THỂ TÍCH DA DIÊN (ÔN DH)

Tớnh thể tớch của khối hộp chữ nhật cú chiều rộng bằng 1, chiều dài bằng 3 và đường chộo của hỡnh hộp hợp với đỏy một gúc bằng 300 2.. Tớnh thể tớch của khối hộp đú 7.Các đờng chéo của c

Gv:ngô tùng lâm- thpt thanh sơn- dđ: 0916 166 645

THEÅ TÍCH KHOÁI ẹA DIEÄN

A KIEÁN THệÙC Cễ BAÛN

1 Định nghĩa: Thể tớch của một khối đa diện là một số dương cú tớnh chất sau:

a Hai khối đa diện bằng nhau thỡ cú thể tớch bằng nhau.

b Nếu một khối đa diện được phõn chia thành cỏc khối đa diện nhỏ thỡ thể tớch của nú bằng tổng thể tớch của cỏc khối đa diện nhỏ đú

c Khối lập phương cú cạnh bằng 1 thỡ thể tớch bằng 1

2 Thể tớch của khối hộp chữ nhật: V = abc; với a,b,c là ba kớch thước của khối hộp

3 Thể tớch của khối chúp: 1

3

V  S h; S,h lần lượt là diện tớch đỏy cà chiều cao của hỡnh chúp

4 Thể tớch của khối lăng trụ: V = S.h

B BÀI TẬP

Vaỏn ủeà 1 : THEÅ TÍCH KHOÁI HOÄP

0.Tính thể tích của khối hộp chữ nhật có chiều rộng bằng 2,chiều dài bằng 3 và chiều cao bằng 4

1 Tớnh thể tớch của khối hộp chữ nhật cú chiều rộng bằng 1, chiều dài bằng 3 và đường chộo của hỡnh hộp hợp với đỏy một gúc bằng 300

2 Ba kớch thước của một hỡnh hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhõn cụng bội bằng 2 Thể tớch bằng 64 Tỡm cỏc kớch thước đú.

3 Khi độ dài cạnh của hỡnh lập phương tăng thờm 2 cm thỡ thể tớch của nú tăng thờm 98cm3 Khi

đú tớnh độ dài cạnh của hỡnh lập phương

4 Đỏy của hỡnh hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ là hỡnh thoi cạnh a, gúc BAD bằng 600, AC = B’D Tớnh thể tớch của hỡnh hộp

5 Đỏy của hỡnh hộp ABCD.A’B’C’D’ là hỡnh thoi cạnh bằng 6cm, gúc BAD bằng 450; cạnh bờn AA’ = 10cm và tạo với đỏy một gúc 450 Tớnh thể tớch của khối hộp đú

6 Cho hỡnh hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ cú đỏy là hỡnh thoi cạnh a và gúc BAD bằng 600, AB’ hợp với đỏy ABCD một gúc  Tớnh thể tớch của khối hộp đú

7.Các đờng chéo của các mặt bên của một khối hộp chữ nhật bằng: 5, 10, 13

8.Tính thể tích của khối lập phơng có tổng diên tích các mặt bằng 24

Vaỏn ủeà 2 : THEÅ TÍCH KHOÁI CHOÙP

Loaùi 1 : Khoỏi choựp ủeàu : laứ khoỏi choựp coự ủaựy laứ ủa giaực ủeàu vaứ chaõn ủửụứng cao truứng vụựi taõm cuỷa đa giaực ủaựy

0.Tính thể tích của khối tứ diên đều cạnh bằng a

1 Cho hỡnh chúp S.ABC cú mặt bờn SBC là tam giỏc đều cạnh a, SA  (ABC) Biết gúc BAC bằng 1200, tớnh thể tớch của khối chúp S.ABC theo a

2 Cho khối chúp tam giỏc đều cạnh bờn bằng 2 và cỏc cạnh bờn tạo với đỏy một gúc bằng 600 Tớnh thể tớch của khối chúp

3 Cho hỡnh chúp tam giỏc đều cú cạnh bờn bằng a và cỏc cạnh bờn tạo với mặt phẳng đỏy một gúc

 Tớnh thể tớch của khối chúp.

4 Cho khối chúp tam giỏc đều cạnh bờn bằng 5 và cỏc mặt bờn tạo với đỏy một gúc bằng 450 Tớnh thể tớch của khối chúp

5 Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc đều cạnh a, SA  (ABC) Mặt bờn (SBC) tạo với mặt phẳng đỏy một gúc  Tớnh thể tớch của khối chúp

6 Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều cú diện tớch đỏy bằng 4 và diện tớch của một mặt bờn bằng 2 Tớnh thể tớch của khối chúp đú

7 Tớnh theồ tớch cuỷa khoỏi choựp tửự giaực ủeàu:

a Coựự caùnh ủaựy baống 2 , caùnh beõn baống 11

b Cạnh đỏy bằng a, gúc giữa mặt bờn và mặt phẳng đỏy bằng 600.

8 Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cạnh đỏy bằng a, cạnh bờn hợp với đỏy một gúc  Tớnh thể tớch của khối chúp đú

9 Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cạnh đỏy bằng a, mặt bờn hợp với đỏy một gúc  Tớnh thể tớch của khối chúp đú

10.(DHSP HCM-00) Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a,

SA =SD =SB = SC = a

a Tớnh diên tích toàn phần và thể tớch khối chúp S.ABCD

b)Tính cosin của góc nhị diên (SAB,SAD)

11.(Y HN-00) Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú cạnh đáy AB=a và SAB = Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD theo a và 

12: Tính thể tích hình chóp tam giác đều SABC trong các trờng hợp sau:

b) AB = a, SA = l

(CD-09) Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú AB = a , SA = a 2 Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh SA, SB và CD Chứng minh rằng đườngthẳng

MN vuụng gúc với đường thẳng SP Tớnh theo a thể tớch của khối tứ diện AMNP

2)Khoỏi choựp coự moọt cạnh beõn vuoõng goực vụựi ủaựy thỡ ủửụứng cao khoỏi choựp laứ cạnh

beõn (phaựt xuaỏt tửứ ủổnh khoỏi choựp )

13 Cho hỡnh chúp S.ABCD đỏy là hỡnh vuụng cú đường chộo bằng 2; hai mặt bờn SAB, SAD

cựng vuụng gúc với đỏy và cạnh bờn SC tạo với đỏy một gúc bằng 300 Tớnh thể tớch của khối chúp S.ABCD

14 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a, SA  (ABCD), SA = a

a Chứng minh rằng CS  BD

b Tớnh gúc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD)

c Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD



15 Cho khoỏi choựp S.ABC coự ủửụứng cao SA = a, ủaựy laứ tam giaực vuoõng caõn AB = BC = a Goùi B' laứ trung ủieồm cuỷa SB , C' laứ chaõn ủửụứng cao haù tửứ A cuỷa SAC

a) Tớnh theồ tớch khoỏi choựp S.ABC

b) Chửựng minh raống SC vuoõng goực vụựi mp(AB'C')

c) Tớnh theồ tớch khoỏi choựp S.AB'C'

16. Hình chóp SABC có SA⊥ (ABC), ∆ABC cân tại A, D là trung điểm BC, AD = a, (SB, (ABC)) = α; (SB, (SAD)) = β Tính VSABC

17 Hình chóp SABCD có ∆ABC vuông tại B, SA  (ABC) ACB =60 o , BC = a, SA = a 3, M là trung điểm SB Tính thể tích MABC

18.Hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông tâm O, SA  (ABCD), AB = a, SA = a 2 H, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD Chứng minh rằng SC  (AHK) và Tính thể tích hình chóp OAHK.

19.(DH B-06) Hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 2, SA = a, SA  (ABCD) M, N lần lợt là trung điểm AD và SC I = BM ∩ AC Tính thể tích hình chóp ANIB.

DS:V= 3 2

36

a

vuụng gúc với mặt phẳng (ABC) Gọi M và N lần lượt là hỡnh chiếu vuụng gúc của A trờn cỏc đường thẳng SB và SC Tớnh thể tớch của khối chúp A.BCNM.

25 SBAC 50

a

(CĐ -2008) Cho hỡnh choựp S.ABCD coự ABCD laứ hỡnh thang, BAD ã = ABC ã = 900,

AB=BC=a, AD=2a, SA  ủaựy ABCD, SA= 2a goùi M, N laàn lửụùt laứ trung ủieồm caực caùnh SA,

SD Chửựng minh BCNM laứ hỡnh chửừ nhaọt Tớnh theồ tớch khoỏi choựp S.BCNM theo a

ẹS: V = a33

(DH) Cho hỡnh choựp S.ABCD coự ủaựy laứ hỡnh vuoõng caùnh a, SA=a 3 vaứ SA  mp ủaựy Tớnh

theo a theồ tớch khoỏi tửự dieọn SACD vaứ tớnh cosin goực giửừa 2 ủửụứng thaỳng SB, AC.

ẹS: V = a363; cos  = 42

Loaùi 3 : Khoỏi choựp coự moọt maởt beõn vuoõng goực vụựi ủaựy thỡ ủửụứng cao khoỏi choựp laứ ủửụứng cao cuỷa tam giaực maởt beõn ủoự (phaựt xuaỏt tửứ ủổnh khoỏi choựp )

20 Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc ABC vuụng tại B, ABa BC, a 3 Tam giỏc SAC đều và nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với đỏy.Tớnh thể tớch khối chúp S.ABC.

21 Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a,

đều M, N, P lần lợt là trung điểm SB, BC, CD tính thể tích hình chóp CMNP

đs: V=

3 3

96

a

23.(ĐH B-2008) Cho hỡnh choựp S ABCD coự ủaựy ABCD laứ hỡnh vuoõng caùnh 2a, SA= a, SB =

3

a vaứ mp(SAB) vuoõng goực vụựi mp ủaựy Goùi M, N laàn lửụùt laứ trung ủieồm cuỷa caực caùnh AB,

BC Tớnh theo a theồ tớch khoỏi choựp S.BMDN vaứ cosin goực giửừa 2 ủửụứng thaỳng SM, DN

ẹS: V = a333; cos  = 55

Loai 4 : Khoỏi choựp coự hai maởt beõn keà nhau vuoõng goực vụựi ủaựy thỡ ủửụứng cao khoỏi choựp laứ giao tuyeỏn cuỷa hai maởt beõn ủoự

24 Cho hỡnh choựp SABCD coự hai maởt beõn (SAB), (SAD) vuoõng goực vụựi ủaựy, SA = a

a.Chửựng minh hai tam giaực SBC vaứ SDC baống nhau.

b.Tớnh dieọn tớch xung quanh cuỷa hỡnh choựp SABCD.

c.Tớnh theồ tớch hỡnh choựp S.BCD, tửứ ủoự suy ra khoaỷng caựch tửứ D ủeỏn (SBC).

25 )

ĐH – A-2009

:(

Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh thang vuụng tại A và D

;

AB = AD = 2a; CD = a; gúc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cựng vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD) Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD theo a

Tổng hợp

26 Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc vuụng tại A, BC = a, SA =SB = SC = 3

2

a và mặt bờn SAB hợp với đỏy một gúc bằng 600

a Tớnh khoảng cỏch từ S đến mặt phẳng (ABC)

b Tớnh gúc gữa dường thẳng SA và mặt phẳng (ABC)

c Tớnh thể tớch của khối chúp S.ABC

27 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh thoi cạnh a,  0 5

60 ,

2

a

a Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD

b Chứng minh (SAC) (SBD)

28 Cho S ABC coự caực maởt beõn laứ caực  vuoõng; SA= SB= SC = a Goùi M, N, E laứ trung ủieồm caực caùnh AB, AC, BC; D laứ ủieồm ủoỏi xửựng cuỷa S qua E; I laứ giao ủieồm cuỷa ủt (AD) vụựi

mp(SMN) Chửựng minh AD  SI vaứ tớnh theồ tớch khoỏi tửự dieọn MBSI ẹS: a363

29 Cho tửự dieọn ABCD coự caực maởt ABC vaứ ABD laứ caực  ủeàu caùnh a, caực maởt ACD vaứ BCD vuoõng goực nhau Tớnh theo a theồ tớch khoỏi tửự dieọn ABCD vaứ tớnh goực giửừa 2 ủt AD, BC

ẹS: V = a3122; (AD, BC)=60 ã 0

30 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh bỡnh hành, gúc nhọn tạo bởi hai đường chộo AC và BD

là 600, cỏc tam giỏc SAC và SBD là cỏc tam giỏc đều cạnh a Tớnh thể tớch của khối chúp đó cho

31 Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại B, SA  (ABC),

ACB BC a SA a  Gọi M là trung điểm của SB Chứng minh (SAB)  (SBC) Tớnh thể tớch khối tứ diện MABC

32 Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc đều cạnh a, SA = 2a, SA  (ABC) Gọi M,N lần lượt là hỡnh chiếu của A trờn SB,SC Tớnh thể tớch khối chúp A.BCNM

33 Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA  (ABC), SA = 2a, tam giỏc ABC vuụng tại C cú AB = 2a Gọi

H, K lần lượt là hỡnh chiếu của A trờn SC, SB

a Tớnh thể tớch của khối chúp H.ABC

b Chứng minh AH  SB và SB  (AHK)

c Tớnh thể tớch khối chúp S.AHK

Vaỏn ủeà 3 : THEÅ TÍCH KHOÁI LAấNG TRUẽ

1 Tớnh thể tớch khối lăng trụ tam giỏc đều cạnh đỏy bằng a, chiều cạnh bờn bằng 2a

2.Một lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy bằng 37,13,30 và diên tích xung quanh bằng

480.Tính thể tích khối lăng trụ đó ( S-xq=chu vi đáy *cạnh bên )

3 Một lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy bằng 13,14,15 cạnh bên tạo với đáy góc 300 và có chiều cao bằng 8.Tính thể tích của KLT

4 Một lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy bằng 19,20,37 chiều cao của khối lăng trụ bằng trung bình cộng của các cach đáy tính V KLT

5 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cú đỏy ABC vuụng tại A, AC = a, gúc ACB bằng 600 Đường thẳng BC’ tạo với (AA’C’C) một gúc 300

a Tớnh độ dài đoạn thẳng AC’

b Tớnh thể tớch khối lăng trụ đó cho

6 Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc đều ABC.A’B’C’ cú tất cả cỏc cạnh bằng a Tớnh thể tớch khối chúp

A BCC’B’

7 Cho hỡnh lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ cú đỏy là tam giỏc đều cạnh a, cạnh bờn tạo với đỏy một gúc 600 Hỡnh chiếu của A trờn mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC Tớnh thể tớch của khối lăng trụ đó cho

8 Cho hỡnh lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại B và AB = a, BC = 2a, AA’ = 3a Mặt phẳng (P) đi qua A và vuụng gúc với CA’ lần lượt cắt CC’ và BB’ tại M và N

a Tớnh thể tớch khối chúp C.A’AB

b Chứng minh AN  A’B

c Tớnh thể tớch khối tứ diện A’AMN

d Tớnh diện tớch tam giỏc AMN

9 Cho hỡnh lăng trụ ABC.A’B’C’ cú cạnh bờn AA’ tạo với đỏy một gúc 600, BC = a và hỡnh chúp A.A’B’C’ là hỡnh chúp đều Tớnh thể tớch khối lăng trụ theo a

10 Cho laờng truù ủửựng ABC.A’B’C’ coự ủaựy laứ tam giaực vuoõng , AB=BC=a, caùnh beõn AA’= a 2 Goùi M laứ trung ủieồm cuỷa BC Tớnh theo a theồ tớch cuỷa khoỏi laờng truù ABC.A’B’C’ vaứ khoaỷng caựch giửừa 2 ủửụứng thaỳng AM, B’C ẹS: V = a322; d = a77

11(ĐH A- 2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là  vuông

tại A, AB=a, AC=a 3 và hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABC) là trung điểm của cạnh

BC Tính thể tích A’.ABC và cosin góc giữa 2 đường thẳng AA’ và B’C’ ĐS: V = a23;cos=14

12(D-08) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông , AB=BC=a, cạnh bên

AA’= a 2 Gọi M là trung điểm của BC Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM, B’C ĐS: V = a322; d = a77

13 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là  vuông tại A, AB=a, AC=a 3 và hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABC) là trung điểm của cạnh BC Tính thể

tích A’.ABC và cosin góc giữa 2 đường thẳng AA’ và B’C’ ĐS: V = a23; cos  = 14

14 Cho lăng trụ đứng ABC A1B1C1 cĩ đáy là tam giác vuơng cĩ AB=AC= a, AA1 = a 2 Gọi M,

N lần lượt là trung điểm của đoạn AA1 và BC1 Chứng minh MN là đường vuơng gĩc chung của

AA1 và BC1 Tính thể tích khối chĩp MA1BC1 ĐS: V= 3 2

12

a

15 Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cĩ cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng a 3 Gọi D,

E lần lượt là trung điểm của AB và A’B’

a Tính thể tích khối đa diện ABA'B’C’

b Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và (CEB’)

16 (ĐH khối D-2009): Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B,

AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M là trung điểm của A’C’ Gọi I là giao điểm của AM và A’C Tính thể tích khối tứ diện IABC và tính khoảng cách từ A đến mp(IBC) Ds:V=

3

4 9

a

H=2 5

5

a

17.(B-09)Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ cĩ BB’ = a, gĩc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng

(ABC) bằng 600; tam giác ABC vuơng tại C và BAC = 600 Hình chiếu vuơng gĩc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a

Ds:V 9 3

208

a



Vấn đề 4 : TỈ SỐ THỂ TÍCH

0 Cho khối chóp tam giác S.ABC Trên ba đường thẳng SA,SB,SC lần lượt lấy ba

điểm A', B', C' khác với S Gọi V và V' lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC và S.A'B



'C'

V' SA ' SB' SC'

1

1 Trên cạnh CD của tứ diện ABCD lấy điểm M sao cho CM = CD Tính tỉ số thể tích của hai tứ

3 diện ABMD và ABMC ABDM 

ABCM

V Đáp số : 2

V

  

2 Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A B C Tính tỉ số thể tích của khối chóp A.BB C C và khối lăng trụ ABC.A B C

 



A.BB'C'C ABC.A'B C

Đáp số :

3 Cho tứ diện ABCD có các điểm M, N, P lần lượt thuộc BC, BD, AC sao cho BC=4BM, AC=3AP, BD=2BN Mp(MNP) cắt AD tại Q Tính tỷ số AQ ADvà tỷ số thể tích 2 phần của khối tứ diện ABCD được phân chia bởi mp(MNP) ĐS: AQ AD =35; 1

2

7 13

V

V =

4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA  (ABCD), SA = 2a Gọi B’, D’ là hình chiếu của A trên SB,SD.Mặt phẳng AB’D’ cắt SC tại C’.Tính thể tích khối chóp S AB’C’D’

5 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, SC Tính

tỉ số thể tích của hai phần hình chóp được phân chia bởi mp (MNP)