Đề thi HSG 11 ngày 19/01/2009

1.Tính thể tích tứ diện ABCD.

Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11

Môn: Toán

Thời gian làm bài:150 phút

Ngày thi : 17/1/2009

Câu1 (4Điểm)

cos 4 4

x

x

 1.Giải phơng trình với m = 1

2 2.Tìm m để phơng trình có nghiệm x (0; )

4



Câu2(3Điểm)

Giải hệ phơng trình:

1







Câu3 (6Điểm)

0

( 2008) 1 2008 2008 lim

x

x



2.Cho khai triển: 1 x(1  x2 ) 2008 Tính hệ số của x10

Câu4: (3Điểm)

Tìm các điểm tại đó hàm số:

x

voi x













không có đạo hàm

Câu5: (4Điểm)

Cho tứ diện ABCD có các cạnh: BC=DA=a;CA=DB=b;AB=DC=c

1.Tính thể tích tứ diện ABCD

2.Chứng minh rằng:

2 21 2 21 212 92

a b b c c a s (s là diện tích toàn phần của tứ diện)

đáp án Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 Môn: Toán

Thời gian làm bài:150 phút

Ngày thi:19/1/2009

Câu Nội dung điểm

1/1

1/2

2

3/1

3/2

4

*Tập xác định:x

2 k





 

*PT tơng tơng: sin22x-2sin2x+m-1/2=0

1)Với m=1/2:Thay PT ta đợc: sin22x-2sin2x=0

sin 2 0

sin 2 2

x x





  x=

2

k

kết hợp điều kiện nghiệm : x=k

4



 nên 0<t<1 ta đợc:

t2-2t-1/2=-m với 0<t<1

*Xét HS: y=t2-2t-1/2 với 0<t<1 suy ra:-3/2<y<-1/2 (Yêu cầu HS lập bảng)

*Để PT có nghiệm khi và chỉ khi 1/2<m<3/2

*Điều kiện:

0 0 0 0

x y





 







  



*Hai vế của PT của hệ không âm,bình phơng 2vế ta đợc:

2 2

2

   





  



2 1/ 2

4 4 1 0

x y

x y

x y





 



 

  



   



17 /12

5 / 3

x y





 



1)

0

( 2008) 1 2008 2008 lim

x

x



0

( 2008) 1 2008 ( 2008) lim

x

x



0

( 2008)( 1 2008 1) lim

x

x



=

2

2008 lim( 2008)

(1 2008 ) (1 2008 ) 1







=-2008

2) 1 x(1  x2 ) 2008=

k

k

2008

2 2008

( 1)

k

k

c c x 



 

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 0,5

0,5

1,0

1,0

0,5

1,0 1,0 1,0 1,0 1,0

1,0

0,5 0,5

5/1

5/2

*Hệ số chứa x10 ứng với

2 10

;

k i

i k

i N k N

 





  





suy ra:0  i 10 / 3 Vậy i=0;1;2;3

*





  



   



  



c c  c c c c  c c

*Hàm số có đạo hàm tại các điểm x với x0 và cos

x



0 Hay HS có đạo hàm tại các điểm x0 và x2/ (2k+1)

*Tại x=0:

lim lim cos

y



   





*Tại điểm x=2/(2k+1)

lim lim

x y

   

  

0

 



       

=

0

lim cos

2 1 x x 2 (2 1) x

k



 

     

+

y

k

k

2 0

(2 1)

lim sin

x

k





 

 

    

=

2 0

(2 1)

lim sin

x

k





 

 



     =

2

2 (2 1)

(2 1)

k

k k



 +

0

lim (2 1)

2

x

y

k x





 



Vậy không tồn tại giới hạn tại điểm x=2/(2k+1)

*Tóm lại HS không có đạo hàm tại x=0 và x=2/(2k+1)

0,5

0,5

0,5 0,5

0,5

1,0 0,5 0,5

1,0 0,5

1)

A

E

F

G

D

*Qua điểm B;C;D dựng các đờng thẳng song song các cạnh tam giác BCD nh hình vẽ suy ra

AD=DE=DG=a;AB=BE=BF=c;AC=CF=CG=b Vậy tam giác AEF;AG

F;AGE vuông tại A

*

4

*VABCD=1/4VAEG F= 1

2 12

(a b  c )(b c  a )(c a  b ) 2)*Diện tích các mặt của tứ diện bằng nhau và bằng abc/4R=S/4

*BĐT tơng đơng a2+b2+c2

9R2

*Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC

BC CA AB  OC OB  OA OC  OB OA

=6R2-2(OB OC OCOA OAOB                                                                                     

) =9R2-(OA OB OC 

  

)2 9R2

*Dấu bằng xảy ra khi OA OB OC O  

   