GIỚI THIỆU SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Các ứng dụng của hệ thức Viète

Nó không những đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức mà còn đòi hỏi học sinh phải có những kỹ năng tư duy nhất định như: Khả năng phân tích, tổng hợp, khả năng tư duy logic ,suy diễn tốt,…Việc giải tốt loại toán này giúp học sinh phát triển khả năng tư duy,giúp các con có thói quen khai thác tối đa, khai thác triệt để nhất những gì mình có, nuôi dưỡng lòng say mê toán học , sự sáng tạo trong các học sinh giỏi toán

GIỚI THIỆU SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên đề tài: Các ứng dụng của hệ thức Viète T

1- Cơ sở lý luận:

Các bài toán về phương trỡnh bậc hai là cỏc bài toỏn tương đối quen thuộc đối vớivới học sinh THCS Tuy vậy giải và biện luận phơng trình bậc 2 có chứa tham số làloại toán khó Nú khụng những đũi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức mà cũnđũi hỏi học sinh phải cú những kỹ năng tư duy nhất định như: Khả năng phõn tớch,tổng hợp, khả năng tư duy logic ,suy diễn tốt,…Việc giải tốt loại toỏn này giỳp họcsinh phỏt triển khả năng tư duy,giỳp cỏc con cú thúi quen khai thỏc tối đa, khaithỏc triệt để nhất những gỡ mỡnh cú, nuụi dưỡng lũng say mờ toỏn học , sự sỏng tạotrong cỏc học sinh giỏi toỏn…

Đú chớnh là lý do tụi chọn đề tài này cho SKKN của mỡnh

2- Cơ sở thực tiễn:

Trên thực tế, đối với học sinh khi giải các bài toán dạng này cần phải có rất nhiều thời gian nghiên cứu Do đó việc đi sâu vào nghiên cứu và tìm tòi các cách giải bài toán về hệ thức Viete đối với học sinh còn rất ít Còn đối với đa số học sinh việc nắm vững về mục đích, yêu cầu khi giải các dạng bài cũng nh kiến thức về một số dạng bài là còn rất hạn chế Các tài liệu viết riêng về loại toán này cũng rất hiếm cho nên việc tham khảo đối với học sinh còn gặp nhiều khó khăn

Từ bài toán đơn giản không giải phơng trình tính tổng và tích 2 nghiệm của phơng trình bậc 2 , học sinh có phơng tiện là hệ thức Vi – ét để tính toán Hệ thức còn giúp học sinh xét dấu 2 nghiệm của phơng trình mà khụng biết cụ thể mỗi nghiệm

là bao nhiêu

Giải và biện luận phơng trình bậc 2 có chứa tham số là loại toán khó Tiếp tục bài toán này thờng kèm theo yêu cầu tính giá trị biểu thức , quan hệ giữa 2 nghiệm , các phép tính trên 2 nghiệm của phơng trình Việc tính mỗi nghiệm của phơng trình theo công thức nghiệm là vô cùng khó khăn vì phơng trình đang chứa tham

số Trong trờng hợp đó hệ thức Vi – ét là 1 phơng tiện hiệu quả giúp học sinh giảiloại toán này

Trong qua trỡnh tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm tụi nhận thấy đõy là một cõu khụng thể thiếu trong cỏc đề thi học sinh giỏi, thi vào THPT và thi vào cỏckhối chuyờn Nhưng đa số học sinh ngại và khụng giải quyết tốt phần này Phần vỡ sỏch giỏo khoa khụng dành nhiều thời lượng cho nú, phần nữa là học sinh thiếu một tài liệu cơ bản hướng dẫn cỏc em đi từ những bài tập đơn giản của SGK để tỡmcỏch giải quyết những bài toỏn phức tạp do đú cỏc em lỳng tỳng khi gặp phải cỏc bài toỏn khú

Đú là lý do chớnh để tụi viết đề tài này, đỳc rỳt lại những kinh nghiệm của bản

thõn, tham khảo ý kiến của cỏc đồng nghiệp và quan trọng nhất là ý kiến phản hồi của học sinh sau khi cỏc em được giảng dạy về những gỡ cỏc em cần ở thầy cụ trong vấn đề này.

Vì vậy đề tài này sẽ là một nội dung tham khảo cho giáo viên để góp phần tạo nêncơ sở cho giáo viên có thể dạy tốt hơn loại toán về hệ thức Viete

II

Mục đích viết sáng kiến kinh nghiệm:

Cuối học kỳ 2 lớp 9 , thời gian gấp rút cho ôn thi học kỳ 2 và các kỳ thi cuối cấp Các bài toán cần áp dụng hệ thức Vi – ét đa dạng có mặt trong nhiều kỳ thi quan trọng nh thi học kỳ 2, thi tuyển sinh vào lớp 10 , thi vào các trờng chuyên lớp chọn Trong bài viết này , tôi hy vọng đóng góp thêm 1 số kinh nghiệm hớng dẫn học sinh làm quen và tiến tới giải tốt các bài cần áp dụng hệ thức Vi - ét

Cú thể cỏc bài toỏn , cỏc vớ dụ đưa ra đõu đú chưa phải là cỏch giải ngắn nhất hoặc

thụng minh nhất nhưng đú là cỏch giải “ Gần “ với suy nghĩ của đa số học sinh

nhất Đú là phương chõm chớnh của tụi khi biờn soạn đề tài này

Trong phần cơ bản tụi đưa vào cỏc bài toỏn lấy từ SGK phõn tớch kỹ cỏch tỡm hướng giải quyết, cỏch phỏt triển bài toỏn và những sai lầm học sinh cú thể gặp phải trong khi giải quyết cỏc bài toỏn đú Trong phần cỏc bài tập điển hỡnh tụi đưa cỏc bài tập điển hỡnh về cỏch giải, cỏc bài toỏn khú và cỏc bài toỏn trớch từ cỏc đề thi HSG, thi vào THPT, thi vào cỏc khối chuyờn cỏc năm của SGD Hà Nội và một

2 Dấu của nghiệm số của phương trình bậc hai:

Cho phương trình ax 2 bx  c 0a 0 có hai nghiệm x x1 ; 2thì ta có các kết quả sau:

2.1 Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi: P 0

2.2.Phương trình có hai nghiệm dương:

0 0 0

P S

P S

Giả sử phương trỡnh ax 2 bx  c 0a 0 cú hai nghiệm x x1 ; 2

2 Giỏ trị nhỏ nhất : Nếu hai số dương cú tớch khụng đổi thỡ tổng cỉa chỳng nhỏ

nhất khi hai số bằng nhau : x1 x2 S thay đổi ; x x1 2 P khụng đổi

Thỡ minS 2 P  x1 x2  P

IV Mối quan hệ giữa cỏc nghiệm của phương trỡnh :

1.Tỷ sốcỏc nghiệm của hai phương trỡnh :

Tỡm giá trị của tham số để phơng trình này có một nghiệm bằng k (k ≠ 0) lần một nghiệm của phơng trình kia:

Xét hai phơng trình:

ax2 + bx + c = 0 (1)

v a’xà a’x 2 + b’x + c’ = 0 (2)

trong đó các hệ số a, b, c, a’, b’, c’ phụ thuộc vào tham số m

Tỡm m để sao cho phơng trình (2) có một nghiệm bằng k (k ≠ 0) lần một nghiệm của phơng trình (1), ta có thể làm nh sau:

01.Giả sử x0 là nghiệm của phơng trình (1) thì kx0 là một nghiệm của phơng trình (2), suy ra hệ phơng trình:

Giải hệ phơng trình trên bằng phơng pháp thế hoặc cộng đại số để tìm m

02.Thay các giá trị m vừa tìm đợc vào hai phơng trình (1) và (2) để kiểm tra lại

2.Hai ph ương trinh tương đương:

Định giá trị của tham số m để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với nhau

Giải hệ trên ta tìm đợc giá trị của tham số

02.Trờng hợp cả hai phơng trình đều có nghiệm, ta giải hệ sau:

(4) ( 3)

(4)

P P

S S

0 Δ

0 Δ

Để giải quyết tiếp bài toán, ta làm nh sau:

01.Tìm điều kiện để hệ có nghiệm rồi tính nghiệm (x ; y) theo m

02.Tìm m thoả mãn y = x2

03.Kiểm tra lại kết quả

B CÁC DẠNG BÀI CƠ BẢN

1.Giải phương trình bậc hai bằng cách nhẩm nghiệm :

TÝnh nhÈm nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai:

Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a  0 )

- NÕu a + b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm: x1 = 1; x2 =

a c

- NÕu a – b + c = 0 th× x1 = -1; x2 =

-a c

1.1.Các bài tập điển hình:

VÝ dô1: TÝnh nhÈm nghiÖm cña c¸c ph¬ng tr×nh sau:

a) 2.x2 – (3 - 2)x + ( 2 - 1)2 = 0 (1)

b) mx2 – (1 – m) x – 1 = 0 (2)

b) Với m = 5 , giả sử phơng trình đã cho khi đó có 2 nghiệm là x x1, 2

Không giải phơng trình , hãy tính giá trị của biểu thức

Cho ph¬ng tr×nh bËc 2 Èn x : x2 2(m 1)x2m2 3m 1 0 (1) a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm khi vµ chØ khi 0  m  1

b) Gäi x x1, 2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh , chøng minh r»ng

1 2 1 2

88

Vậy phơng trình (2) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu dơng nên phơng trình (1)

có 4 nghiệm phân biệt đối nhau từng đôi một

m M

a) Chứng minh : Phơng trình đã cho luôn luôn có nghiệm với mọi m

b) Trong trờng hợp m > 0 và x x1, 2 là các nghiệm của phơng trình nói trên hãy

a)   ,  (m1)2  m

2 2

m m m m m m

m m

 

Với m = 1 thoả mãn điều kiện m > 0

m = -1 không thoả mãn điều kiện m > 0

Vậy với m = 1 thì A có GTNN bằng 8

Vớ dụ 6 : ( đề TS chuyên Ninh Bỡnh 2005 - 2006 ) (2 đ)Xét phuơng trình mx2+ (2m -1) x + m -2 = 0 (1) với m là tham số

m m

2 2

c) Gäi n N* ta cã m = n( n + 1 ) lµ tÝch cña 2 sè tù nhiªn liªn tiÕp ( TM§K m  0 )

P x x 1 2  a 1 (2)

Trõ 2 vÕ cña (1) cho (2) ta cã x1x2  x x1 2 1 , ®©y lµ biÓu thøc liªn hÖ gi÷a x1vµ

x2 kh«ng phô thuéc vµo a

Hớng dẫn giải:

a)  , m2  2(m2  2)m2 4

Phơng trình có 2 nghiệm

2

2

0 0 4

m

m

m

  

b)Theo định lý Vi ét có

2

2

;

2

m

x x  m x x  

Do đó ta có A2x x1 2 x1x2  4 (m2)(m 3)

Vì m   2; 2 nên (m + 2)(m - 3)  0

A m  m  m m  m  

Vậy GTNN của A là 25

4 khi và chỉ khi m = 2

2.2Bài tập ỏp dụng:

Bài 1: Gọi x1 ; x2 là các nghiệm của phơng trình: x2 – 3x – 7 = 0

Tính:

4 2

4 1

3 2

3

1

1 2 2 1 2

1

2 1

2 2

2

1

x x F

; x x E ; x 3x x 3x D

; 1 x 1 1 x 1 C ; x x B

; x x

A































Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm là

1 x

1

và 1 x

1

2

Bài 2: Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình: 5x2 – 3x – 1 = 0 Không giải phơng trình, tính giá trị của các biểu thức sau:

x 4x x

4x

3x x

5x

3x

C

; x

1 x

1 1 x

x x

x 1

x

x

x

x

B

; x 3x 2x x 3x

2x

A

2

2 1

2

2

1

2 2 2 1

2

1

2

2 1 1

2 1

2 2

1

2

1

2 2 1

3 2 2

2

1

3

1













































Bài 3: Không giải phơng trình 3x2 + 5x – 6 = 0 Hãy tính giá trị các biểu thức sau:

  

2

2 1

1 2

1

1

2 2

1 1

2 2 1

x

2 x x

2 x D

; x x C ; 1 x x 1 x x B

; 2x 3x 2x

3x

A



























Bài 4: Cho phơng trình (m – 4)x2 – 2(m – 2)x + m – 1 = 0

Nếu phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 tớnh: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + 2

3.Xỏc định hệ số biết hệ thức giũa cỏc nghiệm:

3.1 Cỏc bài tập điển hỡnh

Ví dụ 1: Gọi m, n là các nghiệm của phơng trình:

x2 – (1 + 2) x + 2 = 0 (1) (m < n)

Lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là:

n

x m

x









1

1

; 2

1

2 1

Giải: Phơng trình (1) có: a + b + c = 1 – (1 + 2) + 2 = 0

=> Phơng trình có 2 nghiệm là 1 và 2

Gọi m, n là các nghiệm của phơng trình (1) với m < n

=> m = 1; n = 2

2 1

1 1

1

; 2 1

1 2

1

2 1

















n

x m

x

2 1

1 2 1

1











2 1

1 2 1

1









=> x1; x2 là 2 nghiệm của phơng trình: x2 + 2x – 1 = 0

Ví dụ2: Cho phơng trình: x2 – 3x + (k – 1) = 0 (1)

Xác định hệ số k để phơng trình có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn 1 trong các

điều kiện sau:

a) 2x1 – 5x2 = - 8; b) x1 – x2 = 15; c) x1 + x2 = 3

Giải: Điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm là:   0

= 9 – 4 (k – 1) = 9 – 4k + 4 = 13 – 4k

 0 <=> 13 – 4k 0 <=> k

4

13

 (2) Gọi 2 nghiệm của phơng trình (1) là x1; x2

áp dụng hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = 3; x1.x2 = k – 1 (3)

a) Giải hệ phơng trình: 











8 5

2

3

2 1 2 1

x x x x





































1 2 3 14 7 8 5

2

6 2

2

1 2 2 1 2 2 1

2 1

x x x x x x

x

x

x

Khi đó, thay vào (3) ta có: 1.2 = k – 1 => k = 3 (TMĐK (2))

b) Giải hệ phơng trình:























































1 4 5 3 15 ) )(

(

3 15

3

2 1 2 2 2 2 2

x x x x x

x

x

x

Thay vào (3) ta có: 4 (-1) = k – 1 <=> k = -3 (TMĐK)

c) Giải hệ phơng trình: 















1

3 3

2 1

2 2

2 1

k x

x

x x

x x

Ta có: x1 + x2 = (x1 + x2)2 – 2x1x2

=> 3 = 32 – 2 (k – 1)

<=> k = 4, không TMĐK (2)

Vậy không tồn tại số k để thoả mãn x1 + x2 = 3

Vớ dụ3: Chứng tỏ rằng phơng trình x2  4x  có 2 nghiệm phân biệt x1 0 1 , x

2 Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm là x12 và x22

2

Hớng dẫn giải:

1)   , 4 1 0 nên phơng trình có 2 nghiệm phân biệt

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

P x x x x

vậy phơng trình cần tìm là x2- 14x +1 = 0

3.2: Bài tập ỏp dụng:

Bài 1:

a) Gọi p và q là nghiệm của phơng trình bậc hai: 3x2 + 7x + 4 = 0 Không giải phơng trình hãy thành lập phơng trình bậc hai với hệ số bằng số mà các nghiệm của nó là

1 p

q

và 1 q

p



b) Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm là

2 6 10

1

và 72 10

1



Bài 2: Cho phơng trình x2 – 2(m -1)x – m = 0

a) Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm x1 ; x2 với mọi m b) Với m ≠ 0, lập phơng trình ẩn y thoả mãn

1 2 2 2 1 1

x

1 x y

và x

1 x

Bài 3: Cho phơng trình 2x2 – 4x – 10 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2

Không giải phơng trình, hãy thiết lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1

Bài 4: Cho phơng trình 2x2 – 3x – 1 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2

Hãy thiết lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn:









  





1 2 2 1 2

2

1

1

x y x y b)

2

x

y

2

x

y

a)

Bài 5: Cho phơng trình x2 + x – 1 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2

Hãy thiết lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn:





































0.

5x 5x y y x x y y b)

; 3x 3x y y y y x x x x y y a) 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 Bài 6: Cho phơng trình 2x2 + 4ax – a = 0 (, a ≠ 0) có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: 2 1 2 1 2 1 2 1 x x y 1 y 1 và x 1 x 1 y y       4.Hệ thức liờn hệ giữa cỏc nghiệm khụng phụ thuộc tham số 4.1 Cỏc bài tập điển hỡnh Ví dụ1: Cho phơng trình bậc 2: ( m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2 (m – 1) = 0 (1) Khi phơng trình có nghiệm, hãy tìm 1 hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m

Giải: Vì phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai nên m 2

'

 =[-(m+2)]2 – 2(m – 2) (m – 1) = -m2 + 10m

Phơng trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi:

'

 0 <=> m2 – 10m  0 <=> m ( m – 10)  0 <=> 0 m10

Gọi x1; x2 là các nghiệm của phơng trình (1) Theo hệ thức Viét ta có:





















) 2 ( 2

) 1 ( 2

) 1 ( 2 ) 2 ( 2

2 1

2 1

m m x

x

m m x

x

8

2 ) (

2

1 2

8 2 2

8 4

















m m

m m

2

2 2

1 2

2 2 2

2 4 2 2

2























m m

m

m m

m

2

2 8

2

2 1 2 1 2

1 2

1















x x x x x x x x

Vậy hệ thức cần tìm là: 4x1x2 – (x1 + x2) = 6

4.2 Bài tập ỏp dụng:

Bài 1:

a) Cho phơng trình: x2 – mx + 2m – 3 = 0 Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình không phụ thuộc vào tham số m

b) Cho phơng trình bậc hai: (m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = 0 Khi

ph-ơng trình có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m

c) Cho phơng trình: 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = 0 Định m để phơng trình

có hai nghiệm x1 ; x2 Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m, suy ra vị trí của các nghiệm đối với hai số – 1 và 1

Bài 2: Cho phơng trình bậc hai: (m – 1)2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = 0 Khi

ph-ơng trình có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.

Bài 3: Cho phơng trình: x2 – 2mx – m2 – 1 = 0

a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 với mọi m

b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x1 ; x2 không phụ thuộc vào m

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn:

2

5 x

x x

x

1

2 2

a) Giải và biện luận phơng trình theo m

b) Khi phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2:

a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m

b) Gọi 2 nghiệm là x1 và x2 tìm giá trị của m để 2 2

x x đạt giá trị nhỏ nhất.Giải:

Phong trình có 2 nghiệm trái dấu    7 m2    0 7 m 7

Với điều kiện này giả sử x1< 0 ,x2 > 0 theo đề ra ta có

Vì m > 0 nên ta chọn m = 5 ( thoả mãn điều kiện  7 m 7)

Kết luận : Vậy với m = 5 thì phơng trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng ngịch đảo của nghiệm kia

âm)

5) Định m để phơng trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

6) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = - 2

7) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho A = 2x1 + 2x2 – x1x2nhận giá trị nhỏ nhất

Bài 2: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:

a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – 3 = 0 ; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18

b) mx2 – (m – 4)x + 2m = 0 ; 2(x1 + x2 ) = 5x1x2

c) (m – 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0 ; 4(x1 + x2 ) = 5x1 x2d) x2 – (2m + 1)x + m2 + 2 = 0 ; 3x1x2 – 5(x1 + x2) + 7 = 0

Bài 3: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:

m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 sao cho nghiệm này gấp đôinghiệm kia.

b) Ch phơng trình bậc hai: x2 – mx + m – 1 = 0 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho biểu thức

) x x 2(1 x

x

3 x 2x R

2 1

2 2

2 1

2 1

kb2 = (k + 1)2.ac

6 X ét dấu cỏc nghiệm của ph ơng trình

-Xét dấu nghiệm của phơng trình

-Xỏc địnhhệ sốcủa phương trỡnh theo điều kiệnvề dấu của nghiệm