Phụ lục 2 phương pháp gauss giải hệ phương trình đại số tuyến tính

Phụ lục 2: Phương phápGauss giải hệ phương trình đại số tuyến tính Bởi: PGS.. Có thể tính nghiệm theo công thức Cramer x i= detAi detA,... trong đóA i− ma trậnAvới cộtibị thay thế bằng c

Phụ lục 2: Phương pháp

Gauss giải hệ phương trình

đại số tuyến tính

Bởi:

PGS TS NGƯT Phạm Văn Huấn

a11x1

a21x1

a n1 x1

+

+

+

a12x2

a22x2

a n2 x2

+ + +

+ + +

a1nx n a2nx n

a nn x n

b1 b2

b n }

hay Ax = b (*)

A =(a ij)= ( a11

a21

a n1

a12

a22

a n2

a1n

a2n

a nn );b =( b1

b2

b n ); x =( x1

x2

x n ) Nếu ma trậnAkhông suy biến, tức

detA =∣

a11

a21

a n1

a12

a22

a n2

a1n

a2n

a nn

∣ ≠0

thì hệ (*) có nghiệm duy nhất Có thể tính nghiệm theo công thức Cramer

x i= detAi detA,

trong đóA i− ma trậnAvới cộtibị thay thế bằng cột các số hạng tự dob.

1 Phương pháp loại biến Gauss giải hệ phương trình đại số tuyến tính:

Thí dụ cho hệ

a11x1+ a12x2+ a13x3+ a14x4= a15

a21x1+ a22x2+ a23x3+ a24x4= a25

a31x1+ a32x2+ a33x3+ a34x4= a35

a41x1+ a42x2+ a43x3+ a44x4= a45

}}}

(1)

Giả sử phần tử chínha11≠ 0 Chia phương trình thứ nhất choa11, ta có

x1 + b12x2+ b13x3+ b14x4= b15, (2)

vớib1j= a11 a1j (j = 2,3,4,5).

Dùng phương trình (2) để loại ẩnx1 khỏi các phương trình số 2, 3, 4 của hệ (1): Muốn vậy, nhân phương trình (2) tuần tự vớia21 ,a31,a41và tuần tự lấy các phương trình số 2, 3,

4 trừ đi các tích tương ứng vừa nhận được, ta có ba phương trình:

a22(1)x2+ a23(1)x3+ a24(1)x4= a25(1)

a32(1)x2+ a33(1)x3+ a34(1)x4= a35(1)

a42(1)x2+ a43(1)x3+ a44(1)x4= a45(1)

}}

(3)

trong đó

a ij(1)= a ij − a i1 b1j(i = 2,3,4;j = 2,3,4,5)(4)

Bây giờ chia phương trình thứ nhất của hệ (3) cho phần tử chínha22(1)ta có:

b2j(1)= a2j

(1)

a22(1)(j = 3,4,5).

Bằng cách tương tự như khi loại x1, bây giờ ta loại x2 khỏi các phương trình thứ ba và thứ tư, ta có:

a33(2)x3+ a34(2)x4= a35(2)

a43(2)x3+ a44(2)x4= a45(2)

}

(6)

trong đó

a ij(2)= a ij(1)− a i2(1)b2j(1)(i = 3,4;j = 3,4,5) (7)

Chia phương trình thứ nhất của hệ (6) cho phần tử chínha33(2), ta có:

x3 + b34(2)x4 = b35(2), (8)

trong đó

b3j(2)= a3j

(2)

a33(2)(j = 4,5).

Sau đó nhờ (8) ta loạix3khỏi phương trình thứ hai của hệ (6), nhận được:

a44(3)x4= a45(3)

trong đó

a4j(3)= a4j(2)− a43(2)b3j(2)(j = 4,5)(9)

Như vậy ta đã đưa hệ (1) về hệ tương đương có ma trận các hệ số là ma trận tam giác

x1+ b12x2+ b13x3+ b14x4 = b15

x2+ b23(1)x3+ b24(1)x4 = b25(1)

x3+ b34(2)x4 = b35(2)

a44(3)x4= a45(3)

}}}

(10)

Từ (10) xác định các ẩn

x4= a45(3)/ a44(3)

x3 = b35(2)− x4b34(2)

x2 = b25(1)− x4b24(1)− x3b23(1)

x1= b15− x4b14− x3b13− x2b12

}}}

(11)

Vậy thủ tục giải hệ phương trình đại số tuyến tính bậc nhất quy về hai quá trình:

a) Quá trình thuận: đưa hệ (1) về dạng tam giác (10);

b) Quá trình nghịch: tìm ẩn theo các công thức (11)

Nếu phần tử chính của hệ bằng không thì chỉ cần thay đổi chỗ của các phương trình trong hệ tương ứng để làm cho phần tử chính khác không

Số phép tính số họcNcần thực hiện trong phương pháp Gauss bằng

N = 2n(n + 1)(n + 2)3 + n(n − 1).

Vậy số phép tính số học xấp xỉ tỷ lệ với luỹ thừa bậc ba của số ẩn

2 Phương pháp căn bậc giải hệ phương trình đại số tuyến tính trong trường hợp ma trận

Alà ma trận đối xứng

Theo phương pháp này ma trận A được biểu diễn thành tích của hai ma trận tam giác chuyển vị

A = T'T(13)

trong đó

T =( t11

0

0

t12

t22

0

t1n

t2n

t nn ),{T

'

=( t11

t12

t1n

t22

t2n

0 0

t nn )

Nhân hai ma trậnT'vàTvà cho tích bằng ma trậnA, ta suy ra cá công thức tính các phần

tửt ij:

t11=√a11,t1j= a1j t11 (j > 1)

t ii=√a ii− ∑k = 1 i − 1 t ki2(1 < i ≤ n)

t ij= a ij− ∑k = 1

i − 1 t ki t kj

t ii (i < j)

t ij = 0khii > j

(14)

Như vậy ta đã thay hệ (12) bằng hai hệ tương đương

T' y = b, T x = y 15)

hay

t11y1= b1

t12y1+ t22y2= b2

t1ny1+ t2ny2+ +t nn y n = b n

}}}

(16)

t11x1+ t12x2+ +t1nx n = y1

t22x2+ +t2nx n = y2

t nn x n = y n

}}}

(17)

Từ đó suy ra các công thức tính:

y1= t11 b1 ,y i = bi − ∑k = 1 i − 1 t kiyk

tii (i > 1)(18)x n= tnn yn ,x i= yi − ∑k = i + 1 n tikxk

tii (i < n)(19) Vậy quá trình thuận gồm tính các phần tử của ma trận T theo các công thức (14) Quá trình nghịch là tính các ma trận cộtyvàxtheo các công thức (18), (19)