P.Pháp:L.GIÁC HÓA1số P.Trình ĐẠI SỐ

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ CÓ DẠNG ĐẶC BIỆTNHỜ PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA Khi gặp các phương trình đại số đại số rất khó giải, khi đó chúng ta xem có thể thay đổi hình thức của bài toán th

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ CÓ DẠNG ĐẶC BIỆT

NHỜ PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA

Khi gặp các phương trình đại số đại số rất khó giải, khi đó chúng ta xem có thể thay đổi hình thức của bài toán (thường thông qua phương pháp ẩn phụ) để thu được những phương trình đơn giản hơn hay không!Trong một số trường hợp ta có thể chuyển phương trình đại số thành phương trình lượng giác thông qua các dấu hiệu

đặc biệt của các biểu thức chứa ẩn có mặt trong PT và thông qua miền giá trị của chúng

I CÁC BIỂU THỨC THƯỜNG ĐƯỢC LƯỢNG GIÁC HÓA

2 2

x= a t − ≤ ≤π t π

hoặc x= a cos ;0t ≤ ≤t π

2 2

x −a

; sin

a x t

2 2

t∈ − π π

  hoặc cos ;

a x

t

2

t∈ π  π

 

 

2 2

x= a t − < <π t π

hoặc x= acot ;0gt < <t π;

ax

1 c

bx c

  +  =

.sin

; 0 ; 2 cos

x

y

a

π

 =



∀ ∈



 =



3

4x −3x

(giống 4cos3t−3cost →cos3t)

cos ; 0

x= t ≤ ≤t π

2

2x −1 (giống 2cos2t−1→cos2t)

cos ; 0

x= t ≤ ≤t π

2

2

1

x

x

− (giống 2

2 tan

tan 2

1 tan

t

t

t →

−

2

2

1

x

x

+ (giống 2

2 tan

n 2

1 tan

t

si t

t →

−

II CÁC VÍ DỤ:

Ví dụ 1: Giải phương trình : x3 + (1 −x2)3 =x 2(1 −x2)

Giải :

+ ĐK : −1 x≤ ≤1→ẩn phụ x=cosϕ với 0 ≤ ϕ ≤ π

+ Khi đó 1−x2 = sinϕ ; sinϕ≥ ⇒0 sinϕ =sinϕ

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

+ Ta có phương trình : cos3ϕ+sin3ϕ= 2 sin osϕc ϕ

⇔(sinϕ+cosϕ) (1 sin os− ϕc ϕ) = 2 sin osϕc ϕ

+ Đặt sin os = 2 sin

4

u= ϕ+c ϕ ϕ+π 

  ⇒ − ≤ ≤1 u 2

+ Thu gọn phương trình theo ẩn u ta được : (u− 2)(u2+2 2u+ =1) 0 (*)

+ PT (*) có các nghiệm là : u= 2 ; u= − 2 1 ;+ u= − 2 1− < − 2 (loại)

4

2

x

⇒ =

+Vơi

2

u 1 sin os =1- 2 sin os = 1 2

2

u= ϕ+c ϕ ⇒ ϕc ϕ − = −

Vậy sin , osϕ c ϕ là nghiệm PT : 2 2 1 ( 2 1)(3 2)

(1 2) 1 2 0

2

+ Vì sin 0 os =- 2 1 ( 2 1)(3 2)

2

Vậy PT đã cho có 2 nghiệm là : 2

2

x= và - 2 1 ( 2 1)(3 2)

2

Ví dụ 2: Giải phương trình :

1

 +  − −  =

    với tham số a∈( )0;1

Giải :

1

 +  − −  = ⇔

1

 +  = −  +

+ Chia cả hai vế của phương trình cho

2 1 2

x

a a

  , ta được :

2

1

x x

= + ÷ +  + ÷

+ Vì a∈( )0;1 nên tồn tại góc 0;

2

π

ϕ ∈ ÷ để cho tan

2 a

ϕ = + Thu được phương trình : 2

2 tan 2 1

1 tan

x

ϕ ϕ

2

2

1 tan

2

1 tan

x

ϕ ϕ

1 sinϕ x cosϕ x

+ Hàm số y=(sinϕ) (x+ cosϕ)x là hàm nghịch biến và ta có :

( ) (2 )2

(2) sin cos 1

f = ϕ + ϕ =

+ Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Ví dụ 3: Giải phương trình :

Giải :

1

+ ĐK : −1 x≤ ≤1→ẩn phụ x=cosϕ với 0 ≤ ϕ ≤ π

+ Khi đó 1−x2 = sinϕ ; sinϕ≥ ⇒0 sinϕ =sinϕ

+ Phương trình đã cho có dạng lượng giác là : ( )3 ( )3

1 sin+ ϕ 1−cosϕ − 1+cosϕ = +2 sinϕ

+ Vì

2

1 sin sin os sin os

  (do 0≤ϕ≤π nên sin 2 0 & osc 2 0

)

+ Biến đổi (1) được : 2 sin2 os2 (2 sin ) 2 sin 2 os =1

os

=-2 2

c ϕ

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : os = - 2

2

x c= ϕ

Ví dụ 4 : Định giá trị của m để phương trình sau có nghiệm :

(4m−3) x+ +3 (3m−4 1) − + − =x m 1 0 (1)

Giải : Điều kiện : − ≤ ≤3 x 1

+ (1) 3 3 4 1 1

m

⇔ =

+ + − +

+ Vì : ( ) (2 )2 3 2 1 2

π

ϕ ∈   sao cho :

3 2sin 2 2 2

1

t x

t

ϕ

+ và

2 2

1

1 2cos 2

1

t x

t

+ với tan ; [ ]0;1

2

t= ϕ t∈

2 2

5 16 7

t t

+ Xét hàm số : 22 [ ]

7 12 9

5 16 7

( ) [ ]

2

2 2

52 8 60

5 16 7

t t

+ ⇒ f t( ) nghịch biến trên đoạn [ ]0;1 và (0) 9; (1) 7

f = f = + Vậy (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm trên đoạn [ ]0;1 khi và chỉ khi : 7 9

9≤ ≤m 7

Ví dụ 5 : Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm : x+ 1− =x m (1)

Giải : ĐK : 0≤ ≤x 1

Phương trình (1) có nghiệm khi m>0

(Nhận xét : ( ) (2 )2

x + −x = để đặt ẩn phụ)

+ Đặt sin ;

1 cos





− =

 với t 0;2

π

∈  

+ (1) sin cos 2 cos

4

m

t π

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

+ Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi : − 2≤ ≤m 2

+ Do điều kiện m>0 ta có : 0<m≤ 2

Ví dụ 6 : Trên đoạn [ ]0;1 phương trình sau có bao nhiêu nghiệm :

8 1 2x( − x2) (8x4−8x2 + =1) 1

Giải :

+ Vì x∈[ ]0;1 nên tồn tại góc 0;

2

π

α ∈   sao cho x=sinα

+ Ta có ph trình: 8sinα(1 2sin− 2α) (8sin4α−8sin2α + =1) 1⇔8sin cos 2 cos 4α α α =1(*)

+ Nhận thấy cosα =0 không là nghiệm của phương trình (*)nên nhân hai vế của phương trình cho cos 0 0;

2

π

α ≠ ⇒ ∈α  ÷

  ta được :

8sin cos cos 2 cos 4 cos sin 8 cos sin 8 sin

2

π

2

2

k m

π

π







2

18 9 2

14 7

k m

α

α

 = +



⇔ 

 = +



; ,k m Z∈

+ Vì 0;

2

π

α ∈ ÷ suy ra các nghiệm : x sin18

π

18

x= π

; sin

14

x= π

; sin5

14

x= π

Ví dụ 7 : Cho hai phương trình :

(3 2 2+ ) (x = 2 1− )x+3 (1) và ( 2 1) 2cos

9

Giả sử x là nghiệm của ph.trình (1) Ch minh rằng, khi đó x cũng là nghiệm của phương trình (2) Giải :

2 1

x

+

+ Đặt ( 2 1+ )x =2t với t > 0 Khi đó phương trình (1) trở thành :4 2 1 3 4 3 3 1

t

+ Xét t∈ −( 1;1) , đặt t=cos ,α α∈(0;π) ta được

4cos 3cos cos3

k

+ Vì α∈(0;π) nên ;5 ;7

9 9 9

π π π

cos ; cos ; cos

t = π t = π t = π

+Vì phương trình bậc ba có đủ ba nghiệm nên ta không xét nghiệm t∉ −( 1;1) Mặt hác 2

5 cos 0 9

t = π <

và 3

7 cos 0

9

t = π <

do đó nghiệm của phương trình (1) là : 1 cos

9

t = π ⇒

( 2 1) 2cos

9

+ Vậy nếu x là nghiệm của phương trình (1) thì x cũng là nghiệm của phương trình (2)

Ví dụ 8 : Giải phương trình : 2 2 2

1

x x x

−

Giải: Điều kiện: x >1 Đặt 1 ; (0; );

α

= ∈ Thu được PT mới có dạng LG như sau :

2 2 sin cos 2 2 sin cos

+ Đặt : sin cos 2 cos

4

t= α+ α = α −π 

+ ĐK : 1≤ ≤t 2;

2 1 sin cos

2

t

+ Ta có PT : t= 2t2− −t 2⇔ 2

2

2

t

t

 =



 =



t= ⇒ = ∈α π  π⇒ =x

Ví dụ 9 : Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm : x+ 1− =x m (1)

Giải : ĐK : 0≤ ≤x 1

Phương trình (1) có nghiệm khi m>0

(Nhận xét : ( ) (2 )2

x + −x = để đặt ẩn phụ)

+ Đặt sin ;

1 cos





− =

 với t 0;2

π

∈  

+ (1) sin cos 2 cos

4

m

t π

+ Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi : − 2≤ ≤m 2

+ Do điều kiện m>0 ta có : 0<m≤ 2

Ví dụ 10 : Giải phương trình : 2 2 2

1

x x x

−

Giải: Điều kiện: x >1 Đặt 1 ; (0; );

α

= ∈ Thu được PT mới có dạng LG như sau :

2 2 sin cos 2 2 sin cos

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

+ Đặt : sin cos 2 cos

4

t= α+ α = α −π 

+ ĐK : 1≤ ≤t 2;

2 1 sin cos

2

t

+ Ta có PT : t= 2t2− −t 2⇔ 2

2

2

t

t

 =



 =



t= ⇒ = ∈α π  π⇒ =x

Ví dụ 11: Cho phương trình : 1+ +x 8− +x (1+x)(8−x)=m(1)

a) Giải PT (1) khi m= 3

b) Tìm m để PT (1) có nghiệm.

Giải :

+ Với điều kiện: x∈ −[ 1;8], ta đặt : 3 sin 1

3 cos 8





 ; t 0;2

π

∈  

a) m = 3 ta có PT : 3sint+3cost+9sint.cost = 3 ⇔sint+cost+3sint.cost = 1 (2)

+ Đặt : sin cos 2 sin ;

4

u= t+ t= t+π 

  ĐK :1≤ ≤u 2

2

1

3

u

u

=





 =



⇒ = ⇒ = − ∨ =

Ví dụ 12: Giải phương trình sau : 2 ( )3 ( )3 2 1 2

3 3

x

Giải:

+ Điều kiện : x ≤1

+ Với x∈ −[ 1;0]: thì ( )3 ( )3

1+x − 1−x ≤0 (ptvn) + x∈[0;1] ta đặt : cos , 0;

2

∈    Khi đó phương trình trở thành:

2 6 cos 1 sin 2 sin cos

  vậy phương trình có nghiệm :

1 6

x=

Ví dụ 13: Giải phương trình sau: 36x+ =1 2x

Giải:

+ Lập phương 2 vế ta được: 3 3 1

2

+ Xét : x ≤1, đặt x=cos ,t t∈[ ]0;π Khi đó ta được 5 7

cos ;cos ;cos

  mà phương trình

bậc 3 có tối đa 3 nghiệm vậy đó cũng chính là tập nghiệm của phương trình

Ví dụ 14: Giải phương trình 2

2

1 1

1

x

x

+

−

Giải: đk: x >1, ta có thể đặt 1

t

π π

+ Khi đó ptt: 2 ( )

cos 0 1

2

t t

=





= −



+ Phương trình có nghiệm : x= − 2( 3 1+ )

Ví dụ 15: Giải phương trình : ( )

2 2 2

2

2

1 1

1

x x

x

+ +

−

Giải: đk x≠0,x≠ ±1

+ Ta có thể đặt : tan , ;

2 2

x= t t∈ − π π 

2sin cos 2t t+cos 2t− = ⇔1 0 sin 1 sint − t−2sin t =0

+ Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm 1

3

x=

Sau đây là xét mở rộng thêm ví dụ về lượng giác hóa để giải hệ phương trình :

Ví dụ 16: Xác định bộ 3 hệ số (x,y,z) thõa mãn hệ pt:











= +

= +

= +

x x z z

z z y y

y y x x

2 2 2

2 2 2

Hướng dẫn:

+ ( 0,0,0 ) là một nghiệm của hệ ; nhận xét x,y,z ≠ ± 1

→ Hệ tương đương với



















−

=

−

=

−

=

2 2 2

1 2 1 2 1 2

z

z x y

y z x

x y

+ Sự có mặt các vế phải của các pt → liên hệ đến công thức lượng giác →

−

=

α

α

tan 1

tan 2 2

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

2 4 tanα 1 α π kπ

x=   →x ± ≠ +

( / tan 1 )

7

8 tan

tan 8

tan

4 tan

2

tan

±≠

=

⇔

=

⇒

=

=

=











α α

α

Z n đk

n x

z y

→ Ngiệm của hệ là

7

4 tan ,

7

2 tan ,

7

z

n y

n

Ví dụ 17: Giải hệ phương trình:











= + +











 +

=







=









 +

1

1 5

1 4

1 3

zx yz xy

z

z y

y x

x

Hướng dẫn:

+ Lưu ý :





d cùng ,

,

0 ,

,

z y x

z y

x

và nếu x,y,z là 1 nghiệm thì (-x,-y,-z) cũng là nghiệm (do t/c đối xứng )

→ xét x, y, z > 0 + Sự xuất hiện các biểu thức z z

y

y x

x+1, +1, +1dạng chung là + →

u

u 1 ẩn phụ :









 < <

=

=

=

2 , , 0 : , tan , tan ,

x

+ Sử dụng định lý hàm số sin

Ví dụ 18: Tìm giá trị của tham số m dể hệ phương trình sau có nghiệm :









= +

−

=

−

−

2 3

0

1 2

m m mx y

y x

Hướng dẫn:

+ Đk : x ≤ 1 →đặt x = cosϕ →hệ pht :

( )







−

=

−

=

(*) 3 2 cos

sin

sin

m m

y

ϕ ϕ

ϕ

+ Đk hệ đã cho có nghiệm  (*) có nghiệm t/m đkiện sinϕ > 0

III BÀI TẬP

Bài 1 : Giải phương trình : 2 1 2 2

2

1 2 1

x x

x

−

=

− +

+ ĐK: −1 x≤ ≤1→ẩn phụ x=cos y, 0 ≤ ϕ ≤ π

Bài 2 : Giải phương trình sau :

1 )

1 8

8 )(

2 1

(

3 2 3 2

(1 ) 2(1 )

x + −x =x −x ( HDẫn : Đặt x=cos ;α α∈[ ]0;π )

Bài 3 : Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm :

1 1 2

x+ x =

− ( H.Dẫn : Đặt x=cos ;α α∈(0;π))

Bài 4 : Giải và biện luận phương trình theo tham số a , ( a > 0 )

2x+ a2−4x =a (HDẫn : Lấy ĐK, sau đó đặt 2x =acosα)

Bài 5 : Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm : 4x3−3x= 1−x2;

( HD: Đk: x∈ −[ 1;1]; Đặt : cos ; ;

2 2

x= t t −π π

∈   ;)

Bài 6: Giải phương trình sau : x= 2+ 2− 2+x ( Đặt x=2cos ;α α∈[ ]0;π )

Bài 7: Giải phương trình : 2 1 52

x

+ ( Đặt : x tan ; 2 2; ;

π π

Bài 8 : Tìm m để PT sau có nghiệm : (4m−3) x+ +3 (3m−4) 1− + − =x m 1 0

Bài 9 : Cho đường tròn có phương trình: (C): ( ) (2 )2

x− + −y =

Tìm M (x0;y0) thuộc ( C ) sao cho (x0+y0) nhỏ nhất

HD :

x− y−

    đặt :

1 sin ; 2

2 cos 2

x y

α α

−



 −



Bài 10 : Cho phương trình : 3

3 1 0

x − + =x Chứng minh rằng phương trình có ba nghiệm x x x và thỏa điều kiện: 1; ;2 3 2 2

1 2 2; 2 2 3

x = +x x = +x

Bài 11 : Giải phương trình :

1

 +  − −  =

    với tham số a∈( )0;1

Bài 12: Giải phương trình :1 2 (1 ) 1

+ − = + − ( Đặt cos2 ; 0; ;

2

x= α α  π

∈   )

Bài 13 : Giải các hệ phương trình sau :

2 2 2

2 2 2

x y yx

y z zy

z x xz

 = −



= −



 = −



HD : Rút x; y; z và đặt tan ;

x= α −π < <α π 

Bài 14 : Giải các hệ phương trình sau :

2 2 1

3 ( )(1 4 )

2

x y

x y xy









HD : Đăt x=sin ;α y=cos ;α α∈[0;2π]

Bài 15: Giải các phương trình sau :

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

+ − HD: vì

1 2cos tan

1 2cos

x x

x

+

=

− nên đặt x=cost

2) 1+ 1−x2 =x(1 2 1+ −x2) ĐS: 1

2

x=

3) x3−3x= x+2 HD: chứng minh x >2 vô nghiệm

-Tạm