đề thi HSG tỉnh Hai dương

Điểm M thuộc cung nhỏ BC.. gọi I,K,H theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên AB; AC; BC.. Gọi P, Q lần lợt là trung điểm của AB; HK.. Tiếp tục quá trình này qua một số vòng cho đ

UBND Tỉnh hảI dơng Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam

Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh

năm học 2008 2009 –

Môn toán

Thời gian 150 phút

Câu 1: ( 1,5 điểm)

2

1) Rút gọn biểu thức A.

2) Chứng minh rằng 0 < A < 2.

Câu 2: (2 điểm)

1) Cho các số dơng a,b,c thoả mãn điều kiện abc = 1 Chứng minh rằng:

1

5 ab5 5 bc5 5 ca5

2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( )=x(2008+ 2010−x2)

Câu 3: (2 điểm)

2) Giải hệ phơng trình:

3 2

2 2 2

2 4 3 0 (1)

2 0 (2)

x x y y







Câu 4 ( 3 điểm):

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn ( O;R ) Điểm M thuộc cung nhỏ BC gọi I,K,H theo thứ

tự là hình chiếu vuông góc của M trên AB; AC; BC Gọi P, Q lần lợt là trung điểm của AB; HK 1) Chứng minh MQ ⊥ PQ

2) Chứng minh :

MH

BC MK

AC MI

AB

= + 3) Cho tam giác ABC đều Xác định vị trí của điểm M trên cung BC để MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất

Câu 5:

Trên một đờng tròn ta lấy 1000 điểm rồi đánh số theo thứ tự cùng chiều từ 1 đến 1000 Bắt đầu

từ số 1 cứ 15 số ta gạch đI một số, tức là xoá các số 1,16, 31… Tiếp tục quá trình này qua một

số vòng cho đến khi số 1 bị xóa lần thứ 2 Hỏi trớc lúc đó còn lại bao nhiêu số không bị xoá ? Hết

Họ và tên thí sinh: Số Báo Danh:

Hớng dẫn chấm - Đáp án biểu điểm

điểm 1) với

0, 1

x〉 x≠

Ta có A = 21 1 1 1 : 2 1 (2 1)( 1) 1. 2 1

( 1)(2 1 1). 2 1 2 1

0,25

0,5 2) với x〉0,x≠1 ta luôn có A > 0

Lại có: 1 1 2 2

1

+ + > ⇒ <

x x hay A < 2

Vậy 0 < A < 2

0,25 0,25 0,25 Câu 2

2 điểm Ta có a

5 + b5 = (a + b)(a4 - a3b + a2b2 – ab3 +b4 ) =(a + b)[(a - b)2(a2 + ab + b2) + a2b2)

Do (a - b) 0; a,b,c > 0, 2 ≥ nên (a - b) (a + ab + b ) 0 2 2 2 ≥ Suy ra a5+b5≥a b a b2 2( + ) Đẳng thức sảy ra khi a = b

Do đó:

2 2

ab a b ab a b c a b c

a b a b ab

+ +

( vì có abc =1)

Chứng minh tơng tự tacó 5 5 a

b

bc

a b c

c bc≤

+ +

b

ca

a b c

c a ca ≤

+ +

Cộng từng vế của (1); (2); (3) ta có

1

+ +

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1

0,25 0,25

0,25

0,25

Ta có f x( ) = x ( 2008 2008+ 2010−x2)

áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho 2 bộ số :

2008 , 1 ; 2008 , 2010−x

( ) 2008 1 2008 2010 2009 4018

áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số không âm x2 và 2

4018−x ta có

2 4018 2 2

2

Suy ra: f x( ) ≤2009 2009⇒ −2009 2009 ≤ f x( ) ≤2009 2009

Vây max f x( ) 2009 2009= khi x = 2009

min f x( )= −2009 2009 khi x = - 2009

0,25 0,25 0,25 0,25

Câu 3

2 điểm ĐK: 0

4

x

≤ ≤

Đặt 2+ x = ≥a 0; 2− x = ≥b 0

Ta có ab= 4−x , a + b = 42 2 Phơng trình là:

2

2

2

( 2 2 2 ) ( ) (2 )

2 a b − +a b −ab a b− = a b−

2 2 ab a b 2 ab ( do a b 4)

Do 2 + ab ≠ 0 nên a – b = 2

Bình phơng hai vế ta đợc

a +b − ab= ⇒ ab= ⇒ab= ⇒ − = ⇒ =x x

x = 3 thoả mãn điều kiện bài toán Phơng trình có nghệm duy nhất x =3

0,25

0,25 0,25 0,25 2)

Từ (1) ⇒x3= − −1 2(y−1) 2 ⇒x3≤ −1 ⇔ ≤ −x 1

Từ (2) 2 2 2

2

1 y 1 -1 1

y

+

Suy ra x = -1 thay vào (2) ta có: y2 – 2y + 1 = 0 ⇔ y =1

Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất ( x , y ) = (-1 , 1)

0,25 0,25 0,25 0,25

O P

Q

K

I

H

M

C B

A

Câu 4

3 điểm 1) Tứ giác MCKH nội tiếp ⇒

BCM = HKM = BAM; HMK = BCA = BMA

⇒ ∆BMA ∆HMK

Mặt khác MP, MQ là trung tuyến của∆BMA, ∆HMK

⇒ MQ MP =MH MB và BMH = PMQ ã ã

⇒ ∆BMH ∆PMQ

Mặt khác ã 0 ã 0

BHM = 90 ⇒ PQM = 90 ⇒ PQ ⊥MQ

0,25 0,25

0,25 0,25 2) Giả sử AC ≥ AB ta có:

MK

AK MI

AI MK

KC AK MI

BI AI MK

AC MI

AB

+

=

+ +

−

=

( Do MBI = MCK ã ã ⇒ cotg MBI = cotgMCK ã ã ⇒ )

MK

KC MI

BI =

Do C = A nên cotgA = cotgC à1 à1 à1 à1 ⇒

MH

CH MI

AI

= ( 2)

A = B nên cotgA = cotgB à 2 à1 à 2 à1 ⇒ AK BH (3)

MK = MH

Từ (1),(2) và (3) suy ra

MH

BC MH

BH MH

CH MK

AC MI

AB

= +

= +

0,25

0,25

0,25 0,25 3) Gọi D là giao điểm của MA với BD ta có :

∆MBD ∆MAC (BMD AMC DBM CAMã =ã , ã =ã )

MB BD

MA AC

Tơng tự ta có : MC CD

MA = AB

Do đó MB MC 1

MA MA+ = Suy ra MA + MB + MC = 2MA ≤ 4R Vậy max (MA + MB + MC) = 4R khi AM là đờng kính khi đó M là trung điểm của cung BC

0,25

0,25 0,25 0,25

Câu 5

1 điểm số thứ n bị gạch có dạng 1 + 15(n-1) = 15n - 14 Bài toán có thể hiểu theo cạch Số đầu bị gạch là số 1, số thứ hai là 1 + 15 = 16 số thứ ba là 1 + 15.2 = 31 v.v…

khác là: Sau vòng thứ nhất ở vị trí số 1 ta đặt số 1001, vòng thứ 2 ta đặt số 2001,

vòng thứ 3 ta đặt số 3001…

Số các số bị gạch là số nguyên, vì vậy quá trình gạch các số này sé kết thúc khi, ở

vị trí số 1, trong dãy 1001, 2001, 3001,……lần đầu tiên ta gặp số bị gạch có dạng 15

n -14

Giả sử điều đó xảy ra sau k vòng tức là số k.1000 + 1 = 15n – 14 hay k.1000+15

= 15 nnghĩa là số (k.1000+15) chia hết cho 15 Do đó trong dãy số 1015, 2015,

3015… cần phải tìm số đầu tiên chia hết cho 15

Rõ ràng đó là số 3015 vì 3015 = 15.201 Khi đó khác nhau bị gạch là 200 ( vì số 1

bị gạch hai lần lần đầu là số 1 lần sau là số 3001)

Vì vậy tất cả các số bị gạch là 200 (số) đồng thời không có số nào bị gạch hai lần

Suy ra các số không bị gạch là 1000- 200 = 800 (số)

0,25 0,25 0,25

0,25