các công trìnhnghiên cứu về phát triển NLDH cho SV ngành GDTH chưa nhiều Vì vậy,chúng tôi tập trung nghiên cứu theo hướng: Tìm hiểu, nghiên cứu những vấn

đề có liên quan đến NL, NLDH, NLDH môn Toán, NLDHSH, quá trình pháttriển NLDH môn Toán và NLDHSH cho SV ngành GDTH, từ đó đề xuất một

số biện pháp và cách thức thực hiện các biện pháp phát triển NLDHSH cho

SV ngành GDTH ở các trường đại học

1.2 Nội dung số học ở Tiểu học

1.2.1 Khái quát về lịch sử hình thành và phát triển của số tự nhiên

Trong lịch sử phát triển toán học của nhân loại, số tự nhiên được xem

là một thành tựu lâu đời nhất Khái niệm số tự nhiên trải qua một quá trìnhhoàn thiện lâu dài, từ những vật cụ thể chuyển qua con số và dần dần hìnhthành dãy số tự nhiên vô hạn Lịch sử hình thành và phát triển của số tự nhiên

có thể chia làm 3 giai đoạn: từ thời nguyên thủy cho đến thời Cổ đại (xã hộinguyên thủy, thành tựu của toán học Ai Cập cổ đại, Babylon cổ đại và Hy lạp

cổ đại), từ thời Trung cổ đến ba phần tư đầu của thế kỉ XIX và cuối thế kỉ thứXIX

0 Từ thời nguyên thủy cho đến thời Cổ đại

0 Trong xã hội nguyên thủy: Trước khi ngôn ngữ ra đời, người nguyênthủy đã có sự phân biệt giữa ít và nhiều Dần dần người nguyên thủy biết đếmbằng cách so sánh kết hợp mỗi vật quan sát được với một dấu hiệu hoặc mộtcái gì đó quen thuộc đối với họ (sỏi, đá, que, những ngón tay…) Nghĩa là họ

đã biết thiết lập sự tương ứng 1 - 1 giữa các phần tử của 2 tập hợp để đếm sốlượng đồ vật

0 Ai Cập và Babylon cổ đại: Người Babylon và người Ai Cập cổ đạichỉ quan tâm đến cách dùng của số, chưa làm r ý nghĩa về sự tồn tại và khôngtìm cách định nghĩa số tự nhiên

1 Người Hy Lạp cổ đại: Các nhà toán học Hy Lạp cổ đại đã tìm cách

trả lời cho câu hỏi “Số là gì?” Đóng góp nổi bật cho sự tìm hiểu vấn đề này

là các nhà toán học Pythagoras và Platon Pythagoras đã đưa ra dãy số tựnhiên 1, 2, 3… và phát hiện ra tính vô hạn của nó Platon tuy không đưa rađịnh nghĩa về số tự nhiên, nhưng ông phát hiện ra bản chất của số tự nhiên đó

là nó rất trừu tượng

Tóm lại, số tự nhiên xuất hiện do nhu cầu đếm đồ vật của con người,

xuất phát từ tình huống “So sánh sự nhiều hơn, ít hơn về số lượng của hai

nhóm đối tượng” Bước tiến quan trọng của toán học trong giai đoạn này là

phát hiện ra bản chất của dãy số tự nhiên: tính vô hạn, tính trừu tượng

0Từ thời Trung cổ đến ba phần tư đầu của thế kỉ XIX

Vào giữa thế kỉ thứ V SCN, các nhà toán học Ấn Độ đã phát minh rachữ số “0” và coi nó như là một con số Họ đã biết nguyên tắc viết theo vị trí

và có những chữ số từ “1” đến “9” khác nhau Tuy nhiên, khái niệm về số tựnhiên vẫn chưa được định nghĩa

0 Cuối thế kỉ thứ XIX

Đặc trưng của giai đoạn này là việc thống nhất khái niệm số Một sốđịnh nghĩa số tự nhiên được trình bày một cách r ràng, nổi bật có định nghĩacủa các nhà Toán học như: Geoge Cantor (1845 – 1918), Dedekind (1831 –1916), Giuseppe Peano (1858 – 1932), Frege (1848 – 1925) và Russell (1872– 1969)

1.2.2 Khái quát về lịch sử hình thành và phát triển của số hữu tỉ

Lịch sử hình thành và phát triển của số hữu tỉ cũng được chia làm 3giai đoạn: từ thời nguyên thủy cho đến thời cổ đại, thời kỳ trung cổ và thời kỳhiện đại

0 Từ thời nguyên thủy cho đến thời cổ đại

Số hữu tỉ ra đời do nhu cầu thực tế (chẳng hạn như nhu cầu chia đều các con thú săn được sau một chuyến đi săn, nhu cầu đo lường )

0 Người Ai Cập cổ đại được ghi nhận là người đi đầu trong việcnghiên cứu phân số Phân số của người Ai Cập là những phân số có tử sốbằng 1 (ngày nay gọi là phân số đơn vị) Người ta tin rằng mọi phân số khôngphải phân số đơn vị đều có thể biểu di n được thành tổng của các phân số đơn

vị Trong toán học Ai Cập chỉ có phép tính cộng và trừ các phân số, không cóphép tính nhân và chia các phân số

- Phân số của người La Mã cổ đại xuất hiện do nhu cầu đo lường Phân

số của người La Mã cổ đại được viết bằng từ ngữ chứ không dùng kí hiệutoán học do đó khó khăn khi thực hiện tính toán trên phân số

0Người Hy Lạp bắt đầu sử dụng thang ngang (−) trong cách viết phân

số, tuy nhiên không giống với kí hiệu của toán học hiện đại họ đặt thanhngang lên trên tử số Nhà toán học Diophantus đã kí hiệu phân số giống nhưngày nay nhưng ông lại đảo ngược vị trí của tử số và mẫu số

1 Thời Trung cổ

Ký hiệu phân số dần dần được hoàn thiện nhờ người Hindu, người Ấn

Độ, người Ả Rập, người Châu Âu (Fibonaci, 1170 – 1240; Leibnitz, 1646 –1715…)

Trong tác phẩm “Liber Abaci” (năm 1202), Fibonacci đã trình bày cácphương pháp chuyển đổi phân số không phải là phân số đơn vị sang phân sốđơn vị

Descartes (1596 -1650) đã để lại một cách tiếp cận khác cho các loại số

qua việc xây dựng “đường thẳng thực” (còn gọi là tia số hay trục số) Cách

tiếp cận này của ông đồng thời mang đến một công cụ để so sánh hai phân số:biểu di n chúng lên trục số, số nào xa gốc tọa độ hơn thì lớn hơn và ngược lại

0 Toán học hiện đại

+ Phân số a

b được nhà toán học Laplace (1749 – 1872) định nghĩa như

là phép chia của hai số tự nhiên a và b Ông khám phá ra mối quan hệ của số

tự nhiên và phân số: “nếu a

b là thương của hai số a và b thì nó có thể cho kết

quả là một số tự nhiên, một số hữu tỉ hay một số vô tỉ”.

0 Trong quá trình phát triển Lí thuyết tập hợp, Cantor (1845 - 1918) đãđưa ra định nghĩa số hữu tỉ Tập hợp các số nguyên đóng kín đối với phépcộng, trừ và nhân, nhưng nó không đóng kín đối với phép chia Để đạt đượctính chất đóng kín đối với phép chia, Cantor mở rộng hệ thống các số nguyên

để xây dựng tập số hữu tỉ:

số càng được mở rộng và hoàn thiện hơn Ở giai đoạn toán học hiện đại, cácnhà toán học đã xây dựng thành công định nghĩa các tập hợp số với các cấutrúc chặt chẽ.

1.2.3 Cấu trúc đại số của các tập hợp số

Qua các thời kì lịch sử, Toán học không ngừng phát triển Một đặcđiểm quan trọng của toán học hiện đại là sự phân tích sâu sắc và kết hợp cáckết quả đã đạt được dưới những quan điểm tổng quát, nhằm tạo nên một hệthống cơ sở chặt chẽ cho toán học Điều đó dẫn đến yêu cầu phải là sáng tỏtừng chi tiết cấu trúc của toán học

Nhiều nhà toán học hiện đại đã xem các cấu trúc là những công cụ toánhọc, những đối tượng toán học Họ đã xây dựng thành công định nghĩa củacác tập hợp số với cấu trúc chặt chẽ Dưới góc nhìn đại số, các tập hợp số lầnlượt có cấu trúc như sau:

0 a  : a  0  0  a  a

ii) Tập hợp số nguyên :

Tập hợp số nguyên cùng với các phép cộng và phép nhân lập thànhvành giao hoán có đơn vị, không có ƣớc của không Nói cách khác vành sốnguyên là một miền nguyên, nghĩa là các phép toán trên có các tính chất sau:

iii) Tập số hữu tỉ , tập số thực và tập số phức :

Các tập hợp số hữu tỉ , tập số thực và tập số phức đều có cấutrúc là một trường Tức là các tập hợp này cùng với phép cộng và phép nhânthỏa mãn tất cả các tính chất như trên tập số nguyên , đồng thời còn thỏa mãntính chất:

a  X, a  0 :  a 1  X : a  a 1 1 , trong đó X có thể là, hoặc Tóm lại, theo quan điểm đại số ta có thể tóm tắt sự mở rộng các tập hợp

kiến thức: SH, Đại lượng và đo đại lượng, Yếu tố hình học và Giải toán có lời

văn được xây dựng theo nguyên tắc đồng tâm, tích hợp giữa các mạch kiến

thức và giữa các môn học Trong đó, SH là nội dung trọng tâm, làm nền tảngcho việc DH các mạch kiến thức khác

0 Nội dung SH được sắp xếp mở rộng và phát triển theo các vòng số,nâng cao dần qua từng giai đoạn, kiến thức ở lớp trước là tiền đề giúp HS họcnhững kiến thức ở lớp sau

Cách thể hiện nội dung SH trong SGK Toán TH được chia làm 2 giai đoạn:

1 Giai đoạn học tập cơ bản (lớp 1, lớp 2 và lớp 3): HS được chuẩn bị nhữngkiến thức, KN cơ bản nhất về đếm, đọc, viết, so sánh sắp thứ tự các số tựnhiên và bốn phép tính về số tự nhiên (trong phạm vi 100000)

- Giai đoạn học tập sâu (lớp 4 và lớp 5): HS được hệ thống hóa và bổ

sung kiến thức về số tự nhiên; phân số và bốn phép tính với phân số; số thập phân và bốn phép tính với số thập phân.

0 Nội dung SH trong SGK được xây dựng kết hợp giữa tính lịch sử

và tính khoa học Tính lịch sử thể hiện ở chỗ HS được học các tập hợp sốtheo con đường phát triển tự nhiên của lịch sử toán học loài người, chứkhông theo con đường mở rộng các tập hợp số theo cấu trúc đại số mà cácnhà toán học hiện đại xây dựng Tính khoa học thể hiện ở chỗ những kiếnthức về số và phép tính được trình bày dưới quan điểm của toán học hiện đại,

đó là quan điểm của lí thuyết tập hợp và cấu trúc đại số

0 SH làm nền tảng cho việc DH các mạch kiến thức khác, nhưng đồng thời các mạch kiến thức đó cũng làm cơ sở cho việc DH SH

0 SH ở TH gắn bó chặt chẽ với thực ti n, với sự phát triển NL toán họccủa HSTH (NL tư duy và lập luận toán học, NL mô hình hóa toán học…)

1.2.5 Mục tiêu dạy học số học ở Tiểu học

Theo Chương trình giáo dục phổ thông cấp TH hiện hành [7], DH SH ở

Theo Chương trình giáo dục phổ thông mới [10], SH ở TH có mục tiêu nhằm giúp HS đạt các mục tiêu chủ yếu sau:

0 Góp phần hình thành và phát triển NL toán học với yêu cầu cần đạt:thực hiện được các thao tác tư duy ở mức độ đơn giản; nêu và trả lời đượccâu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề đơn giản; lựa chọn được các phép toán

và công thức số học để trình bày, di n đạt (nói hoặc viết) được các nội dung,

ý tưởng, cách thức giải quyết vấn đề; sử dụng được ngôn ngữ toán học kếthợp với ngôn ngữ thông thường, động tác hình thể để biểu đạt các nội dungtoán học ở những tình huống đơn giản

0 Có những kiến thức và KN toán học cơ bản ban đầu, thiết yếu về số

và phép tính: Số tự nhiên, phân số, số thập phân và các phép tính trên nhữngtập hợp số đó

0 Cùng với các mạch kiến thức khác (Hình học và Đo lường, Thống

kê và Xác suất) góp phần hình thành và phát triển cho HS những phẩm chất

và NL Toán học

1.3 Đặc điểm dạy và học toán ở Tiểu học

1.3.1 Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học

Đặc điểm nhận thức của HSTH đã được nhóm tác giả P.T.H.Mai vàN.T.L.Anh trình bày trong tài liệu [74, tr 112 – 120] Qua đó, có thể tóm tắtnhận thức của HSTH có các đặc điểm sau:

- Tri giác: nét đặc trưng trong tri giác của HSTH là tính không chủ

định và xúc cảm Tri giác của HSTH còn mang tính đại thể, ít đi vào chi tiết.Tri giác của HSTH phát triển trong quá trình học tập theo hướng ngày càng

có mục đích và phương hướng rõ ràng

- Trí nhớ vẫn mang tính hình ảnh, cụ thể, trực tiếp, tính không chủ định

vẫn chiếm ưu thế HSTH có khả năng ghi nhớ tốt, đặc biệt là ghi nhớ máymóc Trong khi đó, tái hiện những gì đã được ghi nhớ là một việc làm không

d đối với HSTH Trí nhớ chủ định, trí nhớ có ý nghĩa, trí nhớ từ ngữ - logicđược xuất hiện và phát triển ở HSTH nhờ ảnh hưởng của quá trình học tập

0 Tư duy chuyển dần từ tính trực quan, cụ thể sang tính trừu tượng,

khái quát

1 Tưởng tượng còn tản mạn, ít có tổ chức, hình ảnh của tưởng tượng

còn đơn giản, hay thay đổi, chưa bền vững Tưởng tượng của HSTH được hình thành và phát triển trong các hoạt động, đặc biệt là hoạt động học tập

0 Ngôn ngữ phát triển mạnh cả về ngữ âm, từ vựng và ngữ pháp Ngôn

ngữ viết được hình thành và phát triển mạnh KN đọc của HS dần

được hoàn thiện

0Chú ý không chủ định được phát triển mạnh và chiếm ưu thế, chú ý có

chủ định còn yếu Sự phân phối chú ý của HSTH di n ra một cách khó khăn

Sự chú của HSTH ý phụ thuộc vào nhịp độ học tập và phát triển cao hơn trongquá trình học tập

1.3.2 Đặc điểm học tập toán của học sinh tiểu học

Dựa trên đặc điểm nhận thức của HSTH, đặc điểm sự phát triển tư duytoán học của HSTH [21, tr 11], đặc điểm của nội dung toán học ở TH vànhững vấn đề lí luận về PPDH môn Toán… Chúng tôi tóm tắt việc học tậptoán của HSTH có một số đặc điểm sau:

0 Tư duy đang trong giai đoạn “tư duy cụ thể” chưa hoàn chỉnh, hành

động trên đồ vật, sự kiện bên ngoài còn là chỗ dựa hay điểm xuất phát cho tưduy Do đó, HSTH học toán chủ yếu qua hành động trên đồ vật, sự việc cụ thểhoặc hình ảnh trực quan

0HSTH có khả năng nhận thức về cái bất biến và hình thành khái niệmbảo toàn, phân biệt được định tính với định lượng Đây là cơ sở ban đầu giúp

HS học khái niệm “số” ở TH Chẳng hạn, HS lớp 1 đã nhận thức được cái bấtbiến là sự tương ứng 1 – 1 không thay đổi khi thay đổi cách sắp xếp các phần

tử, từ đó hình thành khái niệm bảo toàn “số lượng” của các tập hợp đó