Đề thi HSG - Huế

Tìm số có hai chữ số biết rằng phân số có tử số là số đó, mẫu số là tích của hai chữ số của nó có phân số tối giản là và hiệu của số cần tìm với số có cùng các chữ số với nó nhng viết t

UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh

Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS năm học 2006 - 2007

Môn : Toán

Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút

Đề thi gồm 02 trang

Bài 1: (3 điểm)

Cho biểu thức:

1 Rút gọn biểu thức

2 Tìm các giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên

Bài 2: (4,0 điểm)

Cho parabol (P): và đờng thẳng ( là tham số)

1 Với giá trị nào của thì (P) và chỉ có một điểm chung? Khi đó gọi là tiếp tuyến của parabol (P), vẽ tiếp tuyến

đó

2 Vẽ parabol (P) và đờng thẳng trên cùng một đồ thị Từ đồ thị suy ra, tập những giá trị của để cắt (P) tại 2 điểm có hoành độ dơng

3 Tìm các giá trị của để phơng trình có 4 nghiệm phân biệt Tính các nghiệm đó theo

Bài 3: (3,5 điểm)

1 Tìm số có hai chữ số biết rằng phân số có tử số là số đó, mẫu số là tích của hai chữ số của nó có phân số tối giản là

và hiệu của số cần tìm với số có cùng các chữ số với nó nhng viết theo thứ tự ngợc lại bằng 27

2 Hãy tìm các chữ số biết rằng các số là các số chính phơng

Bài 4: (4,5 điểm)

Cho đờng tròn (O; R) và đờng thẳng d không đi qua O cắt

đờng tròn (O) tại hai điểm A và B Từ một điểm M tùy ý trên đ-ờng thẳng d và ở ngoài đđ-ờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MN và

MP với đờng tròn (O) (M, N là hai tiếp điểm)

1 Chứng minh rằng

2 Dựng vị trí điểm M trên đờng thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông

3 Chứng minh rằng tâm của đờng tròn nội tiếp và tâm của

đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP lần lợt chạy trên hai đ-ờng cố định khi M di động trên đđ-ờng thẳng d

Bài 5: (2,0 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm

Điểm D ở trên đoạn BC sao cho DA = DC E là điểm tùy ý trên

đoạn AC, đờng thẳng d đi qua E và song song với đờng thẳng

AD cắt đờng thẳng BA tại F Đoạn BE cắt đoạn DA tại G Chứng minh rằng 2 tia CG và CF đối xứng với nhau qua CA

Bài 6: (3,0 điểm)

1) Trong các tấm bìa trình bày dới đây, mỗi tấm có một mặt ghi một chữ cái và mặt kia ghi một số:

+ Chứng tỏ rằng để kiểm tra câu sau đây có đúng

không: "Nếu mỗi tấm bìa mà mặt chữ cái là nguyên âm thì mặt kia là số chẵn", thì chỉ cần lật mặt sau của tối

đa là 2 tấm bìa, đó là 2 tấm bìa nào ?

2) Để thành lập các đội tuyển học sinh giỏi khối 9, nhà trờng

tổ chức thi chọn các môn Toán, Văn và Ngoại ngữ trên tổng

số 111 học sinh Kết quả có: 70 học sinh giỏi Toán, 65 học sinh giỏi Văn và 62 học sinh giỏi Ngoại ngữ Trong đó, có 49 học sinh giỏi cả 2 môn Văn và Toán, 32 học sinh giỏi cả 2 môn Toán và Ngoại ngữ, 34 học sinh giỏi cả 2 môn Văn và Ngoại ngữ

Hãy xác định số học sinh giỏi cả ba môn Văn, Toán và Ngoại ngữ Biết rằng có 6 học sinh không đạt yêu cầu cả ba môn

Hết

UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh

Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS năm học 2006 - 2007

Môn : toán

Đáp án và thang điểm:

(2 điểm)

1.1

(2

đ)

kiện để A có nghĩa là

0,50 0,25

0,50

0,25

0,50

1.2

(1,0

đ)

Với là số nguyên không âm, để A là số nguyên thì

(vì và )

Khi đó:

0,50 0,50

(1,5đ) Phơng trình cho hoành độ giao điểm của (P) và d là:

(1) Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai nên để (P) và d chỉ

có một điểm chung thì phơng trình (1) có nghiệm kép,

t-ơng đt-ơng với:

Khi đó đờng thẳng d là tiếp tuyến của (P) có phơng trình

Vẽ đúng tiếp tuyến

0,25 0,50 0,25 0,25 0,25

2.2

(1,25

đ)

+ Vẽ đúng (P) + Đờng thẳng song song với đờng thẳng

và cắt trục Oy tại điểm B(0; m)

+ Dựa vào đồ thị ta có: Để d cắt (P) tại hai điểm có hoành

độ dơng thì

0,25

0,50 0,50

2.3

(1,25

đ)

Để phơng trình (2) có 4 nghiệm phân biệt thì phơng trình

(3) phải có 2 nghiệm dơng phân biệt Từ câu 1 và 2 ta suy

Khi đó 4 nghiệm của (2) là: và

0,25 0,50 0,50 3.1

(1,25

đ)

Gọi số cần tìm là với

Theo giả thiết:

Giải hệ ta có (loại) Suy ra

Vâỵ số cần tìm là 96

0,25 0,50

0,50 3.2

(2,25 là số chính phơng, nên

Ta có nên không có số nào là số chính

ph-0,50

đ) ơng Do đó chỉ có thể là 1 hoặc 4.

là số chính phơng nên chỉ có thể là 16, hoặc 49 Nên

là số chính phơng nên chỉ có thể là 16, hoặc 36,

hoặc 49 Nên Nên chỉ có thể là 1, hoặc 3, hoặc 4

Nếu thì và hoặc , khi đó

chọn đợc 1936

Ta có: Không chọn đợc số nào

Vậy chỉ có các chữ số thỏa mãn điều

kiện bài toán

0,25 0,25

0,25 0,25 0,25 0,25

4.1

(1,25

đ)

Ta có: MN = MP (Tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Chứng minh đợc 2 tam giác MAN và MNB đồng dạng

Suy ra:

0,25 0,50 0,50

4.2

(1,25

đ)

Để MNOP là hình vuông thì đờng chéo

Dựng điểm M: Ta dựng hình vuông OACD, dựng đờng tròn

tâm O đi qua điểm D, cắt (d) tại M

Chứng minh: Từ M vẽ 2 tiếp tuyến MN và MP Ta có

, nên Tam giác ONM vuông cân tại N

T-ơng tự, tam giác OPM cũng vuông cân tại P Do đó MNOP là

hình vuông

Bài toán luôn có 2 nghiệm hình vì

0,25 0,25

0,50 0,25

4.3

(2,0

đ)

+ Ta có: MN và MP là 2 tiếp tuyến của (O), nên MNOP là tứ

giác nội tiếp đờng tròn đờng kính OM Tâm là trung điểm

H của OM Suy ra tam giác cân MPQ nội tiếp trong đờng tròn

đờng kính OM, tâm là H

+ Kẻ , thì E là trung điểm của AB (cố định) Kẻ

thì HL // OE, nên HL là đờng trung bình của tam giác OEM, suy ra: (không đổi)

+ Do đó, khi M đi động trên (d) thì H luôn cách dều (d) một

đoạn không đổi, nên H chạy trên đờng thẳng (d') // (d) và

0,25 0,5

0,25

(d') ®i qua trung ®iÓm cña ®o¹n OE.

+ Ta có: OM là phân giác trong góc (tính chất hai tiếp

tuyến cắt nhau) Kẻ tia phân giác trong góc cắt đờng

tròn (O) tại điểm F, khi đó (ứng với góc nội tiếp và

góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nhau)

+ Suy ra F ở trên OM, do đó F là tâm đờng tròng nội tiếp

tam giác MNP

+ Vậy khi M đi động trên (d) thì tâm đờng tròn nội tiếp

tam giác MNP chạy trên đờng tròn (O)

0,5 0,25 0,25

(2,0

đ)

+ Đờng thẳng BC có phơng trình dạng: (đi qua

B(0; 2) và qua C(-3; 0) nên Do đó phơng trình của

đờng thẳng BC là:

+ Tam giác ADC cân tại D (gt), nên , suy ra hệ

số góc của AD là số đối của hệ số góc của BC, nên

ph-ơng trình của AD có dạng Mà AD đi qua A(1;

0) nên , suy ra, phơng trình của đờng thẳng AD là:

+ Gọi E( ; 0) thuộc đoạn CA thì Đờng thẳng

d song song với AD nên d: , d đi qua E nên:

+ Phơng trình đờng thẳng BE: BE đi qua

E(m; 0) nên khi ; còn nếu thì

Do đó phơng trình của BE là: ( ) và

(m = 0)

0,25

0,25

0,25

0,25

+ Phơng trình cho hoành độ giao điểm G của BE và

AD là:

suy ra tung độ của G:

+ Phơng trình đờng thẳng CG: , CG đi qua C

và G nên ta có

hệ phơng trình:

Suy ra hệ số góc của đờng thẳng CG là

0,25 + Phơng trình đờng thẳng AB:

+Phơng trình cho hoành độ giao điểm F của AB và d là:

; suy ra tung độ của F là:

+ Phơng trình đờng thẳng CF có dạng: , CF đi

qua C và F nên:

Suy ra hệ số góc của đờng thẳng CF là:

+ Hai đờng thẳng CG và CF ở về hai phía đối với CA và có

hệ số góc đối nhau, nên cùng tạo với CA (trục Ox) một góc

nhọn bằng nhau, suy ra: CG và CF đối xứng nhau qua CA

0,25 0,25 + Trờng hợp : BE: x =0, nên , hệ số góc của CG là

; đờng thẳng d: , tọa độ điểm , hệ số góc của CF là , bài toán vẫn còn đúng 0,25

6.1

(1,25

đ)

+ Câu: "Nếu mỗi tấm bìa mà mặt chữ cái là nguyên âm

thì mặt kia là số chẵn" đúng khi kiểm tra các tấm bìa ở

mặt chữ cái nếu là nguyên âm thì mặt sau phải là số

chẵn, còn tấm bìa nào có mặt chữ cái là phụ âm thì mặt

số là số chẵn hoặc lẻ đều không ảnh hởng

Do đó nếu lật tấm bìa chữ A mà mặt sau là số lẻ, thì

khẳng định ngay câu trên không đúng, ngợc lại mặt sau là

số chẵn thì phải lật tiếp mặt sau của tấm bìa có chữ số 3,

nếu mặt đó là phụ âm thì câu trên hoàn toàn đúng, ngợc

lại là sai Còn mặt sau tấm bìa chữ M có thể số chẵn hoặc

lẻ đều đợc, cũng nh mặt sau tấm bìa số 6 là nguyên âm

hoặc phụ âm đều đợc, câu trên đều đúng

Vậy chỉ cần lật tối đa 2 tấm bìa chữ A và số 3 là có thể

kiểm chứng đợc câu trên là đúng

0,50

0,25 0,25 0,25

(1,75

đ)

+ Gọi x là số học sinh giỏi cả 3 môn Văn, Toán, Ngoại ngữ (x > 0), dựa vào biểu đồ ta có:

Số học sinh chỉ giỏi một môn Toán là:

Số học sinh chỉ giỏi một môn Văn là:

Số học sinh chỉ giỏi một môn Ngoại ngữ là:

0,25 0,25 0,25 0,25 + Có 6 học sinh không đạt yêu cầu nên:

Vậy có 23 học sinh giỏi cả 3 môn

0,50 0,25