SKKN Tu giac noi tiep

Nhng đối với học sinh lớp 9 khi chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn còn hạn chế ở tính chất “ Tổng hai góc đối diện bằng hai góc vuông “ do đó đối với học sinh trung bình , khá

Đề tài: Vai trò của tứ giác nội tiếp trong giải toán

I- Đặt vấn đề.

Trong chơng trình hình học lớp 9 việc chứng minh đợc vận dung nhiều đến khái niệm góc liên quan đến đờng tròn, nên việc sử dụng tứ giác nội tiếp trong chứng minh đóng vai trò quan trọng Nhng đối với học sinh lớp 9 khi chứng minh một tứ giác nội tiếp một

đờng tròn còn hạn chế ở tính chất “ Tổng hai góc đối diện bằng hai góc vuông “ do đó

đối với học sinh trung bình , khá thờng gặp khó khăn trong việc giải toán hình học ở lớp

9 Vì vậy qua đề tài này tôi muốn giúp các em nhìn lại các dấu hiệu nhận biết một tứ giác nội tiếp và đặc biệt là vận dụng tứ giác nội tiếp một đờng tròn để chứng minh một

số dạng bài toán khác nhau ở mức độ đơn giản để các em hiểu rõ hơn về việc chứng minh tứ giác nội tiếp và vai trò của tứ giác nội tiếp trong giải toán

II- Nội dung đề tài.

1) Xây dựng kiến thức cơ bản

Bài toán: Cho tứ giác ABCD Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại N, hai cạnh

AB và CD cắt nhau tại M Các điều kiện sau đây là tơng đơng

a) Tứ giác ABCD nội tiếp trong một đờng tròn

b) ACB = ADB

c) ABC + ADC = 1800

d) DAB = MCB

e) MA.MB = MC.MD

f) NA.NC = NB.ND

g) AB.CD + AD.BC = AC.BD

(Định lý Ptô-lê-mê)

2) Tìm hiểu chứng minh tứ giác nội tiếp thông qua bài tập.

Bài tập 1: Cho đờng tròn (O) và điểm A nằm ngoài (O) Qua A kẻ tiếp tuyến AB

và cát tuyến AMN với đờng tròn (O) Lấy I là trung điểm MN Chứng minh A, B, O, I cùng thuộc một đờng tròn

H

ớng dẫn:

*) T/h 1 Cát tuyến AMN và tiếp tuyến AB nằm về 2 nửa mp bờ là đờng thẳng chứa

đoạn thẳng OA

Ta có ABO + AIO = 900 + 900 = 1800

 ABOI nội tiếp 1 đờng tròn

*) T/h 2 Cát tuyến AMN và tiếp tuyến AB nằm cùng nửa mp bờ là đờng thẳng chứa

đoạn thẳng OA

+ Lợi dụng định nghĩa đờng tròn

Lấy C là trung điểm của OA

=> CA = CB = CO = CI

 ABIO nội tiếp 1 đờng tròn

+ Lợi dụng cung chứa góc

Ta có I và B cùng thuộc cung chứa góc 900 dựng trên OA

N A

D

M C

B

I

O B

A

// //

C

I N

M O

B

A

 ABIO nội tiếp 1 đờng tròn

Bài tập 2: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB Trên nửa đờng tròn đó lấy 2 điểm C

và D sao cho AC = CD = DB, các tiếp tuyến kẻ từ C và B của đ ờng tròn cắt nhau tại I Hai tia AC và BD cắt nhau tại K Chứng minh tứ giác KIBC nội tiếp một đờng tròn (bằng hai cách)

H ớng dẫn:

Cách 1:

Ta có KCI = KBI

 Tứ giác KIBC nội tiếp một đờng tròn

Cách 2 Gọi giao điểm DK và CI là M

 KMI = DMC (c- g - c)

Nên KI // CD

=> KIB = KCB = 900

 Tứ giác KIBC nội tiếp một đờng tròn

Nhận xét : Qua hai bài tập nêu trên phần nào đã cho học sinh thấy đợc việc chứng

minh 1 tứ giác nội tiếp 1 đờng tròn bằng nhiều cách Do đó qua bài tập này đã rèn thêm học sinh các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp 1 đờng tròn Với đề tài này tôi mục đích khai thác khai thác tứ giác nội tiếp để chứng minh một số yếu tố thông qua các bài tập

để học sinh thấy đợc vai trò tứ giác nội tiếp trong giải toán có phần qua trọng nh thế nào

3) Vai trò của tứ giác nội tiếp đ ờng tròn trong giải toán.

Dạng 1: Vai trò tứ giác nội tiếp trong chứng minh các góc bằng nhau.

Bài tập 1a: Cho đờng tròn tâm (O) và một điểm C ở ngoài đờng tròn Từ C kẻ

hai tiếp tuyến CE,CF và cát tuyến CMN tới đờng tròn Đờng thẳng CO cắt đờng tròn (O) tại hai điểm A và B Gọi I là giao điểm của AB với EF

Chứng minh rằng AIM = BIN

H ớng dẫn:

Ta có CM CN = CI CO (= CE2)

Lại có CEM = CNE (cùng chắn cung ME)

 CMI CON (c- g - c)

 Tứ giác IONM nội tiếp 1 đờng tròn

Nên IOM = INM =

2

1

sđ MM/

 sđ AM =

2

1

sđ MM/

 AM = AM/

Vậy AIM = BIN (= AIM/)

Bài tập 1b: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Trên (O) lấy điểm C , gọi H là chân

đờng vuông góc kể từ C xuống AB M và N lần lợt là tâm đờng tròn nội tiếp các tam giác ACH và BCH Gọi giao điểm MN với AC và BC lần lợt là P và Q

M

B O

A

/

M

N

M I

B

A

C O

E

F

a) Chứng minh CPQ = MHC

b) Khi C chạy trên nửa đờng tròn tâm O thì đờng trung trực PQ luôn đi qua 1 điểm

cố định

H

ớng dẫn:

Ta có NCH MAH (g- g)

Vì MHA = NCH = 450 và MAH = NCH

=> MHN AHC (c- g - c)

Nên tứ giác APMH nội tiếp 1 đờng tròn

 CPQ = MHC (đpcm)

 Tam giác PCQ vuông cân tại C

 Đờng trung trực PQ luôn đi qua 1 điểm cố định

Dạng 2: Vai trò tứ giác nội tiếp trong chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau.

Bài tập 2a: Cho tam giác ABC (AB < AC) , đờng trung tuyến AD và đờng phân

giác AE Đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt AB và AC lần lợt tại M và N Chứng minh BM = CN

H

ớng dẫn:

Vẽ đờng tròn ngoại tiếp ABE cắt AC tại F

Vì BAE = CAE => EB = EF và EM = EN

Do tứ giác ABEF và tứ giác AMEN

 BEF = MEN do đó BEM = FEN

Nên BEM = FEN (c-g-c) => BM = FN (1)

Lại có tứ giác AEDN nội tiếp nên CDN = EBF (= EAN)

Do đó DN // BF

Xét CBF có DB = DC, DN // BF => CN = FN (2)

Từ (1) và (2) => BM = CN (đpcm)

Bài tập 2b: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O, đờng phân giác AD.

Gọi H,K theo thứ tự là tâm các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ACD Chứng minh OH = OK

H

ớng dẫn:

Ta có OH, OK và HK lần lợt là trung trực

của AB, AC và AD

Nên AIHM và AMNK là các tứ giác nội tiếp

Do BAD = CAB => OHK = OKH

 OH = OK

Bài tập 2c : Từ điểm A bên ngoài đờng tròn (O) , vẽ các tiếp tuyến AB, AC (B và

C là các tiếp điểm) và cát tuyến ADE Đờng thẳng đi qua D và vuông góc với OB cắt

BC , BE theo thứ tự tại H và K Chứng minh rằng DH = HK

H

ớng dẫn:

Kẻ OM  DE, các điểm B, C, M cùng thuộc

đờng tròn đờng kính AO => BCM = BAM

Q P

N M

A

C

F

N M

D E

A

K

M I

D O A

B

C

H

K

E

D

M

B

Lại có BAM = HDM (soletrong) => HDM = BCM

Do đó tứ giác CDHM nội tiếp 1 đờng tròn

 DCH = HMD

Lại có DCH = AEB => HMD = AEB => MH // EB

Nên DH = HK (đpcm)

Dạng 3: Vai trò tứ giác nội tiếp trong chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Bài tập 3a: Tứ giác ABCD có ABC = 700, ADC = 1100 Gọi H, I, K theo thứ tự

là chân các đờng vuông góc kẻ từ D đến các đờng thẳng AB, AC và BC Chứng minh rằng 3 điểm H, I, K thẳng hàng

H

ớng dẫn:

Ta có các tứ giác AHDI và DIKC nội tiếp

 DIH + DIK = DAH + 1800 – DKC (1)

Do tứ giác ABCD nội tiếp một đờng tròn

Nên DCK = DAH (2)

Từ (1) và (2) => DIH + DIK = 1800

Nên ba điểm H, I, K thẳng hàng

Bài tập 3b: Cho tam giác nhọn ABC, đờng cao AD, trực tâm H Gọi AM, AN là

các tiếp tuyến của đờng tròn (O) đờng kính BC (M, N là các tiếp điểm) Chứng minh ba

điểm M, H, N thẳng hàng

H ớng dẫn:

Ta có AN2 = AE AC

Do tứ giác DHEC nội tiếp 1 đờng tròn

Nên AE AC = AH AD

=> AN2 = AH AD => AHN AND (c- g - c)

=> AHN = AND

Chứng minh tơng tự ta có AHM = AMD

Do tứ giác AMDN nội tiếp (c/m dễ dàng)

 AHN + AHM = AND + AMD = 1800

 Ba điểm M, H, N thẳng hàng (đpcm)

Bài tập 3c: Đờng tròn tâm O nội tiếp tam gíc ABC , tiếp xúc với các cạnh AB, AC

lần lợt tại F và E Gọi H là hình chiếu của B trên CO; K là hình chiếu của C trên BO Chứng minh rằng 4 điểm E, F, H, K thẳng hàng

H

ớng dẫn:

Ta có tứ giác HFOB và HKCB nội tiếp

 OHF = FBO = KBC và CHK = CBK

Do đó OHF = CHK => H, F, K thẳng hàng

Chứng minh tơng tự ta có H, E, K thẳng hàng

Vậy 4 điểm E, F, H, K thẳng hàng (đpcm)

Dạng 4: Vai trò tứ giác nội tiếp để tìm quỹ tích.

110 0

70 0

I

K

H A

B

C D

E

C O

D B

N A

F

H

O A

Bài tập 4a: Cho đờng tròn (O, R) AB và CD là hai dây của đờng tròn (O) sao

cho AB // CD M là điểm chuyển động trên (O) MD cắt AB tai Q Tìm quỹ tích tâm đ -ờng tròn ngoại tiếp tam giác MCQ

H

ớng dẫn: Phần thuận:

 Xét M chạy trên cung lớn CD của (O)

Tại C kể tiếp tuyến của (O) Gọi giao điểm

Của tiếp tuyến tại C với AB là E => E cố định

Ta có MCE = MQE = MDC

 MECQ nội tiếp

Nên tâm I của đờng tròn ngoại tiếp tam giác MCQ

trùng với tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MEC

=> Tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MCQ

thuộc trung trực CE

 Xét M chạy trên cung nhỏ CD của (O)

Tại C kể tiếp tuyến của (O) Gọi giao điểm

Của tiếp tuyến tại C với AB là E => E cố định

Ta có xCM = EQD => EQM + ECM = 1800

 MCEQ nội tiếp

Nên tâm I của đờng tròn ngoại tiếp tam giác MCQ

trùng với tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MEC

=> Tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MCQ

thuộc trung trực CE

Vậy M chuyển động trên (O) thì tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MCQ thuộc trung trực EC

Phần đảo:

Lấy I/ thuộc trung trực EC Vẽ đờng tròn (I/; I/C) cắt AB ntại Q/ và cắt (O;R) tại M/ chứng minh Q/, M/ , D thẳng hàng (chứng minh dễ dàng)

Vậy quỹ tích tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MCQ là trung trực của CE

Bài tập 4b: Cho hình vuông ABCD tâm O Một đờng thẳng xy quay quanh O và

cắt hai cạnh AD và BC lần lợt tại M và N Trên CD lấy điểm K sao cho DK = DM Gọi

H là hình chiếu của K trên xy Tìm quỹ tích điểm H

H

ớng dẫn

Phần thuận:

Ta có tứ giác MHKD, NHKC nội tiếp

Nên DMK = DHK =450

Vì CN = AM và DM = DK => CK = CN

 KHC = KNC = 450

Do đó DHC = 90 0

Vậy H nằm trên đờng tròn đờng kính CD

Giới han: Điểm H chỉ nằm trên nửa đờng tròn //

= H

K

N O

B A

M

Q

B

E

O

C

D A

M

x

Q B

E

O

C

D A

M

đờng kính CD nằm trong hình vuông

Phần đảo:

Lấy H bất kì nằm trên nữa đờng tròn đờng kính CD

Vẽ đờng thẳng HO cắt cạnh AD và BC tại M và N,

lấy điểm K trên CD sao cho DK = DM Chứng minh H là hình chiếu của K trên MN

Ta có tứ giác HOCD nội tiếp => DHM = DCO = 450

Mặt khác DKM = 450 => DHM = DKM => tứ giác HKDM nội tiếp

=> KHM = 900 => KH  MN => H là hình chiếu của K trên MN

Vậy: Quỹ tích của điểm H là nửa đờng tròn đờng kính CD nằm trong hình vuông

Dạng 5: Vai trò tứ giác nội tiếp trong chứng minh điểm cố định.

Bài tập 5a: Cho góc vuông xAy, điểm B cố định trên Ay, điểm C di chuyển

trên Ax Đờng tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC, BC theo thứ tự tại M

và N Chứng minh rằng đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

H

ớng dẫn:

Gọi giao điểm MN với AI là H

Ta có tứ giác CNIM nội tiếp 1 đờng tròn

=> BNH = BIA (cùng bằng 900 +

2

^

C )

 Tứ giác BIHN nội tiếp 1 đờng tròn

Nên BNI = BHI = 900 hay BNI = BHA = 900

 BH  AI

Do tia AI và điểm B cố định

 H cố định (đpcm )

Bài tập 5b: Cho 3 điểm A, B, C theo thứ tự thẳng hàng Đờng thẳng D vuông góc

với AB tại C , điểm M di động trên d , vẽ BD vuông góc với AM tại D , BD cắt d tại N Gọi E là giao điểm của AN và BM

a) Chứng minh rằng đờn tròn đờng kính MN đi qua 2 điểm cố định

b) Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua 2 điểm cố định c) Chứng minh tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN thuộc 1 đờng cố định d) Chứng minh đờng thẳng DE đi qua 1 điểm cố định

H

ớng dẫn:

a) Gọi giao điểm AB với đờng tròn đờng

kính MN là J và L

ta có CJ CL = CM CN = CA CB = hằng số

mà CJ = CL

 J và L cố định

Vậy: Đờng tròn đờng kính MN luôn đi qua

2 điểm ccố định J, L nằm trên AB

b) Gọi S là giao điểm thứ 2 của AB với (AMN)

y

x

H N

M

I

A

C B

ta có MC NC = AC SA = CA CB = hằng số

 điểm S cố định

Vậy : Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua 2 điểm cố định A và S nằm trên AB

b) Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN

 OA = OM = ON = OS (c/m trên)

Do A và S cố định => tâm O năm trên trên trung trực SA (cố định)

c) Gọi giao điểm của DE với AB là K

Ta thấy tứ giác JLNE nội tiếp 1 đờng tròn

=> AJ AL = AE AN (1)

Ta chứng minh đợc tứ giác KSNE nội tiếp 1 đờng tròn

=> AK SA = AE AN (2)

Từ (1) và (2) => SA AK = AL AJ

Do A, S, L, J cố định (c/m trên) => K cố định

Vậy: DE luôn đi qua điểm K cố định nằm trên AB mà AK =

SA

AJ AL.

Dạng 6: Vai trò tứ giác nội tiếp trong chứng minh cực trị hình học.

Bài tập 6a: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O) Gọi M là một điểm

trên cung ABC Vẽ MD  BC ; ME  AC; MF  AB Xác định vị trí của M để EF có

độ dài lớn nhất

H

ớng dẫn:

Theo bài 3a ta có ba điểm D, E, F thẳng hàng

Do bốn điểm F, D, M, B cùng nằm

trên 1 đờng tròn => DFM = DBM

tơng tự ta có DCM = DEM

nên MFE MBC (g-g)

=>    1

MC

ME MB

MF BC

EF

=> EF ≤ BC

Do đó EF lớn nhất khi E trùng với C, F trùng với B

Khi và chỉ khi MA là đờng kính của đờng tròn (O)

Bài tập 6b: Cho tam giác ABC nhọn điểm M di chuyển trên cạnh BC Gọi P, Q

là hình chiếu của M trên AB , AC Xác định vị trí của điểm M để PQ có độ dài nhỏ nhất

H

ớng dẫn:

Do tứ giác APMQ nội tiếp đờng tròn

Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ

Kẻ OH  PQ Đặt BAC =  => POH = 

Ta có PQ = 2PH = 2.OP.sin  = AM sin

Do  không đổi

Nên PQ nhỏ nhất khi AM nhỏ nhất

D

F

E

O C

A

B M



H

O

P

Q A

Do đó AM nhỏ nhất  AM  BC

Vậy PQ nhỏ nhất khi AM  BC

4) Các bài tập tự luyện

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đờng tròn (O), điểm D thuộc tia

đối của tia AD, CD cắt đờng tròn (O) tại E tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại B cắt EA tại

F Chứng minh rằng FD song song với BC

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A vẽ đờng tròn (O) tiếp xúc với AB tại B và

tiếp xúc với AC tại C Gọi I là một điểm thuộc cạnh BC (IB > IC) đờng vuông góc với

OI tại I cắt AB, AC theo thứ tự tại D và E Chứng minh OD = OE và BD = CE

Bài 3: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) , điểm E nằm giữa Cvà D Vẽ

đờng tròn (O) đi qua E và tiếp xúc với AD tại D Vẽ đờng tròn (O/) đi qua E và tiếp xúc với AC tại C Gọi K là giao điểm thứ hai của hai đờng tròn đó

Chứng minh rằng ba điểm K, E, B thẳng hàng

Bài 4: Cho góc vuông xOy , điểm A cố định thuộc tia Oy, điểm B dy chuyển

trên tia Ox Gọi C là đỉnh góc vuông của tam giác vuông ABC (C và O khác phía đối với AB) Tìm quỹ tích các điểm C

Bài 5: Cho tứ giác ABCD các đờng thẳng AB và CD cắt nhau ở M, các đờng

thẳng AD và BC cắt nhau ở N Chứng minh rằng cá đờng tròn ngoại tiếp bốn tam giác MBC, MAD, NAB, NCD cùng đi qua một điểm

Bài 6: Cho đờng tròn (O;R) BC là dây cung cố định khác đờng kính Điểm A

di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn Kẻ các đờng cao AD, BE, CF của tam giác ABC Xác định vị trí của điểm A để chu vi tam giác DEF đạt giá trị lớn nhất

III- Kết luận :

Qua quá trình giảng dạy tôi đã áp dụng đối vói nhiều đối tợng học sinh từ học sinh yếu kém đến học sinh khá giỏi tôi nhận thấy:

- Học sinh đợc rèn luyện nhiều cho nên việc chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn một cách thành thạo

- Học sinh tiếp thu bài một cách chủ động , tích cực và khám phá đợc tốt tính chất về tứ giác nội tiếp một đờng tròn và giúp cho học sinh tránh đợc nhầm lẫn đáng tiếc khi chứng minh về tứ giác nội tiếp đờng tròn và nắm đợc tất cả các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đờng tròn

- Học sinh đợc hiểu thêm về bản chất của tứ giác nội tiếp đờng tròn và các mối quan hệ giữa góc với cung bị chắn

- Rèn luyện thêm cho học sinh kỹ năng kỹ xảo trong chứng minh và biết cachs vận dụng hợp lý tứ giác nội tiếp trong chứng minh thông qua các góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.Cũng từ đó giúp các em củng cố và khắc sâu đợc bản chất của tứ giác nội tiếp

Trên đây là một số suy nghĩ của bản thân về việc chứng minh tứ giác nội tiếp một

đờng tròn và vai trò của nó trong giải toán Cũng thấy đợc rằng không phải bài tập nào thuộc dạng toán nào cũng làm đợc nh vậy Do đó khi chứng minh một điều gì cần phải xem xét một cách đầy đủ và toàn diện để chọn phơng án chứng minh hợp lý, có nh vậy mới giúp cho các em say sa trong giải bài tập và mang lại hiệu quả cao trong học tập

Vậy mong các thầy cô và đồng nghiệp đọc và giúp tôi hoàn thiện hơn đề tài này Tôi xin chân thành cảm ơn !!!

Ngời viết

Phan Xu©n Giang